無限長單位脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器的設(shè)計方法

1、第四章第四章 無限長單位脈沖響應(yīng)無限長單位脈沖響應(yīng)（IIRIIR）濾波器濾波器的的設(shè)計設(shè)計方法方法 c c有用無用 c1000)(jeX)(jeH)(jeY4.1 4.1 濾波器的基本原理濾波器的基本原理 DFDF是一種具有是一種具有頻率選擇性頻率選擇性的離散線性系統(tǒng)。的離散線性系統(tǒng)。 數(shù)字濾波器的功能（本質(zhì)）是將一組數(shù)字濾波器的功能（本質(zhì)）是將一組輸入的數(shù)字序輸入的數(shù)字序列列通過一定的運(yùn)算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M通過一定的運(yùn)算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列輸出的數(shù)字序列。 數(shù)字濾波器的設(shè)計是確定其數(shù)字濾波器的設(shè)計是確定其系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)并實(shí)現(xiàn)的過程并實(shí)現(xiàn)的過程。MiNiiiinybinxany01)()

2、()(NMzdzcAzbzaZHNiiMiiNiiiMiii一般111110)1 ()1 (1)(4.1.1濾波器的分類濾波器的種類很多，分類方法也不同。濾波器的種類很多，分類方法也不同。1.1.從功能上分：低、帶、高、帶阻。從功能上分：低、帶、高、帶阻。2.2.從實(shí)現(xiàn)方法上分：從實(shí)現(xiàn)方法上分： FIRFIR、IIRIIR連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的各種連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的各種幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)的對比的對比00000000s/2s/2s/2ss/2sss(b)(a)| )(|jH| )(|jH| )(|jH| )(|jH2s)(jeH)(jeH)(jeH)(jeH0|H(ej)|ss/22swc|H(e

3、jw)|X(ejw)|wwc有用無用|Y(ejw)|wwc數(shù)字濾波器的理想幅頻特性數(shù)字濾波器的理想幅頻特性LPDFHPDFBPDFBSDF2)(jweH.23.)(jweH2.)(jweH.2)(jweHi 3 3）數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)。包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)）數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)。包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu), , 選擇運(yùn)選擇運(yùn)算和存儲的字長等算和存儲的字長等( (第六章第六章) )。 數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟P141P141：1 1）按照實(shí)際需要確定濾波器的性能要求。（濾除、）按照實(shí)際需要確定濾波器的性能要求。（濾除、保留哪些頻率成分，保留部分允許多大失真等）保留哪些頻率成分，保留部分允許多大失真等

4、）2 2）用一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)的）用一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)的 H(z) H(z) 或或 h(n) h(n) 去逼近這去逼近這個性能要求，即求個性能要求，即求 h(n) h(n) 的表達(dá)式。的表達(dá)式。( (第四五章第四五章) )4.1.2 可實(shí)現(xiàn)濾波器的特性可實(shí)現(xiàn)濾波器的特性 (低通為例）低通為例）)(jeH)(sjeHp通帶邊界頻率通帶邊界頻率 p 阻帶邊界頻率阻帶邊界頻率s通帶波動通帶波動A Ap p4) 4) 最小阻帶衰減最小阻帶衰減 A As ss)(pjeH)()(lg20)()(lg20dBeHAsdBeHApspjj001020()120lg20lg()20lg()1()()120lg20

5、lg()20lg()()1jjwpjwpjjwsjwsjH eApH edBH eH eAsH edBH eH e式中均假定：（ ）wswp21-11ApAsw|H(ejw)|高通濾波器的性能指標(biāo)高通濾波器的性能指標(biāo)fswsfpwp1ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)|通帶截止頻率：通帶截止頻率：fp(wp)通帶衰減：通帶衰減：Ap阻帶截止頻率阻帶截止頻率：fp(ws) 阻帶衰減：阻帶衰減：As帶通濾波器的性能指標(biāo)帶通濾波器的性能指標(biāo)fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)|通帶截止頻率：上限截止通帶截止頻率：上限截止頻率頻率fp2(wp2)，下限截止頻下限截止

6、頻率率fp1(wp1)。通帶衰減：通帶衰減：Ap阻帶截止頻率阻帶截止頻率：上限截止上限截止頻率頻率fs2(ws2)，下限截止頻下限截止頻率率fs1(ws1)。阻帶衰減：阻帶衰減：Asfp2wp2fs2ws2帶阻濾波器的性能指標(biāo)帶阻濾波器的性能指標(biāo)fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)|通帶截止頻率：上限截止通帶截止頻率：上限截止頻率頻率fp2(wp2)，下限截止頻下限截止頻率率fp1(wp1)。通帶衰減：通帶衰減：Ap阻帶截止頻率阻帶截止頻率：上限截止上限截止頻率頻率fs2(ws2)，下限截止頻下限截止頻率率fs1(ws1)。阻帶衰減：阻帶衰減：Asfp2wp2fs

7、2ws22 2）最優(yōu)化設(shè)計方法最優(yōu)化設(shè)計方法 首先確定一種最優(yōu)準(zhǔn)則，使設(shè)計出的實(shí)際頻率首先確定一種最優(yōu)準(zhǔn)則，使設(shè)計出的實(shí)際頻率響應(yīng)的幅度特性響應(yīng)的幅度特性 與所要求的理想頻率響與所要求的理想頻率響應(yīng)應(yīng) 在該準(zhǔn)則下誤差最小。在該準(zhǔn)則下誤差最小。| )(|jeH| )(|jdeHIIRIIR濾波器設(shè)計方法濾波器設(shè)計方法P143P143： 1 1）先設(shè)計一個合適的模擬濾波器，然后變換成滿）先設(shè)計一個合適的模擬濾波器，然后變換成滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。 00|H(ej)|ss/2| )(|jH2s由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器步驟由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器步驟 1、數(shù)字濾波器的技

8、術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器指標(biāo) 2、由模擬濾波器指標(biāo)設(shè)計模擬濾波器(4.2) 3、映射實(shí)現(xiàn)：從模擬濾波器再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器(4.3)4.2 模擬模擬濾波器設(shè)計方法（低通）濾波器設(shè)計方法（低通） 模擬濾波器的設(shè)計就是根據(jù)一組設(shè)計規(guī)范設(shè)計模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近某個理想濾波器特性。0()( )jtaaHjh t edt 0()( ) cossinaaHjh ttjt dt ()()aaHjHj 因果系統(tǒng)中因果系統(tǒng)中,如果系統(tǒng)的沖激響應(yīng)ha(t) 是實(shí)函數(shù)不難看出不難看出)()(jHjHaa)()()()()()()()(22sHsHsHjHjHjHjHjHaaaaaaaa2)( jHa若若sp

9、是是Ha(s)的極點(diǎn)，則的極點(diǎn)，則-sp是是Ha(-s)的極點(diǎn)的極點(diǎn)若若so是是Ha(s)的零點(diǎn)，則的零點(diǎn)，則-so是是Ha(-s)的零點(diǎn)的零點(diǎn)思考：如果已知振幅平方函數(shù)思考：如果已知振幅平方函數(shù) 如何求系統(tǒng)函數(shù)如何求系統(tǒng)函數(shù) ？)(sHa定義振幅平方函數(shù)問題：由問題：由A(2) 求求Ha(S) 先把先把2換成換成-S2即即A(2)變?yōu)樽優(yōu)锳(-S2) = |Ha(S)|2= Ha(S) Ha(-S) 為了保證為了保證HaHa( (s s) )的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性, ,再把再把A A(-(-S S2 2) )在在S S左半平面的極點(diǎn)左半平面的極點(diǎn)作為作為HaHa( (s s) )的極點(diǎn)，零點(diǎn)可選用

10、任一半。的極點(diǎn)，零點(diǎn)可選用任一半。22)()(jHAa(4.5)NcajjjHA22211)()(N N為濾波器階數(shù)， c c ：邊界頻率邊界頻率或3dB3dB截止頻率截止頻率其幅度平方函數(shù)：其幅度平方函數(shù)：三種模擬低通濾波器的設(shè)計（三種模擬低通濾波器的設(shè)計（4.2.1，4.2.2，4.2.3）：）：4.2.1 4.2.1 巴特沃思巴特沃思 (Butterworth(Butterworth）濾波器）濾波器/1lg10)(lg10)(lg20/1lg10)(lg10)(lg202222NcssssNcppppjHjHAjHjHA圖圖4.4 4.4 巴特沃思濾波器幅度平方函數(shù)巴特沃思濾波器幅度平方

11、函數(shù)理想低通特性理想低通特性 N增加，增加，通帶和通帶和阻帶的阻帶的近似性近似性越好，越好，過渡帶過渡帶越陡越陡3dB衰減點(diǎn)衰減點(diǎn)特點(diǎn)：具有通帶內(nèi)最大平坦的特點(diǎn)：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨振幅特性，且隨ff，幅頻特，幅頻特性單調(diào)性單調(diào)。 NcajjjHA22211)()(振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)：振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)： 令分母為零，得令分母為零，得 可見，可見，ButterworthButterworth濾波器濾波器 的振幅平方函數(shù)有的振幅平方函數(shù)有2N2N個極點(diǎn)，它們均勻?qū)ΨQ地分布在個極點(diǎn)，它們均勻?qū)ΨQ地分布在|S|=|S|=c c的圓周上。的圓周上。 21()()1()aaNcHSHSSj

12、12(1)()NPcSjNcajjjHA22211)()(圖圖4.5 4.5 三階三階A(-SA(-S2 2) )的極點(diǎn)分布的極點(diǎn)分布例：為例：為N=3N=3階振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)分布，如圖階振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)分布，如圖3254323jcpcpjcpesses)()()(5433pppcasssssssH 令 ，得歸一化的三階BF： 如果要還原的話，則有)()()(5433pppcasssssssHcss/1221)(23ssssHa1)/(2)/(2)/(1)(23cccassssH3254323jcpcpjcpeSSeS3254323/1/jcpcpjcpeSSeS低階巴特沃思濾波器H(s)

13、 (歸一化) 11)(1ssHN)(2sHN1221)(323ssssHN1212ss21()()1()aaNcHSHSSjNcajjjH2211)()(11)()(2222cNaVjHAc有效通帶截止頻率有效通帶截止頻率與通帶波動有關(guān)的參量，與通帶波動有關(guān)的參量， 大大 ，波紋大。，波紋大。 0 1 VN（x）N階切比雪夫多項(xiàng)式階切比雪夫多項(xiàng)式P111特點(diǎn)：通帶等波動振幅特性4.2.2切比雪夫（chebyshev）濾波器22011)(jHa1)(02jHa圖圖4.6 切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù)切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù)迅速趨于迅速趨于0N越大，越陡越大，越陡1101.02)(dB有關(guān)參數(shù)

14、的確定有關(guān)參數(shù)的確定: a、通帶截止頻率、通帶截止頻率c ，預(yù)先給定，預(yù)先給定 b、給定通帶波紋、給定通帶波紋 ，可求，可求c、階數(shù)、階數(shù)N由阻帶的邊界條件確定。由阻帶的邊界條件確定。（ 、A事先給定） r)/cosh(/1cosh(2crarAarN)(11)()(2222cNaVjHA圖圖4.8 4.8 橢圓濾波器幅度平方函數(shù)橢圓濾波器幅度平方函數(shù)),(11)()(2222LRjHANa特點(diǎn)：特點(diǎn)：幅值響應(yīng)在通帶和幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的阻帶內(nèi)都是等波紋的4.2.3橢圓濾波器橢圓濾波器 橢圓濾波器（考爾濾波器）對于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過渡

15、帶寬，就這點(diǎn)而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。其振幅平方函數(shù)為其振幅平方函數(shù)為RN（，L）雅可比橢圓函數(shù)雅可比橢圓函數(shù)L表示波紋性質(zhì)的參量表示波紋性質(zhì)的參量),(11)()(2222LRjHANa 一般，相同指標(biāo)下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。 參數(shù)靈敏度：巴特沃思最佳（最不靈敏），切比雪夫次之，橢圓最差（最靈敏）。 4.2 要點(diǎn)要點(diǎn) 會從已知的會從已知的A（2 ）or 求對應(yīng)的求對應(yīng)的Ha (s) 知道哪三種常用模擬濾波器，每種模擬濾波器的知道哪三種常用模擬濾波器，每種模擬濾波器的幅值響應(yīng)的特點(diǎn)，并對三種濾波器的階次和參數(shù)幅值響應(yīng)的特點(diǎn)，并對三種濾波器的階

16、次和參數(shù)靈敏度進(jìn)行比較靈敏度進(jìn)行比較 已知已知N和和c ，會求低通巴特沃思濾波器的，會求低通巴特沃思濾波器的Ha (s)，并進(jìn)一步用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法求對并進(jìn)一步用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法求對應(yīng)的應(yīng)的H(z) （next lesson）2)(jHa4.3 根據(jù)模擬濾波器設(shè)計根據(jù)模擬濾波器設(shè)計IIR濾波器濾波器 從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)H Ha a(s)(s) 設(shè)計數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)設(shè)計數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)H H（z z），）， 這歸根到底是一個由這歸根到底是一個由S S平面到平面到Z Z平面平面的變換，的變換， 這種映射變換應(yīng)遵循這種映射變換應(yīng)遵循兩個基

17、本原則兩個基本原則 ：1 1）H(z)H(z)的頻響要能模仿的頻響要能模仿H Ha a(s)(s)的頻響，即的頻響，即S S平面的虛軸應(yīng)映平面的虛軸應(yīng)映射到射到Z Z平面的單位圓平面的單位圓 上。上。 2 2）H Ha a(s) (s) 的因果穩(wěn)定性映射成的因果穩(wěn)定性映射成 H H（z z）后保持不變，即）后保持不變，即S S平面的左半平面平面的左半平面 ReSReS0 0 應(yīng)映射到應(yīng)映射到Z Z平面的單位圓以內(nèi)平面的單位圓以內(nèi)|Z|1|Z|1。je0Sz- j0- jSz4.3.1脈沖響應(yīng)不變法內(nèi)容提要脈沖響應(yīng)不變法內(nèi)容提要1、基本思想、基本思想2、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式3

18、、s平面到平面到z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系4、模擬濾波器對應(yīng)的、模擬濾波器對應(yīng)的與數(shù)字濾波器對應(yīng)與數(shù)字濾波器對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系5、H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系6、適用性、適用性脈沖響應(yīng)不變法內(nèi)容提要脈沖響應(yīng)不變法內(nèi)容提要1、基本思想、基本思想2、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式3、s平面到平面到z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系4、模擬濾波器對應(yīng)的、模擬濾波器對應(yīng)的與數(shù)字濾波器對應(yīng)與數(shù)字濾波器對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系5、H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系6、適用性、適用性4.3.14.3.1脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法 脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列

19、h(n)正好等于模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的采樣值，即 h(n)=ha(nT), T為采樣周期。 脈沖響應(yīng)不變法內(nèi)容提要脈沖響應(yīng)不變法內(nèi)容提要1、基本思想、基本思想2、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式3、s平面到平面到z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系4、模擬濾波器對應(yīng)的、模擬濾波器對應(yīng)的與數(shù)字濾波器對應(yīng)與數(shù)字濾波器對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系5、H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系6、適用性、適用性如何由如何由Ha(s) Ha(s) 計算計算 H(Z) :H(Z) :模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可表達(dá)為部分分式形式；模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可表達(dá)為部分分式形式； 其拉氏反變換為：其拉氏反變換為： 對對h ha

20、 a(t)(t)采樣得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列采樣得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列 NiiissAsHa1)(NitsiatueAthi1)()(NinTsianueAnThnhi1)()()(NiTsizeAzHi111)(NiiissAsHa1)(NiTsizeTAzHi111)(修正：注意：注意：P167倒數(shù)第倒數(shù)第6行行 （本節(jié)不考慮修正（本節(jié)不考慮修正T）脈沖響應(yīng)不變法內(nèi)容提要脈沖響應(yīng)不變法內(nèi)容提要1、基本思想、基本思想2、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式3、s平面到平面到z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系4、模擬濾波器對應(yīng)的、模擬濾波器對應(yīng)的與數(shù)字濾波器對應(yīng)與數(shù)字濾波器對

21、應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系5、H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系6、適用性、適用性msaajmjHTjH1)(maamTjsHTsH21)()(tha0t)( jHa0FTmmss0)( jHaT1)(that nnsTnststnenThdtenTtthdtenTtthsH)()()( )()()(aaaannsTenh)(nnznhzH)()(sTez s平面與z平面的映射關(guān)系 理想采樣序列的拉氏變換:nnTtth)()(a)(tha序列的z變換：)(that虛軸=0s=j單位圓r=1左半平面（0)單位圓內(nèi)r0)單位圓外r1sTez jrezjsTerTj0TT3T3T)Im( zj)Re( z0S

22、平面Z 平面:思考：單位圓思考：單位圓 是由虛軸的哪部分映射而來的？是由虛軸的哪部分映射而來的？sTez TerT12 S S平面上每一條寬為平面上每一條寬為 的橫帶部分，的橫帶部分， 都將重疊地映射到都將重疊地映射到Z Z平面的整個平面上。平面的整個平面上。 每一橫帶的左半部分映射到每一橫帶的左半部分映射到Z Z平面單位圓以內(nèi)，平面單位圓以內(nèi)， 每一橫帶的右半部分映射到每一橫帶的右半部分映射到Z Z平面單位圓以外，平面單位圓以外， 虛軸映射到單位圓上，虛軸上每一段都對應(yīng)于繞單位圓一周。虛軸映射到單位圓上，虛軸上每一段都對應(yīng)于繞單位圓一周。T2j0TT3T3T)Im( zj)Re( z0脈沖響

23、應(yīng)不變法內(nèi)容提要脈沖響應(yīng)不變法內(nèi)容提要1、基本思想、基本思想2、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式3、s平面到平面到z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系4、模擬濾波器對應(yīng)的、模擬濾波器對應(yīng)的與數(shù)字濾波器對應(yīng)與數(shù)字濾波器對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系5、H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系6、適用性、適用性sTez jrezjsTerT脈沖響應(yīng)不變法內(nèi)容提要脈沖響應(yīng)不變法內(nèi)容提要1、基本思想、基本思想2、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式3、s平面到平面到z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系4、模擬濾波器對應(yīng)的、模擬濾波器對應(yīng)的與數(shù)字濾波器對應(yīng)與數(shù)字濾波器對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系5、H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系6

24、、適用性、適用性H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系 從第二章從第二章2.2“采樣采樣”的角度分析的角度分析 從從s平面到平面到z平面的映射關(guān)系的角度分析平面的映射關(guān)系的角度分析)(tha0t)( jHa0)(nhss00tTjeHT1FTFTmmss0)( jHaT1)(that“采樣采樣”的角度分析的角度分析H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系FT解釋解釋“修正修正”)( jHa0ss0jeHT1mmsjmjHTam1TmjHTeHamj21ss0)( jHaT1)( jHaj0TT3T3T)( jHa00T1mmTs2TTT3T3)( jHa)(jeH0T133S平面到平面到z平面映射平面映

25、射的角度分析的角度分析H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系)( jHa00T1mmTs2TTT3T3)( jHa數(shù)字濾波器的頻響并不是數(shù)字濾波器的頻響并不是簡單的重現(xiàn)模擬濾波器的簡單的重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻頻響，而是模擬濾波器頻響的周期延拓。響的周期延拓。只有：只有：)(jeH0T133TjHsa20)(這時數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響。: NiiissAsHa1)(P158 例例 : 將一個具有如下系統(tǒng)函數(shù)將一個具有如下系統(tǒng)函數(shù) 的模擬濾波器數(shù)字化。的模擬濾波器數(shù)字化。 解：解：3111) 3)(1(2)(sssssH1311111)(zezezHTT243

26、131)(1)(zeeezeezTTTTTNiTsizeAzHi111)(4)3(2)3)(1(2)()(2jjjsHjHajs2433)(1)()()(jTjTTjTTezjeeeeeeeezHeHj圖圖4.11 不同采樣頻率下的幅頻響應(yīng)與模擬幅頻響應(yīng)的比較不同采樣頻率下的幅頻響應(yīng)與模擬幅頻響應(yīng)的比較脈沖響應(yīng)不變法內(nèi)容提要脈沖響應(yīng)不變法內(nèi)容提要1、基本思想、基本思想2、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式3、s平面到平面到z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系4、模擬濾波器對應(yīng)的、模擬濾波器對應(yīng)的與數(shù)字濾波器對應(yīng)與數(shù)字濾波器對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系5、H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系6、適用性、適用性

27、高通和帶阻高通和帶阻濾波器濾波器, 不宜不宜采用脈沖響應(yīng)不變法。采用脈沖響應(yīng)不變法。小結(jié)：脈沖響應(yīng)不變法小結(jié)：脈沖響應(yīng)不變法1、基本思想、基本思想2、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式3、s平面到平面到z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系4、模擬濾波器對應(yīng)的、模擬濾波器對應(yīng)的與數(shù)字濾波器對應(yīng)與數(shù)字濾波器對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系5、H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系6、適用性、適用性4.3.2雙線性變換法內(nèi)容提要雙線性變換法內(nèi)容提要1、基本思想、基本思想2、模擬濾波器對應(yīng)的、模擬濾波器對應(yīng)的與數(shù)字濾波器對應(yīng)與數(shù)字濾波器對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系3、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式4、 s平面到平面到z平面

28、的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系5、H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系6、適用性、適用性7、預(yù)畸變、預(yù)畸變雙線性變換法內(nèi)容提要雙線性變換法內(nèi)容提要1、基本思想、基本思想2、模擬濾波器對應(yīng)的、模擬濾波器對應(yīng)的與數(shù)字濾波器對應(yīng)與數(shù)字濾波器對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系3、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式4、 s平面到平面到z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系5、H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系6、適用性、適用性7、預(yù)畸變、預(yù)畸變 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從是從S S平面到平面到Z Z平面的平面的標(biāo)準(zhǔn)變換標(biāo)準(zhǔn)變換z ze esTsT的多值對應(yīng)關(guān)

29、系導(dǎo)的多值對應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的致的，為了克服這一缺點(diǎn)，設(shè)想變換分為兩步為了克服這一缺點(diǎn)，設(shè)想變換分為兩步 s平面平面s1平面平面z平面平面圖圖4.12 雙線性變換法的映射關(guān)系雙線性變換法的映射關(guān)系S1平面平面Z平面平面S平面平面1s Tze 雙線性變換法內(nèi)容提要雙線性變換法內(nèi)容提要1、基本思想、基本思想2、模擬濾波器對應(yīng)的、模擬濾波器對應(yīng)的與數(shù)字濾波器對應(yīng)與數(shù)字濾波器對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系3、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式4、 s平面到平面到z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系5、H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系6、適用性、適用性7、預(yù)畸變、預(yù)畸變0j1j 0T/T/S1平面平面RezImzj0Z平

30、面平面S平面平面1s Tze 一一對應(yīng)一一對應(yīng))2(tan)2(tan1cTcTerT11?思考：如何把思考：如何把s平面的平面的j壓縮到壓縮到s1平面的平面的j1雙線性變換法內(nèi)容提要雙線性變換法內(nèi)容提要1、基本思想、基本思想2、模擬濾波器對應(yīng)的、模擬濾波器對應(yīng)的與數(shù)字濾波器對應(yīng)與數(shù)字濾波器對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系3、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式4、 s平面到平面到z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系5、H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系6、適用性、適用性7、預(yù)畸變、預(yù)畸變)2cos()2sin()2(tan111TTcTc22221111TjTjTjTjeeeecjs平面s1平面z平面通常取C

31、=2/T,zzTsTsez1再將 S1 平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面，即令TsTsTsTsTsTseecTsceeeecs11111111)2tanh(1222222221111TjTjTjTjeeeecj計算H(Z) 置換過程: 11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa2132651)(2ssssssHa2121111126047. 05573. 110375. 00040. 00415. 0112)()(11zzzzzzTHsHzHazzTsa例如： T0.1 s, S平面與Z平面的單值映射關(guān)系 ： zzTssTsTz)/()/(2(/2)tgT 考慮考慮z = ej,

32、 2 12sin(/2)1cos22tg()2jjejsTeTjjT zs變變換換的映射關(guān)系滿足要求了嗎？的映射關(guān)系滿足要求了嗎？ zzTssj 2222122,122122|122TTjzTTjTTzTT |1;z 0 時時0,| 1z sTsTz)/()/(雙線性變換法內(nèi)容提要雙線性變換法內(nèi)容提要1、基本思想、基本思想2、模擬濾波器對應(yīng)的、模擬濾波器對應(yīng)的與數(shù)字濾波器對應(yīng)與數(shù)字濾波器對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系3、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式4、 s平面到平面到z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系5、H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系6、適用性、適用性7、預(yù)畸變、預(yù)畸變 22 tgT和和為非線性

33、關(guān)系為非線性關(guān)系零頻率附近，接近于線性關(guān)系圖圖4.13雙線性變換的頻率關(guān)系雙線性變換的頻率關(guān)系P160雙線性變換法的雙線性變換法的優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn): S平平 面與面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系與與成成非線性非線性關(guān)系關(guān)系雙線性變換法的雙線性變換法的缺點(diǎn)缺點(diǎn): 不會產(chǎn)生混疊現(xiàn)象；不會產(chǎn)生混疊現(xiàn)象； 與與成非線性關(guān)系，導(dǎo)致：成非線性關(guān)系，導(dǎo)致： a. 數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變畸變，(使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對應(yīng)關(guān)使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變系上發(fā)生畸變)。 例如，一

34、個模擬微分器，它的幅度與頻率是直線關(guān)系，但通例如，一個模擬微分器，它的幅度與頻率是直線關(guān)系，但通過雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器過雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器。b. 線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線性相位為非線性相位。 雙線性變換法內(nèi)容提要雙線性變換法內(nèi)容提要1、基本思想、基本思想2、模擬濾波器對應(yīng)的、模擬濾波器對應(yīng)的與數(shù)字濾波器對應(yīng)與數(shù)字濾波器對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系3、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式4、 s平面到平面到z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系5、H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系6、適用性、適用

35、性7、預(yù)畸變、預(yù)畸變 大多數(shù)濾波器都具有大多數(shù)濾波器都具有分段常數(shù)分段常數(shù)的頻響特的頻響特性性，如，如低通、高通、帶通和帶阻低通、高通、帶通和帶阻等，通過等，通過雙線性變換后，雙線性變換后，其幅頻特性仍保持分段常其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性數(shù)的特性。 各個分段的臨界頻率點(diǎn)發(fā)生了非線性變化，即畸變。這種頻率點(diǎn)的畸變可以通過預(yù)畸來加以校正。 雙線性變換法內(nèi)容提要雙線性變換法內(nèi)容提要1、基本思想、基本思想2、模擬濾波器對應(yīng)的、模擬濾波器對應(yīng)的與數(shù)字濾波器對應(yīng)與數(shù)字濾波器對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系3、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式4、 s平面到平面到z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系5、H(j)與與H(

36、ej)的關(guān)系的關(guān)系6、適用性、適用性7、預(yù)畸變、預(yù)畸變圖圖4.14 雙線性變換時頻率的預(yù)畸雙線性變換時頻率的預(yù)畸預(yù)畸變：22iitgT將模擬濾波器的臨界將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變，頻率事先加以畸變，然后通過雙線性變換然后通過雙線性變換正好映射到所需要的正好映射到所需要的頻率上。頻率上。預(yù)畸變 ：預(yù)畸的實(shí)現(xiàn)方法：siiiffT22tg2iiT（1）按照給定參數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)字頻率（2）將數(shù)字頻率代入非線性關(guān)系式： 得到 AF 的頻率參數(shù)。注意：預(yù)畸不能在整個頻率段消除非線性畸變，只能消除注意：預(yù)畸不能在整個頻率段消除非線性畸變，只能消除 濾波器在特征頻率點(diǎn)的畸變?yōu)V波器在特征頻率點(diǎn)的畸變小結(jié)

37、：雙線性變換法小結(jié)：雙線性變換法1、基本思想、基本思想2、模擬濾波器對應(yīng)的、模擬濾波器對應(yīng)的與數(shù)字濾波器對應(yīng)與數(shù)字濾波器對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系3、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式4、 s平面到平面到z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系5、H(j)與與H(ej)的關(guān)系的關(guān)系6、適用性、適用性7、預(yù)畸變、預(yù)畸變4.3要點(diǎn)要點(diǎn) 低通、高通、帶通和帶阻低通、高通、帶通和帶阻DF的幅頻特性的幅頻特性 濾波器的技術(shù)指標(biāo)濾波器的技術(shù)指標(biāo) 由由AF設(shè)計設(shè)計IIR DF的步驟的步驟 S平面到平面到z平面變換的兩條基本要求及兩種基平面變換的兩條基本要求及兩種基本方法本方法 脈沖響應(yīng)不變法六點(diǎn)脈沖響應(yīng)不變法六點(diǎn) 雙線性

38、變換法七點(diǎn)雙線性變換法七點(diǎn)4.4 4.4 從模擬濾波器低通原型到各種從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率變換數(shù)字濾波器的頻率變換（原型變換（原型變換）模擬歸一化低通原型模擬低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻模擬模擬- -模擬模擬頻帶變換頻帶變換數(shù)字化數(shù)字化雙線性變換法或雙線性變換法或脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法模擬模擬數(shù)字頻帶變換數(shù)字頻帶變換 4.4.1 低通變換數(shù)字參數(shù)數(shù)字參數(shù)-模擬參數(shù)模擬參數(shù)-Ha(s)-數(shù)字?jǐn)?shù)字H(z)例題：例題： 設(shè)采樣周期設(shè)采樣周期 , ,設(shè)計一個三階巴特設(shè)計一個三階巴特沃思沃思LPLP濾波器濾波器, ,其其3dB3dB截止頻率截止頻率fc=1k

39、Hzfc=1kHz。分別用脈沖響應(yīng)不變。分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法求解。法和雙線性變換法求解。（P167例4.8,P168例4.9） 解：a. 脈沖響應(yīng)不變法 322211)(ssssHa32)/()/( 2)/( 211)(cccassssHcs /)4(250kHzfsTs以以 代替其歸一化頻率，得：代替其歸一化頻率，得：1) 3)2)5 . 02TfcccccfT22/ )31 (3/2/ )31 (3/)(6/6/jcsecjcseccscsHajj6/2113/;,jccecAsA2/)31 (,3/;2/)31 (36/32jsecAjscjcNiTsizeAzHi111)

40、(4)32)/()/(2)/(211)(cccassssH31)(iiissAsHa3111)(iTsizeAzHi3233221jcjccesess并將 代入，得： 12/ )31(6/12/ )31(6/11)3/(1)3/(1/)(zeeTzeeTzeTzHjjcjjcCccc5 . 02Tfcc21112079.01905.015541.0571.12079.01571.11)(zzzzTzHTcc/21112079. 01905. 015541. 0571. 12079. 01571. 1)(zzzzzH修正后 b. 雙線性變換法（P168例） （一）首先確定數(shù)字域臨界頻率 5 .

41、02TfccTtgTcc222cs/32)/()/(2)/(211)(cccassssHTc/2（二）根據(jù)頻率的非線性關(guān)系，確定預(yù)畸的模擬濾波器臨界頻率(三 )以 代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數(shù) 并將 代入上式。 （四）將雙線性變換關(guān)系代入，求H(Z)。311211111121111211211)()(11zzzzzzsHZHzzTsa 231112312111121131311131313111113131311212113131312111312122122211111141111111211111211211zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz020

42、040060080010001200140016001800200000.10.20.30.40.50.60.70.80.91頻 率 / H z幅值頻率頻率/Hz圖圖 三階巴特沃思濾波器的頻率響應(yīng)三階巴特沃思濾波器的頻率響應(yīng)脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法雙線性變換法脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法雙線性變換法222100011圖圖4.22 高通變換高通變換 )(jeH)( jHa模擬低通數(shù)字高通4.4.2 高通變換高通變換將低通設(shè)計變換式中的將低通設(shè)計變換式中的S S代之以代之以1/S1/S，就可得到數(shù)字高通濾波器，就可得到數(shù)字高通濾波器. 11112zzTsjjctgTee

43、eeTeeTsezjjjjjjj222112,2222時22ctgT222)(jeH100011)( jHa0022ctgT模擬低通數(shù)字高通例： 用雙線性變換法設(shè)計一個三階巴特沃思用雙線性變換法設(shè)計一個三階巴特沃思HP濾波濾波器，其通帶截止頻率器，其通帶截止頻率 fc=1kHz，采樣頻率，采樣頻率 fs=4kHz。解：解：1）首先確定）首先確定數(shù)字高通數(shù)字高通通帶邊界頻率通帶邊界頻率2）根據(jù)頻率的非線性關(guān)系，確定）根據(jù)頻率的非線性關(guān)系，確定預(yù)畸預(yù)畸的的模擬模擬低低通通濾波器通帶邊界頻率（計算不取負(fù)號）濾波器通帶邊界頻率（計算不取負(fù)號）3）以）以 s/c 代入歸一化的三階巴特沃思代入歸一化的三階

44、巴特沃思模擬低通模擬低通濾波器傳遞函數(shù)，得濾波器傳遞函數(shù)，得2/2ccsff22242ccTTTctgctg 231( )1 2/2/acccH ssss （）（）（）11121231111113112322 ( )( )111112211111336262TzszaH zHszzzzzzzzzzzz4）將雙線性變換關(guān)系式代入，求）將雙線性變換關(guān)系式代入，求數(shù)字高通數(shù)字高通的的H(z) 111111 /2 11cTzzsszz ，0)(jeH2100001122)( jHa0124.4.3帶通變換帶通變換 幅頻響應(yīng)具有偶對稱性幅頻響應(yīng)具有偶對稱性000映射映射映射0映射圖圖4.24 帶通變換帶

45、通變換 0jezjS1z11cos2)1(122zzzzzezezsojjoo 即將即將S的原點(diǎn)映射到的原點(diǎn)映射到 ，而將，而將 點(diǎn)映射到點(diǎn)映射到 ，滿足這一要求的雙線性變換為：，滿足這一要求的雙線性變換為：000映射映射映射0映射00jezjs1jjeezjjs映射10jjeezjjs映射1jjeezjjs映射10jjeezjjs映射 當(dāng)當(dāng) 時時 因此因此 （帶通變換關(guān)系（帶通變換關(guān)系 ）jjojjjojjeeeeeeescos211cos222jsjso又,sincoscossincoscosojze11cos2) 1(122zzzzzezezsojjoo02)(jeH100001122)

46、( jHasincoscoso111coscossino 121201212cossin2cossinsincos2222coscossino |1| =| 2|1 = csincoscoso又又1同時也就是模擬低通濾波器的截止頻率同時也就是模擬低通濾波器的截止頻率c若已知?dú)w一化模擬若已知?dú)w一化模擬LP濾波器濾波器Ha(s)則則 模擬模擬LP濾波器為濾波器為數(shù)字帶通濾波器為數(shù)字帶通濾波器為11coscossinoc( )( /)aacHsHs2022cos11( )( )azzszHzHs4.4.4 帶阻變換帶阻變換2201sin2 cos1coscosozszz，110sincoscosc

47、12 ,oc 求由阻帶邊界頻率帶通的頻率關(guān)系倒置就得到帶阻變換為帶通的頻率關(guān)系倒置就得到帶阻變換為12012sincossinsin0)(jeH2100001122)( jHa帶阻變換帶阻變換 為便于區(qū)分變換前后兩個不同的為便于區(qū)分變換前后兩個不同的z平面，將變換平面，將變換前的前的z平面定義為平面定義為u平面，從平面，從u到到z的映射關(guān)系為：的映射關(guān)系為：DF DF ( )( )pH zH z 變 換低通原型 各種不同 11()uG z4.5 從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換濾波器的頻率變換（z平面變換法）平面變換法）于是，于是，DF的原型變換可表示為：的

48、原型變換可表示為：11()( )( )puG zH zH u函數(shù)函數(shù)G(z-1)要保證：要保證：1）u的單位圓內(nèi)部必須對應(yīng)于的單位圓內(nèi)部必須對應(yīng)于z的單位圓內(nèi)部的單位圓內(nèi)部2） u的單位圓映射到的單位圓映射到z的單位圓的單位圓11()( )( )puG zH zHu( )jjjjeG eG ee 若以若以 ej和和ej分別表示分別表示u平面和平面和z平面的單位圓平面的單位圓必有必有 ， 即函數(shù)在單位圓上的幅度必須即函數(shù)在單位圓上的幅度必須恒為恒為1，為，為全通函數(shù)全通函數(shù)1jG e11()uG z零點(diǎn)零點(diǎn)1/i* 是其極點(diǎn)是其極點(diǎn)i的共軛倒數(shù)的共軛倒數(shù)極點(diǎn)極點(diǎn)i可為實(shí)數(shù)，也可為共軛復(fù)數(shù)，但必須

49、在單位圓以可為實(shí)數(shù)，也可為共軛復(fù)數(shù)，但必須在單位圓以內(nèi)，即內(nèi)，即 |i|變化時，全通函數(shù)的相位變化時，全通函數(shù)的相位()的的變化量為變化量為N（ 變化量為變化量為N） ，可由此得到各類變換，可由此得到各類變換的的N1*111()1NiiizG zz ( )jjjjeG eG ee 11()uG z 圖圖 LP-LP變換變換c004.5.1 數(shù)字低通數(shù)字低通數(shù)字低通數(shù)字低通都是低通函都是低通函數(shù)，只是截數(shù)，只是截止頻率互不止頻率互不相同相同當(dāng)當(dāng)= 0 時，相應(yīng)的時，相應(yīng)的= 0 圖圖 LP-LP變換變換c00N=1，1*111()1NiiizG zz 11111()1zuG zz其中， 為實(shí)數(shù)且

50、jjjjeeeGe1)(11111)(zzzGu？= 0 時，相應(yīng)的時，相應(yīng)的= 0 = 0，相應(yīng)的相應(yīng)的= 0 1jjjeee221sin21cosarctg11111()1zuG zz其中， 為實(shí)數(shù)且c圖圖4.27 LP-LP頻率變換特性頻率變換特性 cc LP原型截止頻率原型截止頻率c 變換后截止頻率變換后截止頻率 = 0時時, =呈線性呈線性關(guān)系，其余為非線關(guān)系，其余為非線性性 0時時, cc，帶，帶寬變窄寬變窄 c，帶，帶寬變寬寬變寬 221sin21cosarctgc圖圖 LP-LP變換變換c0011111()1zuGzz其 中 ，為 實(shí) 數(shù) 且確定確定 1cccjjjeeesin2sin2 cccccc將將代入式代入式即可得即可得LP-LP變換后的變換后的LP DF系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)為sin2sin2 cccc1111()1zuG zz11()( )( )puGzH zHu 基本