第三章 隨機(jī)過程

1、2022-6-1612022-6-162第三章 隨機(jī)過程載有信息的信號(hào)是不可預(yù)測的，具有某種隨機(jī)性。載有信息的信號(hào)是不可預(yù)測的，具有某種隨機(jī)性。噪聲干擾更是不可預(yù)測的。這些不可預(yù)測的信號(hào)噪聲干擾更是不可預(yù)測的。這些不可預(yù)測的信號(hào)和噪聲只能用隨機(jī)過程描述。和噪聲只能用隨機(jī)過程描述。信源模型、信道特性已經(jīng)在信息論中引入，本課信源模型、信道特性已經(jīng)在信息論中引入，本課程主要用隨機(jī)過程描述以及評估通信系統(tǒng)的性能。程主要用隨機(jī)過程描述以及評估通信系統(tǒng)的性能。本章將扼要復(fù)習(xí)通信系統(tǒng)所必需的內(nèi)容，即隨機(jī)本章將扼要復(fù)習(xí)通信系統(tǒng)所必需的內(nèi)容，即隨機(jī)過程的基本概念、統(tǒng)計(jì)特性及其通過線性系統(tǒng)的過程的基本概念、統(tǒng)計(jì)特

2、性及其通過線性系統(tǒng)的分析方法。分析方法。2022-6-1633.1 隨機(jī)過程的基本概念什么是隨機(jī)過程？什么是隨機(jī)過程？n隨機(jī)過程是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確隨機(jī)過程是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述。可從兩種不同角度看：切的時(shí)間函數(shù)描述?？蓮膬煞N不同角度看：角度角度1：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過程的集合。：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過程的集合。【例例】n臺(tái)示波器同時(shí)觀測并記錄這臺(tái)示波器同時(shí)觀測并記錄這n臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲波形臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲波形 n樣本函數(shù)樣本函數(shù) i (t)：隨機(jī)過程的一次：隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)，是確定的時(shí)間函數(shù)，是確定的時(shí)間函數(shù)n隨機(jī)

3、過程：隨機(jī)過程： (t) = 1 (t), 2 (t), , n (t) 是全部樣本函數(shù)的集合。是全部樣本函數(shù)的集合。2022-6-1643.1 隨機(jī)過程的基本概念角度角度2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。n在任一給定時(shí)刻在任一給定時(shí)刻t1上，每一個(gè)樣本函數(shù)上，每一個(gè)樣本函數(shù) i (t)都是一個(gè)確都是一個(gè)確定的數(shù)值定的數(shù)值 i (t1)，但是每個(gè)但是每個(gè) i (t1)都是不可預(yù)知的。都是不可預(yù)知的。n在一個(gè)固定時(shí)刻在一個(gè)固定時(shí)刻t1上，不同樣本的取值上，不同樣本的取值 i (t1), i = 1, 2, , n是一個(gè)隨機(jī)變量，記為是一個(gè)隨機(jī)變量，記為 (t1)。

4、n換句話說，隨機(jī)過程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量。換句話說，隨機(jī)過程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量。n因此，我們又可以把因此，我們又可以把隨機(jī)過程隨機(jī)過程看作是在時(shí)間進(jìn)程中處于看作是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合隨機(jī)變量的集合。n這個(gè)角度更適合對隨機(jī)過程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。這個(gè)角度更適合對隨機(jī)過程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。2022-6-1653.1.1 隨機(jī)過程的分布函數(shù)設(shè)設(shè) (t)表示一個(gè)隨機(jī)過程，則它在任意時(shí)刻表示一個(gè)隨機(jī)過程，則它在任意時(shí)刻t1的值的值 (t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函是一個(gè)隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。數(shù)或概率

5、密度函數(shù)來描述。隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (t)的的一維分布函數(shù)一維分布函數(shù)：隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (t)的的一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù)：若上式中的偏導(dǎo)存在的話。若上式中的偏導(dǎo)存在的話。 )(),(11111xtPtxF1111111),(),(xtxFtxf僅僅描述了隨僅僅描述了隨機(jī)過程在各個(gè)機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻上的孤立時(shí)刻上的統(tǒng)計(jì)特性，沒統(tǒng)計(jì)特性，沒有說明隨機(jī)過有說明隨機(jī)過程在不同時(shí)刻程在不同時(shí)刻取值之間的內(nèi)取值之間的內(nèi)在聯(lián)系。在聯(lián)系。2022-6-1663.1.1 隨機(jī)過程的分布函數(shù)隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (t) 的的二維分布函數(shù)二維分布函數(shù)：隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (t)的的二維概率密度函數(shù)二維概率密度

6、函數(shù)：若上式中的偏導(dǎo)存在的話。若上式中的偏導(dǎo)存在的話。 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (t) 的的n維分布函數(shù)維分布函數(shù)：隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (t) 的的n維概率密度函數(shù)維概率密度函數(shù)：221121212)(,)() ,;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxfnnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,)(,)(),;,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf，；，；，n越大，對越大，對隨機(jī)過程統(tǒng)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的描計(jì)特性的描述就越充分述就越充分2022-6-1673.1.2 隨機(jī)過程的數(shù)字特征在

7、大多數(shù)情況下，用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來部分地描述隨在大多數(shù)情況下，用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來部分地描述隨機(jī)過程的主要特性：機(jī)過程的主要特性：1、均值（數(shù)學(xué)期望）、均值（數(shù)學(xué)期望）在任意給定時(shí)刻在任意給定時(shí)刻t1的取值的取值 (t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值式中式中 f (x1, t1) (t1)的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)由于由于t1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把 t1 直接寫為直接寫為t， x1改為改為x，這，這樣上式就變?yōu)闃由鲜骄妥優(yōu)?11111),()(dxtxfxtEdxtxxftE),()(12022-6-1683.1.2 隨機(jī)過程的數(shù)字特征 (t)的均值是時(shí)

8、間的確定函數(shù)的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作，常記作a ( t )，它表示，它表示隨機(jī)過程的隨機(jī)過程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心 :dxtxxftE),()(1a (t )2022-6-1693.1.2 隨機(jī)過程的數(shù)字特征2 、方差、方差方差常記為方差常記為 2( t )。這里也把任意時(shí)刻。這里也把任意時(shí)刻t1直接寫成了直接寫成了t 。 因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?)()()(tatEtD )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatEtD均方值均方值均值平方均值平方所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過程在所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨

9、機(jī)過程在時(shí)刻時(shí)刻 t 對于均值對于均值a ( t )的偏離程度。的偏離程度。2022-6-16103.1.2 隨機(jī)過程的數(shù)字特征3、相關(guān)函數(shù)、相關(guān)函數(shù)式中，式中， (t1)和和 (t2)分別是在分別是在t1和和t2時(shí)刻觀測得到的隨機(jī)變時(shí)刻觀測得到的隨機(jī)變量?？梢钥闯觯??？梢钥闯?，R(t1, t2)是兩個(gè)變量是兩個(gè)變量t1和和t2的確定函數(shù)。的確定函數(shù)。4、協(xié)方差函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)式中式中 a( t1 ) a( t2 ) 在在t1和和t2時(shí)刻得到的時(shí)刻得到的 (t)的均值的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) (t)的二維概率密度函數(shù)。的二維概率密度函數(shù)。 2121212212121),

10、;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR 21212122211221121),;,()()( )()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB 衡量隨機(jī)過程在任意兩衡量隨機(jī)過程在任意兩個(gè)時(shí)刻上獲得的隨機(jī)變個(gè)時(shí)刻上獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度量之間的關(guān)聯(lián)程度2022-6-16113.1.2 隨機(jī)過程的數(shù)字特征 相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系若若a(t1) = a(t2)=0，則，則B(t1, t2) = R(t1, t2)4、互相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù) 式中式中 (t)和和 (t)分別表示兩個(gè)隨機(jī)過程。分別表示兩個(gè)隨機(jī)過程。 因此

11、，因此，R(t1, t2)又稱為自相關(guān)函數(shù)。又稱為自相關(guān)函數(shù)。 )()(),(),(212121tatattRttB)()(),(2121ttEttR2022-6-16123.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程3.2.1 平穩(wěn)隨機(jī)過程定義平穩(wěn)隨機(jī)過程定義n定義：定義：若一個(gè)隨機(jī)過程若一個(gè)隨機(jī)過程 (t)的任意有限維分布函數(shù)與的任意有限維分布函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，也就是說，對于任意的正整數(shù)，也就是說，對于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)和所有實(shí)數(shù)，有，有則稱該隨機(jī)過程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過則稱該隨機(jī)過程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱程，簡稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。),(),(21212121nnn

12、nnntttxxxftttxxxf；2022-6-16133.2.1 平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義性質(zhì)：性質(zhì)：平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而改變，即它的平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而改變，即它的一維分布函數(shù)與時(shí)間一維分布函數(shù)與時(shí)間t無關(guān)：無關(guān)：而二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔而二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔 = t2 t1有關(guān)：有關(guān)：數(shù)字特征：數(shù)字特征：)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxfadxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR 2022-6-16143.2.1 平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義結(jié)論

13、：平穩(wěn)隨機(jī)過程結(jié)論：平穩(wěn)隨機(jī)過程（1）其均值與其均值與t 無關(guān)，為常數(shù)無關(guān)，為常數(shù)a ；（2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔 有關(guān)有關(guān)。把同時(shí)滿足（把同時(shí)滿足（1）和（）和（2）的過程定義為）的過程定義為廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程。n顯然，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定顯然，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。成立。 在通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)可視在通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。因此，研究平穩(wěn)隨機(jī)過程有。因此，研究平穩(wěn)隨機(jī)過程有著很大的實(shí)際意義。著很大的實(shí)際意義。 2022-6-16153.2.

14、2 各態(tài)歷經(jīng)性n問題的提出：我們知道，隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均問題的提出：我們知道，隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)值、相關(guān)函數(shù)）是對隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測得大量的樣本，這計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測得大量的樣本，這樣，我們自然會(huì)提出這樣一個(gè)問題：能否樣，我們自然會(huì)提出這樣一個(gè)問題：能否從一次試從一次試驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)x(t)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢字特征呢?n回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一個(gè)有趣而又非常有用的特性，稱為一個(gè)

15、有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性”（又稱（又稱“遍歷性遍歷性”）。）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來代替任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來代替。 n下面，我們來討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。下面，我們來討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。2022-6-16163.2.2 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性的條件：各態(tài)歷經(jīng)性的條件： 設(shè)：設(shè)：x(t)是平穩(wěn)過程是平穩(wěn)過程 (t)的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本），的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本），則其時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別定義為：則其時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別定義為：

16、 2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa如果平穩(wěn)過程使下式成立如果平穩(wěn)過程使下式成立)()(RRaa則稱該平穩(wěn)過程具有則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。各態(tài)歷經(jīng)性。2022-6-16173.2.2 各態(tài)歷經(jīng)性n“各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)”的含義是：的含義是：隨機(jī)過程中的任一次實(shí)隨機(jī)過程中的任一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，。因此，在求解各種統(tǒng)計(jì)平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）在求解各種統(tǒng)計(jì)平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時(shí)，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考時(shí)，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考

17、察，用一次實(shí)現(xiàn)的察，用一次實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平均時(shí)間平均”值代替過程的值代替過程的“統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均”值即可，從而使測量和計(jì)算的問值即可，從而使測量和計(jì)算的問題大為簡化。題大為簡化。n具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。號(hào)和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。2022-6-16183.2.2 各態(tài)歷經(jīng)性例例3-1 設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為其中，其中，A和和 c均為常數(shù)；均為常數(shù)； 是在是在(0, 2)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)內(nèi)均勻

18、分布的隨機(jī)變量。試討論變量。試討論 (t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。 【解解】(1)先求先求 (t)的統(tǒng)計(jì)平均值：的統(tǒng)計(jì)平均值：數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0sinsincoscos22020dtdtAcc2022-6-16193.2.2 各態(tài)歷經(jīng)性n自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)n令令t2 t1 = ，得到，得到0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtA

19、tAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc可見，可見， (t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t 無關(guān)，無關(guān)，只與時(shí)間間隔只與時(shí)間間隔 有關(guān)，所以有關(guān)，所以 (t)是廣義平穩(wěn)過程。是廣義平穩(wěn)過程。2022-6-16203.2.2 各態(tài)歷經(jīng)性 (2) 求求 (t)的時(shí)間平均值的時(shí)間平均值220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222)22cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，有比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，

20、有因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。2022-6-16213.2.3 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)n平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：n平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)w (t)的平均功率的平均功率w 的偶函數(shù)的偶函數(shù)w R( )的上界的上界即自相關(guān)函數(shù)即自相關(guān)函數(shù)R( )在在 = 0有最大值。有最大值。w (t)的直流功率的直流功率w 表示平穩(wěn)過程表示平穩(wěn)過程 (t)的交流功率。的交流功率。當(dāng)均值為當(dāng)均值為0時(shí)，有時(shí)，有: R(0) = 2 。 )()0(2tER)()( RR)0()(RR22a)()(tER2)()0( RR tt

21、ER證明：證明：E(t)(t+)202022-6-16223.2.3 平穩(wěn)過程的功率譜密度定義：定義：n對于任意的確定功率信號(hào)對于任意的確定功率信號(hào)f (t)，它的功率譜密度定義為，它的功率譜密度定義為式中，式中，F(xiàn)T ( f )是是f (t)的截短函數(shù)的截短函數(shù)fT (t) 所對應(yīng)的頻譜函數(shù)所對應(yīng)的頻譜函數(shù)TfFmi lfPTTf2)()(2022-6-16233.2.3 平穩(wěn)過程的功率譜密度n對于平穩(wěn)隨機(jī)過程對于平穩(wěn)隨機(jī)過程 (t) ，可以把，可以把f (t)當(dāng)作是當(dāng)作是 (t)的一個(gè)樣的一個(gè)樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密

22、度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計(jì)平過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，故均，故 (t)的功率譜密度可以定義為的功率譜密度可以定義為TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(上式給出了平穩(wěn)過程上式給出了平穩(wěn)過程 (t)的功率譜密度的功率譜密度P (f)定義，但直接定義，但直接用它來計(jì)算功率譜密度并不簡單。用它來計(jì)算功率譜密度并不簡單。2022-6-16243.2.3 平穩(wěn)過程的功率譜密度功率譜密度的計(jì)算功率譜密度的計(jì)算n維納維納-辛欽關(guān)系辛欽關(guān)系非周期的功率型確知信號(hào)的非周期的功率型確知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換密

23、度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機(jī)過程。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機(jī)過程同樣成立，即有：同樣成立，即有：簡記為簡記為以上關(guān)系稱為以上關(guān)系稱為維納維納-辛欽辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機(jī)過程關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具，它是聯(lián)系的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPR2022-6-16253.2.3 平穩(wěn)過程的功率譜密度在維納在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：n對功率譜密度進(jìn)行積分，可得對功率譜密度進(jìn)行

24、積分，可得平穩(wěn)過程的總功率平穩(wěn)過程的總功率：上式從頻域的角度給出了過程平均功率的計(jì)算法。上式從頻域的角度給出了過程平均功率的計(jì)算法。n各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。功率譜密度。也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個(gè)過程的的譜特性。好地表現(xiàn)整個(gè)過程的的譜特性?！咀C證】因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的自相關(guān)函數(shù)，即自相關(guān)函數(shù)，即 兩邊取傅里葉變換：兩邊取傅里葉變換：即即式中式中 dffPR)()0()()(RR )()(RR

25、FF)()(fPfPf)()(fPR )(RfPf2022-6-16263.2.3 平穩(wěn)過程的功率譜密度n功率譜密度功率譜密度P ( f )具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即有具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即有和和這與這與R( )的實(shí)偶性相對應(yīng)。的實(shí)偶性相對應(yīng)。 0)(fP)()(fPfPTfFEmi lfPEfPTTf2)()()(2022-6-16273.2.3 平穩(wěn)過程的功率譜密度n 例例3-2 3-2 求隨機(jī)相位余弦波求隨機(jī)相位余弦波 ( (t t) = ) = A Acos(cos( c ct t + + ) )的自的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。【解解】在在 例例3-13-1中，我們已經(jīng)

26、考察隨機(jī)相位余弦波是一個(gè)中，我們已經(jīng)考察隨機(jī)相位余弦波是一個(gè)平穩(wěn)過程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為平穩(wěn)過程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為 因?yàn)槠椒€(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉因?yàn)槠椒€(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即有變換，即有 以及由于有以及由于有 所以，功率譜密度為所以，功率譜密度為 平均功率為平均功率為 cARcos2)(2)()(PR)()(cosccc)()(2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRS2022-6-16283.3 高斯隨機(jī)過程3.3.1 定義定義如果隨機(jī)過程如果隨機(jī)過程 (t)的任意的任意n維（維（n =1,2,.）分布均服從正）分布均服從正態(tài)分布，則

27、稱它為正態(tài)過程或高斯過程。態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：正態(tài)隨機(jī)過程正態(tài)隨機(jī)過程njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；式中式中22)(),(kkkkkatEtEa2022-6-16293.3 高斯隨機(jī)過程式中式中n n|B| 歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即 n|B|jk 行列式行列式|B|中元素中元素bjk的代數(shù)余因子的代數(shù)余因子n bjk 為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即 22)(),(kkkkkatE

28、tEa11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)()(njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；2022-6-16303.3.2 高斯隨機(jī)過程重要性質(zhì)由高斯過程的定義式可以看出，由高斯過程的定義式可以看出，高斯過程的高斯過程的n維分布只依維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對。因此，對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的廣義平穩(wěn)的高斯

29、過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因?yàn)?，若高斯過程是。因?yàn)?，若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間廣義平穩(wěn)的，即其均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，則它的間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，則它的n維分布也與時(shí)間維分布也與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義起點(diǎn)無關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；2022-6-16313.3.2 高斯隨機(jī)過程重要性質(zhì)如果高斯過程在不同時(shí)刻的

30、取值是不相關(guān)的，那么它們也如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的證明：如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，即對證明：如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，即對所有所有j k，有，有bjk =0，則其概率密度可以簡化為，則其概率密度可以簡化為:高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也可高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也可以說，以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程斯過程。),.,;,.,(2121nnntttxxxfnax1k2k2kkk2)(exp21),(),(),(

31、2211nntxftxftxf2022-6-16323.3.3 高斯隨機(jī)變量高斯過程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，高斯過程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為 式中式中a 均值均值 2 方差方差曲線如右圖：曲線如右圖：221()( )exp22xaf x2022-6-16333.3.3 高斯隨機(jī)變量性質(zhì)性質(zhì)nf (x)對稱于直線對稱于直線 x = a，即，即n a表示分布中心，表示分布中心， 稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖形將隨著形將隨著 的減小而變高和變窄。當(dāng)?shù)臏p小

32、而變高和變窄。當(dāng)a = 0和和 = 1時(shí)，時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布：稱為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布：xafxaf1)(dxxfaadxxfdxxf21)()(21( )exp22xf x2022-6-16343.3.3 高斯隨機(jī)變量正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)這個(gè)積分的值無法用閉合形式計(jì)算，通常利用其他特殊函這個(gè)積分的值無法用閉合形式計(jì)算，通常利用其他特殊函數(shù)，用查表的方法求出：數(shù)，用查表的方法求出：用誤差函數(shù)用誤差函數(shù) erf (x) 表示正態(tài)分布函數(shù)：令表示正態(tài)分布函數(shù)：令 則有則有 及及 式中式中: 誤差函數(shù)，可以查表求出其值。誤差函數(shù)，可以查表求出其值。221()( )()exp22xzaF xPx

33、dz2/ )(aztdtdz22() /2( )22121122xatF xedtxaerf202( )xterf xedt20011;aatedt2022-6-16353.3.3 高斯隨機(jī)變量用互補(bǔ)誤差函數(shù)用互補(bǔ)誤差函數(shù) erfc (x) 表示正態(tài)分布函數(shù)：表示正態(tài)分布函數(shù)：式中：式中：當(dāng)當(dāng)x 2時(shí)，時(shí)，2211)(axerfcxF22( )1( )txerfc xerf xedt 21( )xerfc xex22() /2() /21212( )(1)22xattxaF xedte2022-6-16363.3.3 高斯隨機(jī)變量nQ函數(shù)定義：函數(shù)定義：nQ函數(shù)和函數(shù)和 erfc 函數(shù)的關(guān)系：

34、函數(shù)的關(guān)系：nQ函數(shù)和分布函數(shù)函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：的關(guān)系：nQ函數(shù)值也可以從查表得到。函數(shù)值也可以從查表得到。2/21( )2txQ xedt221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(22( )1( )txerfc xerf xedt 2022-6-16373.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)確知信號(hào)通過線性系統(tǒng)：確知信號(hào)通過線性系統(tǒng)：式中式中 vi 輸入信號(hào)，輸入信號(hào)， vo 輸出信號(hào)輸出信號(hào)對應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系：對應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系：隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)：隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)：n其中：其中： i(t) 是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)過程，是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)

35、過程，求輸出過程求輸出過程 o(t)的統(tǒng)計(jì)特性，即它的均值的統(tǒng)計(jì)特性，即它的均值a 、自相關(guān)函、自相關(guān)函數(shù)數(shù)Ri( ) 、功率譜、功率譜Pi( )以及概率分布。以及概率分布。dtvhtvthtvii)()()()()(0)f ()f ()f (0iVHVdthti)()()(0隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的分析，建立在確知信號(hào)通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的分析，建立在確知信號(hào)通過線性系統(tǒng)的分析基礎(chǔ)之上的。的分析基礎(chǔ)之上的。2022-6-16383.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)1 1、輸出過程的均值、輸出過程的均值 對下式兩邊取統(tǒng)計(jì)平均：對下式兩邊取統(tǒng)計(jì)平均： 得到得到 設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的，則有設(shè)輸

36、入過程是平穩(wěn)的，則有 式中，式中，H(0)H(0)是線性系統(tǒng)在是線性系統(tǒng)在f=0f=0處的頻率響應(yīng)，因此，輸出過處的頻率響應(yīng)，因此，輸出過程的均值是一個(gè)常數(shù)。程的均值是一個(gè)常數(shù)。dthti)()()(0dtEhdthEtEii)()()()()(0atEtEii)()()0()()(0HadhatE2022-6-16393.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2 2、輸出過程的自相關(guān)函數(shù)、輸出過程的自相關(guān)函數(shù) 根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義 根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有 于是于是 上式表明，上式表明，輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間間隔輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間間隔 的函數(shù)

37、的函數(shù)。 由上兩式可知，由上兩式可知，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的平穩(wěn)的。ddttEhhdthdthEttEttRiiii)()()()()()()()()()(),(11111010110 )()()(11iiiRttE)()()()(),(0110RddRhhttRi 2022-6-16403.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)3 3、輸出過程的功率譜密度、輸出過程的功率譜密度 對式對式 進(jìn)行傅里葉變換進(jìn)行傅里葉變換 令令 = + - ，代入上式，得到，代入上式，得到即即)()()()(),(0110RddRhhttRi deRfPj)()(00

38、deddRhhji)()()( 0)()()()(deRdehdehfPjijj)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPii結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。應(yīng)用：由應(yīng)用：由Po( f )的反傅里葉變換求的反傅里葉變換求Ro( ) 2022-6-16413.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)4、輸出過程的概率分布、輸出過程的概率分布如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。出過程也是高斯型的。 因?yàn)閺姆e分原

39、理看：因?yàn)閺姆e分原理看： 可以表示為：可以表示為：由于已假設(shè)由于已假設(shè) i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一時(shí)刻上都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時(shí)刻時(shí)刻上都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時(shí)刻上得到的隨機(jī)變量就是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。由概率上得到的隨機(jī)變量就是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。由概率論理論得知，這個(gè)論理論得知，這個(gè)“和和” 也是高斯隨機(jī)變量，因而輸出過也是高斯隨機(jī)變量，因而輸出過程也為高斯過程。程也為高斯過程。注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了

40、。了。kkkkihttk)()(lim)(000dthti)()()(02022-6-16423.5 窄帶隨機(jī)過程什么是窄帶隨機(jī)過程？什么是窄帶隨機(jī)過程？ 若隨機(jī)過程若隨機(jī)過程 (t)的譜密度集中在中心頻率的譜密度集中在中心頻率fc附近相對窄的頻附近相對窄的頻帶范圍帶范圍 f 內(nèi)，即滿足：內(nèi)，即滿足： f fc 的條件，且的條件，且 fc 遠(yuǎn)離零頻遠(yuǎn)離零頻率，則稱該率，則稱該 (t)為窄帶隨機(jī)過程。為窄帶隨機(jī)過程。窄帶隨機(jī)過程的表示式窄帶隨機(jī)過程的表示式式中，式中，a a (t) (t) 隨機(jī)包絡(luò)，隨機(jī)包絡(luò)， ( (t t) ) 隨機(jī)相位隨機(jī)相位 c c 中心角頻率中心角頻率0)(,)(cos

41、)()(tatttatc2022-6-16433.5 窄帶隨機(jī)過程典型的窄帶隨機(jī)過程的譜密度和樣本函數(shù)典型的窄帶隨機(jī)過程的譜密度和樣本函數(shù) 0)(,)(cos)()(tatttatc顯然顯然a (t)和和 (t)的變化相對于載波的變化相對于載波cos ct的變化要緩慢得多。的變化要緩慢得多。2022-6-16443.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程表示式展開窄帶隨機(jī)過程表示式展開可以展開為可以展開為式中式中 (t)的的同相分量同相分量 (t)的的正交分量正交分量0)(,)(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttat

42、s 可以看出：可以看出： (t)的統(tǒng)計(jì)特性由的統(tǒng)計(jì)特性由a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確的統(tǒng)計(jì)特性確定。定。 若若 (t)的統(tǒng)計(jì)特性已知，則的統(tǒng)計(jì)特性已知，則a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。計(jì)特性也隨之確定。 2022-6-16453.5.1 c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望：對下式求數(shù)學(xué)期望：對下式求數(shù)學(xué)期望：得到：得到： 因?yàn)橐驗(yàn)?(t)平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時(shí)間平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時(shí)間t，都，都有有E (t) = 0 ，所以，所以 tttttcsccsin)(cos)()(ttEttEt

43、csccsin)(cos)()(E0)(0)(tEtEsc，假設(shè)假設(shè) (t)是一個(gè)平穩(wěn)高斯窄帶過程是一個(gè)平穩(wěn)高斯窄帶過程2022-6-16463.5.1 c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 由自相關(guān)函數(shù)的定義式由自相關(guān)函數(shù)的定義式式中：式中：因?yàn)橐驗(yàn)?(t)是平穩(wěn)的，故有：是平穩(wěn)的，故有：可以證明：可以證明：)()(),(ttEttR)(sinsin),()(cossin),()(sincos),()(coscos),(ttttRttttRttttRttttRccsccsccccsccc)()(),()()(),()()(),()()(),(ttEttRttEttRttEttRt

44、tEttRssscsscsccsccc)(),(RttRccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()(若窄帶過程若窄帶過程 (t)是平穩(wěn)的，則是平穩(wěn)的，則 c(t)和和 s(t)也也必然是平穩(wěn)的。必然是平穩(wěn)的。t=0t=/(2c)ccsccttRttRRsin),(cos),()(csccsttRttRRsin),(cos),()(tttttcsccsin)(cos)()(2022-6-16473.5.1 c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)一步分析以下兩式進(jìn)一步分析以下兩式應(yīng)同時(shí)成立，故有應(yīng)同時(shí)成立，故有 同相分量同相分量 c(t) 和正交分量和正交分量 s(t)

45、具有相同的自相關(guān)函數(shù)。具有相同的自相關(guān)函數(shù)。根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有代入上式，得到代入上式，得到上式表明上式表明Rsc( )是是 的奇函數(shù)，所以的奇函數(shù)，所以同理可證同理可證 ccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()()()(scRR)()(sccsRR)()(sccsRR)()(scscRR0)0(scR0)0(csR2022-6-16483.5.1 c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性在在 中中令令 0 并利用并利用 可得：可得：即即上式表明：上式表明： (t) 、 c(t)和和 s(t)具有相同的平均功率或方差。具有相同的平均功率

46、或方差。 csccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRRsin)(cos)()(0)0(scR0)0(csR)0()0()0(scRRR222sc2022-6-16493.5.1 c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式無關(guān)，故由式 得到得到因?yàn)橐驗(yàn)?(t)是高斯過程是高斯過程，所以，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯隨一定是高斯隨機(jī)變量，從而機(jī)變量，從而 c(t) 、 s(t)也是高斯過程也是高斯過程。根據(jù)根據(jù)可知，可知， c(t) 與與 s(t)在在 = 0處互不相關(guān)，又由于它們是高處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的

47、，因此斯型的，因此 c(t) 與與 s(t)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 tttttcsccsin)(cos)()()()(,0111ttttc時(shí))()(,2222ttttsc時(shí)0)0(csR2022-6-16503.5.1 c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性n結(jié)論：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程 (t) ，它的同相分量它的同相分量 c(t)和正交分量和正交分量 s(t)同樣是平穩(wěn)同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值為零，方差也相同。此外，高斯過程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時(shí)刻上得到的在同一時(shí)刻上得到的 c和和 s是互不相關(guān)的或統(tǒng)是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。計(jì)獨(dú)

48、立的。2022-6-16513.5.2 a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性聯(lián)合概率密度函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)f (a , )由上面可得：由上面可得：根據(jù)概率論知識(shí)有：根據(jù)概率論知識(shí)有：由由可以求得：可以求得：),()(),(),(,afafscscsincosaasc),()(,ascscscaaaaacossinsincos則：則： 式中：式中：a a 0, 0, = (0 , 2 = (0 , 2) )22222)sin()cos(exp2),(),(aaafaafsc2222exp2aa 22222exp21),(scscscfff2022-6-16523.5.2 a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性a 的

49、一維概率密度函數(shù)的一維概率密度函數(shù) 可見，可見， a 服從瑞利服從瑞利(Rayleigh)分布。分布。 的一維概率密度函數(shù)的一維概率密度函數(shù) 可見，可見， 服從均勻分布。服從均勻分布。202222exp2),()(daadafaf02exp222aaa20212exp21),()(02220daaadaaff2022-6-16533.5.2 a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性結(jié)論結(jié)論一個(gè)均值為零，方差為一個(gè)均值為零，方差為 2的窄帶平穩(wěn)高斯過程的窄帶平穩(wěn)高斯過程 (t)，其包絡(luò)，其包絡(luò)a (t)的一維分布是瑞利分布，相位的一維分布是瑞利分布，相位 (t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而的一維分布

50、是均勻分布，并且就一維分布而言，言， a (t)與與 (t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 ，即有，即有 )()(),(fafaf2022-6-16543.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲的混合信號(hào)為：正弦波加窄帶高斯噪聲的混合信號(hào)為：式中：式中： 窄帶高斯噪聲窄帶高斯噪聲 正弦波的隨機(jī)相位，均勻分布在正弦波的隨機(jī)相位，均勻分布在02 間間 A和和 c 確知振幅和角頻率確知振幅和角頻率于是有于是有式中式中)()cos()(tntAtrcttnttntncsccsin)(cos)()()(cos)(sin)(cos)(sin)(sincos)(cos)(tttzttzttzttnAttnA

51、trccScccscc)(cos)(tnAtzcc)(sin)(tnAtzss2022-6-16553.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位表示式正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位表示式包絡(luò)：包絡(luò)：相位：相位：我們最為關(guān)心的是我們最為關(guān)心的是r(t)的包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性的包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性0,)()()(22ztztztzsc)20(,)()()(1tztztgtcs2022-6-16563.6 正弦波加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的概率密度函數(shù)包絡(luò)的概率密度函數(shù) f (z)利用上一節(jié)的結(jié)果，如果利用上一節(jié)的結(jié)果，如果 值已給定，則值已給定，則zc、zs是相互獨(dú)立是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)

52、變量的高斯隨機(jī)變量，且有：，且有： 所以，在給定相位所以，在給定相位 的條件下的的條件下的zc和和zs的聯(lián)合概率密度函的聯(lián)合概率密度函數(shù)為數(shù)為222sincosnscscAzEAzE2222)sin()cos(21exp21)/,(AzAzzzfscnnsc)(cos)(tnAtzcc)(sin)(tnAtzss2022-6-16573.6 正弦波加窄帶高斯噪聲 利用與上一節(jié)分析利用與上一節(jié)分析a 和和 相似的方法，根據(jù)相似的方法，根據(jù)zc，zs與與z， 之之間的隨機(jī)變量關(guān)系間的隨機(jī)變量關(guān)系可以求得在給定相位可以求得在給定相位 的條件下的的條件下的z與與 的聯(lián)合概率密度函數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)然

53、后求給定條件下的邊界分布，然后求給定條件下的邊界分布， 即即sincoszzzzsc)/,()/,(sczzfzf)()(z,zzsc,)/,(sczzfz)cos(221exp22222AzAzznndAzAzzdzfzfnnn)cos(exp2exp2)/,()/(2202222202022-6-16583.6 正弦波加窄帶高斯噪聲由于由于故有故有式中：式中：I0(x) 第一類零階修正貝塞爾函數(shù)第一類零階修正貝塞爾函數(shù)因此因此由上式可見，由上式可見，f ( , z)與與 無關(guān)，故包絡(luò)無關(guān)，故包絡(luò)z的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 稱為稱為廣義瑞利分布廣義瑞利分布，又稱，又稱萊斯萊斯（Ric

54、e）分布。）分布。 )(cosexp21020 xIdx20220)cos(exp21nnAzIdAz202222)(21exp)/(nnnAzIAzzzf0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnn2022-6-16593.6 正弦波加窄帶高斯噪聲0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnn討論討論n當(dāng)信號(hào)很小時(shí)，即當(dāng)信號(hào)很小時(shí)，即A 0時(shí)，上式中時(shí)，上式中(Az/ n2)很小，很小，wI0 (Az/ n2) 1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。n當(dāng)當(dāng)(Az/ n2)很大時(shí)，有很大時(shí)，有w這時(shí)上式近似為高斯分布，即這時(shí)上式近似為高斯分布，即xexIx2)(0222)(exp21)(nnAzzf2022-6-16603.6 正弦波加窄帶高斯噪聲n包絡(luò)概率密度函數(shù)包絡(luò)概率密度函數(shù) f (z)曲線曲線2022-6-166