正態(tài)分布的概念及應(yīng)用

1、丹寨民族高級(jí)中學(xué)丹寨民族高級(jí)中學(xué)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教人教A版選修版選修 主要內(nèi)容主要內(nèi)容一一、課程目標(biāo)課程目標(biāo)二、二、創(chuàng)設(shè)情境創(chuàng)設(shè)情境三、三、知識(shí)建構(gòu)知識(shí)建構(gòu)四、四、應(yīng)用示例應(yīng)用示例五、五、體驗(yàn)高考體驗(yàn)高考六、六、課堂小結(jié)課堂小結(jié)七、七、課堂作業(yè)課堂作業(yè)八、數(shù)學(xué)趣苑八、數(shù)學(xué)趣苑九九、封底、封底【教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)】【教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)】【教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)】【教學(xué)手段教學(xué)手段】多媒體電腦與投影儀多媒體電腦與投影儀正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)；正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)；正態(tài)分布曲線所表示的意義正態(tài)分布曲線所表示的意義了解了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)；正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)；在實(shí)際中什么樣的隨

2、機(jī)變量服從正態(tài)分布在實(shí)際中什么樣的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布正態(tài)分布曲線所表示的意義正態(tài)分布曲線所表示的意義了解了解正態(tài)分布曲線所表示的意義正態(tài)分布曲線所表示的意義25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.4225.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.4325.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.3625.38 25.31 25.43 25.40 25.38 25.37 25.4425.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.

3、50 25.3725.35 25.32 25.45 25.40 25.43 25.54 25.3925.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.3725.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.4625.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.3225.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.3525.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.4025.37 25.33 25.4

4、0 25.35 25.41 25.37 25.47 25.3925.42 25.47 25.38 25.39 某鋼鐵加工廠生產(chǎn)內(nèi)徑為某鋼鐵加工廠生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm25.40mm的鋼管的鋼管, ,為了為了檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量, ,從一批產(chǎn)品中任取從一批產(chǎn)品中任取100100件檢測(cè)件檢測(cè), ,測(cè)測(cè)得它們的實(shí)際尺寸如下得它們的實(shí)際尺寸如下: :( (一一) )創(chuàng)設(shè)情境創(chuàng)設(shè)情境1 1列出頻率分布表列出頻率分布表 100件產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖25.23525.29525.35525.41525.47525.535產(chǎn)品內(nèi)徑尺寸產(chǎn)品內(nèi)徑尺寸/ /mm頻率頻率組距組距25.26525.325

5、25.38525.44525.50525.565o2468頻率分布直方圖頻率分布直方圖200件產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖產(chǎn)品內(nèi)徑尺寸產(chǎn)品內(nèi)徑尺寸/ /mm頻率頻率組距組距o2468產(chǎn)品內(nèi)徑尺寸產(chǎn)品內(nèi)徑尺寸/ /mm頻率頻率組距組距o2468樣本容量增大時(shí)樣本容量增大時(shí)頻率分布直方圖頻率分布直方圖正態(tài)曲線 可以看出可以看出, ,當(dāng)樣本容量無(wú)限大當(dāng)樣本容量無(wú)限大, ,分組的組距分組的組距無(wú)限縮小時(shí)無(wú)限縮小時(shí), ,這個(gè)頻率直方圖上面的折線就會(huì)無(wú)這個(gè)頻率直方圖上面的折線就會(huì)無(wú)限接近于一條光滑曲線限接近于一條光滑曲線-正態(tài)曲線正態(tài)曲線. . 這個(gè)試驗(yàn)是英國(guó)科學(xué)家這個(gè)試驗(yàn)是英國(guó)科學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的高爾頓設(shè)計(jì)的

6、,具體如下具體如下:在一在一塊木板上塊木板上,訂上訂上n+1層釘子層釘子,第第1層層2個(gè)釘子個(gè)釘子,第第2層層3個(gè)釘子個(gè)釘子,第第n+1層層n+2個(gè)釘子個(gè)釘子,這些釘子這些釘子所構(gòu)成的圖形跟楊輝三角形所構(gòu)成的圖形跟楊輝三角形差不多差不多.自上端放入一小球自上端放入一小球,任任其自由下落其自由下落,在下落過(guò)程中小在下落過(guò)程中小球碰到釘子時(shí)球碰到釘子時(shí),從左邊落下的從左邊落下的概率是概率是P,從右邊落下的概率是從右邊落下的概率是1- -P,碰到下一排也是如此碰到下一排也是如此.最最后落入底板中的某個(gè)格后落入底板中的某個(gè)格.下面下面我們來(lái)試驗(yàn)一下我們來(lái)試驗(yàn)一下:( (一一) )創(chuàng)設(shè)情境創(chuàng)設(shè)情境2 2

7、1. 正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的定義如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)ab,隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 滿足滿足則稱則稱X的分布為的分布為正態(tài)分布正態(tài)分布(normal distribution).正態(tài)分布正態(tài)分布常記作：常記作：2( ,N ) ). .,()( )baP aXbx dx 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X服從服從正態(tài)分布正態(tài)分布,則記為則記為2( ,XN ) ). .（1）當(dāng) = 時(shí),函數(shù)值為最大.(3) 的圖象關(guān)于 對(duì)稱.（2） 的值域?yàn)?（4）當(dāng) 時(shí) 為增函數(shù).當(dāng) 時(shí) 為減函數(shù).)(xf)(xfxxx)(xf)(xf正態(tài)密度曲線的圖像特征（，（，+）01 2-1-2x-33X= 正態(tài)曲線22()

8、21( )2xf xe =21, 0(x)(Rx(1)(1)曲線在曲線在x x軸上方軸上方, ,與與x x軸不相交軸不相交. .(2)(2)曲線關(guān)于直線曲線關(guān)于直線x=x=對(duì)稱對(duì)稱. .(3)(3)在在x=x=時(shí)位于最高點(diǎn)時(shí)位于最高點(diǎn). .(4)(4)當(dāng)當(dāng)xxx時(shí)時(shí), ,曲線下降曲線下降. .并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以x x軸為漸近線，向它無(wú)限靠近。軸為漸近線，向它無(wú)限靠近。0.512一定O正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線的性質(zhì)(1)非負(fù)性：非負(fù)性：曲線曲線 在軸的上方在軸的上方,與與x軸軸不相交不相交( (即即x軸是曲線的漸近線軸是曲線的漸近線).).(2

9、)定值性定值性:曲線曲線 與與x軸圍成的面積為軸圍成的面積為1,( )x ,( ) x (3)對(duì)稱性：對(duì)稱性：正態(tài)曲線正態(tài)曲線關(guān)于直線關(guān)于直線 x= =對(duì)稱，對(duì)稱，曲線成曲線成“鐘形鐘形”(4)(4)單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)性：在在直線直線 x= =的左邊的左邊, 曲線是上升的曲線是上升的; ;在在直線直線 x= =的右邊的右邊, 曲線是下降的曲線是下降的. .2.2.正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線的性質(zhì)(5)(5)當(dāng)當(dāng)一定時(shí)，一定時(shí)， 曲線的形狀由曲線的形狀由確定。確定。越越大，曲線越大，曲線越“扁平扁平”，表示總體的分布越分，表示總體的分布越分散；散；越小，曲線越越小，曲線越“尖陡尖陡”，表示總體的，表示總體

10、的分布越集中分布越集中0.512一定一定O正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線的性質(zhì)221( ),R2xf xex知識(shí)點(diǎn)四：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線知識(shí)點(diǎn)四：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體總體N N（0 0，1 1）在正態(tài)總體的研究中占有重）在正態(tài)總體的研究中占有重要地位。任何正態(tài)分布的問(wèn)題均可轉(zhuǎn)化成要地位。任何正態(tài)分布的問(wèn)題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)總體分布的概率問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)總體分布的概率問(wèn)題。當(dāng)當(dāng)0 0，1 1時(shí)，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正時(shí)，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是, 2 ,2 3,30.68260.95440.99743.

11、33. 3個(gè)特殊結(jié)論個(gè)特殊結(jié)論若若, ,則則2( ,)XN 4. 3原則原則正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間 之內(nèi)之內(nèi),而在此區(qū)間以外取值的概率只有而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.26,通通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生. 3 ,3 在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(,2)的隨機(jī)變量只取的隨機(jī)變量只取 之間的之間的值，并稱為值，并稱為3原則原則 2 2 3 3 3 ,3 例例1.若若XN(5,1),求求P(6X7).(課本課本P.P.8686B2)B2)解解: :因?yàn)橐驗(yàn)閄 XN(5,1)

12、,N(5,1),5,1. 又因?yàn)檎龖B(tài)密度曲線關(guān)于直線又因?yàn)檎龖B(tài)密度曲線關(guān)于直線 x=5 =5 對(duì)稱對(duì)稱, ,1(57)(37)2PxPx 10.95440.4772,2 1(56)(46)2PxPx 10.68260.3413,2 (67)(57)(56)PxPxPx 0.47720.34130.1359. 1(5 2 15 2 1)2Px 例例2.2.在某次數(shù)學(xué)考試中在某次數(shù)學(xué)考試中, ,考生的成績(jī)考生的成績(jī)X X服從正態(tài)服從正態(tài)分布分布X XN(90,100).(1)N(90,100).(1)求考試成績(jī)求考試成績(jī)X X位于區(qū)間位于區(qū)間(70,110)(70,110)上的概率是多少上的概率是

13、多少?(2)?(2)若此次考試共有若此次考試共有20002000名考生名考生, ,試估計(jì)考試成績(jī)?cè)谠嚬烙?jì)考試成績(jī)?cè)?80,100)(80,100)間的間的考生大約有多少人考生大約有多少人? ?解解: :依題意依題意,X,XN(90,100),N(90,100),90,10. (70110)PX (22 )0.9544.PX (80100)PX ()0.6826.PX 即考試成績(jī)?cè)诩纯荚嚦煽?jī)?cè)?80,100)(80,100)間的概率為間的概率為0.6826.0.6826.考試成績(jī)?cè)诳荚嚦煽?jī)?cè)?80,100)(80,100)間的考生大約有間的考生大約有2000 0.68261365. 歸納小結(jié) 3

14、 正態(tài)曲線的性質(zhì)（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（2）曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱.（3）曲線在x=時(shí)位于最高點(diǎn).（4）當(dāng) x時(shí)，曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以軸為漸近線，向它無(wú)限靠近.(5)當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定 .越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中. 【1】某校高三男生共】某校高三男生共1000人，他們的身人，他們的身高高X(cm)近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布 ,則則身高在身高在180cm以上的男生人數(shù)大約是以上的男生人數(shù)大約是（ B ） 683 B.159 C.46 D.317(176,16)N xyo 從從200

15、32003年以來(lái)年以來(lái)山東山東卷連續(xù)五年在高考卷連續(xù)五年在高考中沒(méi)有考查正態(tài)分布中沒(méi)有考查正態(tài)分布.07年有四套卷子考查了年有四套卷子考查了正態(tài)分布，正態(tài)分布，安徽卷第安徽卷第10題、湖南卷第題、湖南卷第5題、浙題、浙江卷第江卷第5題和全國(guó)卷（題和全國(guó)卷（）第）第14題題. 高考對(duì)正態(tài)分布的考查以選擇題、填空題高考對(duì)正態(tài)分布的考查以選擇題、填空題為主為主.主要題型有主要題型有:(1) 求正態(tài)總體在一個(gè)區(qū)間上的概率求正態(tài)總體在一個(gè)區(qū)間上的概率(共有共有=36=36種情況種情況)(2)考查對(duì)正態(tài)分布的定義考查對(duì)正態(tài)分布的定義,性質(zhì)的理解性質(zhì)的理解.(3)解答題解答題(06湖北湖北).29Cxyo

16、這說(shuō)明成績(jī)?cè)谶@說(shuō)明成績(jī)?cè)?0分以上分以上(含含90分分)的學(xué)生人數(shù)的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的約占全體參賽人數(shù)的2.28,因此因此, 參賽總?cè)藬?shù)約參賽總?cè)藬?shù)約為為解解:()設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為 ,【4】(2006湖北湖北)在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,全體參全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布(70,100).N1(5090)2P1(|70| 20)2PX1 0.954420.0228.0228. 012P(90)1P(90)526（人）（人）.()試問(wèn)此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少人？試問(wèn)此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少人？已知成績(jī)?cè)谝阎煽?jī)?cè)?0分以上分以上(含含90分分)的學(xué)生有的學(xué)生有12名名.因?yàn)橐驗(yàn)?70,100)N ,由條件知，由條件知，222)(21)(xexf),(x1. 正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的定義3. 正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線的性質(zhì)2.2.正態(tài)曲線正態(tài)曲線(1)非負(fù)性非負(fù)性 (2)定值性定值性 (3)對(duì)稱性對(duì)稱性(4)單調(diào)性單調(diào)性 (5)最值性最值性 (6)幾何性幾何性.4. 3原則原則學(xué)案學(xué)案：P.19-20作業(yè)作業(yè):學(xué)案學(xué)案 P.19 8(1)課本課本：P.38 A4 正態(tài)分