一 二維形式的柯西不等式

1、 探究探究 類比不等式類比不等式a2+b22ab的推導(dǎo)過程，的推導(dǎo)過程，通過乘法及配方，研究關(guān)于它的不等通過乘法及配方，研究關(guān)于它的不等關(guān)系關(guān)系.分析分析 把該式首先展開，再用配方法，問把該式首先展開，再用配方法，問題就可以解決。題就可以解決。解：解：展開乘積得展開乘積得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2由于由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2即即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2而而(ad-bc)20,因此因此(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2提示提示 上式上式(1)是本節(jié)課

2、所要研究是本節(jié)課所要研究的柯西不等式的柯西不等式.1.1.認(rèn)識二維柯西不等式的代數(shù)和向量形認(rèn)識二維柯西不等式的代數(shù)和向量形式式. .理解二維柯西不等式的幾何意義理解二維柯西不等式的幾何意義.3.3.掌握柯西不等式的應(yīng)用掌握柯西不等式的應(yīng)用. .2.2.通過探究，思考和討論，使學(xué)生從數(shù)形通過探究，思考和討論，使學(xué)生從數(shù)形兩方面認(rèn)識柯西不等式的代數(shù)和向量的等兩方面認(rèn)識柯西不等式的代數(shù)和向量的等價(jià)關(guān)系。價(jià)關(guān)系。1.1.通過探究，從式子變形的角度證出柯通過探究，從式子變形的角度證出柯西不等式，從而認(rèn)識其代數(shù)形式西不等式，從而認(rèn)識其代數(shù)形式. .2.2.借助平面向量，從數(shù)量積的角度推借助平面向量，從數(shù)量

3、積的角度推出二維柯西不等式的向量形式出二維柯西不等式的向量形式. .從而給從而給出幾何意義。出幾何意義。 鍛煉學(xué)生分析問題，解決鍛煉學(xué)生分析問題，解決問題的能力，并培養(yǎng)其審美觀。問題的能力，并培養(yǎng)其審美觀。定理定理(1)和定理和定理(2). 數(shù)形結(jié)合認(rèn)識數(shù)形結(jié)合認(rèn)識(1)與與(2)兩式的兩式的等價(jià)關(guān)系等價(jià)關(guān)系.定理定理1（二維形式的柯西不等式）（二維形式的柯西不等式） 若若a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，則都是實(shí)數(shù)，則(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號成立時(shí)，等號成立.分析分析 你能否證明你能否證明2222abcdacbd 證證 明明 22222222a

4、bcdabcd 2.acbdacbd 22222222, , ,.a b c dabcdacbdabcdacbd對對于于任任何何實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)有有不不等等式式成成立立：討論討論 對一個(gè)代數(shù)結(jié)果進(jìn)行最簡單的詮釋，對一個(gè)代數(shù)結(jié)果進(jìn)行最簡單的詮釋，往往要借助直觀的幾何背景。討論柯西往往要借助直觀的幾何背景。討論柯西不等式的幾何意義。不等式的幾何意義。0 xy, a b, c d 設(shè)在平面直角坐標(biāo)系設(shè)在平面直角坐標(biāo)系xoy中有向量中有向量=(a,b), =(c,d) ，與之間的夾角為，與之間的夾角為，0 （如圖）（如圖）根據(jù)向量數(shù)量積的定義，有根據(jù)向量數(shù)量積的定義，有.=cos 用平面向量的坐標(biāo)表示不等式用

5、平面向量的坐標(biāo)表示不等式(2)得：得：2222,acbdabcd所以所以.=cos 因?yàn)橐驗(yàn)閏os1,所以所以 . 定理定理2（柯西不等式的向量形式）（柯西不等式的向量形式） 設(shè)設(shè)，是兩個(gè)向量，則是兩個(gè)向量，則 .,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)是零向量或存在是零向量或存在實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)k,使使=k時(shí)，等號成立時(shí)，等號成立. 探究探究 試從不等式試從不等式(1)推導(dǎo)不等式推導(dǎo)不等式(2)，再，再進(jìn)行反方向的推導(dǎo)，從數(shù)形結(jié)合的角度進(jìn)行反方向的推導(dǎo)，從數(shù)形結(jié)合的角度體會兩者的等價(jià)關(guān)系。體會兩者的等價(jià)關(guān)系。觀察觀察 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P1,P2 的坐標(biāo)分別是的坐標(biāo)分別是(x1,

6、y1)(x2,y2)，根據(jù)，根據(jù)oP1P2 的邊的邊長關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)這四個(gè)實(shí)數(shù)長關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)這四個(gè)實(shí)數(shù) x1,y1,x2,y2蘊(yùn)含著蘊(yùn)含著何種大小關(guān)系嗎？何種大小關(guān)系嗎？0 xy 111,Pxy 222,Pxy0 xy 111,Pxy 222,Pxy.定理定理3(二維形式的三角不等式二維形式的三角不等式) 112222222211221212,xy xyRxyxyxxyy 設(shè)設(shè)那那么么能用柯西不等能用柯西不等式證明嗎？式證明嗎？證證 明明 22222112222222222111122222xyxyxyxyxyxyx12+y12+2x1x2+y1y2+x22+y22 x12+y12-2(x1

7、x2+y1y2)+x22+y22 =x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2 22222211221212xyxyxxyy 所所以以分析分析 不等式不等式(3)(3)對于任何實(shí)數(shù)都成立，于是可對于任何實(shí)數(shù)都成立，于是可以得到：以得到： 2222131323232212124xxyyxxyyxxyy 探究探究 請結(jié)合平面直角坐標(biāo)系，解釋請結(jié)合平面直角坐標(biāo)系，解釋不等式不等式(4)的幾何意義。的幾何意義。例例1分析分析 雖然可以作乘法展開上式的兩雖然可以作乘法展開上式的兩邊，然后在比較它們的大小。但如邊，然后在比較它們的大小。但如果注意到不等式的形

8、式與柯西不等果注意到不等式的形式與柯西不等式的一致性，既可以避免繁雜了。式的一致性，既可以避免繁雜了。已知已知a,b為實(shí)數(shù)。為實(shí)數(shù)。試證試證(a4+b4)(a2+b2)(a3+b3)證證 明明根據(jù)柯西不等式，有根據(jù)柯西不等式，有(a4+b4)(a2+b2)(a2a+b2b)2=(a3+b3)2反思反思 在證明不等式時(shí)，聯(lián)系經(jīng)典不等式，在證明不等式時(shí)，聯(lián)系經(jīng)典不等式，既可以啟發(fā)證明思路，又可以簡化運(yùn)算既可以啟發(fā)證明思路，又可以簡化運(yùn)算. .例例21102 .xx求求函函數(shù)數(shù)y=5y=5分析分析 利用不等式解決極值問題，通常設(shè)法在利用不等式解決極值問題，通常設(shè)法在不等式一邊得到一個(gè)常數(shù)，并尋找不等

9、式取不等式一邊得到一個(gè)常數(shù)，并尋找不等式取等號的條件。這個(gè)函數(shù)的解析式是兩部分的等號的條件。這個(gè)函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化成和，若能化成ac+bd的形式，就能利用柯西不的形式，就能利用柯西不等式求其最大值。等式求其最大值。 22221 50.512552156 321551276 3.27yyxxxxxxx 解解：函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域?yàn)闉?， ，且且當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，等等號號成成立立，即即時(shí)時(shí)函函數(shù)數(shù)取取最最大大值值例例3,114.a bab 設(shè)設(shè)R R ，a a+ +b b= =1 1, , 求求證證分析分析 問題中問題中a+b=1這個(gè)條件，由于常這個(gè)條件，由于常數(shù)數(shù)1的特殊性

10、，用的特殊性，用a+b去乘任何數(shù)或去乘任何數(shù)或式子，都不會改變它們的值式子，都不會改變它們的值.證證 明明 2,11114.1,114.a bRabababababab 由由于于根根據(jù)據(jù)柯柯西西不不等等式式，得得又又所所以以1.1.二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式.若若a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，都是實(shí)數(shù)，則則(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2,當(dāng)且當(dāng)且僅當(dāng)僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號成立時(shí)，等號成立.2.二維形式的柯西不等式的向量形式二維形式的柯西不等式的向量形式.設(shè)設(shè)，是兩個(gè)向量是兩個(gè)向量，則則 .,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)是零向量或存在實(shí)數(shù)是零向量或存在實(shí)數(shù)k,使使

11、=k時(shí)時(shí)，等號成立等號成立.3.二維形式的柯西不等式的應(yīng)用二維形式的柯西不等式的應(yīng)用. 112222222211221212,xyxyRxyxyxxyy 設(shè)設(shè)那那么么1.354 6yxx 求求函函數(shù)數(shù)的的最最大大值值. . 225 60.354 634565.yyxxxx 解解：函函數(shù)數(shù)定定義義域域?yàn)闉椋仪?22.236,211.xyxy 已已知知求求證證 222236,1422311.23211.yxyxyxy 證證明明：因因?yàn)闉? 2x x所所以以因因此此習(xí)題習(xí)題3.1（第（第36頁）頁）函函數(shù)數(shù)定定義義域域?yàn)闉?，且且當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)即即時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)有有最最大大值值221.5 6y0y = 3 x-5 +4 6-x(3 +4 )(x-5+6-x) = 5