有限元第三章 單元類型及單元剛度矩陣.

1、第三章第三章 單元類型及單元剛度矩陣單元類型及單元剛度矩陣 一、形狀函數(shù)類型及其特征一、形狀函數(shù)類型及其特征 1.Langrange1.Langrange型形狀函數(shù)型形狀函數(shù) 2.Hermite2.Hermite型形狀函數(shù)型形狀函數(shù)二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣 1.1.桿單元桿單元 2.2.三次梁單元三次梁單元三、二三、二維單元及其單元剛度陣維單元及其單元剛度陣 1.1.三角形單元三角形單元 2.2.矩形單元矩形單元 四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣 1.1.六面體單元六面體單元 2.2.四面體單元四面體單元 3.3.曲線等參元曲線等參元第三章第三章

2、 單元類型及單元剛度矩陣單元類型及單元剛度矩陣 有限元法的基本原理是將結(jié)構(gòu)劃分成單元，在單有限元法的基本原理是將結(jié)構(gòu)劃分成單元，在單元內(nèi)用較簡單的函數(shù)描述單元位移，即元內(nèi)用較簡單的函數(shù)描述單元位移，即miiiqxNxu1)()( 這是對單元位移這是對單元位移u(xu(x) )的近似。在前面兩章的介紹的近似。在前面兩章的介紹中，我們講過，是用單元的節(jié)點位移來描述單元內(nèi)中，我們講過，是用單元的節(jié)點位移來描述單元內(nèi)點位移，這里所用的變量點位移，這里所用的變量q qi i，是節(jié)點位移的一種推，是節(jié)點位移的一種推廣，即一組廣義坐標，或稱廣義節(jié)點位移，包括節(jié)廣，即一組廣義坐標，或稱廣義節(jié)點位移，包括節(jié)點位

3、移和節(jié)點位移導數(shù)。點位移和節(jié)點位移導數(shù)。N Ni i為形狀函數(shù)。根據(jù)單元為形狀函數(shù)。根據(jù)單元廣義節(jié)點位移的不同，形狀函數(shù)分兩類：廣義節(jié)點位移的不同，形狀函數(shù)分兩類：LangrangeLangrange和和HermiteHermite型。型。 1.Langrange 1.Langrange型形狀函數(shù)，這時節(jié)點廣義位移為節(jié)型形狀函數(shù)，這時節(jié)點廣義位移為節(jié)點位移，不含節(jié)點位移導數(shù)，它與單元的幾何形狀、點位移，不含節(jié)點位移導數(shù)，它與單元的幾何形狀、單元節(jié)點分布和節(jié)點數(shù)有關。所以，該類形狀函數(shù)單元節(jié)點分布和節(jié)點數(shù)有關。所以，該類形狀函數(shù)在單元幾何形狀、節(jié)點分布和節(jié)點數(shù)一定時也隨之在單元幾何形狀、節(jié)點分布

4、和節(jié)點數(shù)一定時也隨之確定。確定。 2.Hermite 2.Hermite型形狀函數(shù)，其節(jié)點廣義位移包含節(jié)點型形狀函數(shù)，其節(jié)點廣義位移包含節(jié)點位移和節(jié)點位移導數(shù)。位移和節(jié)點位移導數(shù)。一、形狀函數(shù)類型及其特征一、形狀函數(shù)類型及其特征 在第二章中，曾經(jīng)討論過單元內(nèi)點位移函數(shù)假設在第二章中，曾經(jīng)討論過單元內(nèi)點位移函數(shù)假設適應滿足的適應滿足的4 4項原則。項原則。包含單元的剛體位移包含單元的剛體位移包含單元的常應變狀態(tài)包含單元的常應變狀態(tài)保證不偏惠各坐標軸保證不偏惠各坐標軸保證單元內(nèi)位移連續(xù)保證單元內(nèi)位移連續(xù)體現(xiàn)位移函數(shù)完備性體現(xiàn)位移函數(shù)完備性體現(xiàn)位移函數(shù)幾何不變性體現(xiàn)位移函數(shù)幾何不變性體現(xiàn)位移函數(shù)協(xié)調(diào)

5、性體現(xiàn)位移函數(shù)協(xié)調(diào)性一、形狀函數(shù)類型及其特征一、形狀函數(shù)類型及其特征 要保證位移函數(shù)的幾何不變性，位移函數(shù)多項要保證位移函數(shù)的幾何不變性，位移函數(shù)多項式的各項應根據(jù)帕斯卡三角形來選擇。式的各項應根據(jù)帕斯卡三角形來選擇。3223221yxyyxxyxyxyx二維單元的帕斯卡三角形二維單元的帕斯卡三角形一、形狀函數(shù)類型及其特征一、形狀函數(shù)類型及其特征三三維維的的帕帕斯斯卡卡三三角角形形3222232232221zyzxzzyxyzzxyxyyxxzyzzxyxyxzyx一、形狀函數(shù)類型及其特征一、形狀函數(shù)類型及其特征形狀函數(shù)應該滿足以下條件形狀函數(shù)應該滿足以下條件1.1.2.2.3.3.保證所定義

6、位移函數(shù)在相鄰單元之間的連續(xù)保證所定義位移函數(shù)在相鄰單元之間的連續(xù)4.4.保證所定義位移函數(shù)反映常應變狀態(tài)保證所定義位移函數(shù)反映常應變狀態(tài)0011jiiiliXNilXNilXN11miiiXN一、形狀函數(shù)類型及其特征一、形狀函數(shù)類型及其特征 工程實際中有一種結(jié)構(gòu)，特征為：存在一個長維，但工程實際中有一種結(jié)構(gòu)，特征為：存在一個長維，但相對而言又不像平面應變那樣，長短比略小，且載荷可相對而言又不像平面應變那樣，長短比略小，且載荷可以為任意。比較典型的是井架、塔架等框架結(jié)構(gòu)，這類以為任意。比較典型的是井架、塔架等框架結(jié)構(gòu)，這類結(jié)構(gòu)可用有限元中的一維單元來離散，根據(jù)問題的不同，結(jié)構(gòu)可用有限元中的一維

7、單元來離散，根據(jù)問題的不同，一維單元又可分為桿單元和梁單元。一維單元又可分為桿單元和梁單元。二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣1.1.桿單元桿單元 桿單元受軸向力，在單元端點處無彎矩和扭矩作用，桿單元受軸向力，在單元端點處無彎矩和扭矩作用，將此單元獨立出來進行受力分析時為二力桿。根據(jù)單元將此單元獨立出來進行受力分析時為二力桿。根據(jù)單元形狀函數(shù)的階次，又可分為一次桿單元和二次桿單元。形狀函數(shù)的階次，又可分為一次桿單元和二次桿單元。一次桿單元一次桿單元 單元有兩個節(jié)點，如圖所示，編號為單元有兩個節(jié)點，如圖所示，編號為i i、j,j,采用局部采用局部坐標坐標 ，記，記 ，并取，并取

8、i i為為x x坐標的原點，則有坐標的原點，則有l(wèi)xi(1)i(1)j(2)j(2)l lFFxjixxxx10 根據(jù)形狀函數(shù)的定義，我們知道，形狀函數(shù)是根據(jù)形狀函數(shù)的定義，我們知道，形狀函數(shù)是描述或反映單元內(nèi)點位移與單元節(jié)點位移的關系。描述或反映單元內(nèi)點位移與單元節(jié)點位移的關系。對于上述問題，已知節(jié)點位移為對于上述問題，已知節(jié)點位移為u ui i,u,uj j, ,而要求節(jié)點而要求節(jié)點間任一內(nèi)點的位移，顯然可以根據(jù)線性插值來計算間任一內(nèi)點的位移，顯然可以根據(jù)線性插值來計算（二點一次拉氏插值），即（二點一次拉氏插值），即 lxNlxlN21;)(212121000uuNNuulxullxu1.

9、1.桿單元桿單元 一次桿單元一次桿單元二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣代入代入 ，有，有 21;1NN令令 21;1得得 2211;NN所以單元內(nèi)點位移為所以單元內(nèi)點位移為 2121)(uuxu單元應變單元應變 212111uuddNddNldduldxdddudxdu1.1.桿單元桿單元 一次桿單元一次桿單元二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣 eBuul21111所以，幾何矩陣為所以，幾何矩陣為 llB11單元應力為單元應力為 E彈性矩陣彈性矩陣 ED 單元剛度矩陣通式為單元剛度矩陣通式為 dVBDBkTVe二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元

10、剛度陣代入，得代入，得 1111lEABDBAldxBDBAkTlTe這是一次桿單元的單剛陣，它對這是一次桿單元的單剛陣，它對稱、對角線元素大于零且奇異！稱、對角線元素大于零且奇異！ 1.1.桿單元桿單元 一次桿單元一次桿單元 當上述單元用于描述僅受扭轉(zhuǎn)變形的桿件時，當上述單元用于描述僅受扭轉(zhuǎn)變形的桿件時，其單剛陣類似于一次桿單元的單剛陣，為：其單剛陣類似于一次桿單元的單剛陣，為： 1111lGJkei(1)i(1)j(2)j(2)l lMnxMn二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣1.1.桿單元桿單元 一次桿單元一次桿單元二次桿單元二次桿單元 單元有三個節(jié)點，如圖所示，端點編

11、號為單元有三個節(jié)點，如圖所示，端點編號為i i、j,j,三個節(jié)點依次為三個節(jié)點依次為1 1、3 3、2 2。單元位移可以根據(jù)拋物。單元位移可以根據(jù)拋物線插值（亦稱三點兩次拉氏插值）獲得，即線插值（亦稱三點兩次拉氏插值）獲得，即jixxxx10i(1)i(1)j(2)j(2)l lFFx(3)(3)同樣令同樣令 21;1二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣1.1.桿單元桿單元 2132222212114)1 (4222)1)(12(NNN321)2)(2()(0()2()2)(0()(2()(2()(ulllxxulllxxulllxlxxu令令二、一維單元及其單元剛度陣二、一維

12、單元及其單元剛度陣1.1.桿單元桿單元 二次桿單元二次桿單元所以單元內(nèi)點位移為所以單元內(nèi)點位移為 321321)(uuuNNNxu單元應變單元應變 eBuuuddNddNddNl3211211二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣1.1.桿單元桿單元 二次桿單元二次桿單元 )44()14()14(12121lB幾何矩陣為幾何矩陣為 單元應力為單元應力為 E ED 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 16888718173lEAdxBDBAklTe二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣1.1.桿單元桿單元 二次桿單元二次桿單元73)14(201211lEAdxlEAkl元素的計

13、算元素的計算 )!1() !)(!()(122121nmnmxxdxnxxm可以直接應用可以直接應用 元素的計算元素的計算 73)14(022222lEAdxlEAkl163)44(0221233lEAdxlEAkl13)14)(14(022212lEAdxlEAkl二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣1.1.桿單元桿單元 二次桿單元二次桿單元元素的計算元素的計算 二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣1.1.桿單元桿單元 二次桿單元二次桿單元)8(3)44)(14(0212223lEAdxlEAkl)8(3)44)(14(0211213lEAdxlEAkl其余元

14、素利用對稱性可求得其余元素利用對稱性可求得 233212311221kkkkkk2.2.三次梁單元三次梁單元 梁單元如圖所示，僅考慮節(jié)點在梁單元如圖所示，僅考慮節(jié)點在xoyxoy平面內(nèi)的位移平面內(nèi)的位移為為v v、，這時一個單元有四個自由度，這時一個單元有四個自由度，形狀函數(shù)為，形狀函數(shù)為三次多項式，即使用三次三次多項式，即使用三次HermiteHermite插值多項式。插值多項式。二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣1 12 2l lMz1xMZ2yzQy2Qy12.2.三次梁單元三次梁單元二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣TvvNNNNlxlxllxxvl

15、xllxvllxlxxv2211432122122212)00)()0)(0()00)(021 ()0)(0021 ()(HermiteHermite位移插值多項式位移插值多項式2.2.三次梁單元三次梁單元 224223222221)1()()23()()(21)1 ()1 ()1)(21 ()(21 (llxlxNlxllxNllxxNllxlxN其中其中二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣2.2.三次梁單元三次梁單元 22dxvdy根據(jù)平面梁彎曲變形公式（忽略剪切變形）根據(jù)平面梁彎曲變形公式（忽略剪切變形）2211242232222212vvdxNddxNddxNddxNd

16、y eB NyNNNNyB 4321其中其中二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣2.2.三次梁單元三次梁單元 )2(2)13(2)21 (6)21 (6)2(2)23(2)21 (6)12(612422231221221 llNllNllNllN二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣jixxxx10同樣令同樣令 2112.2.三次梁單元三次梁單元單元應力為單元應力為 E ED 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 dxNNEJdxdANNyEdxdABDBdVBDBklTzlATlATVTe 0020)()(引入引入 AzdAyJ2二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單

17、元剛度陣2.2.三次梁單元三次梁單元2222346266126122646612612lllllllllllllEJkze單單元元剛剛度度矩矩陣陣 32401112)12(36lEJdxlEJkzlz元素的計算元素的計算 二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣2.2.三次梁單元三次梁單元二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣lEJdxlEJkzlz4)23(422022元素的計算元素的計算 32403312)21 (36lEJdxlEJkzlzlEJdxlEJkzlz4)13(422044230126)23)(12(12lEJdxlEJkzlz2.2.三次梁單元三次

18、梁單元二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣3401312)21)(12(36lEJdxlEJkzlz元素的計算元素的計算 230146)13)(12(12lEJdxlEJkzlz230236)21)(23(12lEJdxlEJkzlz2.2.三次梁單元三次梁單元二、一維單元及其單元剛度陣二、一維單元及其單元剛度陣230346)13)(21 (12lEJdxlEJkzlz元素的計算元素的計算 lEJdxlEJkzlz2)12)(23(42024其余元素利用對稱性可求的其余元素利用對稱性可求的 344324422332144113311221kkkkkkkkkkkk 二維單元用于分

19、析和解決平面問題和軸對稱為二維單元用于分析和解決平面問題和軸對稱為題。在第二章中已詳細介紹過，而且是在直角坐題。在第二章中已詳細介紹過，而且是在直角坐標中推導的。在下面這一節(jié)中，我們將介紹兩種標中推導的。在下面這一節(jié)中，我們將介紹兩種平面單元，即三角形單元和四邊形單元，包括一平面單元，即三角形單元和四邊形單元，包括一次和二次三角形單元以及一次四邊形單元。次和二次三角形單元以及一次四邊形單元。三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元三角形單元按其位移的階數(shù)分為一、二、三次單元。三角形單元按其位移的階數(shù)分為一、二、三次單元。一次一次三角形單元三角形單元 第二

20、章詳細介紹過這種單元，其形狀函數(shù)是坐標第二章詳細介紹過這種單元，其形狀函數(shù)是坐標的一次多項式，推導采用直角坐標。對于高次三角的一次多項式，推導采用直角坐標。對于高次三角形單元，這類坐標不方便，特此引入面積坐標。形單元，這類坐標不方便，特此引入面積坐標。1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣面積坐標面積坐標 如圖所示，在三角形單元如圖所示，在三角形單元A A1 1A A2 2A A3 3中，中，有任意一點有任意一點P(x,yP(x,y) )連接連接PAPA1 1、PAPA2 2、PAPA3 3, ,得到三個小三角形：得到三個

21、小三角形：PAPA2 2A A3 3、PAPA3 3A A1 1、PAPA1 1A A2 2, ,記面積比為：記面積比為：321213321132321321AAAAPAAAAAPAAAAAPA稱稱1 1、2 2、3 3為為P P點的點的面積坐標面積坐標xyA1A2A3P(x,y)o三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標面積坐標 由于由于1 1+2 2+3 3=1=1，因此該三，因此該三個坐標不獨立。其負號的規(guī)定為：個坐標不獨立。其負號的規(guī)定為：分子分母對應的三角形頂點編號分子分母對應的三角形頂點編號轉(zhuǎn)向相同時為正

22、，反之為負，由轉(zhuǎn)向相同時為正，反之為負，由于三角形于三角形A A1 1A A2 2A A3 3的頂點編號一般規(guī)的頂點編號一般規(guī)定為逆時針，因此，子三角形頂定為逆時針，因此，子三角形頂點編號為逆時針時面積坐標為正，點編號為逆時針時面積坐標為正，反之為負。反之為負。xyA1A2A3P(x,y)o三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標面積坐標三角形中一些特殊點的三角形中一些特殊點的面積坐標面積坐標頂頂點點)1 ,0 ,0()0 , 1 ,0()0 ,0 , 1 (321AAA邊邊中中點點)0 ,21,21()21,0 ,

23、21()21,21,0(654AAA形心形心)31,31,31(GxyA1A2A3GA6A5A4o三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標與直角坐標的關系面積坐標與直角坐標的關系 三角形三個頂點在直角坐標系中的坐標為（三角形三個頂點在直角坐標系中的坐標為（x xi i,y,yi i）, ,則則A A1 1A A2 2A A3 3的面積為的面積為Dyyyxxx2111121321321類似地三個小三角形的面積依次為類似地三個小三角形的面積依次為三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形

24、單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標與直角坐標的關系面積坐標與直角坐標的關系3232)1(11121yyyxxx1313)2(11121yyyxxx2121)3(11121yyyxxx三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標與直角坐標的關系面積坐標與直角坐標的關系32132123321xxcyybyxyxaDaycxbyxxxyyyxyxDAAAAPA)()()()(111132322332321321其中其中三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三

25、角形單元面積坐標與直角坐標的關系面積坐標與直角坐標的關系同理同理DaycxbyxxxyyyxyxD)()()()(1222131331132DaycxbyxxxyyyxyxD)()()()(1333212112213三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標與直角坐標的關系面積坐標與直角坐標的關xcyybyxyxa其中其中21321312213xxcyybyxyxakjikjikjkjixxcyybyyxxa,令令i=1,2,3;ii=1,2,3;i、j j、k k按按1,2,31,2,3輪轉(zhuǎn)

26、輪轉(zhuǎn)三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標與直角坐標的關系面積坐標與直角坐標的關系則則3 ,2, 1)(iDaycxbiiii于是有于是有yxcbacbacbaD11333222111321面面積積坐坐標標直直角角坐坐標標三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標與直角坐標的關系面積坐標與直角坐標的關系對于單元的三個角點，應有對于單元的三個角點，應有0011111333222111yxcbacbacbaDA A1 1點點0101122333

27、222111yxcbacbacbaDA A2 2點點三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標與直角坐標的關系面積坐標與直角坐標的關系1001133333222111yxcbacbacbaDA A3 3點點1000100011111321321333222111yyyxxxcbacbacbaD重寫上述三式重寫上述三式三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標與直角坐標的關系面積坐標與直角坐標的關系所以有所以有133322211132132111

28、11cbacbacbaDyyyxxx于是有于是有3213213211111yyyxxxyx直直角角坐坐標標面面積積坐坐標標三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元形狀函數(shù)形狀函數(shù)根據(jù)形狀函數(shù)的定義根據(jù)形狀函數(shù)的定義332211321),(iiiigggNi=1i=1時，對于時，對于A A1、A A2、A A3 3點點 0)1 ,0,0(),(:0)0, 1 ,0(),(:1)0,0, 1(),(:131321131213211211132111gNNAgNNAgNNAi=1,2,3i=1,2,3所以所以13211),(N三、

29、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元形狀函數(shù)形狀函數(shù)同理，同理，i=2i=2、3 3時，對于時，對于A A1、A A2、A A3 3點點 0)1 ,0,0(),(:1)0, 1 ,0(),(:0)0,0, 1(),(:232321232223212221232121gNNAgNNAgNNA1)1 ,0,0(),(:0)0, 1 ,0(),(:0)0,0, 1(),(:333321333233213231332131gNNAgNNAgNNA33213),(N所以所以23212),(N于是于是 TTvvvNNNvuuuNNNu3

30、21321321321單元應變單元應變 332211332211321321000000vuvuvuxNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxNxvyuyvxu三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元位移函數(shù)位移函數(shù)三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元 eTxyyxB其中其中 為幾何矩陣為幾何矩陣 B xNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxNB332211321321000000單元應變單元應變 利用復合函數(shù)求偏導數(shù)的公式利用復合函數(shù)求偏導

31、數(shù)的公式)(1332211332211bbbDxxxx三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元)(1332211332211cccDyyyy幾何矩陣幾何矩陣 三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元可得可得)3 ,2, 1( iDcyNDbxNiiii；平面應力問題的應力為平面應力問題的應力為 DTxyyx單元剛度矩陣單元剛度矩陣 BDBtAdVBDBkTTVe幾何矩陣幾何矩陣 三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單

32、元 一次三角形單元一次三角形單元單元剛陣單元剛陣3332312322211312112)1 (4kkkkkkkkkEtke二次三角形單元二次三角形單元xy123645o 二次三角形單元，如圖所示，二次三角形單元，如圖所示，單元共六個節(jié)點，單元共六個節(jié)點，1212個自由度，個自由度，三個角節(jié)點，三個邊中點。三個角節(jié)點，三個邊中點。 三、二維單元及其單剛陣三、二維單元及其單剛陣1.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元形狀函數(shù)形狀函數(shù)136325214232221132132),(iiiiiiiggggggNi=1,2i=1,2，6 6節(jié)點面積坐標節(jié)點面積坐標)0,21,21(6)

33、 ,21,0,21(5) ,21,21,0(4)1 ,0,0(3)0, 1 ,0(2)0,0, 1(1；xy123645o對于對于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6點點 1)0,21,21(:0)21,0,21(:1)21,21,0(:0)1 ,0,0(:0)0, 1 ,0(:1)0,0, 1(:161615151414131312121111gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元形狀函數(shù)形狀函數(shù)113211)12(),(N形狀函數(shù)分量形狀函數(shù)分量

34、),(3211N三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元223212)12(),(N形狀函數(shù)形狀函數(shù)形狀函數(shù)分量形狀函數(shù)分量),(3212N同樣，同樣，對于對于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6點點 0)0,21,21(:1)21,0,21(:1)21,21,0(:0)1 ,0,0(:1)0, 1 ,0(:0)0,0, 1(:262625252424232322222121gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單

35、元 二次三角形單元二次三角形單元333213)12(),(N形狀函數(shù)形狀函數(shù)形狀函數(shù)分量形狀函數(shù)分量),(3213N同樣，同樣，對于對于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6點點 0)0,21,21(:1)21,0,21(:1)21,21,0(:0)1 ,0,0(:1)0, 1 ,0(:0)0,0, 1(:363635353434333332323131gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元3232144),(N形狀函數(shù)形狀函數(shù)形狀函數(shù)分量形狀函數(shù)分量

36、),(3214N同樣，同樣，對于對于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6點點 0)0,21,21(:0)21,0,21(:1)21,21,0(:0)1 ,0,0(:0)0, 1 ,0(:0)0,0, 1(:164615451444134312421141gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元1332154),(N形狀函數(shù)形狀函數(shù)形狀函數(shù)分量形狀函數(shù)分量),(3215N同樣，同樣，對于對于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A

37、 A6 6點點 0)0,21,21(:0)21,0,21(:1)21,21,0(:0)1 ,0,0(:0)0, 1 ,0(:0)0,0, 1(:565655555454535352525151gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元2132164),(N形狀函數(shù)形狀函數(shù)形狀函數(shù)分量形狀函數(shù)分量),(3216N同樣，同樣，對于對于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6點點 1)0,21,21(:0)21,0,21(:0)21,21,0(:0)1 ,0,0(

38、:0)0, 1 ,0(:0)0,0, 1(:666665656464636362626161gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元位移函數(shù)位移函數(shù)6161iiiiiivNvuNu其中其中 為幾何矩陣為幾何矩陣 B單元應變單元應變 eTxyyxBxvyuyvxu xNyNxNyNxNyNxNyNxNyNxNyNyNyNyNyNyNyNxNxNxNxNxNxNB665544332211654321654321000000000000三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣幾何矩陣

39、幾何矩陣)3 ,2, 1()14()14(iDcyNDbxNiiiiii1.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元3 ,2, 1,6,5 ,4)(4)(4kjiccDyNbbDxNikijiikiji三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣幾何矩陣幾何矩陣平面應力問題的應力為平面應力問題的應力為 DTxyyx1.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元j j、k k根據(jù)根據(jù)i=4i=4、5 5、6 6依次按依次按1,2,31,2,3輪轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣1.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元注意

40、使用積分公式注意使用積分公式)2() !)(!)(!(2nmlnmlAdxdySnkmjli dSBDBtdVBDBkSTTVe單元剛度矩陣單元剛度矩陣 2.2.矩形單元矩形單元三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣 矩形單元如圖所示，共四個節(jié)點，每個節(jié)點兩個矩形單元如圖所示，共四個節(jié)點，每個節(jié)點兩個自由度，單元共自由度，單元共8 8個節(jié)點位移。為計算方便，引入個節(jié)點位移。為計算方便，引入新的變量：新的變量：,xy123o4令令 )(1)(100yybxxa一次矩形單元一次矩形單元2.2.矩形單元矩形單元 一次矩形單元一次矩形單元三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度

41、陣其中其中 2)(2)(224102101412yyyxxxyybxxa)1 , 1(),(:)1 , 1(),(:)1, 1(),(:)1, 1(),(:44332211AAAAAAAA四個角點新坐標四個角點新坐標 xy123o4三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣形狀函數(shù)形狀函數(shù)利用形狀函數(shù)的性質(zhì)，可得利用形狀函數(shù)的性質(zhì)，可得 )4,3 ,2, 1()1)(1(41),(iNiii驗證驗證 )4,3 ,2, 1,(0)1)(1(41),(1)1)(1(41),(jiNNjijijjiiiiiiii2.2.矩形單元矩形單元 一次矩形單元一次矩形單元三、二維單元及其單元剛度陣三

42、、二維單元及其單元剛度陣位移函數(shù)位移函數(shù)4141iiiiiivNvuNu其中其中 為幾何矩陣為幾何矩陣 B單元應變單元應變 eTxyyxBxvyuyvxu2.2.矩形單元矩形單元 一次矩形單元一次矩形單元三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣 TevuvuvuvuBBBBB443322114321其中其中 4,3 ,2, 100ixNyNyNxNBiiiii幾何矩陣幾何矩陣2.2.矩形單元矩形單元 一次矩形單元一次矩形單元三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣幾何矩陣幾何矩陣2.2.矩形單元矩形單元 一次矩形單元一次矩形單元 xNyNxNyNxNyNxNyNyNyN

43、yNyNxNxNxNxNB443322114321432100000000三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣平面應力問題的應力為平面應力問題的應力為 DTxyyx 44434241343332312423222114131211kkkkkkkkkkkkkkkkdVBDBkTVe單元剛度矩陣單元剛度矩陣 2.2.矩形單元矩形單元 一次矩形單元一次矩形單元三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣其中其中 )4, 3 ,2, 1,(jidxdyBDBtkAjTiij對于平面應變問題對于平面應變問題22211211)21)(1 (4kkkkEtkij)31 (221)31

44、 ()1 (11jijijijibaabk2.2.矩形單元矩形單元 一次矩形單元一次矩形單元三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣jijik22112)31 (221)31 ()1 (22jijijijibaabkijijk221212.2.矩形單元矩形單元 一次矩形單元一次矩形單元三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣2.2.矩形單元矩形單元二次矩形單元二次矩形單元xy123o487651111令令 )(1)(100yybxxa2)(2)(224102101412yyyxxxyybxxa)0, 1(),()1 ,0(),()0, 1(),()1,0(),()1 ,

45、 1(),()1 , 1(),()1, 1(),()1, 1(),(87654321AAAAAAAA八個節(jié)點新坐標八個節(jié)點新坐標 三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣2.2.矩形單元矩形單元 二次矩形單元二次矩形單元xy123o487651111形狀函數(shù)形狀函數(shù)利用形狀函數(shù)的性質(zhì)，可得利用形狀函數(shù)的性質(zhì)，可得 )4,3 ,2, 1()1)(1)(1(41),(iNiiiii三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣2.2.矩形單元矩形單元 二次矩形單元二次矩形單元)8 ,6()1)(1(41),(2iNii)7,5()1)(1(21),(2iNii三、二維單元及其單元

46、剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣2.2.矩形單元矩形單元 二次矩形單元二次矩形單元位移函數(shù)位移函數(shù)8181iiiiiivNvuNu其中其中 為幾何矩陣為幾何矩陣 B單元應變單元應變 eTxyyxBxvyuyvxu三、二維單元及其單元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣2.2.矩形單元矩形單元 二次矩形單元二次矩形單元幾何矩陣幾何矩陣 TevuvuvuBBBB882211821163 xNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxNB882211821821163000000平面應力問題的應力為平面應力問題的應力為 DTxyyx dVBDBkTVe1616單元剛度矩陣單元剛度矩陣 三、二維單元及其單

47、元剛度陣三、二維單元及其單元剛度陣2.2.矩形單元矩形單元 二次矩形單元二次矩形單元 工程中的一切問題都對應著空間三維問題，都可以工程中的一切問題都對應著空間三維問題，都可以用三維單元來構(gòu)成其總體結(jié)構(gòu)。本課程介紹三維單元用三維單元來構(gòu)成其總體結(jié)構(gòu)。本課程介紹三維單元及其單剛陣，包括六面體、四面體和曲線等參單元。及其單剛陣，包括六面體、四面體和曲線等參單元。四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣1.1.六面體單元六面體單元 單元如圖所示，共單元如圖所示，共8 8個節(jié)點，個節(jié)點，每個節(jié)點的位移參數(shù)是每個節(jié)點的位移參數(shù)是u u、v v、w w，在進行單元分析時，同矩形單在進行單元分析時

48、，同矩形單元一樣，常用局部坐標元一樣，常用局部坐標 表示，其原點位于六面表示，其原點位于六面體形心，坐標方向同體形心，坐標方向同x x、y y、z z一一致，其相互關系為：致，其相互關系為：,yz123o4x8567yz123o4x8567四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣1.1.六面體單元六面體單元令令 )(2)(2)(2000zzcyybxxa2)(2)(2)(510154102101412zzzzzcyyyxxxyybxxa四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣1.1.六面體單元六面體單元形狀函數(shù)形狀函數(shù))8 ,2, 1(8)1)(1)(1(),(iNii

49、iiyz123o4x8567)1 , 1, 1(),()1 , 1, 1(),()1 , 1 , 1(),()1 , 1 , 1(),()1, 1, 1(),()1, 1, 1(),()1, 1 , 1(),()1, 1 , 1(),(87654321AAAAAAAA八個角點新坐標八個角點新坐標 四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣1.1.六面體單元六面體單元位移函數(shù)位移函數(shù)818181,iiiiiiiiiwNwvNvuNu驗證驗證 )8 ,2, 1,(0)1)(1)(1(81),(1)1)(1)(1(81),(jiNNjijijijjjiiiiiiiiiii四、三維單元及其單

50、元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣1.1.六面體單元六面體單元單元應變單元應變 eTzxyzxyzyxBzuxwywzvxvyuzwyvxu其中其中 為幾何矩陣為幾何矩陣 B四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣1.1.六面體單元六面體單元幾何矩陣幾何矩陣 TewvuuwvuBBBB8882111821246四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣1.1.六面體單元六面體單元幾何矩陣幾何矩陣 ) 8 , 2 , 1(00000000036ixNzNyNzNxNyNzNyNxNBiiiiiiiiii三維問題的應力為三維問題的應力為 DTzxyzxyzyx四、三維單元及其

51、單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣1.1.六面體單元六面體單元 )1 ( 2)21 (0)1 ( 2)21 (00)1 ( 2)21 (0001000)1 (1000)1 ()1 (1)21)(1 ()1 (對稱ED彈性矩陣彈性矩陣 dVBDBkTVe2424單元剛度矩陣單元剛度矩陣 四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣1.1.六面體單元六面體單元888281282221181211kkkkkkkkkke 5762424四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣1.1.六面體單元六面體單元333231222221131211)21)(1 (16kkkkkkkkkEV

52、kij單元剛度矩陣單元剛度矩陣 為為3x33x3的塊方陣，的塊方陣，i i，j=1j=1，2 2，8 8，且，且 cbaV)31)(31 ()31)(31 (221)31)(31 ()1 (22211jijijijijijijijijicbak四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣1.1.六面體單元六面體單元單元剛度矩陣單元剛度矩陣 )31)(31 ()31)(31 (221)31)(31 ()1 (22222jijijijijijijijijicabk)31)(31 ()31)(31 (221)31)(31 ()1 (22233jijijijijijijijijiback四、三

53、維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣1.1.六面體單元六面體單元單元剛度矩陣單元剛度矩陣 )221)(31 (112jijijiabk)221)(31 (113jijijiack)221)(31 (121jijijiabk)221)(31 (123jijijibck四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣1.1.六面體單元六面體單元單元剛度矩陣單元剛度矩陣 )221)(31 (131jijijiack)221)(31 (132jijijibck四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣2.2.四面體單元四面體單元 工程實際中的結(jié)構(gòu)往往比較復雜，僅用形狀規(guī)則工程實

54、際中的結(jié)構(gòu)往往比較復雜，僅用形狀規(guī)則的單元難于較好的近似結(jié)構(gòu)的幾何邊界，下面介紹的單元難于較好的近似結(jié)構(gòu)的幾何邊界，下面介紹多用于過度單元的多用于過度單元的4 4面體面體4 4節(jié)點三維單元。節(jié)點三維單元。 1234P 采用體積坐標，單元內(nèi)任意一采用體積坐標，單元內(nèi)任意一點點P P的位置由的位置由4 4個比值來確定：個比值來確定： VVVVVVVVPPPP12343412334122341 143212.2.四面體單元四面體單元V V是四面體的體積是四面體的體積 432143214321111161zzzzyyyyxxxxV 4324324321111161zzzzyyyyxxxxV 14314

55、31432111161zzzzyyyyxxxxV 2142142143111161zzzzyyyyxxxxV 四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣2.2.四面體單元四面體單元3213213214111161zzzzyyyyxxxxV zdycxbaV11111其中其中 4324324321zzzyyyxxxa 4324321111zzzyyyb四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣2.2.四面體單元四面體單元其中其中 4324321111zzzxxxc 4324321111yyyxxxd 4 , 3 , 2 ,

56、16)(izdycxbaiiiii 414141411iiiiiiiiiiizzyyxx四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣2.2.四面體單元四面體單元44332211NNNN形狀函數(shù)形狀函數(shù) 從而可以推的位移函數(shù)、單元應變、幾何矩陣、彈從而可以推的位移函數(shù)、單元應變、幾何矩陣、彈性矩陣、剛度矩陣。性矩陣、剛度矩陣。 )!3() !)(!)(!)(!(64321knmlknmlVdxdydzknmVl積分中用到積分中用到四、三維單元及其單元剛度陣四、三維單元及其單元剛度陣3.3.曲邊等參單元曲邊等參單元 前面介紹的幾種單元幾何形狀規(guī)則，便于進行運前面介紹的幾種單元幾何形狀規(guī)則，便于進行運算，但難以適應工程實際的需要，工程實際中零部算，但難以適應工程實際的需要，工程實際中零部件的外形基本上都比較復雜。曲邊等參單元可以解件的外形基本上都比較復雜。曲邊等參單元可以解決這個矛盾，這種單元可以用曲邊單元劃分實際結(jié)決這個矛盾，這種單元可以用曲邊單元劃分實際結(jié)構(gòu)，而按直邊單元進行計算，中間用坐標變換來轉(zhuǎn)構(gòu)，而按直邊單元進行計算，中間用坐標變換來轉(zhuǎn)換之，把（換之，把（x,y,zx,y,z）轉(zhuǎn)換成（）轉(zhuǎn)換成（ ）。）。 ,坐標變換坐標變換 用平面單