定5、定積分的幾何應(yīng)用

1、3.9 定積分幾何的應(yīng)用定積分幾何的應(yīng)用定積分的幾何意義定積分的幾何意義(1)由直線由直線 及連續(xù)曲線及連續(xù)曲線 所圍成的曲邊梯形面積所圍成的曲邊梯形面積A等于函數(shù)等于函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間上的定積分上的定積分,0 xa xb y( )( )0yf xf x( )yf x , a b( )yf xab( )baAf x dx( )yf xab( )baAf x dxOxy圖圖1圖圖2一、幾何意義的應(yīng)用一、幾何意義的應(yīng)用-直角坐標(biāo)系內(nèi)求封閉圖形面積直角坐標(biāo)系內(nèi)求封閉圖形面積xyOxyOy=f(x)y=g(x)y=f(x)y=g(x)圖圖3圖圖4ababc(2)由兩條曲線由兩條曲線y=f(x),y=g

2、(x)與直線與直線x=a,x=b所圍成的圖形所圍成的圖形( )( )caf xg xdx( )( )bcg xf x dxA( )( )baf xg x dx( )( )baAf xg x dx( )( )baf xg x dx( )( )ccaaf x dxg x dx( )( )bbccg x dxf x dxxyO圖圖5(3)任意曲線所圍成的封閉圖形任意曲線所圍成的封閉圖形用平行于坐標(biāo)軸的直線用平行于坐標(biāo)軸的直線將其分割成適當(dāng)?shù)膸撞糠謱⑵浞指畛蛇m當(dāng)?shù)膸撞糠? )( )baAf xg x dx1、積分區(qū)間：、積分區(qū)間： 下限到上限是由小到大（圖形表示為下限到上限是由小到大（圖形表示為 封閉

3、圖形的最左端到最右端）封閉圖形的最左端到最右端） 2、被積函數(shù)（已去絕對值符號）：、被積函數(shù)（已去絕對值符號）：大減?。▓D形表示為上減下）大減?。▓D形表示為上減下）例例1：求由：求由y2=x和和y=x2所圍成圖形的面積。所圍成圖形的面積。220,01,1yxyx120Axxdx13320233xx13例例2：求由：求由y2=2x和和y=x4所圍成圖形的面積。所圍成圖形的面積。 222, 28,44yxyx24242yAydy423241826yyy2402222418Axxdxxxdx x2yx2yx(1,1)1x22yxoy4yx)4,8(2,2)oy小結(jié)：小結(jié)：用定積分求直角坐標(biāo)系內(nèi)封閉圖

4、形的面積用定積分求直角坐標(biāo)系內(nèi)封閉圖形的面積1、求出曲線的交點、求出曲線的交點2、確定積分變量、確定積分變量3、列出積分式子、列出積分式子( )( )dcAf yg y dy(1)由由c到到d，小到大（下到上），小到大（下到上）(2)被積函數(shù)是大減?。ㄓ覝p左）被積函數(shù)是大減?。ㄓ覝p左）例例3：計算由曲線：計算由曲線 與與y=x，y=2所圍成圖形的面積所圍成圖形的面積1yx11,1yxyx2221113lnln222yAydyyy例例4：計算：計算y=ex，y=ex與直線與直線x=1所圍成圖形的面積所圍成圖形的面積101102xxxxAeedxeeee 為積分變量，變化區(qū)間為為積分變量，變化區(qū)間

5、為二、極坐標(biāo)情形二、極坐標(biāo)情形曲線方程曲線方程 及射線及射線 ，所圍成的，所圍成的曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積A rr, , 212Ard曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積例例1：計算阿基米德螺線：計算阿基米德螺線 對應(yīng)對應(yīng) 從從0到到 所圍成圖形面積所圍成圖形面積0raa2222233200114263Aadaaxa 2oOx, ( )r, ()r例例2：雙紐線：雙紐線 所圍圖形的面積所圍圖形的面積22cos2ra224014cos22Aada 例例3：求心形線：求心形線 所圍圖形的面積所圍圖形的面積1 cos0raa2202202121cos212coscos32Aadadaxa2o ayox4

6、4例例4：求心形線：求心形線 與與 所圍圖形的面積所圍圖形的面積1 cos0raara222222221121cos2213224524Aaadaaaaaa2oxy二、旋轉(zhuǎn)體的體積二、旋轉(zhuǎn)體的體積由一平面圖形繞其所在平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周而由一平面圖形繞其所在平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體稱為成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體。這條直線叫做。這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸。設(shè)旋轉(zhuǎn)體是設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線y=f(x)，直線，直線x=a，x=b及及x軸所軸所圍成的曲邊梯形，繞圍成的曲邊梯形，繞x軸軸旋轉(zhuǎn)一周而成的體積公式為：旋轉(zhuǎn)一周而成的體積公式為： 2baVf xdx說明：說明：被積函數(shù)為圓柱被

7、積函數(shù)為圓柱體體積公式中的底面積體體積公式中的底面積( )yf xab 2baVf xdx例例1 1、求由曲線、求由曲線2yx ，x軸及直線軸及直線 x1 1所圍成的平面圖形繞所圍成的平面圖形繞x軸軸 旋轉(zhuǎn)一周所旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。得旋轉(zhuǎn)體的體積。 12112450001155Vxdxx dxx1（1，1）1設(shè)旋轉(zhuǎn)體是設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線y=f(x)，直線，直線x=a，x=b及及x軸所軸所圍成的曲邊梯形，繞圍成的曲邊梯形，繞x軸軸旋轉(zhuǎn)一周而成的體積公式旋轉(zhuǎn)一周而成的體積公式分析：要用使公式，公式中每一分析：要用使公式，公式中每一 個量具體是哪些？個量具體是哪些？ 2baVf x

8、dx例例2：求橢圓：求橢圓 圍成的平面圖形繞圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 而成的旋轉(zhuǎn)橢球體的體積。而成的旋轉(zhuǎn)橢球體的體積。22221xyab分析：此旋轉(zhuǎn)體可看成是由上半分析：此旋轉(zhuǎn)體可看成是由上半橢圓橢圓 與與x軸所圍成軸所圍成的圖形繞的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體。軸旋轉(zhuǎn)而成的立體。22byaxa222222202aaabbVaxdxax dxaa2322204233abxa xabaayxbox例例3：求由：求由 與與 所圍成的圖形繞所圍成的圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。222xyxyx分析：所求的旋轉(zhuǎn)體相當(dāng)于用用半球體減去圓錐體分析：所求的旋轉(zhuǎn)體相當(dāng)于用用半球體

9、減去圓錐體112200120222Vxxdxx dxxxdx13(0,0)(1,1)例例4：求由曲線：求由曲線y=x2，y=2-x2所圍成的平面圖形分別所圍成的平面圖形分別 繞繞x軸和軸和y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。分析：所求的旋轉(zhuǎn)體的體積相當(dāng)于在以兩曲線的交點分析：所求的旋轉(zhuǎn)體的體積相當(dāng)于在以兩曲線的交點 (1,1)，(1,1)作為邊界，曲線作為邊界，曲線y=2-x2繞繞x軸得到軸得到 的旋轉(zhuǎn)體減去曲線的旋轉(zhuǎn)體減去曲線y=2-x2繞繞x軸得到的旋轉(zhuǎn)體軸得到的旋轉(zhuǎn)體11224112xVxdxx dx120162443xdxxy設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線x=f(y)，直線，直線y=a，y=b及及y軸所軸所圍成的曲邊梯形，繞圍成的曲邊梯形，繞y軸旋