人教版八年級上數(shù)學(xué)培優(yōu)講義教師版

1、. .第十一章 全等三角形與其應(yīng)用知識精讀1. 全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形；兩個全等三角形中，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點。互相重合的邊叫對應(yīng)邊，互相重合的角叫對應(yīng)角。2. 全等三角形的表示方法：若ABC和ABC是全等的三角形，記作 “ABCABC其中，“”讀作“全等于”。記兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。3. 全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；4. 尋找對應(yīng)元素的方法（1）根據(jù)對應(yīng)頂點找如果兩個三角形全等，那么，以對應(yīng)頂點為頂點的角是對應(yīng)角；以對應(yīng)頂點為端點的邊是對應(yīng)邊。通常情況下，兩個三角形全等時，對應(yīng)頂點的字母都

2、寫在對應(yīng)的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫出對應(yīng)的元素。（2）根據(jù)已知的對應(yīng)元素尋找全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；（3）通過觀察，想象圖形的運動變化狀況，確定對應(yīng)關(guān)系。通過對兩個全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個是由另一個經(jīng)過下列各種運動而形成的。翻折如圖（1），DBOCDEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直線AO翻折180得到的；旋轉(zhuǎn) 如圖（2），DCODDBOA，DCOD可以看成是由DBOA繞著點O旋轉(zhuǎn)180得到的；平移 如圖（3），DDEFDACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移動而得到的。5. 判定三角形全等

3、的方法：（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理（2） 推論：角角邊定理6. 注意問題：（1）在判定兩個三角形全等時，至少有一邊對應(yīng)相等；（2）不能證明兩個三角形全等的是，a: 三個角對應(yīng)相等，即AAA；b :有兩邊和其中一角對應(yīng)相等，即SSA。全等三角形是研究兩個封閉圖形之間的基本工具，同時也是移動圖形位置的工具。在平面幾何知識應(yīng)用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動圖形或移動圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識。分類解析全等三角形知識的應(yīng)用（1） 證明線段（或角）相等例1如圖，已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC分析：由已知條件可證出ACDABE，而BF和

4、FC分別位于DBF和EFC中，因此先證明ACDABE，再證明DBFECF，既可以得到BF=FC.證明：在ACD和ABE中，ACDABE (SAS)B=C（全等三角形對應(yīng)角相等）又 AD=AE,AB=AC. ABAD=ACAE 即 BD=CE在DBF和ECF中DBFECF （AAS）BF=FC （全等三角形對應(yīng)邊相等）（2）證明線段平行例2已知：如圖，DEAC，BFAC，垂足分別為E、F，DE=BF，AF=CE.求證：ABCD分析：要證ABCD，需證CA，而要證CA，又需證ABFCDE.由已知BFAC，DEAC，知DECBFA=90，且已知DE=BF，AF=CE.顯然證明ABFCDE條件已具備，

5、故可先證兩個三角形全等，再證CA,進一步證明ABCD.證明：DEAC，BFAC （已知）DECBFA=90 （垂直的定義）在ABF與CDE中，ABFCDE（SAS）CA (全等三角形對應(yīng)角相等)ABCD （錯角相等，兩直線平行）（3）證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等例3如圖，在ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點E，連接CD和CE. 求證：CD=2CE分析：()折半法：取CD中點F，連接BF，再證CEBCFB.這里注意利用BF是ACD中位線這個條件。證明：取CD中點F，連接BF BF=AC,且BFAC （三角形中位線定理）ACB2

6、(兩直線平行錯角相等)又AB=ACACB3 （等邊對等角）32在CEB與CFB中，CEBCFB (SAS) CE=CF=CD （全等三角形對應(yīng)邊相等）即CD=2CE（）加倍法證明：延長CE到F，使EF=CE，連BF.在AEC與BEF中，AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等)BFAC (錯角相等兩直線平行)ACB+CBF=180o,ABC+CBD=180o,又AB=AC ACB=ABCCBF=CBD （等角的補角相等）在CFB與CDB中，CFBCDB (SAS) CF=CD即CD=2CE說明：關(guān)于折半法有時不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段

7、一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點F，連BF(如圖)（B為AD中點是利用這個辦法的重要前提），然后證CE=BF.(4)證明線段相互垂直例4已知：如圖，A、D、B三點在同一條直線上，ADC、BDO為等腰三角形，AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論。分析：本題沒有直接給出待證的結(jié)論，而是讓同學(xué)們先根據(jù)已知條件推斷出結(jié)論，然后再證明所得出的結(jié)論正確。通過觀察，可以猜測：AO=BC，AOBC.證明：延長AO交BC于E,在ADO和CDB中ADOCDB (SAS) AO=BC, OAD=BCD（全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等）AODCOE （對頂角相等）COE+OCE=90

8、oAOBC5、中考點撥：例1如圖，在ABC中，ABAC，E是AB的中點，以點E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點D，連結(jié)ED，并延長ED到點F，使DFDE，連結(jié)FC求證：FA分析：證明兩個角相等，常證明這兩個角所在的兩個三角形全等，在已知圖形中A、F不在全等的兩個三角形中，但由已知可證得EFAC，因此把A通過同位角轉(zhuǎn)到BDE中的BED，只要證EBDFCD即可證明：ABAC，ACBB，EBED，ACBEDBEDACBEDABEEABDCD又DEDF，BDECDFBDECDF，BEDFFA說明：證明角（或線段）相等可以從證明角（或線段）所在的三角形全等入手，在尋求全等條件時，要注意結(jié)合圖形，挖掘圖

9、中存在的對項角、公共角、公共邊、平行線的同位角、錯角等相等的關(guān)系。例2如圖，已知ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE=BD，連接CE、DE.求證：EC=ED 分析：把已知條件標注在圖上，需構(gòu)造和AEC全等的三角形，因此過D點作DFAC交BE于F點，證明AECFED即可。證明：過D點作DFAC交BE于F點ABC為等邊三角形BFD為等邊三角形 BF=BD=FD AE=BD AE=BF=FD AEAF=BFAF 即 EF=AB EF=AC在ACE和DFE中，AECFED（SAS）EC=ED（全等三角形對應(yīng)邊相等）題型展示：例1如圖，ABC中，C2B，12。求證：ABACCD分析

10、：在AB上截取AEAC，構(gòu)造全等三角形，AEDACD，得DEDC，只需證DEBE問題便可以解決證明：在AB上截取AEAC，連結(jié)DEAEAC，12，ADAD，AEDACD，DEDC，AEDCAEDBEDB，C2B， 2BBEDB即 BEDBEBED，即EDDC，ABACDC剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一種是截長法（即在長線段上截取一段等于兩條短線段的一條，再證余下的部分等于另一條短線段）；如作AEAC是利用了角平分線是角的對稱軸的特性，構(gòu)造全等三角形，另一種方法是補短法（即延長一條短線段等于長線段，再證明延長的部分與另一條短線段相等），其目的是把證明線段的和差轉(zhuǎn)化為證

11、明線段相等的問題，實際上仍是構(gòu)造全等三角形，這種轉(zhuǎn)化圖形的能力是中考命題的重點考查的容實戰(zhàn)模擬1. 下列判斷正確的是（）（A）有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（B）有兩邊對應(yīng)相等，且有一角為30的兩個等腰三角形全等（C）有一角和一邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（D）有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等2. 已知：如圖，CDAB于點D，BEAC于點E，BE、CD交于點O，且AO平分BAC求證：OBOC3. 如圖，已知C為線段AB上的一點，DACM和DCBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點，BM和CN交于E點。求證：DCEF是等邊三角形。4.如圖，在ABC中，AD為BC邊上的中線

12、。求證：ADAC，的平分線與BC的垂直平分線相交于D，自D作于E，求證：BF=CG。1、軸對稱的性質(zhì)：（）關(guān)于某條直線對稱的圖形是全等形；（）如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線；（）兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上；（）如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一直線垂直平分，那么，這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。2、軸對稱作（畫）圖：（）畫圖形的對稱軸（）如果一個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱點之間的線段的垂直平分線就是該圖形的對稱軸。（）畫某點關(guān)于某直線的對稱點的方法（）畫已知圖形關(guān)于某直線的對稱圖形注意：（）全等的圖形不一定是軸對稱的，

13、軸對稱的圖形一定是全等的。（）性質(zhì)（）的作用是判定兩個圖形是否關(guān)于某直線對稱，它是作對對稱圖形的主要依據(jù)。例8如圖，ABC和ABC關(guān)于直線對稱，下列結(jié)論中：ABCABC；BACBAC；l垂直平分CC；直線BC和BC的交點不一定在l上，正確的有( )A4個 B3個 C2個 D1個舉一反三：1、如圖，ABC與A/B/C/關(guān)于直線l對稱，則B的度數(shù)為（ ）FEDCBAA50 B30 C100 D902、如圖六邊形ABCDEF是軸對稱圖形，CF所在的直線是它的對稱軸，若AFC+BCF=150，則AFE+BCD的大小是（）150 300 210 330例9如圖，點P在AOB，點M、N分別是點P關(guān)于AO的

14、對稱點、BO的對稱點，若PEF的周長為15，求MN的長等腰三角形專題講解知識精讀（）等腰三角形的性質(zhì) 1. 有關(guān)定理與其推論 定理：等腰三角形有兩邊相等； 定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形； 2. 定理與其推論的作用 等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角

15、形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個角相等以與兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。（二）等腰三角形的判定 1. 有關(guān)的定理與其推論 定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”。） 推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2：有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形。 推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 2. 定理與其推論的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依

16、據(jù)，是本節(jié)的重點。 3. 等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰三角形問題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過它來證明線段或角的倍分問題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時需要作頂角的平分線，有時則需要作高或中線，這要視具體情況來定。分類解析例1如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點，E為BC延長線上一點，且CECD，DMBC，垂足為M。求證：M是BE的中點。分析：欲證M是BE的中點，已知DMBC，所以想到連結(jié)BD，證BDED。因為ABC是等邊三角

17、形，DBEABC，而由CECD，又可證EACB，所以1E，從而問題得證。 證明：因為三角形ABC是等邊三角形，D是AC的中點 所以1ABC 又因為CECD，所以CDEE 所以ACB2E 即1E 所以BDBE，又DMBC，垂足為M 所以M是BE的中點 （等腰三角形三線合一定理）例2如圖，已知：中，D是BC上一點，且，求的度數(shù)。分析：題中所要求的在中，但僅靠是無法求出來的。因此需要考慮和在題目中的作用。此時圖形中三個等腰三角形，構(gòu)成了外角的關(guān)系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角關(guān)系定理來求。解：因為，所以 因為，所以； 因為，所以（等邊對等角） 而 所以 所以 又因為 即 所以 即求得 說

18、明1. 等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角之間關(guān)系的重要橋梁。把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系是此等腰三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重要的作用，這一點在后邊的解題中將進一步體現(xiàn)。 2. 注意“等邊對等角”是對同一個三角形而言的。3. 此題是利用方程思想解幾何計算題，而邊證邊算又是解決這類題目的常用方法。例3已知：如圖，中，于D。求證：。分析：欲證角之間的倍半關(guān)系，結(jié)合題意，觀察圖形，是等腰三角形的頂角，于是想到構(gòu)造它的一半，再證與的關(guān)系。證明：過點A作于E， 所以（等腰三角形的三線合一性質(zhì)） 因為 又，所以 所以（直角三角形兩銳角互余） 所以（同角的余角相等） 即 說明： 1. 作等腰三角形

19、底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，構(gòu)造角的倍半關(guān)系。因此添加底邊的高是一條常用的輔助線； 2. 對線段之間的倍半關(guān)系，常采用“截長補短”或“倍長中線”等輔助線的添加方法，對角間的倍半關(guān)系也同理，或構(gòu)造“半”，或構(gòu)造“倍”。因此，本題還可以有其它的證法，如構(gòu)造出的等角等。4、中考題型：1.如圖，ABC中，ABAC，A36，BD、CE分別為ABC與ACB的角平分線，且相交于點F，則圖中的等腰三角形有（ ）A. 6個 B. 7個 C. 8個 D. 9個分析：由已知條件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形角和的度數(shù)可求得等腰三角形有8個，故選擇C。2.）已知：如圖，在ABC中，ABAC，D是BC的

20、中點，DEAB，DFAC，E、F分別是垂足。求證：AEAF。證明：因為，所以 又因為 所以 又D是BC的中點，所以 所以 所以，所以說明：證法二：連結(jié)AD，通過證明即可5、題形展示：例1如圖，中，BD平分。求證：。分析一：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在BC上截取，只需證明，考慮到，想到在BC上截取，連結(jié)DE，易得，則有，只需證明，這就要從條件出發(fā)，通過角度計算可以得出。證明一：在BC上截取，連結(jié)DE、DF 在和中， 又 而 即分析二：如圖，可以考慮延長BD到E，使DEAD，這樣BDAD=BD+DE=BE，只需證明BEBC，由于，只需證明易證，故作的角平分線，則有，進而證明，從而可證出。證明二：延長BD

21、到E，使DEAD，連結(jié)CE，作DF平分交BC于F。 由證明一知： 則有DF平分，在和中，而 在和中， 在中， 說明：“一題多證”在幾何證明中經(jīng)常遇到，它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途徑，讀者在以后的幾何學(xué)習(xí)中要善于從不同角度去思考、去體會，進一步提高自身的解題能力。實戰(zhàn)模擬 1. 選擇題：等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，則腰長為（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不對 2. 如圖，是等邊三角形，則的度數(shù)是_。3. 求證：等腰三角形兩腰中線的交點在底邊的垂直平分線上. 4. 中，AB的中垂線交AB于D，交CA延長線于E，求證：

22、。試題答案 1. B 2. 分析：結(jié)合三角形角和定理，計算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。解：因為是等邊三角形 所以 因為，所以 所以 在中，因為 所以，所以 所以 3.分析：首先將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)的符號語言和圖形語言。已知：如圖，在中，D、E分別為AC、AB邊中點，BD、CE交于O點。求證：點O在BC的垂直平分線上。分析：欲證本題結(jié)論，實際上就是證明。而OB、OC在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么問題就轉(zhuǎn)化為證含有的兩個三角形全等。證明：因為在中，所以（等邊對等角）又因為D、E分別為AC、AB的中點，所以（中線定義）在和中，所以所以（全等三角形對應(yīng)角相等）。所以（等角對

23、等邊）。即點O在BC的垂直平分線上。說明：（1）正確地理解題意，并正確地翻譯成幾何符號語言是非常重要的一步。特別是把“在底邊的垂直平分線上”正確地理解成“OBOC”是關(guān)鍵的一點。（2）實際上，本題也可改成開放題：“ABC中，ABAC，D、E分別為AC、AB上的中點，BD、CE交于O。連結(jié)AO后，試判斷AO與BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論”其解決方法是和此題解法差不多的。4.分析：此題沒有給出圖形，那么依題意，應(yīng)先畫出圖形。題目中是求線段的倍半關(guān)系，觀察圖形，考慮取BC的中點。證明：過點A作BC邊的垂線AF，垂足為F。31在中，所以所以（等腰三角形三線合一性質(zhì)）。所以（鄰補角定義）。所以又因為ED垂

24、直平分AB，所以（直角三角形兩銳角互余）。（線段垂直平分線定義）。又因為（直角三角形中角所對的邊等于斜邊的一半）。所以在和中，所以所以即。說明：（1）根據(jù)題意，先準確地畫出圖形，是解幾何題的一項基本功；（2）直角三角形中角的特殊關(guān)系，溝通了邊之間的數(shù)量關(guān)系，為順利證明打通了思路。第十三章 實數(shù)知識要點一、實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。1、實數(shù)有以下兩種分類方法： （1）按定義分類 （2）按大小分類2、實數(shù)中的倒數(shù)、相反數(shù)、絕對值概念和有理數(shù)一樣，例如的相反數(shù)為，倒數(shù)為，的絕對值為。3、實數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系： 實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，反過來，數(shù)軸

25、上的每一個點都可以用一個實數(shù)表示。4、實數(shù)的運算： （1）關(guān)于有理數(shù)的運算律和運算性質(zhì)，在實數(shù)圍仍適用。 （2）涉與無理數(shù)的計算，可根據(jù)問題的要求取其近似值，轉(zhuǎn)化為有理數(shù)進行計算。二、二次根式：一般地，式子叫做二次根式，其中叫做被開方數(shù)。1、二次根式的性質(zhì)： （1）；（2）； 2、最簡二次根式： （1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式。即被開方數(shù)不含有分母。 （2）被開方數(shù)中不含有能開盡方的因數(shù)或因式。即被開方數(shù)中每個因數(shù)或因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2。3、同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)一樣，那么這幾個二次根式叫同類二次根式。4、二次根式的運算：（1）二次根式的運算法

26、則：； ； ；（2）分母有理化（3）二次根式的混合運算三、非負性與應(yīng)用：1、非負數(shù)包括正數(shù)和零2、常見的非負數(shù)有實數(shù)的絕對值，實數(shù)的偶次方，非負實數(shù)的算術(shù)平方根等，用符號表示如下：若a是實數(shù)，則；若a是實數(shù)，則（n為正整數(shù)），當n=1時，a20；（n為正整數(shù)）在實數(shù)圍有意義，則，此時；3、非負數(shù)有如下性質(zhì)：有限個非負數(shù)之和是非負數(shù)；有限個非負數(shù)之和是零，則每一個非負數(shù)是零。典例解析1、無理數(shù)的識別與估算方法例1 、（1）在實數(shù)3.14，0.110，中，哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？（2）估算的值（ ）A在5和6之間 B.在6和7之間 C.在7和8之間 D.在8和9之間2、實數(shù)的大小比較方法例2、

27、（1）比較大?。?_（填“”“”或“” ） （2）已知，則、的大小關(guān)系為_（3）比較大?。寒攲崝?shù)時，_.（填“”或“” ）3、實數(shù)有數(shù)軸的關(guān)系例3、如右圖：數(shù)軸上點A表示的數(shù)為x，則x213的立方根是（ ）A.13 B.13 C.2 D.24、實數(shù)的運算例4、（1）；（2）；（3）； （4）。5、實數(shù)性質(zhì)的使用例5、（1）化簡：； （2）實數(shù)a，b在數(shù)軸上所對應(yīng)的點的位置如圖所示，則2a_0；ab_0；ba_0；2aab_。例6、（1）已知，求的值。（2）已知的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則=_課堂檢測1、在中，屬于有理數(shù)的是 _屬于無理數(shù)的是 _2、（1）；。 （2）。 （3）若=。 （4）計算

28、。3、比較大?。?）（2）。 4、下列語句中不正確的是（ ） A無理數(shù)是帶根號的數(shù)，其根號下的數(shù)字開方開不盡； B8的立方根是2； C絕對值等于的實數(shù)是 D每一個實數(shù)都有數(shù)軸上的一個點與它對應(yīng)。 5、與相乘，結(jié)果為1的數(shù)是（ ） ABCD6、下列計算正確的是（ ） A B C.D7、數(shù)軸上表示實數(shù)的點在表示的點的左邊，則式子的值是（ ） A正數(shù)B-1C小于-1D大于-18、化簡，甲、乙兩同學(xué)的解法如下：甲：； 乙：，對于他們的解法，正確的是（ ） A甲、乙的解法都正確B甲正確、乙不正確C甲、乙的解都錯誤 D.正確、甲不正確 9、計算或化簡：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）已知，求（

29、6）已知的值。10、已知y=+18,求代數(shù)式的值。11、細心觀察右圖和認真分析下列各式，然后解答問題：， ；， ；， ；（1）請用含的（為正整數(shù)）的等式表示上述變化的規(guī)律；（2）推算出，；，；（3）求出的值。第十四章 一次函數(shù)變化的世界一次函數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)一元一次方程一元一次不等式 二元方程組一 函數(shù)在某變化過程中，存在個變量x、y，y隨x的變化而發(fā)生變化，對于x在其取值圍，每一個確定的值，y都有的值與之對應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù)。練習(xí)：函數(shù)y中自變量的取值圍是，y=中x的取值圍是二 一次函數(shù)和正比例函數(shù)1概念： 若兩個變量x，y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的形式，則稱

30、y是x的（x為自變量），特別地，當b=0時，稱y是x的.（1）一次函數(shù)的自變量的取值圍是一切實數(shù)，但在實際問題中要根據(jù)函數(shù)的來確定.（2）一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義一樣，即自變量x的次數(shù)為1，一次項系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為任意常數(shù).練習(xí)：已知函數(shù)；（1）若是一次函數(shù)，應(yīng)滿足什么條件？（2）若是正比例函數(shù)，應(yīng)滿足什么條件？2、一次函數(shù)的圖象由于一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b此直線與y軸的交點（），與x軸的交點（）.畫正比例函數(shù)y=kx

31、的圖象時，只要描出點（0，），（1，）即可.3、一次函數(shù)性質(zhì)（1）性質(zhì)函數(shù)kb位置Y隨x的變化草圖（2）點P（x0，y0）與直線y=kx+b的圖象的關(guān)系A(chǔ).如果點P（x0，y0）在直線y=kx+b的圖象上，那么x0,y0的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b；B.如果x0，y0是滿足函數(shù)解析式的一對對應(yīng)值，那么以x0，y0為坐標的點必在函數(shù)的圖象上（3）確定正比例函數(shù)與一次函數(shù)表達式的條件A.由于正比例函數(shù)y=kx（k0）中只有一個待定系數(shù)k，故只需一個條件（如一對x，y的值或一個點）就可求得k的值B.由于一次函數(shù)y=kx+b（k0）中有兩個待定系數(shù)k，b，需要兩個獨立的條件確定兩個關(guān)于k，b的方程，求

32、得k，b的值，這兩個條件通常是兩個點或兩對x，y的值4.一次函數(shù)與方程（不等式）(1). 一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系 一次函數(shù)與其圖像與一元一次方程與一元一次不等式有著密切的關(guān)系，解決此類問題關(guān)鍵是找到函數(shù)y=kx+b（k0，k，b為常數(shù)）與x軸的交點（），直線y=kx+b在x軸的上方，也就是函數(shù)的值大于零，x的值是不等式（k0）的解；在x軸的下方也就是函數(shù)的值小于零，x的值是不等式（k0）的解；在x軸上也就是函數(shù)值等于零，x的值是方程的解。(2)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系兩個函數(shù)的交點就是對應(yīng)的二元一次方程組的解，此時兩個函數(shù)的值；圖像在上方的函數(shù)的值較。熱身訓(xùn)練1下列

33、各式y(tǒng)是x一次函數(shù)的為（ ）A B y=x2+2x+5 C y=2x D E y=a+3F 2如圖的四個圖象中，不表示某一函數(shù)圖象的是（ ）3函數(shù)y=x的圖象是一條過原點與（2，_ ）的直線，這條直線經(jīng)過第_象限，當x增大時，y隨之_ 4. 函數(shù)y=2x4，與x軸的交點是，當x_，y0。5函數(shù)y=-3x+5上取x1=1，x2=2，比較大?。簓1_y2；函數(shù)y=(m2+1)x+2 （m為常數(shù)）有x1=1，x2=2，比較大小y1_y2； 6某一次函數(shù)圖像過一、三、四象限，則：k_0，b_07如右圖，判斷那些點屬于該直線A.（1，3）B.（-1，1）C.（2，-2）D.（，-1）基本訓(xùn)練一、 填空題

34、 1 小華用500元去購買單價為3元的一種商品，剩余的錢y（元）與購買這種商品的件數(shù)x（件）之間的函數(shù)關(guān)系是_， x的取值圍是_ 2 函數(shù)y=2x4的圖象經(jīng)過_象限，它與兩坐標軸圍成的三角形面積為_3 一次函數(shù)y=kxb的圖象經(jīng)過點（1，5），交y軸的點的縱坐標是3，則k=_，b=_ 4若點（m，m3）在函數(shù)y= x2的圖象上，則m=_ 5、直線y=3-9x與x軸的交點坐標為_，與y軸的交點坐標為_ 6、若直線y=kxb平行直線y=3x4，且過點（1，-2），則k=；b= . 二、選擇題1一次函數(shù)y=x-1的圖像不經(jīng)過( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知正比例函

35、數(shù)y=kx(k0)的圖像過第二、四象限,則( )A.y隨x的增大而減小 B.y隨x的增大而增大C.當x0時,y隨x的增大而減小D.不論x如何變化,y不變3.結(jié)合正比例函數(shù)y=4x的圖像回答:當x1時,y的取值圍是( ) A.y=1 B.1y44如右圖，判斷直線k，b值圍A. k0，b0 B. k0，b0，b0 D. k0三、 解答題1已知y與x-2成正比例關(guān)系，且當x=3時，y=6，求函數(shù)的表達式2、已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（1，3）和點（2，3），（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）判斷點C（2，5）是否在該函數(shù)圖象上。3若函數(shù)y=4xb的圖象與兩坐標軸圍成的三角形面積為8，求解析式4、已知一

36、次函數(shù)y =（m + 4）x + m + 2（m為整數(shù)）的圖象不經(jīng)過第二象限，求m的圍 ； 5、一次函數(shù)y = kx + b的圖象經(jīng)過點A（0，2），B（-1，0）若將該圖象沿著y軸向上平移2個單位，則新圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式是什么？6已知2y3與3x1成正比例，且x=2時，y=5,（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出它是什么函數(shù)；（2）若點（a ，2）在這個函數(shù)的圖象上，求a .7、 一個一次函數(shù)的圖象，與直線y=2x1的交點M的橫坐標為2，與直線y=x2的交點N的縱坐標為1，求這個一次函數(shù)的解析式8、 某單位為減少用車開支準備和一個體車主或一家出租車公司簽訂租車合同設(shè)汽車每月行駛xKm，

37、個體車主的月費用是y1元，出租車公司的月費用是y2元，y1、y2分別與x之間的函數(shù)關(guān)系圖像，如圖，觀察圖像并回答下列問題；（1）每月行駛的路程在什么圍時，租用公司的車更省錢（2）每月行駛的路程在什么圍時，租兩家的車的費用一樣？（3）如果這個單位估計每月行駛的路程在2300Km，那么這個單位租哪家的車比較合算？綜合訓(xùn)練1、如圖，已知直線l1經(jīng)過點A（1，0）與點B（2，3），另一條直線l2經(jīng)過點B，且與x軸交于點P（m，0）（1）求直線l1的解析式；（2）若APB的面積為3，求m的值 圖22、為了鼓勵市民節(jié)約用水，自來水公司特制定了新的用水收費標準，每月用水量，x(噸)與應(yīng)付水費(元)的函數(shù)關(guān)系如圖2（1）求出當月用水量不超過5噸時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）某居民某月用水量為8噸，求應(yīng)付的水費是多少? 3、近兩年某地外向型經(jīng)濟發(fā)展迅速，一些著名跨國公司紛紛落戶該地新區(qū)，對各類人才需求不斷增加，現(xiàn)一公司面向社會招聘人員，其