彈性力學(xué)與有限元完整版

1、 第一篇 彈性力學(xué)第一章 彈性力學(xué)基本方程1.1 緒論1.2 彈性力學(xué)的基本假定1.3 幾個基本概念1.4 彈性力學(xué)基本方程第二章 彈性力學(xué)平面問題2.1 平面應(yīng)力問題2.2 平面應(yīng)變問題2.3 平面問題的基本方程第三章 彈性力學(xué)問題求解方法簡述 第一章 彈性力學(xué)基本方程1.1 緒論1.2 彈性力學(xué)的基本假定1.3 幾個基本概念1.4 彈性力學(xué)基本方程應(yīng)力 應(yīng)變 位移彈性體外界作用 彈性力學(xué)基本內(nèi)容外力溫度變化 彈性力學(xué)彈性力學(xué)，又稱彈性理論。 是研究彈性體由于外力載荷或者溫度改變，物體內(nèi)部所產(chǎn)生的位移、變形和應(yīng)力分布等。為解決工程結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度，剛度和穩(wěn)定性問題作準(zhǔn)備 。 彈性力學(xué)的研究對象：是

2、完全彈性體，包括構(gòu)件、板和三維彈性體，比材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究范圍更為廣泛 。 研究的內(nèi)容： 外力作用下 應(yīng)力、應(yīng)變、位移1.1 彈性力學(xué)緒論 物體變形物體變形彈性變形、塑性變形彈性變形、塑性變形 彈性變形：彈性變形： 當(dāng)外力撤去以后恢復(fù)到原始狀態(tài)，沒有變形殘留，材當(dāng)外力撤去以后恢復(fù)到原始狀態(tài)，沒有變形殘留，材料的應(yīng)力和應(yīng)變之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系。與時間無料的應(yīng)力和應(yīng)變之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系。與時間無關(guān)，也與變形歷史無關(guān)關(guān)，也與變形歷史無關(guān)。 塑性變形：塑性變形： 當(dāng)外力撤去以后尚殘留部分變形量，不能恢復(fù)到原始當(dāng)外力撤去以后尚殘留部分變形量，不能恢復(fù)到原始狀態(tài)，狀態(tài)，即存在永久變形。應(yīng)力和應(yīng)

3、變之間的關(guān)系即存在永久變形。應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系不再一一對應(yīng)，與時間、與加載歷程有關(guān)不再一一對應(yīng)，與時間、與加載歷程有關(guān)。 彈性：彈性：假定“完全彈性”關(guān)系，是抽象出來的理想模型。 完全彈性是指在一定溫度條件下，材料的應(yīng)力和應(yīng)變之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系。 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系。本構(gòu)關(guān)系。 材料模型包括：線性彈性體非線性彈性體1.2 彈性力學(xué)的基本假定 連續(xù)性假設(shè)連續(xù)性假設(shè) 根據(jù)這一假設(shè)，物體的所有物理量，例如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等均成為物體所占空間的連續(xù)函數(shù)。 均勻性假設(shè)均勻性假設(shè) 假設(shè)彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的，物體各個部分的物理性質(zhì)都是相同的，不隨坐標(biāo)位置的變化而改變。在處理問題時

4、，可以取出物體的任意一個小部分討論。 3. 各向同性假設(shè)各向同性假設(shè) 假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質(zhì)，物體的彈性常數(shù)不隨坐標(biāo)方向變化。 像木材、竹子以及纖維增強(qiáng)材料等，屬于各向異性材料，它們是復(fù)合材料力學(xué)研究的對象。 4. 完全彈性假設(shè)完全彈性假設(shè) 應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，與時間及變形歷史無關(guān)。滿足胡克定理。5. 小變形假設(shè)小變形假設(shè) 在彈性體的平衡等問題討論時，不考慮因變形所引起的幾何尺寸變化，使用物體變形前的幾何尺寸來替代變形后的尺寸。采用這一假設(shè)，在基本方程中，略去位移、應(yīng)變和應(yīng)力分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組。1.3 幾個基本概念外力一點(diǎn)的應(yīng)力狀

5、態(tài)一點(diǎn)的形變位移分量 作用于物體的外力可以分為3種類型： 體力、面力、集中力。 體力體力就是分布在物體整個體積內(nèi)部各個質(zhì)點(diǎn)上的力，又稱為質(zhì)量力。例如物體的重力，慣性力，電磁力等等。 面力面力是分布在物體表面上的力，例如風(fēng)力，靜水壓力，物體之間的接觸力等。 集中力集中力作用物體一點(diǎn)上的力。（在彈性力學(xué)中一般不用，而在有限元中經(jīng)常出現(xiàn)）1 外力 體力 物體任意一點(diǎn)P 所受體力的大小和方向，在P點(diǎn)區(qū)域取一微小體積元素V， 設(shè)V 的體力合力為F，則V 的平均體力為當(dāng)V 趨近于0，則為P點(diǎn)的體力 體力是矢量：一般情況下，物體每個點(diǎn)體力的大小和方向不同。 體力分量：將體力沿三個坐標(biāo)軸xyz 分解，用X、Y

6、、Z表示，稱為體力分量。 符號規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。 應(yīng)該注意的是：在彈性力學(xué)中，體力是指單位體積的力 。 體力的因次：力/長度3 表示：F=X Y Z 面力 與體力相似，在物體表面上任意一點(diǎn)P 所受面力的大小和方向，在P點(diǎn)區(qū)域取微小面積元素S ，當(dāng)S 趨近于0，則為P點(diǎn)的面力面力分量符號規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。面力的因次：力/長度2 集中力 體力與面力都是分布力，集中力則只是作用在一個點(diǎn)上，作用區(qū)域V或S很小，但數(shù)值很大，這種形式的力可以認(rèn)為是集中力。 集中力分量：集中力直接將其沿三個坐標(biāo)軸分解，用X0、Y0、Z0表示，即集中力力分量。 符號規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一

7、致為正，反之為負(fù)。 體力的因次：力2 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 應(yīng)力表示方法 材料力學(xué)中接觸過斜截面上的應(yīng)力，斜截面上應(yīng)力可以分成正應(yīng)力、剪應(yīng)力； 復(fù)雜物體任意截面上的應(yīng)力可分為 1個與平面垂直的正應(yīng)力、 2個平面內(nèi)剪應(yīng)力。X面Y面Z面正應(yīng)力分量 3個：xyz、xyxzyxyzzxzy、剪應(yīng)力分量 6個：正面 負(fù)面X面Y面Z面應(yīng)力符號意義xyz、xy剪應(yīng)力：正應(yīng)力： 由法線方向確定作用面 作用方向 符號規(guī)定： 正面上與坐標(biāo)軸正向一致，為正； 負(fù)面上與坐標(biāo)軸負(fù)向一致，為正。剪應(yīng)力互等定理xyzxyyzzx、剪應(yīng)力不再區(qū)分哪個是作用面或作用方向 。應(yīng)力分量：xyyxyzzyxzzx相等 xyzxyyzzx3

8、 一點(diǎn)應(yīng)變分量 微分單元體的變形： 微分單元體棱邊的伸長和縮短；正應(yīng)變正應(yīng)變 棱邊之間夾角的變化；剪應(yīng)變剪應(yīng)變 xyzxyyzzx正應(yīng)變分量 3個：剪應(yīng)變分量 3個：xyz、xyyzzx、 應(yīng)變的定義（自學(xué)）設(shè)平行六面體單元，3個軸棱邊： 變形前為MA，MB，MC； 變形后變?yōu)镸A，MB，MC。xyz、正應(yīng)變（小變形） （自學(xué)）符號規(guī)定： 正應(yīng)變以伸長為正。剪應(yīng)變（自學(xué)）符號規(guī)定： 正應(yīng)變以伸長為正；剪應(yīng)變以角度變小為正。4 位移分量 位移：由于載荷作用或者溫度變化等外界因素等影響，物體內(nèi)各點(diǎn)在空間的位置將發(fā)生變化，位置移動即產(chǎn)生位移。 位移剛體位移剛體位移、變形變形 剛體位移剛體位移物體內(nèi)部

9、各個點(diǎn)仍然保持初始狀態(tài)的相對位置不變，由于物體整體在空間做剛體運(yùn)動引起的位置改變。 變形變形物體整體位置不變，彈性體在外力作用下發(fā)生形狀的變化，而改變了物體內(nèi)部各個點(diǎn)的相對位置，引起位移。 后者與彈性體的應(yīng)力有著直接的關(guān)系彈性力學(xué)研究的主要變形，通常叫位移。u=x（x，y，z）-x=u（x，y，z） v=y（x，y，z）-y=v（x，y，z） w=z（x，y，z）-z=w（x，y，z）根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，彈性體在變形前和變形后仍保持為連續(xù)體。 彈性體中某點(diǎn)在變形過程中由M（x，y，z）移動至M(x，y，z)，這一過程也是連續(xù)的，為 x、y、z的單值連續(xù)函數(shù) ufvw 形變和位移之間的關(guān)系： 位移確

10、定位移確定 形變完全確定：形變完全確定： 從物理概念看，各點(diǎn)的位置確定，則微分線段上的形變確定 。 從數(shù)學(xué)推導(dǎo)看，位移函數(shù)確定，則其導(dǎo)數(shù)（形變）確定 。 形變確定，位移不完全確定形變確定，位移不完全確定 ： 從物理概念看，、確定，物體還可作剛體位移。 從數(shù)學(xué)推導(dǎo)看，、確定，求位移是積分運(yùn)算，出現(xiàn)待定函數(shù)。應(yīng)力 應(yīng)變 位移彈性力學(xué)各個量之間的關(guān)系平衡方程物理方程幾何方程外力 彈性力學(xué)分析過程中： 通過靜力平衡、幾何變形和本構(gòu)關(guān)系建立起外力、應(yīng)力、應(yīng)變、位移之間相互關(guān)聯(lián)。 再必須根據(jù)已知物理量，（一般外力、結(jié)構(gòu)幾何形狀和約束條件等），推導(dǎo)和確定基本未知量（應(yīng)力、應(yīng)變、位移。1.4 彈性力學(xué)基本方程

11、 平衡方程（應(yīng)力外力之間的關(guān)系）2. 物理方程（應(yīng)變應(yīng)力之間的關(guān)系）3. 幾何方程（柯西方程 ）（應(yīng)變位移之間的關(guān)系）4、變形協(xié)調(diào)方程 5、邊界條件如果物體表面的面力已知，則稱為應(yīng)力邊界條件： 第一類邊界條件 如果物體表面的位移已知，則稱為位移邊界條件： 第二類邊界條件混合邊界條件 = 第一類+第二類5、邊界條件應(yīng)力邊界條件：位移邊界條件：cos,cos,cos,NxlNymNzn外法線的方向余弦方程數(shù)量：平衡方程3個物理方程6個幾何方程6個合計(jì) 15xyzxyyzzx、未知量： 應(yīng)力分量6個應(yīng)變分量6個位移分量3個 u、v、w 合計(jì) 15xyzxyyzzx、 、 、空間問題第二章 彈性力學(xué)平

12、面問題2.1 平面應(yīng)力問題2.2 平面應(yīng)變問題2.3 平面問題的基本方程2.1 平面應(yīng)力問題1、平面應(yīng)力問題的概念 平面應(yīng)力問題討論的彈性體為薄板。薄壁厚度遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)另外兩個方向的尺度。薄板的中面為平面，其所受外力，包括體力均平行于中面O-xy面內(nèi)，并沿厚度方向z不變。而且薄板的兩個表面不受外力作用。 平面應(yīng)力問題 幾何特征 薄壁厚度為h遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)另外兩個方向的尺寸 等厚度 中心層平直 受力特征 外力平行于中心層 外力沿厚度不變化 根據(jù)薄板的表面面力邊界條件，即表面不受外力作用，則 由于板很薄，外力沿厚度均勻分布，因此應(yīng)力分量也沿厚度均勻分布，應(yīng)力分量不隨z改變。 2、 平面應(yīng)力問題的應(yīng)力 應(yīng)

13、力分量 應(yīng)變分量xyxy、 xyxyz 0 xyxy、 xyxy0yzzx=3、平面應(yīng)力問題應(yīng)力、應(yīng)變1 平面應(yīng)變問題的概念 彈性體是具有很長的縱向軸的柱形物體，橫截面大小和形狀沿軸線長度不變；作用外力與縱向軸垂直，并且沿長度不變；柱體的兩端受固定約束。 可以認(rèn)為柱體是無限長的。如果從中任取一個橫截面，則柱形物體的形狀和所受載荷將對此橫截面是對稱的。因此物體變形時，橫截面上的各點(diǎn)只能在其自身平面內(nèi)移動。2.2 平面應(yīng)變問題 幾何特征 一個尺寸遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)另外兩個方向的尺寸 中心軸平直 沿中心軸截面不變化 受力特征 外力垂直于中心軸 外力沿中心軸長度方向不變化 平面應(yīng)變問題2、平面應(yīng)變問題的位移

14、沿縱向軸的位移恒等于零； 由于無限長，所以任一個橫截面都是一樣的，與z軸無關(guān)。 只要是x、y坐標(biāo)函數(shù) 應(yīng)力分量xyxy、 xyxyxyxy、 xyxy0zyzzx=應(yīng)變分量0zyzzx0 3、平面應(yīng)變問題的應(yīng)力、應(yīng)變2.3 平面問題的基本方程 平衡方程（應(yīng)力外力之間的關(guān)系）2. 幾何方程（應(yīng)變位移之間的關(guān)系）3. 物理方程（應(yīng)變應(yīng)力之間的關(guān)系）平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題的： 平衡方程、幾何方程相同。 但物理方程不同。 從空間問題推得。 平面應(yīng)力的物理關(guān)系 平面應(yīng)力的物理關(guān)系210101 1 002ED D 平面應(yīng)變的物理關(guān)系0zyzzx= 平面應(yīng)變的物理關(guān)系 D1010(1)(1-2 )1 200

15、2ED二者主要不同在于z向應(yīng)變，位移和正應(yīng)力的計(jì)算公式 兩種平面問題的區(qū)別 兩種平面問題的內(nèi)在關(guān)系平面應(yīng)力平面應(yīng)變.1 ,12EE.1 ,)1 ()21 (2EE平面應(yīng)力平面應(yīng)變平面應(yīng)變平面應(yīng)力 兩種平面問題的內(nèi)在關(guān)系1010(1)(1-2 )1 2002ED平面應(yīng)力平面應(yīng)變.1 ,12EE平面應(yīng)力平面應(yīng)變210101 1 002ED D 4 變形協(xié)調(diào)方程平面應(yīng)力平面應(yīng)變由6個簡化為1個 調(diào)和方程方程數(shù)量：平衡方程2個物理方程3個幾何方程3個合計(jì) 8xyxy、未知量： 應(yīng)力分量3個應(yīng)變分量3個位移分量2個 u、v 合計(jì) 8xyzxy、平面問題第三章彈性力學(xué)問題求解方法簡述應(yīng)力 應(yīng)變 位移彈性力

16、學(xué)各個量之間的關(guān)系平衡方程物理方程幾何方程外力3.1 概述 根據(jù)幾何方程和本構(gòu)方程可見： 位移、應(yīng)力和應(yīng)變分量之間不是相互獨(dú)立的。 假如已知位移分量，通過幾何方程可以得到應(yīng)變分量，然后通過物理方程可以得到應(yīng)力分量。 如果已知應(yīng)力分量，通過物理方程得到應(yīng)變分量，再由幾何方程的積分求出位移分量，不過這時的應(yīng)變分量必須滿足一組補(bǔ)充方程，即變形協(xié)調(diào)方程。應(yīng)力 應(yīng)變 位移 位移解法：若以位移函數(shù)作為基本未知量求解，根據(jù)物理方程和幾何方程，應(yīng)力分量及平衡方程均由位移分量表達(dá)； 應(yīng)力解法： 若以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量，稱為應(yīng)力解法，對于應(yīng)力解法，應(yīng)力分量必須滿足平衡微分方程和變形協(xié)調(diào)方程 ； 混合解法 ：

17、若以位移分量和應(yīng)力分量作為基本未知量，通過物理方程中消去應(yīng)變分量，表述基本方程，稱為混合解法?；痉匠痰那蠼夥椒◤椥粤W(xué)是對整個研究對象建立平衡方程、幾何方程、物理方程，再根據(jù)外力作用下求整體的應(yīng)力、應(yīng)變、位移。 解答的途徑有兩大類：精確解（解析解、理論解法） 逆法、半逆法、復(fù)變函數(shù)法、 級數(shù)法、 特殊函數(shù)法等2. 近似解法（數(shù)值解法） 1 位移解法 當(dāng)位移分量作為基本未知函數(shù)求解時，變形協(xié)調(diào)方程是自然滿足的。根據(jù)物理方程和幾何方程，可以得到：以位移表示的平衡微分方程，稱為拉梅（拉梅（Lam）方程。）方程。拉普拉斯運(yùn)算符號， 3.2 解析解法 2 應(yīng)力法 主要介紹應(yīng)力函數(shù)法，應(yīng)力函數(shù)法， 稱為

18、艾里（Airy）應(yīng)力函數(shù)。 設(shè)( , )x y應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程 雙調(diào)和方程雙調(diào)和方程 應(yīng)力函數(shù)（1） 一次多項(xiàng)式一次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)對應(yīng)無應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)。 這個結(jié)論說明在應(yīng)力函數(shù)中增加或減少一個x，y 的線性函數(shù)，將不影響應(yīng)力分量的值。( , )x yaxbyc（2) 二次多項(xiàng)式如僅a，b，c0，分別表示單向拉伸或者純剪切應(yīng)力狀態(tài)。22( , )x yaxbxycy(3) 三次多項(xiàng)式如果僅考慮d不為零的情況，即a=b=c=0，其對應(yīng)于矩形梁的純彎曲應(yīng)力狀態(tài)。 3223( , )x yaxbx ycxydy 解析解的難點(diǎn)： 彈性力學(xué)研究對象是彈性體，形體復(fù)雜，是偏微分方程的邊值問題。在數(shù)學(xué)上

19、求解困難重重，除了少數(shù)特殊邊界問題，一般彈性體問題很難得到解答。 要得到解析解： 1、簡化形體，譬如材料力學(xué)的研究對象是桿件，常微分方程，可以求解；平面問題，忽略次要因素，簡化應(yīng)力狀態(tài)。 2、簡化邊界約束條件，放松某些限制等。 結(jié)果： 尋求求解偏微分方程在特定條件下的數(shù)學(xué)解法，而造成所得到的結(jié)果并非實(shí)際問題的真實(shí)狀態(tài)。結(jié)果誤差很大，甚至是錯誤的結(jié)論。 近似解法（數(shù)值解法） 差分法 加權(quán)余量法 變分法 有限元法（FEM） 邊界元法（BEM）3.3 數(shù)值解法 有限元法與邊界元法的比較 離散化，F(xiàn)EM在區(qū)域上，BEM在邊界上； 維數(shù)， BEM降維，3D 2D；2D 1D； 通用性， FEM格式統(tǒng)一，

20、 BEM特定問題； 對使用者數(shù)學(xué)要求， FEM低， BEM高； 目前應(yīng)用狀況，F(xiàn)EM一統(tǒng)天下。1 有限元基本思想2 離散化（建立計(jì)算模型）3 位移插值函數(shù)4 單元分析5 等效結(jié)點(diǎn)載荷6 整體分析7 有限元方程求解方法8 應(yīng)力結(jié)果 9 舉例第二篇 有限元法基礎(chǔ)應(yīng)力 應(yīng)變 位移彈性力學(xué)各個量之間的關(guān)系平衡方程物理方程幾何方程外力1 有限元基本思想應(yīng)力 應(yīng)變 位移放棄物理方程幾何方程外力有限元的基本思路能量原理只要位移場確定，就可得到應(yīng)變、應(yīng)力。 有限元的基本思想： 在彈性體內(nèi)選取足夠多、有限個點(diǎn)，假定這些點(diǎn)的位移已知，再用這些假定的位移量描述其它位置點(diǎn)的位移，就得到了用特定點(diǎn)位移表示的彈性體的位移

21、場。 這些選定的有代表性的點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，（node） 結(jié)點(diǎn)：代表性尖點(diǎn)、拐角、截面改變處等 集中載荷作用、位移約束位置等。 位移場：某個點(diǎn)（非結(jié)點(diǎn)）位移不是由所有結(jié)點(diǎn)位移來表述的，而是劃分成小區(qū)域/小塊上的結(jié)點(diǎn)來表示的，這些小區(qū)域/小塊單元。 有限元處理問題的方法連續(xù)體剖分小塊（單元），即離散體。 有限元法特點(diǎn)： 概念淺顯，容易掌握，可以在不同程度上理解與應(yīng)用 通用性強(qiáng)，應(yīng)用廣泛，幾乎所有領(lǐng)域； 計(jì)算格式統(tǒng)一，便于編程計(jì)算； 大型通用程序成熟商業(yè)化，無需專門知識編程 先進(jìn)的前處理，網(wǎng)格自動劃分， 完善的后處理，可視或動態(tài)顯示，直觀形象。誤差難估計(jì)2 離散化（計(jì)算模型）單元的形式是多樣的實(shí)體單元模型2

22、.1 單元類型與作用單元類型與作用桿單元桿單元梁單元梁單元二維單元二維單元線性單元線性單元二次單元二次單元三維單元三維單元線性單元線性單元二次單元二次單元板殼單元板殼單元2.2 離散化應(yīng)注意的問題：首要的問題是根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何特點(diǎn)、受力特征選擇合理的單元形式。對稱性的利用，在劃分單元之前，有必要先研究一下計(jì)算對象的對稱或反對稱的情況，以便確定是取整個物體，還是部分物體作為計(jì)算模型。取四分之一作為計(jì)算模型（以平面三角形單元為例）共邊：覆蓋求解區(qū)域，單元間既不允許相互重疊，也不允許相互脫開；共點(diǎn)：任意三角形的頂點(diǎn)必須是相鄰單元的頂點(diǎn)，不能為相鄰單元的內(nèi)點(diǎn)。邊長接近：單元的邊長盡可能接近，采用銳角三角

23、形數(shù)目與精度兼顧：單元劃分細(xì)，計(jì)算精度越高，但結(jié)點(diǎn)數(shù)增加，計(jì)算時間加長。單元大小過渡，應(yīng)力梯度大的區(qū)域單元尺寸小，應(yīng)力變化小的區(qū)域，單元可以劃分大些。或在初步計(jì)算的基礎(chǔ)上對于高應(yīng)力區(qū)，在進(jìn)一步細(xì)化網(wǎng)格，進(jìn)行二次分析。1.適當(dāng)簡化。不可以不可以可以可以較差較差較好較好 節(jié)點(diǎn)編號順序節(jié)點(diǎn)編號順序 在進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號時，應(yīng)該注意要盡量使同一單元的相鄰節(jié)點(diǎn)的號碼差盡可能地小，以便最大限度地縮小剛度矩陣的帶寬，節(jié)省存儲、提高計(jì)算效率。 平面問題的半帶寬為 B =2 (d+1)1 2 3 4 5 6 71 3 5 7 9 11 138 9 10 11 12 13 142 4 6 8 10 12 143 位移模

24、式 iiijejjmmmuvuvuv要求：要求：i、j、m按逆時針排序按逆時針排序單元的結(jié)點(diǎn)位移向量單元的結(jié)點(diǎn)位移向量用來描述單元內(nèi)各點(diǎn)位移變化規(guī)律的函數(shù)，稱為位移模式 三角形單元的位移模式假定為 yxvyxu654321123123123:iiijjjmmmPiuxyPjuxyPmuxymmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu位移模式：000000iiijmjijmjmmuvNNNuuNNNvvuv 位移模式矩陣表達(dá)：位移模式通式 efN f單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移；單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移； e單元的結(jié)點(diǎn)位移向量；單元的結(jié)點(diǎn)位移向量； N單元的形函數(shù)矩陣。單元的形函數(shù)矩陣。 形函數(shù)的性質(zhì)

25、1()21()21()2iiiijjjjmmmmNab xc yANab xc yANab xc yAijjAPjmAPmiAPij jimijmAAALLLAAA面積坐標(biāo)iijjmmNLNLNL形函數(shù)與面積坐標(biāo)的關(guān)系1211iijjmmxyAxyxy三角形的面積 efN位移模式 反映了單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。是有限元計(jì)算精度的關(guān)鍵。4 單元分析 4.1單元上任意一點(diǎn)的應(yīng)變 4.2單元上任意一點(diǎn)的應(yīng)力 4.3單元的能量 4.4 單元剛度矩陣的性質(zhì) 4.1單元上任意一點(diǎn)的應(yīng)變 xyxyuxvyuyvx mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu幾何方程000000ij

26、imixjjimyjxymjjiimmmuNNNvxxxNuNNvyyyuNNNNNNvyxyxyx 12000000bbbccccbcbcbijmijmiijjmme1()2iiiiNabxc yA Be或?qū)懗赏ㄊ紹 矩陣叫做單元幾何矩陣，矩陣叫做單元幾何矩陣，反映了單元內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變分量與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系 00010002ijmijmiijjmmbbbBcccAcbcbcb 幾何矩陣幾何矩陣B 中的每個元素，中的每個元素，均為常數(shù)，它們由結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)確定。單元內(nèi)任意一點(diǎn)P的應(yīng)變分量與坐標(biāo)（x，y）無關(guān)，說明單元中應(yīng)變是常量。 4.2單元上任意一點(diǎn)的應(yīng)力物理方程物理方程 D D D彈性矩陣彈

27、性矩陣210101 1 002ED1010(1)(1-2 )12002ED平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題 D D Be SD B Se S S 叫做應(yīng)力矩陣叫做應(yīng)力矩陣4.3單元的能量 1、單元的應(yīng)變能121()2xxyyxyxy 一維問題應(yīng)變能密度為平面問題應(yīng)變能密度為 12TeUdxdy 1122TTTTeeeeeUSBdxdyBDB dxdy TeKBDB dxdy 12TeeeeUK eK 稱為單元剛度矩陣，簡稱單剛，它反映了單元應(yīng)變能與單元結(jié)點(diǎn)向量之間的關(guān)系。 2、外力勢能 (1)、體力勢能 1()TeVXuYv dxdyfp dxdy (2)、面力勢能 2()Te

28、SSVXuYv dsfp ds (3)、集中力勢能 3TeoeeVP 3 、單元的總勢能 123()eeeeeeeUVUVVV 01()2()TeeeeTTTeeeeeeKPPP 101101020200103121 1213014002020101101eEk4.4 單元剛度矩陣的性質(zhì) 某單元的剛度矩陣，仔細(xì)看看，會發(fā)現(xiàn)該矩陣有哪些特點(diǎn)？4.4 單元剛度矩陣的性質(zhì)1、對稱性 單元剛度矩陣是對稱方陣，其元素都對稱于主對角線。2、奇異性 單元剛度矩陣中任意一行或列元素之和為零。其物理意義 是在沒有給單元施加任何約束時，單元可有剛體運(yùn)動，位移不能唯一的確定。3、主對角線元素恒為正值 主對角線元素是

29、正值說明結(jié)點(diǎn)位移方向與施加結(jié)點(diǎn)荷載的方向是一致的。 4、單元剛度矩陣與單元位置無關(guān) 單元剛度矩陣與單元位置無關(guān)，也就是單元在平移時，Ke不變；單元結(jié)點(diǎn)排列順序不同時，Ke中元素大小不變，而排列順序相應(yīng)改變。 彈性體所受外力包括體積力、表面力、集中力彈性體所受外力包括體積力、表面力、集中力。分別作用在彈性體內(nèi)部、物體表面上、物體的一。分別作用在彈性體內(nèi)部、物體表面上、物體的一個點(diǎn)上。個點(diǎn)上。 載荷列陣載荷列陣RR，是由彈性體的全部單元的等效，是由彈性體的全部單元的等效節(jié)點(diǎn)力集合而成，是將全部載荷轉(zhuǎn)移到單元的節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力集合而成，是將全部載荷轉(zhuǎn)移到單元的節(jié)點(diǎn)上，它們的作用位置發(fā)生了變化上，它們的作用

30、位置發(fā)生了變化載荷移置。載荷移置。 它們的作用效果是等效的，故稱等效節(jié)點(diǎn)力向它們的作用效果是等效的，故稱等效節(jié)點(diǎn)力向量量RRe e 。 各種載荷各種載荷 分別移置到節(jié)點(diǎn)上，再逐點(diǎn)加以合分別移置到節(jié)點(diǎn)上，再逐點(diǎn)加以合成求得單元的等效結(jié)點(diǎn)載荷。成求得單元的等效結(jié)點(diǎn)載荷。 1、體力等效結(jié)點(diǎn)載荷 PNp tdxdyeT自重情況下：自重情況下： TP000333eWWWy0 xijmlq2ql2ql TeqltQ0010102y0 xijml0q20lq3l TeltqQ03203100202、面力等效結(jié)點(diǎn)載荷 QNq tdseT6.1 結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量1 2 3 4 5 6 71 3 5 7 9 1

31、1 138 9 10 11 12 13 142 4 6 8 10 12 14 假設(shè)彈性體被劃分為假設(shè)彈性體被劃分為N N個單元和個單元和n n個節(jié)點(diǎn)，整個彈性個節(jié)點(diǎn)，整個彈性體的節(jié)點(diǎn)位移向量體的節(jié)點(diǎn)位移向量 2n2n1 1 2112nTTnTT RRRRnTTnTT2112整個彈性體的載荷列陣整個彈性體的載荷列陣 R R 2 2n n1 16 整體分析 矢量有方向性，外力、應(yīng)力，不能直接相加 標(biāo)量沒有方向，只有大小，可以相加。 彈性體的能量是標(biāo)量，可以直接相加。6.2 結(jié)構(gòu)的總勢能 eeeUV 01()()2TTeeeeeeeeeKPPP 單剛的擴(kuò)充為了實(shí)現(xiàn)上述運(yùn)算 6*6eK 2n*2neK

32、（） nmjinmjikkkkkkkkkkmmmjmijmjjjiimijiinn1 122擴(kuò)展 eeKK eePP eePP 00eePP結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣 結(jié)構(gòu)總的體力列陣 結(jié)構(gòu)總的面力列陣 結(jié)構(gòu)總的集中力列陣 0FPPP 12TTKF 結(jié)構(gòu)的總勢能 12TTKF 6.3 6.3 整體剛度矩陣形成方法整體剛度矩陣形成方法123421q圖圖 5組裝總剛組裝總剛k的一般規(guī)則：的一般規(guī)則：1. 當(dāng)當(dāng)krs中中r=s時，該點(diǎn)被哪幾個單元所共有，則總剛子矩時，該點(diǎn)被哪幾個單元所共有，則總剛子矩陣陣krs就是這幾個單元的剛度矩陣子矩陣就是這幾個單元的剛度矩陣子矩陣krse的相加。的相加。2. 當(dāng)當(dāng)krs

33、中中r s時，若時，若rs邊是組合體的內(nèi)邊，則總體剛度矩陣邊是組合體的內(nèi)邊，則總體剛度矩陣krs就是共用該邊的兩相鄰單元單剛子矩陣就是共用該邊的兩相鄰單元單剛子矩陣krse的相加。的相加。3. 當(dāng)當(dāng)krs中中r和和s不同屬于任何單元時，則總體剛度矩陣不同屬于任何單元時，則總體剛度矩陣krs=0。下面，我們考查一個組裝總剛的實(shí)例：下面，我們考查一個組裝總剛的實(shí)例：1. 整體剛度矩陣及載荷列陣的組集整體剛度矩陣及載荷列陣的組集 根據(jù)疊加原理，整體結(jié)構(gòu)的各根據(jù)疊加原理，整體結(jié)構(gòu)的各個剛度矩陣的元素顯然是由有關(guān)單個剛度矩陣的元素顯然是由有關(guān)單元的單元剛度矩陣的元素組集而成元的單元剛度矩陣的元素組集而成

34、的，為了便于理解，現(xiàn)結(jié)合圖的，為了便于理解，現(xiàn)結(jié)合圖5說說明組集過程。明組集過程。 子塊33333231232221131211KKKKKKKKKKe 圖中有兩種編碼：一是節(jié)點(diǎn)總碼：圖中有兩種編碼：一是節(jié)點(diǎn)總碼：1、2、3、4；二是節(jié)；二是節(jié)點(diǎn)局部碼，是每個單元的三個節(jié)點(diǎn)按逆時針方向的順序各自點(diǎn)局部碼，是每個單元的三個節(jié)點(diǎn)按逆時針方向的順序各自編碼為編碼為1，2，3。圖中兩個單元的局部碼與總碼的對應(yīng)關(guān)系為：圖中兩個單元的局部碼與總碼的對應(yīng)關(guān)系為： 單元單元 1 ： 1，2，3 1，2，3 單元單元 2 ： 1，2，3 3，4，1或：或： 單元單元 1 ： 1，2，3 1，2，3 單元單元 2

35、： 1，2，3 1，3，4單元單元e的剛度矩陣分塊形式為：的剛度矩陣分塊形式為： 子塊4444434241343332312423222114131211KKKKKKKKKKKKKKKKK整體剛度矩陣分塊形式為：整體剛度矩陣分塊形式為：其中每個子塊是按照節(jié)點(diǎn)總碼排列的。其中每個子塊是按照節(jié)點(diǎn)總碼排列的。 通常，采用剛度集成法或直接剛度法來組集整體結(jié)構(gòu)剛通常，采用剛度集成法或直接剛度法來組集整體結(jié)構(gòu)剛度矩陣。剛度集成法分兩步進(jìn)行。度矩陣。剛度集成法分兩步進(jìn)行。 eK eK 第一步，把單元剛度矩陣第一步，把單元剛度矩陣 擴(kuò)大成單元的貢獻(xiàn)矩陣擴(kuò)大成單元的貢獻(xiàn)矩陣 ，使單元剛度矩陣的四個子塊按總體編號

36、排列，空白處作零子使單元剛度矩陣的四個子塊按總體編號排列，空白處作零子塊填充。塊填充。 2K 第二步，以單元第二步，以單元 2 為例，局部碼為例，局部碼1，2，3 對應(yīng)于總碼對應(yīng)于總碼3，4，1，按照這個對應(yīng)關(guān)系擴(kuò)充后，可得出單元，按照這個對應(yīng)關(guān)系擴(kuò)充后，可得出單元 2 的貢獻(xiàn)矩陣的貢獻(xiàn)矩陣 。 213444342413433323124232221141312112KKKKKKKKKKKKKKKKK 總碼總碼 1 2 3 4 2 3 4 3 1 2 局部碼局部碼 1K用同樣的方法可得單元用同樣的方法可得單元 1 的貢獻(xiàn)矩陣的貢獻(xiàn)矩陣 。 K 第三步，把各單元的貢獻(xiàn)矩陣對應(yīng)行和列的子塊相疊加第

37、三步，把各單元的貢獻(xiàn)矩陣對應(yīng)行和列的子塊相疊加，即可得出整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，即可得出整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣 ，如（，如（42）式。）式。 K22nn22 在這里應(yīng)該指出，整體剛度矩陣在這里應(yīng)該指出，整體剛度矩陣 中每個子塊為中每個子塊為 階階矩陣，所以若整體結(jié)構(gòu)分為矩陣，所以若整體結(jié)構(gòu)分為n個節(jié)點(diǎn)，則整體剛度矩陣的階個節(jié)點(diǎn)，則整體剛度矩陣的階數(shù)是數(shù)是 。 TeynxnyxyxeFFFFFFFF 212211 總碼總碼 1 2 3 4 1 2 3 （42） 1 2 3 局部碼局部碼 32132100432123323223122322213313222113112312212121321211311

38、221111121KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKee F eF 至于整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷列陣至于整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷列陣 的組集，只需將各單元的組集，只需將各單元的等效節(jié)點(diǎn)力列陣的等效節(jié)點(diǎn)力列陣 擴(kuò)大成擴(kuò)大成2n行的列陣，然后按各單元的節(jié)行的列陣，然后按各單元的節(jié)點(diǎn)位移分量的編號，對應(yīng)相疊加即可點(diǎn)位移分量的編號，對應(yīng)相疊加即可6.4 整體剛度矩陣的性質(zhì)整體剛度矩陣的性質(zhì) 剛度矩陣剛度矩陣K中每一列元素的物理意義為：欲使彈中每一列元素的物理意義為：欲使彈性體的某一節(jié)點(diǎn)在坐標(biāo)軸方向發(fā)生單位位移，而其它節(jié)性體的某一節(jié)點(diǎn)在坐標(biāo)軸方向發(fā)生單位位移，而其它節(jié)點(diǎn)都保持為零的變形狀態(tài)，在各節(jié)點(diǎn)上所需要施

39、加的節(jié)點(diǎn)都保持為零的變形狀態(tài)，在各節(jié)點(diǎn)上所需要施加的節(jié)點(diǎn)力。點(diǎn)力。 正定性，剛度矩陣正定性，剛度矩陣K中主對角元素總是正的。中主對角元素總是正的。剛度矩陣剛度矩陣K是一個對稱矩陣，即是一個對稱矩陣，即Krs = Ksr T。 剛度矩陣剛度矩陣K是一個稀疏矩陣。如果遵守一定的節(jié)點(diǎn)是一個稀疏矩陣。如果遵守一定的節(jié)點(diǎn) 編號規(guī)則，就可使矩陣的非零元素都集中在主對角線編號規(guī)則，就可使矩陣的非零元素都集中在主對角線附附 近呈帶狀。近呈帶狀。5. 奇異性。剛度矩陣奇異性。剛度矩陣K是一個奇異矩陣，在排除剛體是一個奇異矩陣，在排除剛體位移后，它是正定陣。位移后，它是正定陣。 1 2 3 4 5 6 7 8 9

40、 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 半帶存儲半帶存儲 半帶寬B=（相鄰節(jié)點(diǎn)號的最大差值D+1）*27 有限元方程及求解方法 7.1 有限元方程 結(jié)構(gòu)的總勢能 12TTKF 最小勢能原理，對于線彈性體，某一變形可能位移狀態(tài)為真實(shí)位移狀態(tài)的必要和充分條件是，此位移狀態(tài)的變形體勢能取最小值 。 0 結(jié)構(gòu)總勢能泛函對結(jié)點(diǎn)位移的變分為0. 結(jié)構(gòu)有限元方程 KF 它是一個2n階的線性代數(shù)方程組。因?yàn)樵摲匠讨蠯是結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣，F(xiàn)是外荷載列陣，都通過計(jì)算求得，因此可以根據(jù)有限元方程可以確定結(jié)點(diǎn)位移。 7.2 位移邊界條件的處理 由于

41、總體剛度矩陣是奇異的，物理意義是結(jié)構(gòu)中存在剛體位移，不能直接求解。必須引入限制結(jié)構(gòu)剛體位移的位移邊界條件，即位移約束條件，消除總體剛度矩陣的奇異性，才能求解結(jié)構(gòu)有限方程。 位移邊界條件是指結(jié)構(gòu)的某些區(qū)域位移已知，對于離散體來說，位移約束條件是某些結(jié)點(diǎn)的位移分量受到限制，包括位置限制和方向限制兩個方面。具體哪些結(jié)點(diǎn)受到限制，受限制結(jié)點(diǎn)哪個方向位移分量受到限制，要根據(jù)結(jié)構(gòu)受力后變形特征來確定。 處理的方法，主要有三種： 降階法（緊縮法）降階法（緊縮法） 置大數(shù)法置大數(shù)法 改改1法法 1. 降階法降階法 降階法也稱緊縮法或直接代入法，降階法也稱緊縮法或直接代入法，該法是將結(jié)構(gòu)該法是將結(jié)構(gòu)有限元方程中

42、已知結(jié)點(diǎn)位移的自由度全部消去，得到有限元方程中已知結(jié)點(diǎn)位移的自由度全部消去，得到一組降階的修正方程，用以求解其它未知的結(jié)點(diǎn)位移。一組降階的修正方程，用以求解其它未知的結(jié)點(diǎn)位移。 如果給定的位移均為零位移 ，則 只需將總剛K、荷載列陣F中與該位移所對應(yīng)的行和列全部劃去即可。 如果給定的位移不為零位移， 也只保留了待定的結(jié)點(diǎn)位移作為未知量，但需對右端荷載列陣進(jìn)行相應(yīng)的修正。 2. 置大數(shù)法置大數(shù)法 將結(jié)構(gòu)總剛度矩陣中與被約束的位移分量相對應(yīng)的主對角線元素賦予一個大數(shù)A，如取A=10e30或更大。 再將右端荷載列陣對應(yīng)的荷載值換成已知的位移值與該大數(shù)的乘積。 設(shè)結(jié)點(diǎn)位移分量r為已知，則有限元方程變?yōu)?/p>

43、：11112111221222221212rhrhrrrrhhhhhrhhhFkkkkFkkkkkkAkuAkkkkF 經(jīng)過修改后第r個方程的為1 122rrrrhhkkAkuA(1,2,., ,)riAKihir但ru 方程兩邊同時除以A，除第r項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均為微小量可略去。3. 對角元素改對角元素改1法法 當(dāng)給定的位移值為零時，將總剛中與之相對應(yīng)主對角線元素改為1，相對應(yīng)的行和列中其余所有元素改為0，荷載列陣對應(yīng)的元素也改為0即可。 111121122122221200000100hhrhhhhhhkkkFkkkFFkkk應(yīng)力 應(yīng)變 位移物理方程幾何方程外力有限元方程計(jì)算模型中：位移場已

44、經(jīng)確定，就可得到應(yīng)變、應(yīng)力。計(jì)算模型中：位移場已經(jīng)確定，就可得到應(yīng)變、應(yīng)力。8 應(yīng)力結(jié)果 網(wǎng)格化模型8.1 單元應(yīng)力計(jì)算步驟 有限元方程求解之后，得到了所有結(jié)點(diǎn)的位移， 單元應(yīng)力計(jì)算對每個單元循環(huán)；對于任一單元 e根據(jù)結(jié)點(diǎn)i、j、m的實(shí)際編號，從結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移向量中選出單元結(jié)點(diǎn)位移向量 計(jì)算單元的應(yīng)變分量， Be計(jì)算單元的應(yīng)力分量： D Se8.2 應(yīng)力分析 以上分析得到了所有單元的應(yīng)力分量， 為了強(qiáng)度分析，進(jìn)一步計(jì)算主應(yīng)力或等效應(yīng)力。xyxy、xx1223()22yyxy主應(yīng)力取“”號為最大應(yīng)力，取“”號為最小應(yīng)力 min180arctan()xyy最大應(yīng)力與x軸的夾角)()()(212132

45、32221eMISES應(yīng)力222222()3()exyzxyyzzxxyyzzx 由應(yīng)力分量表示的三維MISES應(yīng)力由主應(yīng)力表示的三維MISES應(yīng)力由應(yīng)力分量表示的二維MISES應(yīng)力2223exyxyxy 8.3 應(yīng)力顯示x應(yīng)力mises應(yīng)力確定根據(jù)工程實(shí)際情況確定根據(jù)工程實(shí)際情況確定問題的力學(xué)模型確定問題的力學(xué)模型，并按一定，并按一定比例繪制結(jié)構(gòu)圖、注明尺寸、載荷和約束情況等。比例繪制結(jié)構(gòu)圖、注明尺寸、載荷和約束情況等。將計(jì)算對象進(jìn)行將計(jì)算對象進(jìn)行離散化離散化，即彈性體劃分為許多三角形單，即彈性體劃分為許多三角形單元，并對節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號。確定全部節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值，對單元，并對節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號。確定全部

46、節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值，對單元進(jìn)行編號，并列出各單元三個節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)號。元進(jìn)行編號，并列出各單元三個節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)號。計(jì)算載荷的計(jì)算載荷的等效節(jié)點(diǎn)力。等效節(jié)點(diǎn)力。 單元分析，由各單元的相關(guān)參數(shù)，計(jì)算單元分析，由各單元的相關(guān)參數(shù)，計(jì)算單元的幾何矩陣、單元的幾何矩陣、剛度矩陣。剛度矩陣。組集組集整體剛度矩陣整體剛度矩陣，即形成總剛的非零子矩陣。，即形成總剛的非零子矩陣。組裝各單元的等效結(jié)點(diǎn)載荷，形成總的外載荷向量。組裝各單元的等效結(jié)點(diǎn)載荷，形成總的外載荷向量。處理約束處理約束，消除剛體位移，消除剛體位移，求解線性方程組求解線性方程組，得到節(jié)，得到節(jié)點(diǎn)位移。點(diǎn)位移。計(jì)算計(jì)算應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣，求得，求得單元應(yīng)力單元應(yīng)

47、力，并根據(jù)需要計(jì)算主應(yīng)力，并根據(jù)需要計(jì)算主應(yīng)力和主方向。和主方向。整理計(jì)算結(jié)果（后處理部分）。整理計(jì)算結(jié)果（后處理部分）。 圖圖1所示為一厚度所示為一厚度t=1cm的均質(zhì)正方形薄板，上的均質(zhì)正方形薄板，上下受均勻拉力下受均勻拉力q=106N/m，材料彈性模量為，材料彈性模量為E，泊松比，泊松比 ，不記自重，試用有限元法求其應(yīng)力分量。，不記自重，試用有限元法求其應(yīng)力分量。3/1123421x圖 2y2q2q2myxq=106N/m圖 1解：解：.力學(xué)模型的確定力學(xué)模型的確定.結(jié)構(gòu)離散結(jié)構(gòu)離散由于此結(jié)構(gòu)長、寬遠(yuǎn)大于厚度，而載荷作用于板平面由于此結(jié)構(gòu)長、寬遠(yuǎn)大于厚度，而載荷作用于板平面內(nèi)，且沿板厚均

48、勻分布，故可按內(nèi)，且沿板厚均勻分布，故可按平面應(yīng)力問題處理平面應(yīng)力問題處理。 考慮到結(jié)構(gòu)和載荷的對稱性，可取結(jié)構(gòu)的考慮到結(jié)構(gòu)和載荷的對稱性，可取結(jié)構(gòu)的1/4來研究。來研究。該該1/4結(jié)構(gòu)被離散為兩個三角結(jié)構(gòu)被離散為兩個三角形單元，節(jié)點(diǎn)編號，單元劃分及形單元，節(jié)點(diǎn)編號，單元劃分及取坐標(biāo)如圖取坐標(biāo)如圖2所示，其各節(jié)點(diǎn)的坐所示，其各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值見表標(biāo)值見表1。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)xy表1123231312110byybyybyy .求單元的剛度矩陣求單元的剛度矩陣計(jì)算單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)差及單元面積計(jì)算單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)差及單元面積單元（單元（i、j、m 1，2，3）123231312011cxxcxxcxx 12 33

49、 21111 1 01222b cb c 單元面積單元面積2）組裝單元的幾何矩陣）組裝單元的幾何矩陣 00010002101000000101011110ijmijmiijjmmbbbBcccAcbcbcb3）計(jì)算單元的應(yīng)力矩陣）計(jì)算單元的應(yīng)力矩陣2 100001 100001 21 002ijmijmiijjmmSD BbbbEScccAcbcbcb彈性矩陣彈性矩陣210101 1 002ED應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣 srsrsrsrsrsrsrsrsTrrsbbcccbbcbccbccbbEttBDBk21212121142應(yīng)力矩陣也可應(yīng)用公式計(jì)算應(yīng)力矩陣也可應(yīng)用公式計(jì)算先計(jì)算用到的常數(shù)先計(jì)算用到

50、的常數(shù)89)1 (2169)1 (4312122EEEEt單元的剛度矩陣中各個子矩陣單元的剛度矩陣中各個子矩陣 310011691131000131103110310131003111169111EEK34323234169;031310169;3131311169122113112EKEKEK10031169;1313131169133123EKEK單元單元1的剛度矩陣為的剛度矩陣為: 1031131343131323403131313131031101169133132131123122121113112111166稱對EKKKKKKKKKK123123（i、j、m=1，2，3）單元單元2

51、 2：若按：若按i i、j j、m=3m=3、4 4、1 1順序，對應(yīng)單元順序，對應(yīng)單元1 1的的123123排碼排碼時時, ,則這兩個單元剛度矩陣內(nèi)容完全一樣，故有則這兩個單元剛度矩陣內(nèi)容完全一樣，故有: : 1031131343131323403131313131031101169266稱對EK341341組集整體剛度矩陣組集整體剛度矩陣 由于Krs=KsrT，又單元1和單元2的節(jié)點(diǎn)號按123對應(yīng)341，則可得： 24424324121331322131122121211188KKKKKKKKKK011016311131631003163113213131112243121233111EK

52、KKEKKKEKKTT按剛度集成法可得整體剛度矩陣為：按剛度集成法可得整體剛度矩陣為：31111630110163300116331111634224163214123241213113231211133123214132244122EKKKEKKKEKKEKKKEKKTTT所以組集的整體剛度矩陣為：所以組集的整體剛度矩陣為： 42110031413001140310240120421141340416388稱對EK5. 引入約束條件，修改剛度方程并求解引入約束條件，修改剛度方程并求解根據(jù)約束條件：u1 =v1=0；v2=0；u4=0和等效節(jié)點(diǎn)力列陣： ， 并 代 入 剛 度 方 程 ： ，劃

53、去K中與0位移相對應(yīng)的1，2，4，7的行和列，則剛度方程變?yōu)椋?TqqF2/02/00000 FK2/2/0041104014141634332qqvvuuETTEqEqEqEqvvuu/3/3/4332 TEq1013/103/100/求解上面方程組可得出節(jié)點(diǎn)位移為：求解上面方程組可得出節(jié)點(diǎn)位移為：所以所以先求出各單元的應(yīng)力矩陣先求出各單元的應(yīng)力矩陣S1、S2，然后再求得各單元的，然后再求得各單元的應(yīng)力分量：應(yīng)力分量：6. 計(jì)算各單元應(yīng)力矩陣，求出各單元應(yīng)力計(jì)算各單元應(yīng)力矩陣，求出各單元應(yīng)力 01003/8083/3/03/0001111030310110130383111qqEqEqEqE

54、Sxyyx 0100)3/(808300/0/3/01111030310110130383222qEqEEqEqEqESxyyx單元應(yīng)力可看作是單元形心處的應(yīng)力值。單元應(yīng)力可看作是單元形心處的應(yīng)力值。 圖中所示為一平面應(yīng)力問題離散化以后的結(jié)構(gòu)圖，圖中所示為一平面應(yīng)力問題離散化以后的結(jié)構(gòu)圖，其中圖（其中圖（a）為離散化后的總體結(jié)構(gòu)，圖（）為離散化后的總體結(jié)構(gòu)，圖（b）為單元）為單元1，2，3，4的結(jié)構(gòu)，圖（的結(jié)構(gòu)，圖（c）為單元）為單元3的結(jié)構(gòu)。用有限元法計(jì)的結(jié)構(gòu)。用有限元法計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移、單元應(yīng)變及單元應(yīng)力（為簡便起見，取泊算節(jié)點(diǎn)位移、單元應(yīng)變及單元應(yīng)力（為簡便起見，取泊松比松比 ，單元厚度，單

55、元厚度t=1）。）。0 xyp1234651234a3ijmivaiXiujXjuiYjvjYmvmYmXmuaa1,2,4ijmiXiviujXjuiYjvjYmvmYmXmu 圖 計(jì)算實(shí)例2的結(jié)構(gòu)圖 各單元節(jié)點(diǎn)號與總體節(jié)點(diǎn)號對應(yīng)表各單元節(jié)點(diǎn)號與總體節(jié)點(diǎn)號對應(yīng)表 單元號 1 2 3 4 節(jié)點(diǎn)號 節(jié) 點(diǎn) 總 編 號 I 1 2 2 3 j 2 4 5 5 m 3 5 3 6解：解：1、求確定各單元剛度所需的系數(shù)、求確定各單元剛度所需的系數(shù) 及及面積面積A，對于單元，對于單元1，2，4有：有：mjimjicccbbb,2/0, 02aAcacacababbmjimji對于單元對于單元3有有:2/

56、, 0, 0,2aAacaccabbabmjimji 2、求出各單元的單元剛度矩陣。對于、求出各單元的單元剛度矩陣。對于1，2，4單元，單元，其單元剛度矩陣為：其單元剛度矩陣為：10110102020010312112130100202010110144, 2, 1Ekijmijm 各單元的節(jié)點(diǎn)編號與總體結(jié)構(gòu)的總編號之間的對應(yīng)關(guān)各單元的節(jié)點(diǎn)編號與總體結(jié)構(gòu)的總編號之間的對應(yīng)關(guān)系見表系見表2。 31211013011220200011011011011002000243Ek 對于單元對于單元3，其單元剛度矩陣為：，其單元剛度矩陣為：ijmijm 3、總剛、總剛 將各單元剛度矩陣按節(jié)點(diǎn)總數(shù)及相應(yīng)的節(jié)將各單元剛度矩陣按節(jié)點(diǎn)總數(shù)及相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)號關(guān)系擴(kuò)充成點(diǎn)號關(guān)系擴(kuò)充成12*12矩陣矩陣,分別如下分別如下: 654321000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000101101000000020200000000103121000000121301000000002020000000101101465432111212Ek65432100000000000000000000000000101100010000020200