第二章3-單自由度系統(tǒng)強迫振動

1、 單自由度系統(tǒng)的強迫振動強迫振動：系統(tǒng)在持續(xù)的外界激勵作用下 產(chǎn)生的振動非周期激勵簡諧激勵周期激勵外界激勵)()(sin)( 0tfTtftFtf強迫振動的形式v本章討論單自由度線性系統(tǒng)在周期激擾（激勵或擾動）作用下的強迫振動，通常稱為振動系統(tǒng)對周期激擾的響應(yīng)。周期激擾可以是作用于振動系統(tǒng)的周期擾力，也可以是振動系統(tǒng)支座的周期運動。 Mmexc2k2k O t 2sinMxcxkxmetmxc2k2kc xyk xyytmO正弦激勵法的作用v對于實際的振動系統(tǒng)的參數(shù)測量，實際上通常加一系列的正弦信號，通過測量系統(tǒng)的響應(yīng)，來獲得振動系統(tǒng)的參數(shù)，即所謂正弦激勵法，例如正弦掃頻等。 討論簡諧輸入意義

2、v這種情形比較簡單，而所得的結(jié)論卻有很重要的工程應(yīng)用 ；v任意的周期激擾，都可以通過Fourier級數(shù)，分解成若干個正弦型激擾的和 v利用線性系統(tǒng)的疊加性，可得到全響應(yīng)。例子v如右圖所示，物體沿垂直方向振動，取物體無擾力下的靜平衡位置為坐標原點，鉛直向下為x軸正向，建立如圖所示的坐標系。受力情況如圖，其擾動力為： O0lsxxmkkx( )F t變量說明v擾力：v稱為擾力的力幅 ，為常值v擾力的頻率 ，簡稱擾頻，為常值 0F0cosFFt系統(tǒng)運動微分方程v由牛頓第二定律：v 整理v這就是無阻尼振動系統(tǒng)在簡諧擾力作用下的運動微分方程。 0cosmxkxFt 0cosmxkxFt定義輔助變量v令：

3、v表示在靜力條件下，系統(tǒng)受到一個大小為 的力作用時的位移。nkm0FAk0F方程和通解的標準形式v這是一個非齊次二階常系數(shù)微分方程，根據(jù)微分方程理論，它的解由兩部分組成：22cosnnxxAt12xxx齊次解v 代表齊次微分方程 的解，簡稱齊次解，由前面的單自由度無阻尼自由振動可得： 1x20nxx112cossincos()nnnxBtBtBt特解v 代表方程 的一個特解，v由激擾力的形式可知方程的特解可以表示成v為： 2x22cosnnxxAt2cosxXt積分常數(shù)的確定v將 代入微分方程，可得：v并令： ，稱為頻率比，可得： 2cosxXt222coscosnnXtAtn222211nn

4、AXA微分方程的通解122cossincos1nnAxBtBtt齊次解積分常數(shù)的確定v對通解求導(dǎo)可得122122cossincos1sincossin1nnnnnnAxBtBttAxBtBtt 應(yīng)用初始條件v由初始條件，時，初始位移和初始速度分別為：00,x x 102012020211nnABxAxBxBxB通解表達形式v將得到的 代入方程的通解表達式：v方程解可以寫成： 12,B B0022cossincos11nnnAxAxxttt002cossincoscos1nnnnxAxxtttt解的討論v從上式可以清楚地看到，前兩項是由初始條件引起的自由振動，頻率為系統(tǒng)的無阻尼自由振動的固有v頻

5、率 ， 表示系統(tǒng)在簡諧激勵下的強迫振v動，與激擾力的頻率相同，振幅和初始條件無關(guān)， v 表示激擾力引起的自由振動 n2cos1At2cos1nAt對擾力引起自由振動的討論v令初始條件： ，微分方程的解簡化為：v可見，激擾力不但引起強迫振動，同時還要引起自由振動，二者都是簡諧振動，但頻率不相等的兩個簡諧振動之和已經(jīng)不再是簡諧振動。 000,0 xx2coscos1nAxtt頻率比對振幅的影響v對于周期擾動作用下的運動，我們關(guān)心的主v要是強迫振動， 為激擾力引起的強迫振動，v在 時 ，強迫振動的振幅隨著的增大無限增大，直到 時，即激擾力的頻率和系統(tǒng)的固有頻率相等的時候，理論上的振幅趨于無窮大，這種

6、現(xiàn)象稱為共振。 2cos1At11頻率比對振幅的影響v在 時，我們將 v寫成 ，從而保證振幅為正值。v從中可以看出，質(zhì)量 的位移與擾力正好反向，振幅隨著 的增大而無限減小。 12cos1At2cos1Atm放大率 v在靜力作用下，系統(tǒng)的靜撓度為 ，可見：v 體現(xiàn)了擾力的動力作用，這個量的v絕對值記為放大率： A211211放大率-頻率比曲線v放大率和頻率比之間的關(guān)系，即為 v 曲線 123123n 的意義v 曲線只表示振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運動的情形，亦即激擾固定在某一頻率時，系統(tǒng)振幅達到定值后的情形。 共振的討論v在共振時，系統(tǒng)的振幅將達到無窮大，事實上，這是不可能的，首先，系統(tǒng)存在阻尼，在下節(jié)大家將

7、會看到，微小的阻尼就會限制振幅的無限增大。另一方面，在振幅無限增大的過程中，線性彈簧的假設(shè)也不再成立。共振時微分方程的特解v在 的時候，方程的特解也不再為v而應(yīng)該表示為如下形式：， n2cosxXt2cosnxBtt特解的導(dǎo)數(shù)2cossinnnnxBtBtt222sincosnnnnxBtBtt 222222sincoscos2sin2sincoscossinnnnnnnnnnnnnxxBtBttBttBtBtt 積分常數(shù)的確定v代入微分方程： ，v從而：22cosnnnxxAt22sincoscossincosnnnnnBttAtcos022cos2cos2nnnnnAtABt， 共振特解的

8、討論v方程的特解可以寫成：v可見，共振的時候，強迫振動的振幅隨著時間的增大而按比例的增大。對于許多機器，在正常運轉(zhuǎn)時，其擾頻都遠遠超過系統(tǒng)的固有頻率，所以在啟動和停止的過程中，都要通過共振區(qū)，由于共振的振幅隨時間線性增大，只要縮短通過共振區(qū)的時間，就可以順利通過共振區(qū)。 2cos2nnAxtt阻尼強迫振動 v實際的振動系統(tǒng)都是有阻尼的，下面來討論有粘性阻尼的系統(tǒng)，在簡諧擾力作用下的強迫振動。 運動簡圖和坐標建立v如右圖所示，物體沿水平方向振動，取物體無擾力下的靜平衡位置為坐標原點，水平向右為x軸正向，建立如圖所示的坐標系。受力情況如圖，其擾動力為： v其中 稱為擾力的力幅，為常值；v 為擾力的

9、頻率，簡稱擾頻，也為常值。0cosFFt0FkxcxckxmmxO0cosFt建立微分方程v根據(jù)牛頓第二定律：v令：v方程變形為： 0cosmxFtkxcxnkm，0FAk，22cnckmm，22cnccccmkm 222cosnnnxxxAt解的組成v這是一個非齊次二階常系數(shù)微分方程，根據(jù)微分方程理論，它的解由兩部分組成 ：v其中 ，代表齊次微分方程 的解，簡稱齊次解，v 為 的一個特解，又稱穩(wěn)態(tài)解 12xxx1x220nnxxx2x222cosnnnxxxAt齊次解的討論v當 時，由前面的單自由度阻尼自由振動可得：v其中： ，稱為衰減振動的圓頻率。v并且： 1112cossincos()n

10、nttdddxeBtBtBet21dn22000ndxxBx，1000tanndxxx特解的討論v由于激勵為簡諧的，根據(jù)微分方程的理論，上述微分方程有如下形式的特解： v將 ， ，v代入 可得：2cosxXt2cosxXt 2sinxXt 22cosxXt 222cosnnnxxxAt22212AX122tan1系統(tǒng)的全響應(yīng)v其中：222coscos()12ntdAtxBet220001000tanndndxxBxxxx， 22212122tan1AX解的討論v右端第一項是齊次解，代表衰減的自由振動；第二項是特解，代表與擾力同頻率的簡諧運動。 v自由振動，在運動開始后很短的時間內(nèi)迅速消失，通常

11、可以不加考慮。強迫振動卻不因阻尼而衰減，它的振幅與相角也與運動的初始條件無關(guān) 。復(fù)頻率分析的原理v一個物體的振動可以看作一個旋轉(zhuǎn)矢量的投影。而一個矢量可以用一個復(fù)數(shù)來表示，對一個復(fù)數(shù)取實部和虛部就相當于將一個矢量在實軸和虛軸上投影。用復(fù)數(shù)描述矢量，復(fù)數(shù)的模相當于矢量的長度，而輻角相當于矢量的方向。 復(fù)頻率微分方程和穩(wěn)態(tài)解v復(fù)頻率微分方程：v穩(wěn)態(tài)解 是常數(shù) v代入微分方程可得：222j tnnnzzzAejtzZeZ2222212jnnnAAZejj 頻響函數(shù) &放大因子 v定義：v為系統(tǒng)的復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)，簡稱頻響函數(shù)，v它的模 ：v稱為系統(tǒng)的放大因子 21()12H jj2221()12H j

12、放大因子的物理意義v 為放大因子v表示系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅與靜位移之比， v同時 是穩(wěn)態(tài)振動時，彈簧力v與激振力幅值之比 ()ZH jA00()skZFH jkAF系統(tǒng)的實際響應(yīng)v簡諧激勵下系統(tǒng)的響應(yīng)就是方程v的響應(yīng)在實軸上的投影222j tnnnzzzAe ReRe()() cosjtxzA H jeA H jt頻響函數(shù)曲線v系統(tǒng)的復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)可以描述激勵頻率對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響，它的模體現(xiàn)了激勵頻率對響應(yīng)幅值的影響，01234500.511.522.533.544.55=1=0.5=0.375=0.25=0.15=0.1|H(j)| =/n 輻角響應(yīng)曲線v輻角體現(xiàn)了激勵頻率對響應(yīng)相位的影響。01

13、2345-2-1.5-1-0.500.511.52阻尼比對幅頻特性的影響v從上圖中可以看出，當 時，放大因子沒有峰值，這時，整個頻率比范圍內(nèi)，都有： 。v把 稱為小阻尼情況。只有在小阻尼情況下，放大因子 才在 的時候有峰值，而且 。 12()1H j12()H j0max()1H j幅頻和相頻特性的幾個特殊點v在 這幾個特殊點， 和 分別為： 0,n()H j 1(0)1,( )0,()2nHHH 0,2n 慣性力，彈性力和阻尼力關(guān)系 v系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動時，慣性力，彈性力和阻尼力都是與激勵同頻的簡諧量，由達朗伯原理，其關(guān)系為：0cos0 + + + =0mxcxkxFt 慣性力阻尼力彈性力擾力慣性

14、力，彈性力和阻尼力的表示v慣性力：v阻尼力：v彈性力：220() cos=() cosmFmxmA H jtFH jt 0() sin=2() sindFcxc A H jtF H jt 0() cos() cossFkxkA H jtF H jt 三種情況下各力的關(guān)系圖 XXXttt 0F0F0FsFsFdFdFmFmF0.51.02.000.25,FconstdFsFmF系統(tǒng)三個不同響應(yīng)范圍 1.當 時，擾力主要與彈性力平衡。因為此時激勵的頻率很低；2.當 時，擾力的頻率遠高于系統(tǒng)的固有頻率，擾力主要和慣性力平衡 3.當 時，強迫振動的振幅可能很大，唯一限制因素是系統(tǒng)的阻尼。 111時v系

15、統(tǒng)的速度、加速度都很小，相應(yīng)的阻尼力、慣性力也很小。此時： ，v由 ，響應(yīng)的振幅11,0Hj222()12AXA H jZA時v激擾力頻率很高，激擾力的方向變化過快，系統(tǒng)由于慣性無法跟隨； ，v響應(yīng)的振幅：121()0H j，2()AXA H j時v由 ，可知，在 v的時候，此時， ， 。122212AX1122放大因子的極值v由： 得到：v由于 ，v 是函數(shù) 極大值點。 020 12或2 12,02 12,0212222112共振和共振點v放大率的最大值取在 ，記 ，不但小于系統(tǒng)無阻尼自由振動的圓頻率 ，而且也小于衰減振動圓頻率 。v使強迫振動的振幅有最大值的激振力的（圓）頻率，稱為共振（圓

16、）頻率，振動系統(tǒng)以最大振幅進行振動的現(xiàn)象稱為共振。共振時的放大率為：212212rn21dn 2121r品質(zhì)因子 v定義：v為系統(tǒng)的品質(zhì)因子v當 的時候 ，有v因此，在阻尼比很小的時候，品質(zhì)因子和阻尼比成反比。當 較小的時候，共振峰比較尖銳，反之比較平緩。2121rQ112Q帶寬v滿足方程： 的激擾力的固有頻率稱為系統(tǒng)的半功率點。它的意義：當響應(yīng)幅值降為共振振幅 時對應(yīng)的頻率。v在小阻尼時，半功率點有兩個，記為： 并且 ，其差值： 稱為系統(tǒng)的帶寬，它給出了共振區(qū)的范圍。 222Q1/212,1221品質(zhì)因子的作用v通過上式，在 已知的時候，可以得到系統(tǒng)的阻尼比和帶寬。 12nQQ222111(

17、)21xo xx 222111()2xxo x 振動系統(tǒng)激擾力的功v對于阻尼系統(tǒng)的強迫振動，當系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)響應(yīng)后，系統(tǒng)的振幅保持穩(wěn)定，此時，系統(tǒng)消耗的能量和激擾力對振動系統(tǒng)輸入的能量相等。v對于無阻尼系統(tǒng)，當 時，無能量輸入，當 時，外力對系統(tǒng)作功，使系統(tǒng)的能量越來越大，以致振幅越來越大。11外力對系統(tǒng)作的功 v外力在振動的一個周期內(nèi)，對系統(tǒng)作的功為 0cosfWFt dx外力功的計算v由：v可得：v對于強迫振動，相應(yīng)的一個周期為 coscosxA HjtXtsindxAHjtdt 2積分的運算 0202202202coscoscossincossin1sin 2sin2sinfWFt dxA

18、kt dxAktAHjtdtA k HjttdtA k HjtdtA k Hj 外力的功：v由 可得：v代入前面的積分結(jié)果：122tan1j sin2Hj222222222fnncWA k HjX kkXmc X 阻尼力在一個周期作的功 sinxAHjt sindxAHjtdt 202222222220022220sinsinsinsin1cos22cWcxdxcAHjtAHjtdtcAHjtdtcXtdttcXdtc X 阻尼力功的特點v具有粘性阻尼的系統(tǒng)在簡諧強迫振動時的能量消耗正比于阻尼系數(shù)，激振頻率及響應(yīng)振幅的平方成正比，與系統(tǒng)的固有頻率無關(guān)。v當 時， 2cWc X 0fcWW無阻尼

19、振動系統(tǒng)激擾力的功 v當當 ， 時，時，v外力的功為：外力的功為：v當 ， 時，v外力的功為：外力的功為：01 cosxXt22001coscossinsin202fWAktdxAktXt dtAkXtdt 01cos2nnAxtt22022coscoscossin2212nnnPnnnnAAWAktdxAkttttdtA k等效阻尼 v實際振動系統(tǒng)的阻尼來自多方面，阻尼的性質(zhì)也不同。非粘性阻尼會導(dǎo)致系統(tǒng)成為非線性系統(tǒng)，微分方程的求解也就比較困難。v因此，工程上常把其他類型的阻尼等效成粘性阻尼，稱為等效阻尼。等效阻尼的計算v粘性阻尼每周消耗的能量 ，v再求出非粘性阻尼在一周消耗的能量：v令：

20、即可求出等效阻尼：2cWc X 2ceeWcX cceWW2ceeWcX等效阻尼的用途v等效阻尼計算出來后，即可以當作普通的粘性阻尼系數(shù)來使用，求出系統(tǒng)的運動情況：v其中： 02222222()12eeeAAFXH jkmc 22eeeecnccccmkm0FAk 注意v在計算過程中，我們假定振動系統(tǒng)的運動仍然是簡諧的，事實上，當阻尼不再是粘性阻尼后，上述結(jié)論不再正確，但當實際阻尼比較小，不會過分影響振動系統(tǒng)運動的波形時，上述方法計算的結(jié)果和精確解比較接近。例一v庫侖阻尼的等效：設(shè)物體和磨擦面的摩擦阻尼力 其中， 是磨擦系數(shù)，為常數(shù)， 為摩擦表面的正壓力，也為常數(shù)qFNN例一解v由摩擦力的性質(zhì)

21、， 總是與運動方向或相對運動趨勢反向，所以，總是做負功。在一個周期中，物體移動的距離為qFN4X4ceWXN24ceeWNcXX例二v對于多數(shù)金屬材料，結(jié)構(gòu)阻尼導(dǎo)致的能量損失大致與位移的平方成正比，在很大范圍內(nèi)與頻率無關(guān)，試求其等效阻尼。 滯后回線陰影面積=每周期能量損失 F t X t例二解2ceWaX2ceeWacX帶結(jié)構(gòu)阻尼振動微分方程v具有結(jié)構(gòu)阻尼的振動系統(tǒng)的強迫振動的微分方程表示為：v方程的解：v在簡諧激勵下， 代入方程； j tamxxkxAkexj xj tamxjk xAkejtxXexj x復(fù)剛度v引入輔助變量：v方程變形為：v我們 將稱為復(fù)剛度，該方程僅適用于簡諧振動。 a

22、k1j tmxkjxAke1kj復(fù)剛度微分方程求解v將其解 ：代入方程jtxXe1j tmxkjxAke21jtj tmkjXeAke222221111jnAkAXemmkjjkAAjj結(jié)果2221AX，12tan1211Hjjmax1,2QHj，強迫振動理論的應(yīng)用 v單自由度受簡諧激勵的強迫振動在實際中廣泛存在，下面舉幾個典型的例子。旋轉(zhuǎn)失衡引起的強迫振動 v在旋轉(zhuǎn)機械中，旋轉(zhuǎn)失衡是使系統(tǒng)振動的外界激勵的主要來源，如：發(fā)動機的曲軸，飛輪，車輪，車輛傳動系統(tǒng)的齒輪，機床的主軸，洗衣機，空調(diào)和冰箱的壓縮機，風扇等。旋轉(zhuǎn)失衡的主要原因是高速旋轉(zhuǎn)機械中轉(zhuǎn)動部分的質(zhì)量中心和轉(zhuǎn)軸中心不重合造成的。 旋轉(zhuǎn)

23、失衡系統(tǒng)參數(shù)描述v只考慮垂直運動。系統(tǒng)總質(zhì)量為 ,失衡質(zhì)量為 ，失衡質(zhì)量與轉(zhuǎn)軸中心的距離為 ，通常稱 為偏心距。失衡質(zhì)量與偏心距的乘積定義為失衡量：失衡量= ， 以角速度 旋轉(zhuǎn)。非旋轉(zhuǎn)質(zhì)量為 ，旋轉(zhuǎn)質(zhì)量的垂直位移為 。 MmeememMmsinxet坐標建立v以旋轉(zhuǎn)中心的靜平衡位置為坐標原點，豎直向上為 軸正向，建立如圖所示的坐標系，其余振動參數(shù)見圖。Mmexc2k2k O t x微分方程的建立v根據(jù)牛頓第二定律，v整理可得：22sindMm xmxetkxcxdt 2sinMxcxkxmet求解v令： ，v由前面的分析，v其他的分析和前面完全相同。20Fme220nFmemeAkMM ImR

24、e()() sinjtxzA H jeA H jt122tan1支撐運動引起的強迫振動 v強迫振動不一定都是由激擾力引起的，振動系統(tǒng)支座的周期運動同樣可以引發(fā)強迫振動。例如精密儀表受到基座振動的影響而振動，車輛在不平的路面上行駛引起的振動，如果支撐的運動可以用簡諧函數(shù)來描述，則系統(tǒng)的振動也可以用簡諧強迫振動理論來分析。 系統(tǒng)描述v如圖所示的系統(tǒng)，假設(shè)物體只能沿鉛垂方向運動，支撐點的位移是簡諧函數(shù)，可以表示為： Recosj tyAeAt坐標建立v取鉛垂坐標 與 ，分別以物體和支撐靜止時的平衡位置為原點，向上為正，設(shè)某瞬時 ，物體 有位移 與速度 ，支撐有位移 和速度 ，則物體對于支撐有相對位移

25、 與相對速度 ，因此作用于物體的彈簧力為 ，阻尼力 。 xytmxx yy xyxyk xyc xy運動和受力簡圖mxc2k2kc xyk xyytmO微分方程的建立v由牛頓第二定律：v整理可得： 右端的兩項相當于由彈簧和阻尼器傳遞的激勵力。v令： ，則原方程可以改寫為： mxk xyc xy mxcxkxcykynkm2ckm2222nnnnxxxyy用復(fù)頻域法求解v將支座的位移 和振動系統(tǒng)中質(zhì)量 的強迫振動 表示成為復(fù)數(shù)形式：v將上述復(fù)數(shù)形式代入變形后的微分方程：ymxj tcjtcyAexXe22222jtj tnnnnjXejAe求解21212jjXeAj222222221212121

26、21212121212jjjXXeAAjjjAAjAHj計算相位角v由：v考慮Euler公式： 21212jXjeAjcossinjXXejAA22232222222121212212121212jjjjj結(jié)果v無量綱的比值： 212cosxAHjt3222tan12j212XHjA幅頻和相頻曲線01.02.03.04.05.01.02.03.01.002.03.04.05.0XA210.500.3750.250.150.100.05323結(jié)果討論v從公式 和上圖中都可以看出，當 時，無論阻尼比 為何值，響應(yīng)幅值總是與激勵幅值相等。即 ，以此為分界點，在 和 兩個區(qū)域內(nèi)，阻尼比對響應(yīng)幅值的影響

27、不同。 22221212XA2/1XA22不同頻率比的阻尼的作用1.當 ，阻尼抑制了響應(yīng)的幅值，阻尼比越大，響應(yīng)幅值越小，無論阻尼為何值有：2.當 時，阻尼比越大，響應(yīng)的幅值反而增大，無論阻尼為何值有3.當系統(tǒng)的阻尼小到可以忽略 ， ，當 時，質(zhì)量系統(tǒng)的位移幾乎為零 2XA2XA21AX1振動隔離v振動隔離是指將機器或結(jié)構(gòu)與周圍的環(huán)境用減振裝置隔離，它是消除振動危害的重要手段，實際工程應(yīng)用中分為兩大類：積極隔振（主動隔振）和消極隔振（被動隔振） 積極隔振 v對于自身是振源的機器，為減少它對周圍環(huán)境的影響，將其與支撐它的基礎(chǔ)隔離開，這類隔振稱為積極隔振（主動隔振）。v力學特點：激勵作用于質(zhì)量引起

28、的振動。要求把振源與它的基礎(chǔ)隔離（兩者之間加裝彈簧和減振器）例如：發(fā)動機和車架之間，大型電機，沖床，汽錘等和基礎(chǔ)之間都要安裝一定的隔振裝置以減少對周圍環(huán)境的影響。 消極隔振： v對于受振動影響很大的精密儀器或設(shè)備，為減少周圍環(huán)境振動對其造成的影響，將其和支撐的基礎(chǔ)隔離，這類隔振成為消極隔振。 v力學特點：激勵由基礎(chǔ)產(chǎn)生，振源是基礎(chǔ)運動，要求質(zhì)量 的振動盡可能小。如：車輛的懸架，光柵刻錄儀，全息攝像系統(tǒng)。 m兩種隔振的相似點v都是把需要隔離的機器設(shè)備安裝在合適的具有彈性和阻尼的減振或隔振裝置上，使大部分振動被減振裝置和隔振裝置吸收，以阻斷振動的傳遞。 積極隔振的隔振系數(shù) v 稱為隔振系數(shù)或傳遞系

29、數(shù)， 為隔振后系統(tǒng)傳給基礎(chǔ)的動載荷的幅值， 為未隔振時系統(tǒng)傳給基礎(chǔ)的動載荷的幅值，顯然 越小越好。sNPsNPs消極隔振的隔振系數(shù)v 稱為隔振系數(shù)或傳遞系數(shù)， 為設(shè)備隔振后的振幅， 為振源振幅，顯然 也是越小越好。sXAsAXs積極減振系統(tǒng)描述v為受簡諧激勵的振動系統(tǒng)，系統(tǒng)傳給基礎(chǔ)的動載荷為彈簧和減振器對基礎(chǔ)作用力的合力。如果沒有彈簧和減振器，激勵力將直接作用于基礎(chǔ)，其幅值為 。 0F積極減振簡圖和力分析 2k2kcmF2mXc XkXXFtrF微分方程和受力分析v簡諧激勵下的運動微分方程的復(fù)數(shù)形式為： v由上圖的受力分析圖，可知，彈簧和減振器對基礎(chǔ)的作用力為： trFcxkx222cosnn

30、nxxxAt合力的計算coscosxA HjtXt sin()cos() cos()trTFcxkxXtkXtFt 隔振系數(shù)v合力的幅值：v隔振系數(shù)：222220121212TNFc XkXkXkAHjFHj2012sNHjF消極隔振的隔振系數(shù)v由支撐運動引起的強迫振動一節(jié)中的結(jié)論，相應(yīng)的幅值：v消極隔振的隔振系數(shù)為 22121212jjXXeAAHjj212sXHjA結(jié)論v當振源為簡諧量時，積極隔振和消極隔振的隔振系數(shù)計算公式相同，其與頻率比和阻尼比的關(guān)系 如右圖：01.02.03.04.05.01.02.03.01.002.03.04.05.0XA210.500.3750.250.150.

31、100.05323討論v無論阻尼大小，僅當頻率比 才有隔振效果，隨著頻率比 的增大，隔振效果提高，實際?。簐當頻率比 ，阻尼比的增大使隔振系統(tǒng)增大，降低了隔振效果 ，但適當?shù)淖枘峥梢员苊猱斊渲泻泻拖到y(tǒng)固有頻率接近的頻率成分造成過大的振幅。 22.552慣性式測振儀器原理v慣性式測振儀器將由彈性元件支撐的慣性質(zhì)量裝在適當?shù)臍んw內(nèi)，限制慣性質(zhì)量沿某一直線運動。阻尼由殼體內(nèi)的粘性液體提供。將殼體和被測系統(tǒng)固聯(lián)，以質(zhì)量塊和殼體的相對運動作為輸出。 慣性式測振儀器簡圖xykcmz輸出的獲得v相對運動量可以通過安裝傳感器獲得，本圖繪制的是簡單機械式，質(zhì)量塊安裝有一支畫筆，右側(cè)為一勻速轉(zhuǎn)動的滾筒，當質(zhì)量塊

32、上下運動時，畫筆在滾筒上纏繞的紙帶上繪出軌跡，此曲線為相對位移 隨 變化的曲線， 為滾筒半徑， 為滾筒的角速度，該曲線經(jīng)過適當?shù)淖鴺俗儞Q，即可得到 隨時間變化的曲線。 zrRtRrzt坐標的建立v設(shè)支座的運動為簡諧振動v取支座處于平衡位置時，質(zhì)量 的平衡位置為原點，豎直向上為 軸正向，其絕對位移為 ，取支座的平衡位置為原點，豎直向上為 軸正向，與被測結(jié)構(gòu)固聯(lián)的殼體的絕對位移為 ，殼體與質(zhì)量塊的相對位移為：mxxyyzxy微分方程的建立v根據(jù)牛頓第二定律，可得微分方程：v將 代入 0mxc xyk xyzxymzczkzmy 求解v由支座為簡諧振動，則： 代入方程：v則方程的解為： cosyYt

33、2cosmzczkzmYt22222222cos()112 =12zZtmYZkY122tan1加速度計v當 時， ，相對位移的幅值：v由 則： v因此： ，與支座的運動頻率無關(guān)1222 , 0nYZYcosyYt222Y cos ( t) =Z cos ( t)=znny 2nyZ()1H j加速度計的特點v固有頻率高v隨著固有頻率的增大，在其他條件不變，系統(tǒng)的響應(yīng)幅值將減小，從而使系統(tǒng)的靈敏度下降，可能會增加測量誤差。v在阻尼比很小的時候， 的范圍很窄，綜合其他因素，通常加速度計的阻尼比取為 ， ，此時，系統(tǒng)的誤差小于1%。()1H j0.700.4位移計v當 時， ， 儀器的相對位移和激

34、勵的位移幅值相等，此儀器用來測量振動位移。12ZYHjYcoszYt 位移計特點v位移計為低頻儀器，固有頻率越低，測量的范圍越寬，但系統(tǒng)也就越笨重，安裝到待測系統(tǒng)上，會對待測系統(tǒng)的動力特性造成很大影響，從而造成誤差。轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速v某些旋轉(zhuǎn)機械在開機與停機的過程中，當機器的轉(zhuǎn)速經(jīng)過某個定值時，會出現(xiàn)劇烈的震動，這對機器十分有害，這個定值通常稱為臨界轉(zhuǎn)速。為了保證機器的安全，開機和停機的時候，必須快速通過臨界轉(zhuǎn)速區(qū)。在設(shè)計機器時，必須使轉(zhuǎn)軸的工作轉(zhuǎn)速遠離轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速。轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速非常接近轉(zhuǎn)軸橫向自由振動的固有頻率。 系統(tǒng)描述v簡圖如下所示，假定：轉(zhuǎn)軸在靜止時，軸線成鉛垂，并與兩

35、端軸承的中心線重合。軸承是絕對剛性的，但軸承可以在軸承內(nèi)自由偏轉(zhuǎn)，圓盤成水平，裝在軸的中點。軸線通過圓盤的幾何中心S，而圓盤的重心G，有微小的偏心距e。這樣，重力的影響可以忽略不計，而且在轉(zhuǎn)軸發(fā)生撓曲時，圓盤平面始終水平，因而可以不考慮陀螺效應(yīng)。系統(tǒng)簡圖OSG e aeOGSAA向xy當轉(zhuǎn)軸以某一角速度勻速轉(zhuǎn)動，圓盤的離心力使軸發(fā)生撓曲，軸承的中心線與盤面相交于O點，設(shè)軸線中點的撓度為a，則OS=a。系統(tǒng)分析v先不考慮阻尼，作用于圓盤的力只有彈性恢復(fù)力與離心力，彈性力從S指向O，大小等于ka，其中k是軸在中點的彈簧系數(shù)。v（對于中點受集中載荷的簡支梁，其彈性剛度為：k=48EI/L3）。v離心

36、力沿著OG方向，指向外邊，大小和m2成正比，其中，m代表圓盤的質(zhì)量。這兩個力成為動平衡，必須大小相同，方向相反。計算撓度v對a求解，可以得到va可以寫成：22meakmnkmn22eak極限轉(zhuǎn)速v當=1時，轉(zhuǎn)軸的撓度a理論上可以無限大，這個角速度，稱為軸的臨界轉(zhuǎn)速，它等于轉(zhuǎn)軸橫向振動的固有圓頻率。在工程上，轉(zhuǎn)速單位為：轉(zhuǎn)/分，用n表示 602n不同轉(zhuǎn)速情況下的撓度情況v轉(zhuǎn)軸中點的撓度a，在 時，即亞臨界轉(zhuǎn)速時，與偏心距e同號，圓盤的重心G在轉(zhuǎn)軸撓曲線的外側(cè)；v在 時，與偏心距e同號，圓盤的重心G在轉(zhuǎn)軸撓曲線的外側(cè)；v當 時，有a=e，v重心G與定點O重合，圓盤繞重心轉(zhuǎn)動，這個現(xiàn)象稱為自動定心。

37、nnn偏心距為零時v從上述分析可以看出，除非e=0，轉(zhuǎn)軸總是彎成弓形，以角速度繞鉛垂的軸承中心轉(zhuǎn)動。v但即使e=0，（實際不可能），轉(zhuǎn)軸仍然有臨界轉(zhuǎn)速，因為在e=0時，根據(jù)ka=m2(a+e)有：ka=m2a。在時，上式成為恒等式，撓度a可以為任意值， a為任意值的物理意義v當： a可以為任意值時，轉(zhuǎn)軸失去穩(wěn)定性，任何微小的外力，都可以使轉(zhuǎn)軸有很大的撓度?？梢娎硐氲臒o偏心距的轉(zhuǎn)子，其臨界轉(zhuǎn)速和有偏心距的轉(zhuǎn)子相同。因此，在計算轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速時，不需要考慮轉(zhuǎn)子的偏心距。 1有阻尼的情況v再來看有阻尼的情形，假定為粘性阻尼，阻尼力的大小Fd=cv，式中v代表圓盤幾何中心S的速度，阻力的方向與速度v相

38、反。此時，O，S，G三點不一定共線。 xy xy OSG eat坐標系的建立和微分方程v取靜止坐標系Oxy，圓盤中心S的坐標為（x，y）重心G的坐標為（x+ecost, y+esint）v由牛頓第二定律： 2222cossinddxmxetkxcdtdtddxmxetkxcdtdt 微分方程的求解v令：z=x+jy可得：v響應(yīng)的振幅：v響應(yīng)的相角： 2j tmzczkzmee2222212eZeHj122tan1簡諧強迫振動部分作業(yè)：1.闡述軍用車輛使用可變阻尼減振器的必要性2.在不同路面（高頻和低頻路面）行駛，應(yīng)如 何調(diào)節(jié)阻尼，才能減小車體的振動？ 單自由度線性系統(tǒng)在周期激勵周期激勵作用下的

39、強迫振動 單自由度線性系統(tǒng)在周期激勵周期激勵作用下的強迫振動11 1mxcxkkxk x實例其中，11()( )x tTx t微分方程v設(shè)單自由度振動系統(tǒng)受到一個周期為T的激勵 f(t+T)=f(t)，則系統(tǒng)的微分方程可以寫成：222( )nnnxxxf t周期強迫振動 v非簡諧的周期激勵在工程結(jié)構(gòu)中的振動中大量存在，一般來說，如果周期激勵中的某一諧波的振幅比其他諧波的振幅大得多，大多可以作為簡諧激勵；反之，則不行。v求解一般周期激勵下系統(tǒng)的響應(yīng)問題需要將激勵展開為Fourier級數(shù)，分別求出各個諧波引起的響應(yīng)，再利用疊加原理得到系統(tǒng)的響應(yīng)。 傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù) 定理：設(shè)周期為T的周期函數(shù)

40、滿足收斂定收斂定 理理的條件， 則它的傅立葉級數(shù)展開式為其中系數(shù) 利用三角函數(shù)的正交性求出： 2222( )cos (0,1,2,)TnTntaf tdtnTT2222( )sin (1,2,3,)TnTntbf tdtnTT0122( )cossin2nnnantntf tabTT( )f t,nna b 周期激勵函數(shù)一般都滿足收斂定理的條件，都 可以展開為如下形式的傅立葉級數(shù)：0101122( )cossin2 cossincos2sin2cossin2nnnnnaf tan tbn taatbtatbtan tbn t222222( )cos (0,1,2,)2( )sin (1,2,3

41、,)TnTTnTTaf tn tdtnTbf tn tdtnT 其中 周期函數(shù)展開為傅立葉級數(shù) 的物理意義: 把一個比較復(fù)雜的周期激勵看成是許多不同不同頻率頻率的簡諧激勵簡諧激勵的疊加疊加。 諧波分析諧波分析 頻率 稱為基本頻率，簡稱基頻；對應(yīng)于基頻的簡諧分量，稱為基波；對應(yīng)于頻率為 ， 的簡諧分量稱為二次諧波，三次諧波，等等。 23周期激勵的處理v將f(t)展成Fourier級數(shù)：v其中的第p項為：v對應(yīng)的響應(yīng)為： 0( )Rejp tppf tA e( )Rejp tppftA e pxt求解 振系在簡諧激勵 與 分別作用下,相應(yīng)的強迫振動可依次表示為( )cosnf tan t( )si

42、nnf tbn t22222cos12nnaxn tknpnp 22222sin12nnbxn tknpnp 22arctan1nnpnp 組集總響應(yīng)v根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理0222221cossin212nnnnnan tbn taxkknpnp 22arctan1nnpnp 結(jié)論v可以看出，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是周期函數(shù)，其周期仍然為T，并且激勵的每個諧波都只引起與自身頻率相同的響應(yīng)，這是線性系統(tǒng)的特點。v在周期激勵中，只要系統(tǒng)的固有頻率和激勵中的某一諧波頻率接近就會發(fā)生共振，因此，對于周期激勵，要避開系統(tǒng)共振區(qū)比簡諧激勵要困難。通常使用適當增加系統(tǒng)阻尼的方式來減振。周期強迫振動 v非簡諧的周

43、期激勵在工程結(jié)構(gòu)中的振動中大量存在，一般來說，如果周期激勵中的某一諧波的振幅比其他諧波的振幅大得多，大多可以作為簡諧激勵；反之，則不行。 單自由度線性系統(tǒng)在非周期激勵非周期激勵 作用下的強迫振動非周期激勵非周期激勵 作用的特點非周期非周期強迫振動求解脈沖響應(yīng)函數(shù)法傅立葉變換法拉普拉斯變換法周期激勵的特點v前面章節(jié)討論的激擾力，無論是外界力或是支座的位移，我們都假定激擾的函數(shù)要么為簡諧，要么可以通過Fourier級數(shù)展成一系列簡諧函數(shù)的和。v振動系統(tǒng)對周期激勵的響應(yīng)通常指系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)強迫振動響應(yīng)，是按照激擾頻率（可以是單一的，亦可以是一系列）進行的周期振動。 非周期激勵的特點v在許多實際問題中，對

44、振動系統(tǒng)的激勵往往不是周期的，而是任意的時間函數(shù)，或者只是持續(xù)時間很短（相對于振動系統(tǒng)固有周期）的沖擊。 舉例：車輛越障 非周期激勵響應(yīng)的特點v相應(yīng)地，瞬態(tài)激勵引起的系統(tǒng)振動響應(yīng)持續(xù)時間也不長，但響應(yīng)的峰值往往很大，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大應(yīng)力和變形。v振動系統(tǒng)通常沒有穩(wěn)態(tài)運動，只有瞬態(tài)振動v在激勵消失后，振動系統(tǒng)進行阻尼自由振動，即所謂的剩余振動。v振動系統(tǒng)在任意激勵下的運動，包括剩余振動，稱為振動系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)。非周期非周期強迫振動求解 脈沖響應(yīng)函數(shù)法解決問題的思路：把非周期激振力看作是一系列作用時間極短的分力的疊加；在脈沖力作用下的響應(yīng) 應(yīng)用動量定理；總響應(yīng) 疊加原理。脈沖力定義v如果F(t

45、)的幅值很大，但作用時間很短，即 ，那么如果沖量： 仍然為通常的數(shù)量級，這種力稱為脈沖力。v 通常硬物體之間的碰撞力、閃電、電容瞬間的放電（照相機的閃光燈）都具有脈沖力的類似性質(zhì)。 1 FFt d t狀態(tài)描述v如果F(t)的作用時間為(，)(為任意非負實數(shù))，即當t和t 0后，系統(tǒng)不受外力，自由振動。系統(tǒng)受到脈沖力作用后的運動微分方程： 00 x0/xF m/,01cF mdtc脈沖力作用后的微分方程 v系統(tǒng)受到脈沖力作用后的運動微分方程：v它的解為：v這就是初始時刻靜止的系統(tǒng)在t=0時刻受到脈沖力 作用后的響應(yīng)。 000,0mxcxkxFxxm sin0ntddFx tettm Ft系統(tǒng)單位

46、脈沖響應(yīng)函數(shù) v系統(tǒng)受到單位脈沖力作用，此時的系統(tǒng)的響應(yīng)稱為系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)簡稱系統(tǒng)脈沖響應(yīng)，用h(t)表示 ： 1sin0ntddh tettm一般脈沖響應(yīng)v顯然，在 以前靜止的系統(tǒng)在 時，受到一個單位脈沖激勵后的響應(yīng)為：tt1sinntddh tettm各時刻脈沖響應(yīng)的疊加v 時刻的脈沖力 v該脈沖力的響應(yīng)v系統(tǒng)在t時刻的響應(yīng)t把非周期激振力f（t）看作是一系列脈沖力的疊加；Ft（ ）Fh t（ ）0( )tx tFh t（ ） 0tx tFh td0 令，求和變成積分：如果系統(tǒng)初始條件不為零，即： 000,0 xxxx系統(tǒng)總的響應(yīng)為 0000cossinnttndddxxx textth

47、 tFd脈沖響應(yīng)的意義v系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)由系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)決定。 系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)反映了系統(tǒng)的振動特性。 錘擊法 v在振動試驗中，有一種方法叫做錘擊法。用錘頭帶有力傳感器的錘子敲擊被測的結(jié)構(gòu)，力傳感器測出敲擊的力信號，裝在結(jié)構(gòu)上的加速度傳感器測出結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)信號，把測出的力信號和加速度信號經(jīng)過處理，可以求出系統(tǒng)的振動參數(shù)。如固有頻率，阻尼比等。錘擊法測試速度快，所需設(shè)備少，便于現(xiàn)場測試。 單自由度線性系統(tǒng)在非周期激勵非周期激勵 作用下的強迫振動 非周期非周期強迫振動求解脈沖響應(yīng)函數(shù)法傅立葉變換法拉普拉斯變換法Fourier變換方法求解 v前面講述的方法都是直接在 時域中時域中 求解微分方程，

48、得到是系統(tǒng)的時間響應(yīng)歷程。v對于一個振動問題，可以用Fourier變換在頻頻率域率域 內(nèi)分析激勵頻譜，響應(yīng)頻譜以及系統(tǒng)特性的頻率域描述之間的關(guān)系。Fourier變換方法一 周期激勵的頻譜圖 0001cossinnnnf taantbnt001sinnnnaAnt22 nnnAab，nnnabarctg 2022cos TnTaf tntdtT， 2022sinTnTbf tntdtTFourier變換方法頻譜頻譜是信號中各頻率分量按頻率高低依次排列是信號中各頻率分量按頻率高低依次排列的總體。的總體。幅頻幅頻是信號中各頻率分量的幅值與頻率之間的是信號中各頻率分量的幅值與頻率之間的關(guān)系。關(guān)系。相頻

49、相頻是信號中各頻率分量的相位與頻率之間的是信號中各頻率分量的相位與頻率之間的關(guān)系。關(guān)系。Fourier變換方法()03070500A ()03050700頻域描述頻域描述 f (t)t-T/2T/20時域描述時域描述Fourier變換方法二、非周期激勵和傅里葉變換周期激勵的傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式為： 00221jntnnTjntnTf tc ecf t edtT 000221TjntjntjntnTnnf tc ef t edt eTFourier變換方法v譜線之間的頻率間隔v離散頻譜中相鄰的譜線無限接近，離散頻譜成為連續(xù)頻譜v離散變量 變成了連續(xù)變量，求和運算就變成了求積分運算，于是得：2dT

50、T 非周期信號0nFourier變換方法 22212j tj tj tj tjftjftdf tf t edt ef t edt edf t edt edfFourier變換方法稱 為 的傅里葉變換或傅里葉積分 j tFf t edt , FfF f t 2jftFff t edt傅里葉（正）變換Fourier變換方法稱 為 的傅里葉逆變換，兩者互為傅里葉變換對，即 2jftf tFf edf f t F XtxFTIFT傅里葉逆變換 12j tf tFedFourier變換方法 , f t F FTIFTf tF傅里葉變換對 Ff tF 1f tFF構(gòu)成傅里葉變換對記為Fourier變換方法

51、三、傅里葉變換的常用性質(zhì) 1. 線性疊加性 若 和 分別有傅里葉變換為 、 ，則 fX ty tx fY fbYfaXtbytaxFourier變換方法若則即把時域信號沿時間軸平移一常值t0，則使其頻域引起相應(yīng)的相移 fXtx 02 0jf tx ttXf e02 ft2. 時移特性Fourier變換方法3. 頻移特性若則v在頻域中將頻譜沿頻率軸平移一常值 ，則相當于在對 應(yīng)時域中將信號乘以因子 。 fXtx 020ffXetxtfj0ftfje02Fourier變換方法若則 fXfjdttxdnnn2 fXtx fXfjdttxt214. 微分和積分特性Fourier變換方法5. 卷積特性若 ，則 tx1 tx2 12xxtd tx1 tx2 txx21 fXtx11 fXtx22 fXf