大學(xué)物理第2章 剛體

1、第二章第二章 剛體剛體2.1 2.1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動2.2 2.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律及其應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律及其應(yīng)用2.3 2.3 對定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒對定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒2.4 2.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動的功和能剛體定軸轉(zhuǎn)動的功和能2.1 2.1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動2.1.1 2.1.1 平動和轉(zhuǎn)動平動和轉(zhuǎn)動一、剛體（一、剛體（rigid body） 特殊的質(zhì)點系，運動中形狀、大小不變，理特殊的質(zhì)點系，運動中形狀、大小不變，理想模型。想模型。二、剛體運動的幾種形式二、剛體運動的幾種形式剛體的平動通常用剛體剛體的平動通常用剛體質(zhì)心質(zhì)心的運動的運動來代表。來代表。 1.1.

2、平動平動 剛體上所有點運動均相同。各點剛體上所有點運動均相同。各點a, v r 也相同。也相同。定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動：運動中剛體上：運動中剛體上各質(zhì)點均作圓周運動各質(zhì)點均作圓周運動，且各，且各 圓心都在同一條固定的直線（轉(zhuǎn)軸）上。圓心都在同一條固定的直線（轉(zhuǎn)軸）上。 如門窗，電扇風(fēng)葉的轉(zhuǎn)動等如門窗，電扇風(fēng)葉的轉(zhuǎn)動等 定點轉(zhuǎn)動：定點轉(zhuǎn)動：運動中剛體上運動中剛體上只有一點固定不動只有一點固定不動，整個，整個 剛體繞過該固定的某一瞬時軸線轉(zhuǎn)動。剛體繞過該固定的某一瞬時軸線轉(zhuǎn)動。 如陀螺的運動等如陀螺的運動等2.2.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動剛體不受限制的任意運動稱為剛體的一般運動剛體不受限制的任意運動稱為剛體的一般運動它

3、可以視為以下兩種剛體基本運動的疊加：它可以視為以下兩種剛體基本運動的疊加：o ooo3.3.平面平行運動平面平行運動剛體上各點都平行于剛體上各點都平行于某一固定平面某一固定平面的運動稱為剛體的運動稱為剛體的平面運動，又稱剛體的平面平行運動。的平面運動，又稱剛體的平面平行運動。如如 車輪直線滾動車輪直線滾動4.4.一般運動一般運動1）隨基點隨基點O的平動；的平動；2）繞通過基點繞通過基點O的瞬時的瞬時 軸的定點轉(zhuǎn)動。軸的定點轉(zhuǎn)動。ddtP P點線速度點線速度 rrrrv ）/P P點線加速度點線加速度dvddrarrvdtdtdt旋轉(zhuǎn)加速度旋轉(zhuǎn)加速度向軸加速度向軸加速度v rrP 基點基點O剛體

4、剛體剛體繞剛體繞O O點的轉(zhuǎn)動其轉(zhuǎn)軸是點的轉(zhuǎn)動其轉(zhuǎn)軸是可以改變的，為了反映轉(zhuǎn)動可以改變的，為了反映轉(zhuǎn)動的方向及轉(zhuǎn)動快慢，引入的方向及轉(zhuǎn)動快慢，引入角速度矢量角速度矢量 和角加速和角加速度矢量度矢量瞬時軸瞬時軸轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面2.1.2 2.1.2 角速度和角加速度角速度和角加速度 /r剛體上任意點都繞同一軸作圓周運動剛體上任意點都繞同一軸作圓周運動 rv2 rantdvardt0210022200 ()2 () ttt OvP,rr定軸定軸剛體剛體 參考方向參考方向z定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動 dtd 22dddtdt, 可用代數(shù)量表示可用代數(shù)量表示.const當(dāng)當(dāng), ，相同相同,2.1.3 2.1.3

5、 定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動慣量定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動慣量22() ()i imJm rJrdm離散連續(xù)dmrmJ J 反映剛體轉(zhuǎn)動慣性的大小反映剛體轉(zhuǎn)動慣性的大?。? 1）與剛體的）與剛體的質(zhì)量質(zhì)量有關(guān)。如鐵盤與木盤有關(guān)。如鐵盤與木盤（2 2）在質(zhì)量相同的情況下，與）在質(zhì)量相同的情況下，與質(zhì)量的分質(zhì)量的分布布有關(guān)，如：圓盤與圓環(huán)。有關(guān)，如：圓盤與圓環(huán)。（3 3）與）與轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。有關(guān)。一、轉(zhuǎn)動慣量的定義一、轉(zhuǎn)動慣量的定義2222mmmmJr dmrdVrdSrd l 面積體積線例例1 1：均勻圓環(huán)：均勻圓環(huán)( (m,R) )對于中心垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量對于中心垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量 （1） 選取微元

6、選取微元 dm dmRdRmdldm22 （2）求）求 d J dmRdmRdJ222 （3）求）求 J22022mRdmRJ 二、幾種典型剛體的轉(zhuǎn)動慣量二、幾種典型剛體的轉(zhuǎn)動慣量RmCdm2cJmR相當(dāng)于質(zhì)量為相當(dāng)于質(zhì)量為m的質(zhì)點對軸的的質(zhì)點對軸的J 例例2 2：求均勻圓盤：求均勻圓盤(m,R)對于中心垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量對于中心垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量（1） 選微元選微元d m222mdmrdrrdrR 求求 d J利用上題結(jié)果利用上題結(jié)果 dJ = r2 dm(3) 求求 J22022212mRrdrRmrdmrJRm 221mRJ 解：可視圓盤由許多小圓環(huán)組成。解：可視圓盤由許多小圓環(huán)組成。解解:

7、 :rrSddd Smdd SrJd 22200321mRrrR dd)21(212RmmRJ問問: 1)圓盤邊緣有一質(zhì)量為圓盤邊緣有一質(zhì)量為m1的小塊的小塊(很小很小)脫落了脫落了, 求對過中心垂直軸的求對過中心垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量? oo rdrdSd 例例2 2：求均勻圓盤：求均勻圓盤(m,R)對于中心垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量對于中心垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量例例3:3:求均勻細(xì)桿求均勻細(xì)桿( (m,L) )對質(zhì)心軸及邊緣軸的轉(zhuǎn)動對質(zhì)心軸及邊緣軸的轉(zhuǎn)動慣量慣量2112cJmLCAmL2L2xxdx1mdmdxdxL（）dxxdmxdJ 222 ）（dxxdJJLLmc 2223）（213AJmL可見，

8、質(zhì)量相同，形狀相同，轉(zhuǎn)軸不同，可見，質(zhì)量相同，形狀相同，轉(zhuǎn)軸不同，J不同。不同。2112mL0對質(zhì)心軸：對質(zhì)心軸：對邊緣軸：對邊緣軸：對質(zhì)心軸對質(zhì)心軸 三三. .關(guān)于關(guān)于J的幾條規(guī)律的幾條規(guī)律1.對同一軸對同一軸J具有可疊加性具有可疊加性J =Ji Jm rzi ii 22.2.平行軸定理平行軸定理JJmdc 2 CdOmJCJ平行平行說明說明 1.1.由平行軸定理可見，在各平行的轉(zhuǎn)由平行軸定理可見，在各平行的轉(zhuǎn)軸之中，通過軸之中，通過質(zhì)心質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸對應(yīng)的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)軸對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量最小。慣量最小。2.2.兩個都不通過質(zhì)心的平行轉(zhuǎn)軸之間兩個都不通過質(zhì)心的平行轉(zhuǎn)軸之間不存在類似關(guān)系。不存在類似關(guān)系。

9、又如求均勻圓盤對于通過其邊緣一點又如求均勻圓盤對于通過其邊緣一點 O 的的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量平行軸的轉(zhuǎn)動慣量: :2COmdJJ 2222321mRmRmRoJ R C mO由前面例由前面例3 3中結(jié)果中結(jié)果2CAmdJJ 22231212mLLmLm 【用鼠標(biāo)左鍵點擊圖中公式可出現(xiàn)用鼠標(biāo)左鍵點擊圖中公式可出現(xiàn)8 8個演示動畫個演示動畫】常見形狀轉(zhuǎn)動慣量【動畫演示】常見形狀轉(zhuǎn)動慣量【動畫演示】竿子長些還是短些較安全？竿子長些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？2.1.4 2.1.4 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量 轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸 miri一、

10、剛體的角動量一、剛體的角動量（angular momentum) 2iiirmL iiLL iiirm 2 iiirmL 2 iiirm )(2若質(zhì)量連續(xù)分布若質(zhì)量連續(xù)分布 )(2 VdmrL J )(iiiivmrL JL ivir 2.2 2.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律及應(yīng)用剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律及應(yīng)用 2.2 .1 2.2 .1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律一一力矩力矩外力對剛體轉(zhuǎn)動的影響，不僅與力的大小有關(guān)，而且外力對剛體轉(zhuǎn)動的影響，不僅與力的大小有關(guān)，而且與力的作用點的位置和方向都有關(guān)。即，只有力矩才與力的作用點的位置和方向都有關(guān)。即，只有力矩才能改變剛體的轉(zhuǎn)動。當(dāng)能改變剛體的轉(zhuǎn)動。

11、當(dāng)M M=0=0時，剛體勻速轉(zhuǎn)動或靜止時，剛體勻速轉(zhuǎn)動或靜止frM 1111Mrffrfrf 對轉(zhuǎn)動沒影響zMrfrfmff11 f應(yīng)理解為在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)應(yīng)理解為在轉(zhuǎn)動平面內(nèi) sinzMr frf大?。捍笮。悍较蚍较?沿沿二二轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律把剛體看成由把剛體看成由N N個質(zhì)點組成的質(zhì)點系個質(zhì)點組成的質(zhì)點系利用牛頓第二定律利用牛頓第二定律 iiiiamfF itiititiniininamfFamfF iitiiititramrfF itiar , ,定軸定軸剛體剛體zFimirifi Fi -外力，剛體外其他物體對外力，剛體外其他物體對mi 的合力的合力 fi -內(nèi)力，剛體內(nèi)其他質(zhì)點對內(nèi)力，剛

12、體內(nèi)其他質(zhì)點對mi的合力的合力 對對mi ininFf和對轉(zhuǎn)軸的力矩為零對轉(zhuǎn)軸的力矩為零 2sinsiniiiiiiiiFrfrmr 0sin iiirf 對所有質(zhì)點列出此式，并求和對所有質(zhì)點列出此式，并求和 22sinziiiiii iMFrmrmr外 連連續(xù)續(xù)體體dmrrmJiiz 22剛體的轉(zhuǎn)動慣量剛體的轉(zhuǎn)動慣量 內(nèi)力矩成對出現(xiàn)，且大小相等內(nèi)力矩成對出現(xiàn)，且大小相等方向相反，作用在一條直線上方向相反，作用在一條直線上J 反映剛體轉(zhuǎn)動慣性的大小反映剛體轉(zhuǎn)動慣性的大小 上式上式 2sinsiniiiiiiiiiiiFrfrmrzzMJ外2.2.定軸下可不寫角標(biāo)定軸下可不寫角標(biāo) zMFJma

13、4.4.與牛頓第二定律比較與牛頓第二定律比較與與 方向相同的力矩取正方向相同的力矩取正與與 方向相反的力矩取負(fù)方向相反的力矩取負(fù) 力矩的正方向：力矩的正方向：MJ剛體所受的對于某固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于剛體剛體所受的對于某固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于剛體對對同一轉(zhuǎn)軸同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與它所獲得的角加速度的乘積。的轉(zhuǎn)動慣量與它所獲得的角加速度的乘積。剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律討論討論MJamF 瞬時關(guān)系瞬時關(guān)系 3.3. M，方向相同，瞬時關(guān)系，對同一軸。方向相同，瞬時關(guān)系，對同一軸。 只適用于慣性系。只適用于慣性系。1.zM外是對是對z軸外力矩的代數(shù)和軸外力矩的代數(shù)和2.2.2 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動定律應(yīng)

14、用舉例動定律應(yīng)用舉例 解題步驟解題步驟: : 1.1.認(rèn)剛體認(rèn)剛體; 2.; 2.定轉(zhuǎn)軸定轉(zhuǎn)軸, ,找運動找運動; ; 3.3.分析力和力矩分析力和力矩; 4.; 4.定轉(zhuǎn)向定轉(zhuǎn)向, ,列方程。列方程。 特別注意特別注意: : 1.1.明確明確轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動軸位置。位置。2.2.選定轉(zhuǎn)動的選定轉(zhuǎn)動的正方向正方向, ,注意力矩、角速度、角注意力矩、角速度、角加速度的正負(fù)。加速度的正負(fù)。 3.3.同一方程式中所有量都必須相對同一方程式中所有量都必須相對同一轉(zhuǎn)軸同一轉(zhuǎn)軸。兩類問題兩類問題: :（1 1）由角量運動）由角量運動, ,求力矩。求力矩。( (微分法微分法) )（2 2）由力矩及初始條件）由力矩

15、及初始條件, ,求剛體運動。求剛體運動。( (積分法積分法) )對輪：對輪：對對m :定軸定軸ORthmv0=0繩繩解：輪與解：輪與m為聯(lián)結(jié)體為聯(lián)結(jié)體,輪為定軸輪為定軸轉(zhuǎn)動、轉(zhuǎn)動、m為平動為平動,但二者用繩聯(lián)但二者用繩聯(lián)系起來。系起來。m的速度大小與輪邊的速度大小與輪邊緣線速度大小相等。緣線速度大小相等。(1)TRJ)2(maTmg TNGmgT = - Tma例例1.己知：定滑輪上繞一細(xì)繩，繩一端固定在盤己知：定滑輪上繞一細(xì)繩，繩一端固定在盤上，另一端掛重物上，另一端掛重物m。繩與輪無相對滑動，繩不。繩與輪無相對滑動，繩不可伸長。輪半徑可伸長。輪半徑R=0.2m，m=1kg, m下落時間下落

16、時間 t = 3 s，v0=0, h=1.5m。求：輪對。求：輪對O軸軸 J = ?運動學(xué)關(guān)系：運動學(xué)關(guān)系：聯(lián)立解得：聯(lián)立解得：22)12(mRhgtJ 222 . 01)15 . 1238 . 9( )mkg(14. 12 (1)TRJ)2(maTmg (3)aR(4)212hat定軸定軸ORthmv0=0繩繩例例2：如圖，設(shè)滑塊：如圖，設(shè)滑塊A，重物，重物B及滑輪及滑輪C的質(zhì)量分別為的質(zhì)量分別為MA，MB，MC?；喕咰是半徑為是半徑為 r 的的均勻圓板均勻圓板?；瑝K?；瑝KA與桌面之與桌面之間，滑輪與軸承之間均無摩擦，輕繩與滑輪之間無滑動。間，滑輪與軸承之間均無摩擦，輕繩與滑輪之間無滑動

17、。 求求:（1）滑塊滑塊A的加速度的加速度a （2）滑塊）滑塊A與滑輪與滑輪C之間繩的張力之間繩的張力T1， （3）滑輪）滑輪C與重物與重物B之間繩的張力之間繩的張力T2。ABCT2MBgT1MAgNT2 T1 N MCg解：解：2211TTTT AB力力矩矩為為零零。都都通通過過質(zhì)質(zhì)心心及及對對對對,:C:AcANgMNgM 1A21cB2BACBTM aT rT rJM gTM a212ccaJM rrCBABCACBABACBABMMMgMMMTMMMgMMTMMMgMa2121212121 BAABBABCMMgMMTTMMgMaM 210時時ABC選正方向選正方向解方程得解方程得列方

18、程：列方程：其中其中例例3：某飛輪直徑：某飛輪直徑 d=50cm, 繞中心垂直軸轉(zhuǎn)動，繞中心垂直軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 J=2.4千克千克米米2, 轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n0=1000轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分，若分，若制動時閘瓦對輪的壓力為制動時閘瓦對輪的壓力為 N=490牛，閘瓦與輪牛，閘瓦與輪間的滑動摩擦系數(shù)間的滑動摩擦系數(shù) =0.4問：制動后飛輪轉(zhuǎn)過多少圈停止？問：制動后飛輪轉(zhuǎn)過多少圈停止？ fd(1) 求求 Nf 20.44900.2520.4/2.4 MJ弧度 秒MJ由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律2dMf (以向外為正以向外為正)（2 2）求圈數(shù)）求圈數(shù)22020220260n 圈圈弧弧度度4322702704.2023

19、020 Nn0 m O例例4.己知：質(zhì)量為己知：質(zhì)量為m、半、半徑為徑為R的的均勻圓盤均勻圓盤。初角速度。初角速度 ,繞中心軸逆時針轉(zhuǎn)動。空氣對圓盤表面單位面積的摩擦力繞中心軸逆時針轉(zhuǎn)動?？諝鈱A盤表面單位面積的摩擦力正比其線速度正比其線速度,即即 。不計軸承處的摩擦。不計軸承處的摩擦。 0 vkf 求：圓盤在停止轉(zhuǎn)動時所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)求：圓盤在停止轉(zhuǎn)動時所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)N=?1. 取取剛體剛體m為研究對象，軸為為研究對象，軸為O。2. 取逆時針轉(zhuǎn)為正方向。取逆時針轉(zhuǎn)為正方向。0, 0 tr解：解：3. 用積分法求力矩。用積分法求力矩。在半徑為在半徑為r、寬度為寬度為dr的面積元的面積元dS上的質(zhì)元上

20、的質(zhì)元具有相同的線速度具有相同的線速度v。則則dS上阻力的大小為上阻力的大小為:drrfdSfdF 2dSr不同時，不同時，v不同，力不同，力不同，力不同，力臂也不同，需要劃分微元求臂也不同，需要劃分微元求M考慮盤的上下表面，故阻力矩大小為考慮盤的上下表面，故阻力矩大小為dFrdM 2總阻力矩總阻力矩 RmdrrfrdMM022 Rdrrkvr022 3404Rkr drkR Rdrrrkr022 0 mOrdS變變化化，所所以以是是變變力力矩矩。隨隨 M利用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律利用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律dMJJdt分離變量分離變量 dmRk 0202022042kRmN dtdmRRk 2421dtm

21、Rkdt 02020 mRk202 202Rkm 2.3 對定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒對定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒 dtLdM 一、質(zhì)點系角動量定理一、質(zhì)點系角動量定理分量式：分量式：dtdLMdtdLMdtdLMzzyyxx 質(zhì)點系對質(zhì)點系對某軸某軸的角動量隨時間的變化率等于質(zhì)的角動量隨時間的變化率等于質(zhì)點系中各質(zhì)點所受外力對點系中各質(zhì)點所受外力對同一軸同一軸的力矩的代數(shù)的力矩的代數(shù)和。和。質(zhì)點系角動量守恒定律質(zhì)點系角動量守恒定律0 M21LL 210zzzLLM 或或2121ttM dtLL對于有限時間對于有限時間1122122121JJLLdLdtMLLzttz質(zhì)點系角動量定理同樣適用于剛體質(zhì)點系角

22、動量定理同樣適用于剛體dtdLMzz 剛體對剛體對某軸某軸的沖量矩等于該段時間內(nèi)剛體的沖量矩等于該段時間內(nèi)剛體對對同一軸同一軸角動量的增量角動量的增量剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理：二、剛體的角動量定律二、剛體的角動量定律 在在t1到到t2的時間內(nèi)，角動量由的時間內(nèi)，角動量由L1變到變到L2:zLJ是剛體對是剛體對z軸的角動量軸的角動量三、三、 剛體角動量守恒定律剛體角動量守恒定律0zM21LL當(dāng)合外力矩當(dāng)合外力矩-剛體角動量守恒定律剛體角動量守恒定律角動量守恒情況如下幾種角動量守恒情況如下幾種: :(a) J, 都不變，所以都不變，所以L=J=const(b) J, 都變

23、化都變化，但是但是L=J=const(c) (c) 剛體組角動量守恒剛體組角動量守恒如：花樣滑冰，芭蕾舞，體操，跳水等運動項目的動作如：花樣滑冰，芭蕾舞，體操，跳水等運動項目的動作const.iiiiiJL2211 JJ 若剛體由幾部分組成，且都若剛體由幾部分組成，且都繞同一固定軸轉(zhuǎn)動繞同一固定軸轉(zhuǎn)動這時角動量可以在剛體組內(nèi)部傳遞這時角動量可以在剛體組內(nèi)部傳遞美國航天局科學(xué)家理查德美國航天局科學(xué)家理查德格格羅斯表示，里氏羅斯表示，里氏9 9級的日本大級的日本大地震導(dǎo)致當(dāng)天地球的自轉(zhuǎn)時地震導(dǎo)致當(dāng)天地球的自轉(zhuǎn)時間減少了間減少了1.81.8微秒，即每天的微秒，即每天的時間減少了時間減少了1.81.8

24、微秒微秒。const.J地震與地球自轉(zhuǎn)地震與地球自轉(zhuǎn)例：質(zhì)量為例：質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R的水平放置的的水平放置的均勻圓盤均勻圓盤，以角，以角速度速度 1繞垂直于圓盤并通過盤心的光滑軸，在水平面內(nèi)繞垂直于圓盤并通過盤心的光滑軸，在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動時，有一質(zhì)量為轉(zhuǎn)動時，有一質(zhì)量為m的小物塊以速度的小物塊以速度v垂直落在垂直落在圓圓盤盤的邊沿上，并粘在盤上，求：（的邊沿上，并粘在盤上，求：（1）小物塊粘在盤上后，）小物塊粘在盤上后，盤的角速度盤的角速度 2=？（？（2）小物塊在碰撞過程中受到的沖量小物塊在碰撞過程中受到的沖量 I 的方向及大小。的方向及大小。mvRM 解：以解：以 m, M為一個系統(tǒng)

25、，過程中其為一個系統(tǒng)，過程中其所受和外力矩為零，角動量守恒所受和外力矩為零，角動量守恒2121JJmR盤盤（ ）碰前碰前m對軸的角動量為零，但其動量不為零。對軸的角動量為零，但其動量不為零。1122212222121 mMMmRMRMRmRJJ 盤盤盤盤（2）求求 I 應(yīng)用動量定理應(yīng)用動量定理1212vmvmPPI 碰撞前后碰撞前后 m 動量方向不同，分方向討論。動量方向不同，分方向討論。 2222RmmvIII 垂垂直直平平行行討論：討論：1 1）碰撞過程中動能是否守恒？）碰撞過程中動能是否守恒？2 2）角動量守恒時，動量不一定守恒。）角動量守恒時，動量不一定守恒。tanmvvm RR0Im

26、vmv 平行方向向上方向向上方向沿切線方向沿切線0Im Rm R 垂直平行于軸平行于軸垂直于軸垂直于軸dtMLd Ld方向與方向與 方向相同方向相同M進動：高速自旋的物體的轉(zhuǎn)軸在空間轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象進動：高速自旋的物體的轉(zhuǎn)軸在空間轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象重力矩：重力矩： M=mgr角動量定理角動量定理: :dtLdM 2.3.3 回轉(zhuǎn)儀回轉(zhuǎn)儀LLdL Ld do o Mo Logmrdt 時間內(nèi)軸時間內(nèi)軸 沿沿 方向方向轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過 角角oo dMLMdtLdLd JMLMdtd 進進動動角角速速度度 MdLdt dLMdtM 進動實例：陀螺進動進動實例：陀螺進動 sinLMdtd sinJM 1 即即： ，sins

27、indLMdtdLL 以上只是近似討論，因為當(dāng)旋進發(fā)生后：以上只是近似討論，因為當(dāng)旋進發(fā)生后：只有高速自轉(zhuǎn)只有高速自轉(zhuǎn) 時，時，這時才有這時才有 總總才有才有 總總 JL 當(dāng)考慮到當(dāng)考慮到 對對 的貢獻時，的貢獻時， 自轉(zhuǎn)軸在旋進自轉(zhuǎn)軸在旋進時還會出現(xiàn)時還會出現(xiàn)微小的上下的周期擺動，微小的上下的周期擺動， 這種運動叫這種運動叫章動章動 (nutation)?？偪?陀螺儀和常平架陀螺儀和常平架陀螺儀不受重力的力矩，且能在空間任意取向。陀螺儀不受重力的力矩，且能在空間任意取向。前輪教你學(xué)自行車前輪教你學(xué)自行車 GyrowheelGyrowheel輪內(nèi)裝著一個輪內(nèi)裝著一個陀螺儀陀螺儀裝置，這是個以最

28、高裝置，這是個以最高每分鐘每分鐘2 2千轉(zhuǎn)快速旋轉(zhuǎn)的飛輪，巧妙地借用了陀螺儀的千轉(zhuǎn)快速旋轉(zhuǎn)的飛輪，巧妙地借用了陀螺儀的“進動進動”特性來穩(wěn)定自行車。這個飛輪旋轉(zhuǎn)時與自行車特性來穩(wěn)定自行車。這個飛輪旋轉(zhuǎn)時與自行車輪子是相互獨立的。當(dāng)一個力（這里是指騎車人的傾斜輪子是相互獨立的。當(dāng)一個力（這里是指騎車人的傾斜跌落）作用在高速旋轉(zhuǎn)飛輪上的時候，陀螺儀并不跌落跌落）作用在高速旋轉(zhuǎn)飛輪上的時候，陀螺儀并不跌落，而只是朝跌落的方向進動，幫助，而只是朝跌落的方向進動，幫助GyrowheelGyrowheel保持穩(wěn)定保持穩(wěn)定。 2.4 2.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動的功和能剛體定軸轉(zhuǎn)動的功和能 cosdWF drF d

29、r內(nèi)力矩的功內(nèi)力矩的功 0WM d內(nèi)內(nèi)2.4.12.4.1力矩的功力矩的功 MdrdF sin力矩的空間積累效應(yīng)力矩的空間積累效應(yīng)(M應(yīng)理解為合外力矩應(yīng)理解為合外力矩) ) WdWM ddWMdPMdtdt力矩的瞬時功率力矩的瞬時功率 d zx 軸軸 Fr2.4.2 2.4.2 定軸轉(zhuǎn)動剛體的機械能定軸轉(zhuǎn)動剛體的機械能1.1.動能動能剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體的轉(zhuǎn)動動能：212kEJ2211()22kiiiiEmvm r2221122i imrJ剛體的剛體的轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能就是組成剛體的各質(zhì)點就是組成剛體的各質(zhì)點平動動能平動動能之和，他們是動能的不同表達形式之和，他們是動能的不同表達形式。質(zhì)點系動能：

30、質(zhì)點系動能：2.2.剛體的重力勢能剛體的重力勢能各質(zhì)元重力勢能的總和，就是剛體的重力各質(zhì)元重力勢能的總和，就是剛體的重力勢能。勢能。iiiphgmE iiihmg pcEmgh剛體的重力勢能等于其質(zhì)量集中在質(zhì)心時剛體的重力勢能等于其質(zhì)量集中在質(zhì)心時所具有的重力勢能所具有的重力勢能ChchimiEp=0mhmmgiii cmgh dWM dMdtddWJdtJddt212212211122WJdJJ 定軸轉(zhuǎn)動動能定理定軸轉(zhuǎn)動動能定理: : 21KKWEE外2.4.3 定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理 1.1.動能定理動能定理dMJJdt轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律2.2.定軸轉(zhuǎn)動的功能原理定軸轉(zhuǎn)

31、動的功能原理質(zhì)點系功能原理對剛體仍成立：質(zhì)點系功能原理對剛體仍成立： 2211kpkpWWEEEE外非保守內(nèi)力若體系是一個包含剛體、質(zhì)點、彈簧等復(fù)雜系統(tǒng)時若體系是一個包含剛體、質(zhì)點、彈簧等復(fù)雜系統(tǒng)時五、機械能守恒定律五、機械能守恒定律對于包括剛體在內(nèi)的體系，若只有保守內(nèi)力作功對于包括剛體在內(nèi)的體系，若只有保守內(nèi)力作功0WW外非保守內(nèi)力則系統(tǒng)機械能守恒則系統(tǒng)機械能守恒.ConstEEpk .212122 JmvEkpE應(yīng)包括系統(tǒng)中所有物體的勢能應(yīng)包括系統(tǒng)中所有物體的勢能 初始：初始：10,kE10.PE令令末態(tài)：末態(tài)：2212koEJ2sin4PlEmg則：則：(1)21sin024olJmg解

32、：桿解：桿+地球系統(tǒng)，只有重力作功，地球系統(tǒng)，只有重力作功，E守恒守恒【例例】已知：均勻直桿質(zhì)量已知：均勻直桿質(zhì)量m,長長l,初始水平靜止初始水平靜止,軸軸光滑光滑,AO=l/4。 求：桿下擺求：桿下擺角后，角速度角后，角速度是多少？是多少？ 軸對桿作用力的大小和方向？軸對桿作用力的大小和方向？ 由平行軸定理由平行軸定理 (2)2221124OClJJmdmlm2748ml6 sin27gl由（由（1）、（）、（2）得：）得：質(zhì)心運動定理：質(zhì)心運動定理：cNmgma (3)sinlclmgNmal方向：方向： (4)costctmgNmat方向：方向：(1)21sin024olJmg由由(3)

33、(4)(5)(6) 可解得：可解得： (5)26sin47cllag (6)cos3 cos4447ctolmgllgaJ13sin ,7lNmg4cos7tNmg 134sincos77Nmglmgt2153sin167mgN11413tlNtgtgctgN利用動能定理解該題：利用動能定理解該題：20001cos42MlMdmgdJ 變力矩變力矩的功2021sin4 Jlmg 267glsin例：已知圓盤半徑為例：已知圓盤半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為M，在垂直平面內(nèi)可，在垂直平面內(nèi)可繞過中心水平軸轉(zhuǎn)動，將跨在圓盤上的輕繩分別聯(lián)接繞過中心水平軸轉(zhuǎn)動，將跨在圓盤上的輕繩分別聯(lián)接倔強系數(shù)為倔強系數(shù)為k

34、的彈簧和質(zhì)量為的彈簧和質(zhì)量為m的物體，設(shè)輪軸光滑，的物體，設(shè)輪軸光滑，繩不伸長，繩與輪間無相對滑動，今用手托住繩不伸長，繩與輪間無相對滑動，今用手托住m使彈使彈簧保持原長，然后靜止釋放。求簧保持原長，然后靜止釋放。求（1 1）m 下落下落 h 距離距離時的速度。（時的速度。（2 2）彈簧的最大伸長量。）彈簧的最大伸長量。解：取解：取 m + M + 繩繩 + 彈簧彈簧 + 地球地球 為一系統(tǒng)為一系統(tǒng)hmMRk外力：軸承支承力和地面對外力：軸承支承力和地面對彈簧的支承力功為零。彈簧的支承力功為零。內(nèi)力：重力，彈性力為保守力內(nèi)力：重力，彈性力為保守力, ,繩不伸長，張力功為零。繩與輪繩不伸長，張力功為零。繩與輪間無相對滑動，摩擦力功為零。間無相對滑動，摩擦力功為零。系統(tǒng)機械能守恒，系統(tǒng)機械能守恒，設(shè)下落設(shè)下落h處勢能為零處勢能為零hmMRk2221111222mghkhJmv（1）m下落下落h時的速度時的速度1vR212JMR21422mghkhvmMYmMRk（2）彈簧的最大伸長量。）彈簧的最大伸長量