定理給定圖T以下關(guān)于樹的定義是等價ppt課件

1、(1)(1)無回路的連通圖。無回路的連通圖。(2)(2)無回路且無回路且e=v-1e=v-1，其中，其中e e是邊數(shù)，是邊數(shù)，v v是結(jié)點數(shù)。是結(jié)點數(shù)。(3)(3)連通且連通且e=v-1e=v-1。(4)(4)無回路，但添加一條新邊，得到無回路，但添加一條新邊，得到一個且僅有一個回路。一個且僅有一個回路。(5)(5)連通，但刪去任一邊后便不連通。連通，但刪去任一邊后便不連通。(6)(6)每一對結(jié)點之間有一條且僅有一每一對結(jié)點之間有一條且僅有一條路。條路。證明證明12 設(shè)在圖設(shè)在圖T中，當(dāng)中，當(dāng)v=2時，連通無回路，時，連通無回路，T中中邊數(shù)邊數(shù)e=1，因此，因此e=v-1成立。成立。假設(shè)假設(shè)v

2、=k-1時命題成立，時命題成立，當(dāng)當(dāng)v=k時，由于無回路且時，由于無回路且連通，故至少有一條邊其連通，故至少有一條邊其一個端點一個端點u的度數(shù)為的度數(shù)為1。設(shè)該邊為設(shè)該邊為(u,w)，刪去結(jié)，刪去結(jié)點點u，便得到一個，便得到一個k-1個結(jié)個結(jié)點的連通無回路圖點的連通無回路圖T，由歸納假設(shè)，圖由歸納假設(shè)，圖T的邊的邊數(shù)數(shù)e=v-1=(k-1)-1，于是，于是再將結(jié)點再將結(jié)點u以及關(guān)聯(lián)邊以及關(guān)聯(lián)邊(u,w)加到圖加到圖T中得到原中得到原圖圖T，此時，此時T的邊數(shù)為的邊數(shù)為e=e+1=(k-2)+1=k-1，結(jié)，結(jié)點數(shù)點數(shù)v=v+1=(k-1)+1=k,故故e=v-1成立。成立。 證明證明23 假設(shè)

3、假設(shè)T不連通，并且有不連通，并且有k個連通分個連通分枝枝T1,Tk(k2)由于每個分圖是連由于每個分圖是連通無回路，那么可證：如通無回路，那么可證：如Ti有有vi個個結(jié)點，結(jié)點，viv時，時，Ti有有vi-1條邊，而條邊，而 v=v1+v2+vk e=(v1-1)+(v2-1)+(vk-1)=v-k但但e=v-1，故，故k=1，這與假設(shè)，這與假設(shè)G是不是不連通即連通即k2相矛盾。相矛盾。證明證明34 假設(shè)假設(shè)T連通且有連通且有v-1條邊。條邊。 當(dāng)當(dāng)v=2時，時，e=v-1=1, 故故 T必?zé)o回路。如添加一邊必?zé)o回路。如添加一邊得到且僅得到一個回路。得到且僅得到一個回路。設(shè)設(shè)v=k-1時命題成

4、立。時命題成立。 調(diào)查調(diào)查v=k時的情況，由于時的情況，由于T是連通的，是連通的，e=v-1。故每個結(jié)。故每個結(jié)點點u有有deg(u)1，可以證明至，可以證明至少有一個結(jié)點少有一個結(jié)點u0，使，使deg(u0)=1，假設(shè)不然，即一，假設(shè)不然，即一切結(jié)點切結(jié)點u有有deg(u) 2那么那么2e 2v，即，即ev，與假設(shè)，與假設(shè)e=v-1矛矛盾。盾。刪去刪去u0及其關(guān)聯(lián)的邊，而得到新及其關(guān)聯(lián)的邊，而得到新圖圖T，由歸納假設(shè)可知，由歸納假設(shè)可知T無回路，無回路，在在T中參與中參與u0及其關(guān)聯(lián)邊又得到及其關(guān)聯(lián)邊又得到T，故，故T是無回路的，假設(shè)在連通是無回路的，假設(shè)在連通圖圖T中添加新的邊中添加新的邊

5、(ui,uj) ，那么該，那么該邊與邊與T中中ui到到uj 的的一條路構(gòu)成一的的一條路構(gòu)成一個回路，那么該回路必是獨一的，個回路，那么該回路必是獨一的，否那么假設(shè)刪去此新邊，否那么假設(shè)刪去此新邊，T中必中必有回路，得出矛盾。有回路，得出矛盾。證明證明45 假設(shè)圖假設(shè)圖 T不連通，那么不連通，那么存在結(jié)點存在結(jié)點ui與與uj, 在在ui與與uj之間沒有路之間沒有路, 顯然假設(shè)加顯然假設(shè)加邊邊ui,uj不會產(chǎn)生回路，不會產(chǎn)生回路，與假設(shè)矛盾。又由于與假設(shè)矛盾。又由于T無無回路，故刪去任一邊，圖回路，故刪去任一邊，圖就不連通。就不連通。證明證明56 由連通性可知，任兩結(jié)點由連通性可知，任兩結(jié)點間有一

6、條路，假設(shè)存在兩點，間有一條路，假設(shè)存在兩點，在它們之間有多于一條的路，在它們之間有多于一條的路，那么那么T中必有回路，刪去該中必有回路，刪去該回路上任一條邊，圖仍是連回路上任一條邊，圖仍是連通的，與通的，與5矛盾。矛盾。證明證明61 恣意兩結(jié)點間有獨一條恣意兩結(jié)點間有獨一條路，那么圖路，那么圖T必連通，假必連通，假設(shè)有回路那么回路上任兩設(shè)有回路那么回路上任兩點間有兩條路，與點間有兩條路，與6矛盾。矛盾。 定理定理2 2 任一棵樹中至任一棵樹中至少有兩片樹葉。少有兩片樹葉。 證明證明 設(shè)樹設(shè)樹T=，|V|=v, 由于由于T是是連通圖，對于恣意連通圖，對于恣意viT，有，有deg(vi)1且且d

7、eg(vi)=(|V|1)=2v2假設(shè)假設(shè)T中每個結(jié)點度數(shù)大于等于中每個結(jié)點度數(shù)大于等于2，那么那么deg(vi)2v，得出矛盾。假設(shè)，得出矛盾。假設(shè)T中只需一個結(jié)點度數(shù)為中只需一個結(jié)點度數(shù)為1, 其它結(jié)點其它結(jié)點度數(shù)大于等于度數(shù)大于等于2，那么，那么deg(vi)2(v1)+1= 2v1得出矛盾。得出矛盾。故故T中至少有兩個結(jié)點度數(shù)為中至少有兩個結(jié)點度數(shù)為1。 1756432edcba設(shè)圖設(shè)圖G G中結(jié)點表示一些城中結(jié)點表示一些城市，各邊表示城市間道路市，各邊表示城市間道路的銜接情況。邊的權(quán)表示的銜接情況。邊的權(quán)表示道路的長度長度、運輸?shù)缆返拈L度長度、運輸量、費用等。量、費用等。假設(shè)我們要用

8、通訊線路把假設(shè)我們要用通訊線路把這些城市聯(lián)絡(luò)起來，要求這些城市聯(lián)絡(luò)起來，要求沿道路架設(shè)線路時，所用沿道路架設(shè)線路時，所用的線路最短，這就是要求的線路最短，這就是要求一棵生成樹，使該生成樹一棵生成樹，使該生成樹是圖是圖G G的一切生成樹中邊的一切生成樹中邊權(quán)和為最小。權(quán)和為最小。 定理可何定理可何加心的設(shè)圖加心的設(shè)圖o o有有n n個結(jié)個結(jié)點，以下算法產(chǎn)生點，以下算法產(chǎn)生的是最小生成樹。的是最小生成樹。 a a選取最小權(quán)邊選取最小權(quán)邊，生邊數(shù)，生邊數(shù)6 6一一4l4l N6 N6一。一工終了，一。一工終了，否那么轉(zhuǎn)心否那么轉(zhuǎn)心 中設(shè)已選擇邊為中設(shè)已選擇邊為內(nèi)，內(nèi)，向，在，向，在o o中選取不同于

9、中選取不同于elel，q q， ， e e。的邊。的邊 e e；。，使。，使 elel， e e， eo elJ eo elJ中中無回路且無回路且 el el。是滿足。是滿足此此條件的最小邊。條件的最小邊。 06 06各一十各一十1 1，轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)O O。 證明設(shè)見為由上證明設(shè)見為由上述算法構(gòu)造的一個國，述算法構(gòu)造的一個國，它的結(jié)點是圖它的結(jié)點是圖o o的個結(jié)點，的邊的個結(jié)點，的邊是電，內(nèi)，是電，內(nèi)，民一，民一1 1。根據(jù)構(gòu)造，隊沒有回根據(jù)構(gòu)造，隊沒有回路，路，由定理由定理 7cy1 7cy1可知可知 ToTo是一棵樹，且為國是一棵樹，且為國o o的失成樹。的失成樹。 下面證明九是最下面證明九是最

10、小生成樹。小生成樹。 設(shè)設(shè)G G的最小生成的最小生成樹是樹是T T假設(shè)假設(shè)T T與與TOTO一一樣，那么樣，那么ToTo是是o o的的t t小生成樹。假設(shè)小生成樹。假設(shè)p p與饑與饑不同，那么在中至不同，那么在中至少有一條邊一十：，少有一條邊一十：，使得使得向十向十1 1不是不是p p的邊，但的邊，但必，必，O O，e e；是；是p p的的邊。由于邊。由于Y Y是樹我們是樹我們在在少中加上邊少中加上邊8 8；1 1，必有一條國路，而必有一條國路，而隊是樹，所以礦中必隊是樹，所以礦中必存在存在某條邊不在某條邊不在ToTo中。中。對于樹對于樹T T，假設(shè)以邊，假設(shè)以邊efef。宜換人那么得到。宜換

11、人那么得到新的新的一棵樹一棵樹 T T，但樹，但樹 T T的的權(quán)權(quán) O Ow w一一OoOoO O的的一一O Oj j由于由于 p p是最小生成樹，故是最小生成樹，故O OT TT T即即 D Dl lo o0 0或或o o。POPO由于由于0 0，NN，1 1是是y y的邊。且在仇的邊。且在仇e e，。，。e e；，；，o o1 1中沒有回中沒有回路，故路，故o o構(gòu)構(gòu)0 0不不能夠成立，由于否那能夠成立，由于否那么在見中，自么在見中，自1 1，內(nèi)，內(nèi)， ，e e之后將取而之后將取而不能取不能取elell l，與題設(shè)，與題設(shè)矛盾。于是矛盾。于是OwoOOwoOj j，因此因此 T T也是也是

12、 o o的一的一棵最小生成材，但是棵最小生成材，但是 T T與與 TO TO的分共邊比的分共邊比 T TTOTO的公共邊數(shù)多的公共邊數(shù)多1 1，用用 T T，t t換換T T， t t復(fù)上復(fù)上面論證直至得到與面論證直至得到與風(fēng)有卜風(fēng)有卜1 1條公共邊的最條公共邊的最小生成材，這時我們小生成材，這時我們斷定馬是最小生成斷定馬是最小生成D D 例如國百例如國百萬萬sopsop出一個賦權(quán)連出一個賦權(quán)連通圖，粗線表示接上通圖，粗線表示接上述算法述算法得到的最小生成樹。得到的最小生成樹。 以上算法中假設(shè)以上算法中假設(shè)q q中邊權(quán)全不一樣，實中邊權(quán)全不一樣，實踐上，這種算法完全踐上，這種算法完全適用于恣意

13、過權(quán)的情適用于恣意過權(quán)的情況，假設(shè)有兩條邊權(quán)況，假設(shè)有兩條邊權(quán)數(shù)一樣，我們可以讓數(shù)一樣，我們可以讓其中的其中的一條的權(quán)改動一個很一條的權(quán)改動一個很小的量，由于小的量，由于o o中邊數(shù)中邊數(shù)有限，總可選擇這個有限，總可選擇這個改動量而不影響最小改動量而不影響最小生成樹的最小性。生成樹的最小性。 yiyi led ledm m 二二 WAfxtWAfxt 圖圖 7 77 73 ffi 7N3 ffi 7N4 4 例如例如M7M77 74 4出一個賦權(quán)連出一個賦權(quán)連N N ToTo， o os s，心一，心一1 1，O Ompmp，。，。a a一一2 2， O O ，wiwi一一2 2， O Oeq

14、eq，。一，。一3 3， O O仰，。一仰，。一2 2。O O。，。一。，。一1 1，O ON N，心一，心一3 3，o o。，。，。一一2 2，最小，最小生成材有邊生成材有邊n n，恤，。，叫，恤，。，叫，q q，叫，以粗線表示。，叫，以粗線表示。 TOTO的權(quán)的權(quán)D DTO 6TO 6。 7 78 8回一回一 1 1當(dāng)且僅當(dāng)連當(dāng)且僅當(dāng)連通國的每條邊均為創(chuàng)通國的每條邊均為創(chuàng)邊時，該連通圖才是邊時，該連通圖才是一棵樹。一棵樹。 2 2一棵樹有兩一棵樹有兩個結(jié)點度數(shù)為個結(jié)點度數(shù)為 2 2，一，一個結(jié)點度數(shù)為個結(jié)點度數(shù)為 3 3， at at結(jié)點度數(shù)為結(jié)點度數(shù)為、問它有幾個度數(shù)為、問它有幾個度數(shù)為 1 1的結(jié)點。的結(jié)點。 3 3一棵樹有。一棵樹有。個結(jié)點度數(shù)為個結(jié)點度數(shù)為2 2，N N個個結(jié)點度數(shù)為結(jié)點度數(shù)為a a，N N個個結(jié)點度數(shù)結(jié)點度數(shù)為為 k k， rq rq它有幾個度它有幾個度數(shù)為數(shù)為1 1的結(jié)點。的結(jié)點。 4 4設(shè)馬和設(shè)馬和n n是是在遭圍在遭圍o o的兩棵生成協(xié)。的兩棵生成協(xié)。是在是在 Ti Ti申但不在申但不在TsTs