概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第四版)第五章

1、休息休息結(jié)束結(jié)束第五章 大數(shù)定律與中心極限定理休息休息結(jié)束結(jié)束概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科。隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有計規(guī)律性的學(xué)科。隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行在相同的條件下進行大量大量重復(fù)試驗時才會重復(fù)試驗時才會呈現(xiàn)出來。也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去呈現(xiàn)出來。也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機現(xiàn)象。尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機現(xiàn)象。休息休息結(jié)束結(jié)束 研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對極限定理進行研究形式，由此導(dǎo)致對極限定理進行研究. 極極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重

2、要的有兩限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種種:與與大數(shù)定律中心極限定理下面我們先介紹大數(shù)定律下面我們先介紹大數(shù)定律休息休息結(jié)束結(jié)束字母使用頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的生產(chǎn)過程中的廢品率廢品率大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率 大量的隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性大量的隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性 大數(shù)定律的客觀背景大數(shù)定律的客觀背景5.1 大數(shù)定律休息休息結(jié)束結(jié)束定理定理 1 （獨立同分布下的大數(shù)定律獨立同分布下的大數(shù)定律） 設(shè)設(shè)X1,X2, 是獨立同分布的隨機變量是獨立同分布的隨機變量序列，且序列，且 EXi = ， DXi = ， i=1,2,則對任給則對任給 0,2 1|1|

3、lim1 niinXnP幾個常見的大數(shù)定律幾個常見的大數(shù)定律休息休息結(jié)束結(jié)束定理定理2（貝努里大數(shù)定律貝努里大數(shù)定律） 設(shè)設(shè)nA是是n重貝努里試驗中事件重貝努里試驗中事件A發(fā)生的發(fā)生的 次數(shù)，次數(shù)，p是事件是事件A發(fā)生的概率，則對任給的發(fā)生的概率，則對任給的 0，有：，有：Annlim P|p|1n Annlim P|p|0n 或或休息休息結(jié)束結(jié)束 貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)n充分大時，事件充分大時，事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率nA/n與事件與事件A的概率的概率p有較大偏差的概率很小。有較大偏差的概率很小。貝努里大數(shù)定律貝努里大數(shù)定律 貝努里大數(shù)定律提供

4、了通過試驗來確貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗來確定事件概率的方法。定事件概率的方法。休息休息結(jié)束結(jié)束定理定理 3（辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律） 設(shè)隨機變量序列設(shè)隨機變量序列 X1, X2, 獨立同分獨立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期布，具有有限的數(shù)學(xué)期 EXi=, i=1,2,， 則對任給則對任給 0 ，1|1|lim1 niinXnP休息休息結(jié)束結(jié)束 大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學(xué)形式表達了隨大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學(xué)形式表達了隨機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：平均結(jié)果的穩(wěn)定性平均結(jié)果的穩(wěn)定性它是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現(xiàn)。它是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現(xiàn)。大數(shù)定律在理論和實際中都有廣泛的應(yīng)用。大數(shù)定律

5、在理論和實際中都有廣泛的應(yīng)用。休息休息結(jié)束結(jié)束中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景在實際問題中，常常需要考慮許多隨機在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生總影響因素所產(chǎn)生總影響. .例如：炮彈射擊的落點與目標(biāo)的偏差，例如：炮彈射擊的落點與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機因素的影響就受著許多隨機因素的影響. .5.2 中心極限定理休息休息結(jié)束結(jié)束自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布正態(tài)分布在自然界中極在自然界中極為常見。為常見。觀察表明，如果一個量是觀察表明，如果一個量是由大量相互獨由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，

6、而每一個別因立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大素在總影響中所起的作用不大。則這種量一。則這種量一般都服從或近似服從般都服從或近似服從正態(tài)分布正態(tài)分布。中心極限定理的直觀演示中心極限定理的直觀演示休息休息結(jié)束結(jié)束由于無窮個隨機變量之和可能趨于由于無窮個隨機變量之和可能趨于，故我們不研究故我們不研究n個隨機變量之和本身而考慮個隨機變量之和本身而考慮它的它的標(biāo)準化標(biāo)準化的隨機變量的隨機變量nnkkk 1k 1nnkk 1XE(X )ZD(X ) 的分布函數(shù)的極限。的分布函數(shù)的極限。休息休息結(jié)束結(jié)束 可以證明，滿足一定的條件，上述可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)

7、準正態(tài)分布極限分布是標(biāo)準正態(tài)分布. -中心極限定理中心極限定理休息休息結(jié)束結(jié)束在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極中心極限定理限定理。我們只討論幾種簡單情形。我們只討論幾種簡單情形。下面給出的獨立同分布隨機變量序下面給出的獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理，也稱列的中心極限定理，也稱林德伯格林德伯格-列維列維（ Lindberg-Levy ）定理。）定理。休息休息結(jié)束結(jié)束定理定理 4（獨立同分布下的中心極限定理獨立同分布下的中心極限定理）設(shè)設(shè)X1,X2, 是獨立同分布的隨機是獨立同分布的隨機變量序列，且變量

8、序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，i=1,2,，則，則2 1lim niinXnPxnx-2t -dte212 休息休息結(jié)束結(jié)束nYN(,) 當(dāng)當(dāng) n 很大時，可以求出近似分布很大時，可以求出近似分布:它表明，當(dāng)它表明，當(dāng)n充分大時，充分大時，n個具有期望和個具有期望和方差的獨立同分布的方差的獨立同分布的r.v之和之和近似服從近似服從正態(tài)分正態(tài)分布布。雖然在一般情況下，我們很難求出。雖然在一般情況下，我們很難求出Yn= X1+X2+ +Xn 分布的確切形式。分布的確切形式。n12nE(Y )E( X )E( X )E( X )n n 2n12nD(Y )D( X )D( Xn)D( X

9、) 2n 休息休息結(jié)束結(jié)束棣莫佛拉普拉斯定理（二項分布的正棣莫佛拉普拉斯定理（二項分布的正態(tài)近似）是上述定理的特殊情況。態(tài)近似）是上述定理的特殊情況。定理定理 5 ( (棣莫佛拉普拉斯定理）棣莫佛拉普拉斯定理） 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 服從參數(shù)服從參數(shù)n, p( (0p1920) = 1-P( Y 1920 )1600(19)02040 1- =1- (0.8)=1-0.7881=0.2119計算計算休息休息結(jié)束結(jié)束 例例2 一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于一次波浪的沖擊，縱搖角大于3的概率的概率p1/3，若船舶遭受了，若船舶遭受了90 00

10、0次波浪沖次波浪沖擊，問其中有擊，問其中有29 50030 500次次 縱搖角大于縱搖角大于3的概率是多少？的概率是多少？解：解： 在在90 000次波浪沖擊中縱搖角度大于次波浪沖擊中縱搖角度大于3的次數(shù)記為的次數(shù)記為X， 且有且有 Xb (90000，1/3)。所求概率為：。所求概率為： 休息休息結(jié)束結(jié)束k90 000 k30 50029 500P 29 500X30 500 90 00012k33 利用中心極限定理來求它的利用中心極限定理來求它的近似值：近似值：XN(,) EXnp190000330000np(pDX1)129000030032003000020000休息休息結(jié)束結(jié)束P 29 500