有限元第三章 單元類型及單元?jiǎng)偠染仃?

1、第三章第三章 單元類型及單元?jiǎng)偠染仃噯卧愋图皢卧獎(jiǎng)偠染仃?一、形狀函數(shù)類型及其特征一、形狀函數(shù)類型及其特征 1.Langrange1.Langrange型形狀函數(shù)型形狀函數(shù) 2.Hermite2.Hermite型形狀函數(shù)型形狀函數(shù)二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩?、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝?1.1.桿單元桿單元 2.2.三次梁單元三次梁單元三、二三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚲S單元及其單元?jiǎng)偠汝?1.1.三角形單元三角形單元 2.2.矩形單元矩形單元 四、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁摹⑷S單元及其單元?jiǎng)偠汝?1.1.六面體單元六面體單元 2.2.四面體單元四面體單元 3.3.曲線等參元曲線等參元第三章第三章

2、 單元類型及單元?jiǎng)偠染仃噯卧愋图皢卧獎(jiǎng)偠染仃?有限元法的基本原理是將結(jié)構(gòu)劃分成單元，在單有限元法的基本原理是將結(jié)構(gòu)劃分成單元，在單元內(nèi)用較簡單的函數(shù)描述單元位移，即元內(nèi)用較簡單的函數(shù)描述單元位移，即miiiqxNxu1)()( 這是對單元位移這是對單元位移u(xu(x) )的近似。在前面兩章的介紹的近似。在前面兩章的介紹中，我們講過，是用單元的節(jié)點(diǎn)位移來描述單元內(nèi)中，我們講過，是用單元的節(jié)點(diǎn)位移來描述單元內(nèi)點(diǎn)位移，這里所用的變量點(diǎn)位移，這里所用的變量q qi i，是節(jié)點(diǎn)位移的一種推，是節(jié)點(diǎn)位移的一種推廣，即一組廣義坐標(biāo)，或稱廣義節(jié)點(diǎn)位移，包括節(jié)廣，即一組廣義坐標(biāo)，或稱廣義節(jié)點(diǎn)位移，包括節(jié)點(diǎn)位

3、移和節(jié)點(diǎn)位移導(dǎo)數(shù)。點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)位移導(dǎo)數(shù)。N Ni i為形狀函數(shù)。根據(jù)單元為形狀函數(shù)。根據(jù)單元廣義節(jié)點(diǎn)位移的不同，形狀函數(shù)分兩類：廣義節(jié)點(diǎn)位移的不同，形狀函數(shù)分兩類：LangrangeLangrange和和HermiteHermite型。型。 1.Langrange 1.Langrange型形狀函數(shù)，這時(shí)節(jié)點(diǎn)廣義位移為節(jié)型形狀函數(shù)，這時(shí)節(jié)點(diǎn)廣義位移為節(jié)點(diǎn)位移，不含節(jié)點(diǎn)位移導(dǎo)數(shù)，它與單元的幾何形狀、點(diǎn)位移，不含節(jié)點(diǎn)位移導(dǎo)數(shù)，它與單元的幾何形狀、單元節(jié)點(diǎn)分布和節(jié)點(diǎn)數(shù)有關(guān)。所以，該類形狀函數(shù)單元節(jié)點(diǎn)分布和節(jié)點(diǎn)數(shù)有關(guān)。所以，該類形狀函數(shù)在單元幾何形狀、節(jié)點(diǎn)分布和節(jié)點(diǎn)數(shù)一定時(shí)也隨之在單元幾何形狀、節(jié)點(diǎn)分布

4、和節(jié)點(diǎn)數(shù)一定時(shí)也隨之確定。確定。 2.Hermite 2.Hermite型形狀函數(shù)，其節(jié)點(diǎn)廣義位移包含節(jié)點(diǎn)型形狀函數(shù)，其節(jié)點(diǎn)廣義位移包含節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)位移導(dǎo)數(shù)。位移和節(jié)點(diǎn)位移導(dǎo)數(shù)。一、形狀函數(shù)類型及其特征一、形狀函數(shù)類型及其特征 在第二章中，曾經(jīng)討論過單元內(nèi)點(diǎn)位移函數(shù)假設(shè)在第二章中，曾經(jīng)討論過單元內(nèi)點(diǎn)位移函數(shù)假設(shè)適應(yīng)滿足的適應(yīng)滿足的4 4項(xiàng)原則。項(xiàng)原則。包含單元的剛體位移包含單元的剛體位移包含單元的常應(yīng)變狀態(tài)包含單元的常應(yīng)變狀態(tài)保證不偏惠各坐標(biāo)軸保證不偏惠各坐標(biāo)軸保證單元內(nèi)位移連續(xù)保證單元內(nèi)位移連續(xù)體現(xiàn)位移函數(shù)完備性體現(xiàn)位移函數(shù)完備性體現(xiàn)位移函數(shù)幾何不變性體現(xiàn)位移函數(shù)幾何不變性體現(xiàn)位移函數(shù)協(xié)調(diào)

5、性體現(xiàn)位移函數(shù)協(xié)調(diào)性一、形狀函數(shù)類型及其特征一、形狀函數(shù)類型及其特征 要保證位移函數(shù)的幾何不變性，位移函數(shù)多項(xiàng)要保證位移函數(shù)的幾何不變性，位移函數(shù)多項(xiàng)式的各項(xiàng)應(yīng)根據(jù)帕斯卡三角形來選擇。式的各項(xiàng)應(yīng)根據(jù)帕斯卡三角形來選擇。3223221yxyyxxyxyxyx二維單元的帕斯卡三角形二維單元的帕斯卡三角形一、形狀函數(shù)類型及其特征一、形狀函數(shù)類型及其特征三三維維的的帕帕斯斯卡卡三三角角形形3222232232221zyzxzzyxyzzxyxyyxxzyzzxyxyxzyx一、形狀函數(shù)類型及其特征一、形狀函數(shù)類型及其特征形狀函數(shù)應(yīng)該滿足以下條件形狀函數(shù)應(yīng)該滿足以下條件1.1.2.2.3.3.保證所定義

6、位移函數(shù)在相鄰單元之間的連續(xù)保證所定義位移函數(shù)在相鄰單元之間的連續(xù)4.4.保證所定義位移函數(shù)反映常應(yīng)變狀態(tài)保證所定義位移函數(shù)反映常應(yīng)變狀態(tài)0011jiiiliXNilXNilXN11miiiXN一、形狀函數(shù)類型及其特征一、形狀函數(shù)類型及其特征 工程實(shí)際中有一種結(jié)構(gòu)，特征為：存在一個(gè)長維，但工程實(shí)際中有一種結(jié)構(gòu)，特征為：存在一個(gè)長維，但相對而言又不像平面應(yīng)變那樣，長短比略小，且載荷可相對而言又不像平面應(yīng)變那樣，長短比略小，且載荷可以為任意。比較典型的是井架、塔架等框架結(jié)構(gòu)，這類以為任意。比較典型的是井架、塔架等框架結(jié)構(gòu)，這類結(jié)構(gòu)可用有限元中的一維單元來離散，根據(jù)問題的不同，結(jié)構(gòu)可用有限元中的一維

7、單元來離散，根據(jù)問題的不同，一維單元又可分為桿單元和梁單元。一維單元又可分為桿單元和梁單元。二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩?、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.桿單元桿單元 桿單元受軸向力，在單元端點(diǎn)處無彎矩和扭矩作用，桿單元受軸向力，在單元端點(diǎn)處無彎矩和扭矩作用，將此單元獨(dú)立出來進(jìn)行受力分析時(shí)為二力桿。根據(jù)單元將此單元獨(dú)立出來進(jìn)行受力分析時(shí)為二力桿。根據(jù)單元形狀函數(shù)的階次，又可分為一次桿單元和二次桿單元。形狀函數(shù)的階次，又可分為一次桿單元和二次桿單元。一次桿單元一次桿單元 單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖所示，編號為單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖所示，編號為i i、j,j,采用局部采用局部坐標(biāo)坐標(biāo) ，記，記 ，并取，并取

8、i i為為x x坐標(biāo)的原點(diǎn)，則有坐標(biāo)的原點(diǎn)，則有l(wèi)xi(1)i(1)j(2)j(2)l lFFxjixxxx10 根據(jù)形狀函數(shù)的定義，我們知道，形狀函數(shù)是根據(jù)形狀函數(shù)的定義，我們知道，形狀函數(shù)是描述或反映單元內(nèi)點(diǎn)位移與單元節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。描述或反映單元內(nèi)點(diǎn)位移與單元節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。對于上述問題，已知節(jié)點(diǎn)位移為對于上述問題，已知節(jié)點(diǎn)位移為u ui i,u,uj j, ,而要求節(jié)點(diǎn)而要求節(jié)點(diǎn)間任一內(nèi)點(diǎn)的位移，顯然可以根據(jù)線性插值來計(jì)算間任一內(nèi)點(diǎn)的位移，顯然可以根據(jù)線性插值來計(jì)算（二點(diǎn)一次拉氏插值），即（二點(diǎn)一次拉氏插值），即 lxNlxlN21;)(212121000uuNNuulxullxu1.

9、1.桿單元桿單元 一次桿單元一次桿單元二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩?、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚧氪?，有，有 21;1NN令令 21;1得得 2211;NN所以單元內(nèi)點(diǎn)位移為所以單元內(nèi)點(diǎn)位移為 2121)(uuxu單元應(yīng)變單元應(yīng)變 212111uuddNddNldduldxdddudxdu1.1.桿單元桿單元 一次桿單元一次桿單元二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩?、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝?eBuul21111所以，幾何矩陣為所以，幾何矩陣為 llB11單元應(yīng)力為單元應(yīng)力為 E彈性矩陣彈性矩陣 ED 單元?jiǎng)偠染仃囃ㄊ綖閱卧獎(jiǎng)偠染仃囃ㄊ綖?dVBDBkTVe二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩?、一維單元及其單元

10、剛度陣代入，得代入，得 1111lEABDBAldxBDBAkTlTe這是一次桿單元的單剛陣，它對這是一次桿單元的單剛陣，它對稱、對角線元素大于零且奇異！稱、對角線元素大于零且奇異！ 1.1.桿單元桿單元 一次桿單元一次桿單元 當(dāng)上述單元用于描述僅受扭轉(zhuǎn)變形的桿件時(shí)，當(dāng)上述單元用于描述僅受扭轉(zhuǎn)變形的桿件時(shí)，其單剛陣類似于一次桿單元的單剛陣，為：其單剛陣類似于一次桿單元的單剛陣，為： 1111lGJkei(1)i(1)j(2)j(2)l lMnxMn二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩⒁痪S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.桿單元桿單元 一次桿單元一次桿單元二次桿單元二次桿單元 單元有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖所示，端點(diǎn)編

11、號為單元有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖所示，端點(diǎn)編號為i i、j,j,三個(gè)節(jié)點(diǎn)依次為三個(gè)節(jié)點(diǎn)依次為1 1、3 3、2 2。單元位移可以根據(jù)拋物。單元位移可以根據(jù)拋物線插值（亦稱三點(diǎn)兩次拉氏插值）獲得，即線插值（亦稱三點(diǎn)兩次拉氏插值）獲得，即jixxxx10i(1)i(1)j(2)j(2)l lFFx(3)(3)同樣令同樣令 21;1二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩?、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.桿單元桿單元 2132222212114)1 (4222)1)(12(NNN321)2)(2()(0()2()2)(0()(2()(2()(ulllxxulllxxulllxlxxu令令二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩?、一維

12、單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.桿單元桿單元 二次桿單元二次桿單元所以單元內(nèi)點(diǎn)位移為所以單元內(nèi)點(diǎn)位移為 321321)(uuuNNNxu單元應(yīng)變單元應(yīng)變 eBuuuddNddNddNl3211211二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩?、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.桿單元桿單元 二次桿單元二次桿單元 )44()14()14(12121lB幾何矩陣為幾何矩陣為 單元應(yīng)力為單元應(yīng)力為 E ED 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?16888718173lEAdxBDBAklTe二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩?、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.桿單元桿單元 二次桿單元二次桿單元73)14(201211lEAdxlEAkl元素的計(jì)

13、算元素的計(jì)算 )!1() !)(!()(122121nmnmxxdxnxxm可以直接應(yīng)用可以直接應(yīng)用 元素的計(jì)算元素的計(jì)算 73)14(022222lEAdxlEAkl163)44(0221233lEAdxlEAkl13)14)(14(022212lEAdxlEAkl二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩⒁痪S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.桿單元桿單元 二次桿單元二次桿單元元素的計(jì)算元素的計(jì)算 二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩?、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.桿單元桿單元 二次桿單元二次桿單元)8(3)44)(14(0212223lEAdxlEAkl)8(3)44)(14(0211213lEAdxlEAkl其余元

14、素利用對稱性可求得其余元素利用對稱性可求得 233212311221kkkkkk2.2.三次梁單元三次梁單元 梁單元如圖所示，僅考慮節(jié)點(diǎn)在梁單元如圖所示，僅考慮節(jié)點(diǎn)在xoyxoy平面內(nèi)的位移平面內(nèi)的位移為為v v、，這時(shí)一個(gè)單元有四個(gè)自由度，這時(shí)一個(gè)單元有四個(gè)自由度，形狀函數(shù)為，形狀函數(shù)為三次多項(xiàng)式，即使用三次三次多項(xiàng)式，即使用三次HermiteHermite插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式。二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩?、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝? 12 2l lMz1xMZ2yzQy2Qy12.2.三次梁單元三次梁單元二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩⒁痪S單元及其單元?jiǎng)偠汝嘥vvNNNNlxlxllxxvl

15、xllxvllxlxxv2211432122122212)00)()0)(0()00)(021 ()0)(0021 ()(HermiteHermite位移插值多項(xiàng)式位移插值多項(xiàng)式2.2.三次梁單元三次梁單元 224223222221)1()()23()()(21)1 ()1 ()1)(21 ()(21 (llxlxNlxllxNllxxNllxlxN其中其中二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩⒁痪S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.2.三次梁單元三次梁單元 22dxvdy根據(jù)平面梁彎曲變形公式（忽略剪切變形）根據(jù)平面梁彎曲變形公式（忽略剪切變形）2211242232222212vvdxNddxNddxNddxNd

16、y eB NyNNNNyB 4321其中其中二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩⒁痪S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.2.三次梁單元三次梁單元 )2(2)13(2)21 (6)21 (6)2(2)23(2)21 (6)12(612422231221221 llNllNllNllN二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩?、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝噅ixxxx10同樣令同樣令 2112.2.三次梁單元三次梁單元單元應(yīng)力為單元應(yīng)力為 E ED 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?dxNNEJdxdANNyEdxdABDBdVBDBklTzlATlATVTe 0020)()(引入引入 AzdAyJ2二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩?、一維單元及其單

17、元?jiǎng)偠汝?.2.三次梁單元三次梁單元2222346266126122646612612lllllllllllllEJkze單單元元?jiǎng)倓偠榷染鼐仃囮?32401112)12(36lEJdxlEJkzlz元素的計(jì)算元素的計(jì)算 二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩⒁痪S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.2.三次梁單元三次梁單元二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩⒁痪S單元及其單元?jiǎng)偠汝噇EJdxlEJkzlz4)23(422022元素的計(jì)算元素的計(jì)算 32403312)21 (36lEJdxlEJkzlzlEJdxlEJkzlz4)13(422044230126)23)(12(12lEJdxlEJkzlz2.2.三次梁單元三次

18、梁單元二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩?、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝?401312)21)(12(36lEJdxlEJkzlz元素的計(jì)算元素的計(jì)算 230146)13)(12(12lEJdxlEJkzlz230236)21)(23(12lEJdxlEJkzlz2.2.三次梁單元三次梁單元二、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚩?、一維單元及其單元?jiǎng)偠汝?30346)13)(21 (12lEJdxlEJkzlz元素的計(jì)算元素的計(jì)算 lEJdxlEJkzlz2)12)(23(42024其余元素利用對稱性可求的其余元素利用對稱性可求的 344324422332144113311221kkkkkkkkkkkk 二維單元用于分

19、析和解決平面問題和軸對稱為二維單元用于分析和解決平面問題和軸對稱為題。在第二章中已詳細(xì)介紹過，而且是在直角坐題。在第二章中已詳細(xì)介紹過，而且是在直角坐標(biāo)中推導(dǎo)的。在下面這一節(jié)中，我們將介紹兩種標(biāo)中推導(dǎo)的。在下面這一節(jié)中，我們將介紹兩種平面單元，即三角形單元和四邊形單元，包括一平面單元，即三角形單元和四邊形單元，包括一次和二次三角形單元以及一次四邊形單元。次和二次三角形單元以及一次四邊形單元。三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元三角形單元按其位移的階數(shù)分為一、二、三次單元。三角形單元按其位移的階數(shù)分為一、二、三次單元。一次一次三角形單元三角形單元 第二

20、章詳細(xì)介紹過這種單元，其形狀函數(shù)是坐標(biāo)第二章詳細(xì)介紹過這種單元，其形狀函數(shù)是坐標(biāo)的一次多項(xiàng)式，推導(dǎo)采用直角坐標(biāo)。對于高次三角的一次多項(xiàng)式，推導(dǎo)采用直角坐標(biāo)。對于高次三角形單元，這類坐標(biāo)不方便，特此引入面積坐標(biāo)。形單元，這類坐標(biāo)不方便，特此引入面積坐標(biāo)。1.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚸娣e坐標(biāo)面積坐標(biāo) 如圖所示，在三角形單元如圖所示，在三角形單元A A1 1A A2 2A A3 3中，中，有任意一點(diǎn)有任意一點(diǎn)P(x,yP(x,y) )連接連接PAPA1 1、PAPA2 2、PAPA3 3, ,得到三個(gè)小三角形：得到三個(gè)

21、小三角形：PAPA2 2A A3 3、PAPA3 3A A1 1、PAPA1 1A A2 2, ,記面積比為：記面積比為：321213321132321321AAAAPAAAAAPAAAAAPA稱稱1 1、2 2、3 3為為P P點(diǎn)的點(diǎn)的面積坐標(biāo)面積坐標(biāo)xyA1A2A3P(x,y)o三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標(biāo)面積坐標(biāo) 由于由于1 1+2 2+3 3=1=1，因此該三，因此該三個(gè)坐標(biāo)不獨(dú)立。其負(fù)號的規(guī)定為：個(gè)坐標(biāo)不獨(dú)立。其負(fù)號的規(guī)定為：分子分母對應(yīng)的三角形頂點(diǎn)編號分子分母對應(yīng)的三角形頂點(diǎn)編號轉(zhuǎn)向相同時(shí)為正

22、，反之為負(fù)，由轉(zhuǎn)向相同時(shí)為正，反之為負(fù)，由于三角形于三角形A A1 1A A2 2A A3 3的頂點(diǎn)編號一般規(guī)的頂點(diǎn)編號一般規(guī)定為逆時(shí)針，因此，子三角形頂定為逆時(shí)針，因此，子三角形頂點(diǎn)編號為逆時(shí)針時(shí)面積坐標(biāo)為正，點(diǎn)編號為逆時(shí)針時(shí)面積坐標(biāo)為正，反之為負(fù)。反之為負(fù)。xyA1A2A3P(x,y)o三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標(biāo)面積坐標(biāo)三角形中一些特殊點(diǎn)的三角形中一些特殊點(diǎn)的面積坐標(biāo)面積坐標(biāo)頂頂點(diǎn)點(diǎn))1 ,0 ,0()0 , 1 ,0()0 ,0 , 1 (321AAA邊邊中中點(diǎn)點(diǎn))0 ,21,21()21,0 ,

23、21()21,21,0(654AAA形心形心)31,31,31(GxyA1A2A3GA6A5A4o三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系 三角形三個(gè)頂點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（三角形三個(gè)頂點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（x xi i,y,yi i）, ,則則A A1 1A A2 2A A3 3的面積為的面積為Dyyyxxx2111121321321類似地三個(gè)小三角形的面積依次為類似地三個(gè)小三角形的面積依次為三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形

24、單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系3232)1(11121yyyxxx1313)2(11121yyyxxx2121)3(11121yyyxxx三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系32132123321xxcyybyxyxaDaycxbyxxxyyyxyxDAAAAPA)()()()(111132322332321321其中其中三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三

25、角形單元面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系同理同理DaycxbyxxxyyyxyxD)()()()(1222131331132DaycxbyxxxyyyxyxD)()()()(1333212112213三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)xcyybyxyxa其中其中21321312213xxcyybyxyxakjikjikjkjixxcyybyyxxa,令令i=1,2,3;ii=1,2,3;i、j j、k k按按1,2,31,2,3輪轉(zhuǎn)

26、輪轉(zhuǎn)三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系則則3 ,2, 1)(iDaycxbiiii于是有于是有yxcbacbacbaD11333222111321面面積積坐坐標(biāo)標(biāo)直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系對于單元的三個(gè)角點(diǎn)，應(yīng)有對于單元的三個(gè)角點(diǎn)，應(yīng)有0011111333222111yxcbacbacbaDA A1 1點(diǎn)點(diǎn)0101122333

27、222111yxcbacbacbaDA A2 2點(diǎn)點(diǎn)三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系1001133333222111yxcbacbacbaDA A3 3點(diǎn)點(diǎn)1000100011111321321333222111yyyxxxcbacbacbaD重寫上述三式重寫上述三式三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系所以有所以有133322211132132111

28、11cbacbacbaDyyyxxx于是有于是有3213213211111yyyxxxyx直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)面面積積坐坐標(biāo)標(biāo)三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元形狀函數(shù)形狀函數(shù)根據(jù)形狀函數(shù)的定義根據(jù)形狀函數(shù)的定義332211321),(iiiigggNi=1i=1時(shí)，對于時(shí)，對于A A1、A A2、A A3 3點(diǎn)點(diǎn) 0)1 ,0,0(),(:0)0, 1 ,0(),(:1)0,0, 1(),(:131321131213211211132111gNNAgNNAgNNAi=1,2,3i=1,2,3所以所以13211),(N三、

29、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元形狀函數(shù)形狀函數(shù)同理，同理，i=2i=2、3 3時(shí)，對于時(shí)，對于A A1、A A2、A A3 3點(diǎn)點(diǎn) 0)1 ,0,0(),(:1)0, 1 ,0(),(:0)0,0, 1(),(:232321232223212221232121gNNAgNNAgNNA1)1 ,0,0(),(:0)0, 1 ,0(),(:0)0,0, 1(),(:333321333233213231332131gNNAgNNAgNNA33213),(N所以所以23212),(N于是于是 TTvvvNNNvuuuNNNu3

30、21321321321單元應(yīng)變單元應(yīng)變 332211332211321321000000vuvuvuxNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxNxvyuyvxu三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元位移函數(shù)位移函數(shù)三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元 eTxyyxB其中其中 為幾何矩陣為幾何矩陣 B xNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxNB332211321321000000單元應(yīng)變單元應(yīng)變 利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的公式利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)

31、數(shù)的公式)(1332211332211bbbDxxxx三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元)(1332211332211cccDyyyy幾何矩陣幾何矩陣 三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 一次三角形單元一次三角形單元可得可得)3 ,2, 1( iDcyNDbxNiiii；平面應(yīng)力問題的應(yīng)力為平面應(yīng)力問題的應(yīng)力為 DTxyyx單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?BDBtAdVBDBkTTVe幾何矩陣幾何矩陣 三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單

32、元 一次三角形單元一次三角形單元單元?jiǎng)傟噯卧獎(jiǎng)傟?332312322211312112)1 (4kkkkkkkkkEtke二次三角形單元二次三角形單元xy123645o 二次三角形單元，如圖所示，二次三角形單元，如圖所示，單元共六個(gè)節(jié)點(diǎn)，單元共六個(gè)節(jié)點(diǎn)，1212個(gè)自由度，個(gè)自由度，三個(gè)角節(jié)點(diǎn)，三個(gè)邊中點(diǎn)。三個(gè)角節(jié)點(diǎn)，三個(gè)邊中點(diǎn)。 三、二維單元及其單剛陣三、二維單元及其單剛陣1.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元形狀函數(shù)形狀函數(shù)136325214232221132132),(iiiiiiiggggggNi=1,2i=1,2，6 6節(jié)點(diǎn)面積坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)面積坐標(biāo))0,21,21(6)

33、 ,21,0,21(5) ,21,21,0(4)1 ,0,0(3)0, 1 ,0(2)0,0, 1(1；xy123645o對于對于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6點(diǎn)點(diǎn) 1)0,21,21(:0)21,0,21(:1)21,21,0(:0)1 ,0,0(:0)0, 1 ,0(:1)0,0, 1(:161615151414131312121111gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元形狀函數(shù)形狀函數(shù)113211)12(),(N形狀函數(shù)分量形狀函數(shù)分量

34、),(3211N三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元223212)12(),(N形狀函數(shù)形狀函數(shù)形狀函數(shù)分量形狀函數(shù)分量),(3212N同樣，同樣，對于對于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6點(diǎn)點(diǎn) 0)0,21,21(:1)21,0,21(:1)21,21,0(:0)1 ,0,0(:1)0, 1 ,0(:0)0,0, 1(:262625252424232322222121gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單

35、元 二次三角形單元二次三角形單元333213)12(),(N形狀函數(shù)形狀函數(shù)形狀函數(shù)分量形狀函數(shù)分量),(3213N同樣，同樣，對于對于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6點(diǎn)點(diǎn) 0)0,21,21(:1)21,0,21(:1)21,21,0(:0)1 ,0,0(:1)0, 1 ,0(:0)0,0, 1(:363635353434333332323131gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元3232144),(N形狀函數(shù)形狀函數(shù)形狀函數(shù)分量形狀函數(shù)分量

36、),(3214N同樣，同樣，對于對于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6點(diǎn)點(diǎn) 0)0,21,21(:0)21,0,21(:1)21,21,0(:0)1 ,0,0(:0)0, 1 ,0(:0)0,0, 1(:164615451444134312421141gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元1332154),(N形狀函數(shù)形狀函數(shù)形狀函數(shù)分量形狀函數(shù)分量),(3215N同樣，同樣，對于對于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A

37、 A6 6點(diǎn)點(diǎn) 0)0,21,21(:0)21,0,21(:1)21,21,0(:0)1 ,0,0(:0)0, 1 ,0(:0)0,0, 1(:565655555454535352525151gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元2132164),(N形狀函數(shù)形狀函數(shù)形狀函數(shù)分量形狀函數(shù)分量),(3216N同樣，同樣，對于對于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6點(diǎn)點(diǎn) 1)0,21,21(:0)21,0,21(:0)21,21,0(:0)1 ,0,0(

38、:0)0, 1 ,0(:0)0,0, 1(:666665656464636362626161gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元位移函數(shù)位移函數(shù)6161iiiiiivNvuNu其中其中 為幾何矩陣為幾何矩陣 B單元應(yīng)變單元應(yīng)變 eTxyyxBxvyuyvxu xNyNxNyNxNyNxNyNxNyNxNyNyNyNyNyNyNyNxNxNxNxNxNxNB665544332211654321654321000000000000三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠汝噹缀尉仃?/p>

39、幾何矩陣)3 ,2, 1()14()14(iDcyNDbxNiiiiii1.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元3 ,2, 1,6,5 ,4)(4)(4kjiccDyNbbDxNikijiikiji三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠汝噹缀尉仃噹缀尉仃嚻矫鎽?yīng)力問題的應(yīng)力為平面應(yīng)力問題的應(yīng)力為 DTxyyx1.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元j j、k k根據(jù)根據(jù)i=4i=4、5 5、6 6依次按依次按1,2,31,2,3輪轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.三角形單元三角形單元 二次三角形單元二次三角形單元注意

40、使用積分公式注意使用積分公式)2() !)(!)(!(2nmlnmlAdxdySnkmjli dSBDBtdVBDBkSTTVe單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?2.2.矩形單元矩形單元三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?矩形單元如圖所示，共四個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)矩形單元如圖所示，共四個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)自由度，單元共自由度，單元共8 8個(gè)節(jié)點(diǎn)位移。為計(jì)算方便，引入個(gè)節(jié)點(diǎn)位移。為計(jì)算方便，引入新的變量：新的變量：,xy123o4令令 )(1)(100yybxxa一次矩形單元一次矩形單元2.2.矩形單元矩形單元 一次矩形單元一次矩形單元三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠?/p>

41、陣其中其中 2)(2)(224102101412yyyxxxyybxxa)1 , 1(),(:)1 , 1(),(:)1, 1(),(:)1, 1(),(:44332211AAAAAAAA四個(gè)角點(diǎn)新坐標(biāo)四個(gè)角點(diǎn)新坐標(biāo) xy123o4三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝囆螤詈瘮?shù)形狀函數(shù)利用形狀函數(shù)的性質(zhì)，可得利用形狀函數(shù)的性質(zhì)，可得 )4,3 ,2, 1()1)(1(41),(iNiii驗(yàn)證驗(yàn)證 )4,3 ,2, 1,(0)1)(1(41),(1)1)(1(41),(jiNNjijijjiiiiiiii2.2.矩形單元矩形單元 一次矩形單元一次矩形單元三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?/p>

42、、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝囄灰坪瘮?shù)位移函數(shù)4141iiiiiivNvuNu其中其中 為幾何矩陣為幾何矩陣 B單元應(yīng)變單元應(yīng)變 eTxyyxBxvyuyvxu2.2.矩形單元矩形單元 一次矩形單元一次矩形單元三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?TevuvuvuvuBBBBB443322114321其中其中 4,3 ,2, 100ixNyNyNxNBiiiii幾何矩陣幾何矩陣2.2.矩形單元矩形單元 一次矩形單元一次矩形單元三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝噹缀尉仃噹缀尉仃?.2.矩形單元矩形單元 一次矩形單元一次矩形單元 xNyNxNyNxNyNxNyNyNyN

43、yNyNxNxNxNxNB443322114321432100000000三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚻矫鎽?yīng)力問題的應(yīng)力為平面應(yīng)力問題的應(yīng)力為 DTxyyx 44434241343332312423222114131211kkkkkkkkkkkkkkkkdVBDBkTVe單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?2.2.矩形單元矩形單元 一次矩形單元一次矩形單元三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠汝嚻渲衅渲?)4, 3 ,2, 1,(jidxdyBDBtkAjTiij對于平面應(yīng)變問題對于平面應(yīng)變問題22211211)21)(1 (4kkkkEtkij)31 (221)31

44、 ()1 (11jijijijibaabk2.2.矩形單元矩形單元 一次矩形單元一次矩形單元三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝噅ijik22112)31 (221)31 ()1 (22jijijijibaabkijijk221212.2.矩形單元矩形單元 一次矩形單元一次矩形單元三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.2.矩形單元矩形單元二次矩形單元二次矩形單元xy123o487651111令令 )(1)(100yybxxa2)(2)(224102101412yyyxxxyybxxa)0, 1(),()1 ,0(),()0, 1(),()1,0(),()1 ,

45、 1(),()1 , 1(),()1, 1(),()1, 1(),(87654321AAAAAAAA八個(gè)節(jié)點(diǎn)新坐標(biāo)八個(gè)節(jié)點(diǎn)新坐標(biāo) 三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.2.矩形單元矩形單元 二次矩形單元二次矩形單元xy123o487651111形狀函數(shù)形狀函數(shù)利用形狀函數(shù)的性質(zhì)，可得利用形狀函數(shù)的性質(zhì)，可得 )4,3 ,2, 1()1)(1)(1(41),(iNiiiii三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.2.矩形單元矩形單元 二次矩形單元二次矩形單元)8 ,6()1)(1(41),(2iNii)7,5()1)(1(21),(2iNii三、二維單元及其單元

46、剛度陣三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.2.矩形單元矩形單元 二次矩形單元二次矩形單元位移函數(shù)位移函數(shù)8181iiiiiivNvuNu其中其中 為幾何矩陣為幾何矩陣 B單元應(yīng)變單元應(yīng)變 eTxyyxBxvyuyvxu三、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝嚾⒍S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.2.矩形單元矩形單元 二次矩形單元二次矩形單元幾何矩陣幾何矩陣 TevuvuvuBBBB882211821163 xNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxNB882211821821163000000平面應(yīng)力問題的應(yīng)力為平面應(yīng)力問題的應(yīng)力為 DTxyyx dVBDBkTVe1616單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?三、二維單元及其單

47、元?jiǎng)偠汝嚾?、二維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.2.矩形單元矩形單元 二次矩形單元二次矩形單元 工程中的一切問題都對應(yīng)著空間三維問題，都可以工程中的一切問題都對應(yīng)著空間三維問題，都可以用三維單元來構(gòu)成其總體結(jié)構(gòu)。本課程介紹三維單元用三維單元來構(gòu)成其總體結(jié)構(gòu)。本課程介紹三維單元及其單剛陣，包括六面體、四面體和曲線等參單元。及其單剛陣，包括六面體、四面體和曲線等參單元。四、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁?、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.六面體單元六面體單元 單元如圖所示，共單元如圖所示，共8 8個(gè)節(jié)點(diǎn)，個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移參數(shù)是每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移參數(shù)是u u、v v、w w，在進(jìn)行單元分析時(shí)，同矩形單在進(jìn)行單元分析時(shí)

48、，同矩形單元一樣，常用局部坐標(biāo)元一樣，常用局部坐標(biāo) 表示，其原點(diǎn)位于六面表示，其原點(diǎn)位于六面體形心，坐標(biāo)方向同體形心，坐標(biāo)方向同x x、y y、z z一一致，其相互關(guān)系為：致，其相互關(guān)系為：,yz123o4x8567yz123o4x8567四、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁?、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.六面體單元六面體單元令令 )(2)(2)(2000zzcyybxxa2)(2)(2)(510154102101412zzzzzcyyyxxxyybxxa四、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁摹⑷S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.六面體單元六面體單元形狀函數(shù)形狀函數(shù))8 ,2, 1(8)1)(1)(1(),(iNii

49、iiyz123o4x8567)1 , 1, 1(),()1 , 1, 1(),()1 , 1 , 1(),()1 , 1 , 1(),()1, 1, 1(),()1, 1, 1(),()1, 1 , 1(),()1, 1 , 1(),(87654321AAAAAAAA八個(gè)角點(diǎn)新坐標(biāo)八個(gè)角點(diǎn)新坐標(biāo) 四、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁摹⑷S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.六面體單元六面體單元位移函數(shù)位移函數(shù)818181,iiiiiiiiiwNwvNvuNu驗(yàn)證驗(yàn)證 )8 ,2, 1,(0)1)(1)(1(81),(1)1)(1)(1(81),(jiNNjijijijjjiiiiiiiiiii四、三維單元及其單

50、元?jiǎng)偠汝囁?、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.六面體單元六面體單元單元應(yīng)變單元應(yīng)變 eTzxyzxyzyxBzuxwywzvxvyuzwyvxu其中其中 為幾何矩陣為幾何矩陣 B四、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁摹⑷S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.六面體單元六面體單元幾何矩陣幾何矩陣 TewvuuwvuBBBB8882111821246四、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁?、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.六面體單元六面體單元幾何矩陣幾何矩陣 ) 8 , 2 , 1(00000000036ixNzNyNzNxNyNzNyNxNBiiiiiiiiii三維問題的應(yīng)力為三維問題的應(yīng)力為 DTzxyzxyzyx四、三維單元及其

51、單元?jiǎng)偠汝囁摹⑷S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.六面體單元六面體單元 )1 ( 2)21 (0)1 ( 2)21 (00)1 ( 2)21 (0001000)1 (1000)1 ()1 (1)21)(1 ()1 (對稱ED彈性矩陣彈性矩陣 dVBDBkTVe2424單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?四、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁摹⑷S單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.六面體單元六面體單元888281282221181211kkkkkkkkkke 5762424四、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁?、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.六面體單元六面體單元333231222221131211)21)(1 (16kkkkkkkkkEV

52、kij單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?為為3x33x3的塊方陣，的塊方陣，i i，j=1j=1，2 2，8 8，且，且 cbaV)31)(31 ()31)(31 (221)31)(31 ()1 (22211jijijijijijijijijicbak四、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁?、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.六面體單元六面體單元單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?)31)(31 ()31)(31 (221)31)(31 ()1 (22222jijijijijijijijijicabk)31)(31 ()31)(31 (221)31)(31 ()1 (22233jijijijijijijijijiback四、三

53、維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁?、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.六面體單元六面體單元單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?)221)(31 (112jijijiabk)221)(31 (113jijijiack)221)(31 (121jijijiabk)221)(31 (123jijijibck四、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁?、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.1.六面體單元六面體單元單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?)221)(31 (131jijijiack)221)(31 (132jijijibck四、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁?、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.2.四面體單元四面體單元 工程實(shí)際中的結(jié)構(gòu)往往比較復(fù)雜，僅用形狀規(guī)則工程實(shí)

54、際中的結(jié)構(gòu)往往比較復(fù)雜，僅用形狀規(guī)則的單元難于較好的近似結(jié)構(gòu)的幾何邊界，下面介紹的單元難于較好的近似結(jié)構(gòu)的幾何邊界，下面介紹多用于過度單元的多用于過度單元的4 4面體面體4 4節(jié)點(diǎn)三維單元。節(jié)點(diǎn)三維單元。 1234P 采用體積坐標(biāo)，單元內(nèi)任意一采用體積坐標(biāo)，單元內(nèi)任意一點(diǎn)點(diǎn)P P的位置由的位置由4 4個(gè)比值來確定：個(gè)比值來確定： VVVVVVVVPPPP12343412334122341 143212.2.四面體單元四面體單元V V是四面體的體積是四面體的體積 432143214321111161zzzzyyyyxxxxV 4324324321111161zzzzyyyyxxxxV 14314

55、31432111161zzzzyyyyxxxxV 2142142143111161zzzzyyyyxxxxV 四、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁?、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁?、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁?、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.2.四面體單元四面體單元3213213214111161zzzzyyyyxxxxV zdycxbaV11111其中其中 4324324321zzzyyyxxxa 4324321111zzzyyyb四、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁?、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.2.四面體單元四面體單元其中其中 4324321111zzzxxxc 4324321111yyyxxxd 4 , 3 , 2 ,

56、16)(izdycxbaiiiii 414141411iiiiiiiiiiizzyyxx四、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁?、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.2.四面體單元四面體單元44332211NNNN形狀函數(shù)形狀函數(shù) 從而可以推的位移函數(shù)、單元應(yīng)變、幾何矩陣、彈從而可以推的位移函數(shù)、單元應(yīng)變、幾何矩陣、彈性矩陣、剛度矩陣。性矩陣、剛度矩陣。 )!3() !)(!)(!)(!(64321knmlknmlVdxdydzknmVl積分中用到積分中用到四、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝囁?、三維單元及其單元?jiǎng)偠汝?.3.曲邊等參單元曲邊等參單元 前面介紹的幾種單元幾何形狀規(guī)則，便于進(jìn)行運(yùn)前面介紹的幾種單元幾何形狀規(guī)則，便于進(jìn)行運(yùn)算，但難以適應(yīng)工程實(shí)際的需要，工程實(shí)際中零部算，但難以適應(yīng)工程實(shí)際的需要，工程實(shí)際中零部件的外形基本上都比較復(fù)雜。曲邊等參單元可以解件的外形基本上都比較復(fù)雜。曲邊等參單元可以解決這個(gè)矛盾，這種單元可以用曲邊單元?jiǎng)澐謱?shí)際結(jié)決這個(gè)矛盾，這種單元可以用曲邊單元?jiǎng)澐謱?shí)際結(jié)構(gòu)，而按直邊單元進(jìn)行計(jì)算，中間用坐標(biāo)變換來轉(zhuǎn)構(gòu)，而按直邊單元進(jìn)行計(jì)算，中間用坐標(biāo)變換來轉(zhuǎn)換之，把（換之，把（x,y,zx,y,z）轉(zhuǎn)換成（）轉(zhuǎn)換成（ ）。）。 ,坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 用平面單