冪級(jí)數(shù)的收斂域

1、1第四節(jié)第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 1 1、定義：、定義：0,xI一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念0102001()()()()nnnuxu xuxux即為一數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)即為一數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).22 2、收斂點(diǎn)與收斂域：、收斂點(diǎn)與收斂域：3 3、和函數(shù)：、和函數(shù)：12( )( )( )( )nS xu xu xu xx收斂域33 3、和函數(shù)：、和函數(shù)：12( )( )( )( )nS xu xu xu xx收斂域顯然有顯然有,lim( )( ),nnSxS xx收斂域lim( )0,nnR xx收斂域12( )( )( )( )( )defnnnnR xS xSxuxux記稱為級(jí)數(shù)1( )nnu

2、x的則項(xiàng),余4求求級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnnxn)11()1(1 的的收收斂斂域域. 解解 將此級(jí)數(shù)看成是帶參數(shù)的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)處理將此級(jí)數(shù)看成是帶參數(shù)的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)處理,1|( )|lim|( )|nnnuxux11111lim|1 11nnnnxnx1|1|x, 1|1|1)1( x當(dāng)當(dāng),20時(shí)時(shí)或或即即 xx原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂., 1|1| x例例1 11lim1 |1|nnnx由達(dá)朗貝爾比值判別法，由達(dá)朗貝爾比值判別法，5, 1|1|1)2( x當(dāng)當(dāng), 1|1| x,02時(shí)時(shí)即即 x原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散.,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 1)1(nnn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收斂收斂;,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 11nn級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)

3、散;(, 2)0,). 故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? 1|1|)3( x當(dāng)當(dāng),20 xx或或求求級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnnxn)11()1(1 的的收收斂斂域域. 解解例例1 16二、冪級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)1 1、冪級(jí)數(shù)的定義、冪級(jí)數(shù)的定義nnnxxa)(00 nnxxaxxaa)()(0010010nnnnnaa xa xa x級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)稱為關(guān)于稱為關(guān)于 x 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù).(1)(1)(2)(2)(1)(1)與與(2)(2)可通過變換可通過變換 互相轉(zhuǎn)換互相轉(zhuǎn)換. .0txx72 2、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間.冪級(jí)數(shù)的收斂域具有如下冪級(jí)數(shù)的收斂域具有如下特點(diǎn)

4、特點(diǎn)：對(duì)于冪級(jí)數(shù)對(duì)于冪級(jí)數(shù), ,主要研究以下問題：主要研究以下問題：1 1、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑, ,收斂域收斂域( (區(qū)間區(qū)間) )；2 2、在收斂域、在收斂域( (區(qū)間區(qū)間) )上上, ,求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；3 3、給定一個(gè)函數(shù)、給定一個(gè)函數(shù), ,在指定區(qū)間上將它展開成冪級(jí)數(shù)；在指定區(qū)間上將它展開成冪級(jí)數(shù)；8( (1 1) ) 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(11 xxx處處收收斂斂, , 定理定理 ( (阿貝爾阿貝爾Abel定理定理) ) 則則它它在在滿滿足足不不等等式式|1xx 的的一一切切 x 處處絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂； x 1x1x收斂區(qū)域收斂

5、區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域O2x2x幾何解釋：幾何解釋：9( (1 1) ) 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(11 xxx處處收收斂斂, , 證明證明, 0lim 1 nnnxa, )1(01收斂收斂 nnnxa定理定理 ( (阿貝爾阿貝爾Abel定理定理) ) 則則它它在在滿滿足足不不等等式式|1xx 的的一一切切 x 處處絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂； ), 2 , 1 , 0(|1 nMxann使使得得, 0 M|11nnnnnnxxxaxa nnnxxxa|11 nxxM|1 10( (1 1) ) 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(11 xxx處處收收斂斂, , 定理定理

6、 ( (阿貝爾阿貝爾Abel定理定理) ) 則則它它在在滿滿足足不不等等式式|1xx 的的一一切切 x 處處絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂； |11nnnnnnxxxaxa nnnxxxa|11 nxxM|1 |,|1xx ,| 01收收斂斂等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnxxM, |0收收斂斂 nnnxa由比較判別法知由比較判別法知, , 證明證明 (1)(1)0();nnna x因此,級(jí)數(shù)絕對(duì) 收斂11( (1 1) ) 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(11 xxx處處收收斂斂, , 定理定理 ( (阿貝爾阿貝爾Abel定理定理) ) 則則它它在在滿滿足足不不等等式式|1xx 的的一一切切 x 處處絕絕對(duì)

7、對(duì)收收斂斂； 證明證明 , )2(2時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)xx 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)2xx 時(shí)時(shí)應(yīng)應(yīng)收收斂斂, 由由(1)的結(jié)論的結(jié)論,這與所設(shè)矛盾這與所設(shè)矛盾. . 12( (1 1) ) 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(11 xxx處處收收斂斂, , 定理定理 ( (阿貝爾阿貝爾Abel定理定理) ) 則則它它在在滿滿足足不不等等式式|1xx 的的一一切切 x 處處絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂； 2x 收斂收斂發(fā)散發(fā)散收斂收斂13x R R收斂區(qū)域收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域O幾何解釋：幾何解釋：正數(shù)正數(shù) R 稱為冪級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù) 的的收斂半徑收斂半徑.0nnna x 稱為冪級(jí)數(shù)

8、稱為冪級(jí)數(shù) 的的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.0nnna x(, )R R 的的收斂域收斂域：0nnna x(, ), , ),(, , R RR RR RR R之一之一14（1 1）僅僅在在0 x處處收收斂斂； （2 2）在整個(gè)數(shù)軸上均收斂；）在整個(gè)數(shù)軸上均收斂； 規(guī)定：規(guī)定：0,R ;收斂域 0, R收收斂斂域域 ),( . 問題：?jiǎn)栴}：如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?15則則冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa的的收收斂斂半半徑徑為為 設(shè)設(shè) |lim1nnnaa (或或 nnna |lim) 定理定理 , 00 , 0 , 1/R1lim| (0).nnnnaRaa直接地講，就是直接地講，就是1

9、lim(0).)| |nnnnRaa(或16證明證明0|nnna x對(duì)級(jí)數(shù)應(yīng)用比值判別法，|lim11nnnnnxaxa |lim1xaannn , | x (1) (1) 如果如果0 當(dāng)當(dāng) 1| x時(shí)時(shí), , 0nnnxa發(fā)發(fā)散散； 當(dāng)當(dāng) 1| x時(shí)時(shí), , 0nnnxa絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂； 故故0 時(shí)時(shí), , 1 R； |lim1nnnaa17, 0 )2( 如果如果.)(0收收斂斂絕絕對(duì)對(duì)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnxa; R收收斂斂半半徑徑, )3( 如如果果. 0 R收收斂斂半半徑徑證畢證畢.則對(duì)則對(duì)0 x, , 則對(duì)則對(duì)0 x, , 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 0nnnxa發(fā)散，發(fā)散， ,10 , |lim11n

10、nnnnxaxa |lim1xaannn |lim11nnnnnxaxa |lim1xaannn |lim1nnnaa18 例例2 2 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑和收斂域的收斂半徑和收斂域. . 1( 1) 2nnnnxn解解( 1) 20,nnnan1limnnnaRa122lim1nnnnn1lim2nnn12發(fā)散；發(fā)散；收斂；收斂；19例例3 3 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域. . 1(1)nnxn1(2)!nnxn121(4)( 1)()2nnnnxn1!(3)3nnnn x212(5)1(1)nnnnxn20例例3 3 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域

11、求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域. . 1 x時(shí)時(shí), , 1 x時(shí)時(shí), , 所所以以收收斂斂域域?yàn)闉?1, 1 . . (1)(1)1nnxn解解|lim1 nnnaaR，11lim nnn發(fā)散；發(fā)散；收斂收斂. .10,nan21一般地，一般地，1,npnxn(1)limppnnn若若1 p, , 收收斂斂域域?yàn)闉?, 1 ； 若若10 p, , 收收斂斂域域?yàn)闉?1, 1 ； 若若0 p, , 收收斂斂域域?yàn)闉?1, 1( . . |lim1 nnnaaR例例3 3 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域. . 1 x時(shí)時(shí), , 1,22例例3 3 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半

12、徑和收斂域求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域. . 1(2)!nnxn解解10,!nan111limlim !(1) !nnnnaRnnalim(1)nn ，23例例3 3 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域. . 1!(3)3nnnn x解解!0,3nnna 11!(1)!limlim33nnnnnnannRa3lim1nn0,24作業(yè)：作業(yè)：2241(2,3,7,10)P說明：題目中的收斂區(qū)間指的是收斂域，即端點(diǎn)是要說明：題目中的收斂區(qū)間指的是收斂域，即端點(diǎn)是要討論判斷的討論判斷的. .25122lim1 nnnnn，21 .)21(2)1(1nnnnxn ( (4)

13、4)解解nnn21lim |lim1 nnnaaR例例3 3 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域. . 1,2tx令11212( 1)()( 1)2nnnnnnnnxtnn則2( 1)0nnnan ，1,2t當(dāng)時(shí)1121( 1)( 1),2nnnnnnnn級(jí)數(shù)為收斂收斂1,2t 當(dāng)時(shí)11211( 1),2nnnnnnn級(jí)數(shù)為發(fā)散發(fā)散1,2xt 又故原級(jí)數(shù)的收斂半徑故原級(jí)數(shù)的收斂半徑1,2R 收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?0,1.(0,1.26例例3 3 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域. . 212(5)1(1)nnnnxn解解220,1(1)nnna

14、n1limnnnRa1(1)lim2nnne2e,2x當(dāng)時(shí)2211e2e211(1)(1)nnnnnnnnn級(jí)數(shù)為發(fā)散發(fā)散e,2x 當(dāng)時(shí)2211e2( 1) e211(1)(1)nnnnnnnnnn級(jí)數(shù)為發(fā)散發(fā)散所以收斂域?yàn)樗允諗坑驗(yàn)?e e(,)2 22ee1,0)11(1)(1)nnnnnn 故（知識(shí)回顧知識(shí)回顧0nnna x冪級(jí)數(shù)1、收斂半徑定義及計(jì)算收斂半徑定義及計(jì)算正數(shù)正數(shù)R 滿足：滿足：|xR時(shí)，0nnna x絕對(duì)收斂；|xR時(shí)，0nnna x發(fā)散；1lim|nnnaRa1lim)| |nnnRa(或(0)na 2 2、收斂區(qū)間，收斂域、收斂區(qū)間，收斂域收斂區(qū)間：收斂區(qū)間：(,

15、)R R收斂域：收斂域：(, )R R端點(diǎn)處的判斷討論計(jì)算公式計(jì)算公式：27缺一不可缺一不可28 例例4 4 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑和收斂域的收斂半徑和收斂域. . 2112nnnx解解常見錯(cuò)解常見錯(cuò)解10,2nna 1limnnnaRa12lim2,.2nnn分析：分析：2135231,=2222nnnxxxx事實(shí)上缺少偶次冪的項(xiàng)缺少偶次冪的項(xiàng)2112nna，20na ，不能用公式法求收斂半徑不能用公式法求收斂半徑, 用定義法求用定義法求.注注 若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù) 為缺項(xiàng)級(jí)數(shù)為缺項(xiàng)級(jí)數(shù)( (有無窮多項(xiàng)有無窮多項(xiàng) ) )0nnna x0na 則不能用公式法求其收斂半徑，必須用定義法求則不能

16、用公式法求其收斂半徑，必須用定義法求. . 29 例例4 4 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑和收斂域的收斂半徑和收斂域. . 2112nnnx解解 用定義法求收斂半徑用定義法求收斂半徑|)()(|lim1xuxunnn 21211lim22|nnnnnxx,|212x ,1212 x當(dāng)當(dāng),2|時(shí)時(shí)即即 x,1212 x當(dāng)當(dāng),2|時(shí)時(shí)即即 x,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,211 n級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為發(fā)散發(fā)散.所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)樗栽?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.2, 2( 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂；絕對(duì)收斂；2112nnnx級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 發(fā)散；發(fā)散；2112nnnx2.R 由定義，收斂半徑30 例例4 4 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑和收斂域的收斂半徑和收斂域. . 2112nnnx解解常見錯(cuò)誤常見錯(cuò)誤121,2ttnn令則21111222nttnntxx221122limlim.2tttnntaRa這里即使采用變換后這里即使采用變換后,仍然不能應(yīng)用公式求收斂半徑仍然不能應(yīng)用公式求收斂半徑.由于由于n取的是正整數(shù)值取的是正整數(shù)值,因此這里的因此這里的t仍然只能取奇數(shù)值，仍然只能取奇數(shù)值，故變換后的級(jí)數(shù)仍然是缺項(xiàng)級(jí)數(shù)故變換后的級(jí)