吳鎮(zhèn)揚(yáng)_CHP5有限沖激響數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

1、趙發(fā)勇 zfy_序言序言5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特性濾波器的特性5.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)間窗口法）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)間窗口法） 5.3 頻率采樣法頻率采樣法5.4 FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)5.5 IIR與與FIR數(shù)字濾器的比較數(shù)字濾器的比較IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器和優(yōu)缺點(diǎn)和優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) 可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)的結(jié)果，而模擬濾波可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)的結(jié)果，而模擬濾波器的設(shè)計(jì)有大量圖表可查，方便簡(jiǎn)單器的設(shè)計(jì)有大量圖表可查，方便簡(jiǎn)單。缺點(diǎn)缺點(diǎn) 相位的非線性相位的非線性，將引起頻率的色散，若須線性，將引起頻率的色散，若須線性相位，則要采用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校

2、正相位，則要采用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正, ,使濾波器設(shè)使濾波器設(shè)計(jì)變得復(fù)雜，成本也高。計(jì)變得復(fù)雜，成本也高。 11(1)0110( )NNiNiiH zaa zaza z輸入輸出的卷積關(guān)系為輸入輸出的卷積關(guān)系為FIRFIR數(shù)字?jǐn)?shù)字濾波器濾波器的差分方程為的差分方程為10)()(Niiinxany對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為10)()()(Niinxihny比較可得：比較可得：( )iah i系數(shù)系數(shù)ai即為系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)，即為系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)，無極點(diǎn)無極點(diǎn)(或極或極點(diǎn)在原點(diǎn)點(diǎn)在原點(diǎn))優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) （1 1）很容易獲得）很容易獲得嚴(yán)格的線性相位嚴(yán)格的線性相位，避免被處理的信號(hào)產(chǎn)，避免被處理的

3、信號(hào)產(chǎn)生相位失真，這一特點(diǎn)在寬頻帶信號(hào)處理、陣列信號(hào)處理、數(shù)生相位失真，這一特點(diǎn)在寬頻帶信號(hào)處理、陣列信號(hào)處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要； （2 2 ）可得到多帶幅頻特性；）可得到多帶幅頻特性； （3 3 ）極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），）極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無穩(wěn)定性問題無穩(wěn)定性問題； （4 4 ）任何一個(gè)非因果的有限長(zhǎng)序列，總可以通過一）任何一個(gè)非因果的有限長(zhǎng)序列，總可以通過一 定定的延時(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，的延時(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄校?所以所以因果性總是滿足因果性總是滿足； （5 5）無反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小。）無反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小。 穩(wěn)定穩(wěn)定性及可實(shí)現(xiàn)性及可實(shí)現(xiàn)和

4、和線性相位特性線性相位特性是是FIRFIR濾波器突出的優(yōu)點(diǎn)。濾波器突出的優(yōu)點(diǎn)。語音處理，圖象處理以及數(shù)據(jù)傳輸語音處理，圖象處理以及數(shù)據(jù)傳輸中具有重要的應(yīng)用。中具有重要的應(yīng)用。缺點(diǎn)缺點(diǎn) （1 1）因?yàn)闊o極點(diǎn)，要獲得好的過渡帶特性，需以）因?yàn)闊o極點(diǎn)，要獲得好的過渡帶特性，需以較高的階數(shù)為代價(jià)；較高的階數(shù)為代價(jià)； （2 2）無法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，一般無解）無法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，一般無解析設(shè)計(jì)公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成。析設(shè)計(jì)公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成。5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn) 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)包括系統(tǒng)的頻率響應(yīng)包括幅頻特性幅頻特性和和相頻特

5、性相頻特性。幅頻幅頻特性特性反映了信號(hào)通過系統(tǒng)后各頻率成分衰減情況反映了信號(hào)通過系統(tǒng)后各頻率成分衰減情況。相相頻特性頻特性反映了信號(hào)的各頻率成分經(jīng)過系統(tǒng)后在時(shí)間上反映了信號(hào)的各頻率成分經(jīng)過系統(tǒng)后在時(shí)間上發(fā)生的位移情況發(fā)生的位移情況。 很多場(chǎng)合下，一個(gè)理想的離散時(shí)間系統(tǒng)（濾波器）很多場(chǎng)合下，一個(gè)理想的離散時(shí)間系統(tǒng)（濾波器）除了具有希望的幅頻特性外（如低通、高通、帶通除了具有希望的幅頻特性外（如低通、高通、帶通等），最好具有等），最好具有線性相位線性相位,即即argH()jek 產(chǎn)生什么效果？若：若：( )k 其中其中k為常數(shù)為常數(shù)也稱也稱線性相位線性相位5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)

6、濾波器的特點(diǎn)()H()()()jjjjkjY eeX eeX e分析分析：現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)的幅頻特性為：現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)的幅頻特性為1，考慮，考慮信號(hào)經(jīng)過信號(hào)經(jīng)過線性相位系統(tǒng)后的輸出線性相位系統(tǒng)后的輸出。設(shè)系統(tǒng)的輸入序列為設(shè)系統(tǒng)的輸入序列為x(n)，則輸出序列為則輸出序列為y(n)的頻率特性為的頻率特性為由由DTFT的性質(zhì)可知輸出序列的性質(zhì)可知輸出序列此式說明，輸出序列此式說明，輸出序列y(n)為輸入序列為為輸入序列為x(n)在時(shí)在時(shí)間上位移。間上位移。結(jié)論結(jié)論當(dāng)系統(tǒng)具有線性相位時(shí)，信號(hào)無當(dāng)系統(tǒng)具有線性相位時(shí)，信號(hào)無失真（指無相位失真、有一定的失真（指無相位失真、有一定的延遲）。延遲）。( )()y nx

7、 nk5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)定義定義系統(tǒng)的群延遲系統(tǒng)的群延遲( )( )gd 由上面的分析可知，由上面的分析可知，線性相位的群延遲為一常數(shù)。線性相位的群延遲為一常數(shù)。可以將群延遲作為相頻特性是否線性的度量，同時(shí)，可以將群延遲作為相頻特性是否線性的度量，同時(shí)，它也表示了系統(tǒng)輸出的延遲。它也表示了系統(tǒng)輸出的延遲。5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)當(dāng)當(dāng)FIR系統(tǒng)系統(tǒng)h(n)滿足滿足該系統(tǒng)具有線性相位。該系統(tǒng)具有線性相位。其中其中+表示偶對(duì)稱，表示偶對(duì)稱，-表示奇表示奇對(duì)稱對(duì)稱(如圖示如圖示) 。同時(shí)由于。同時(shí)由于N可取奇或偶，共有四種可取奇或偶，共

8、有四種情況，情況，下面分析這四種情況下的線性相位特性和幅度特下面分析這四種情況下的線性相位特性和幅度特性。性。第一類FIR系統(tǒng)第二類FIR系統(tǒng)第三類FIR系統(tǒng)第四類FIR系統(tǒng)為偶數(shù)且為奇數(shù)且為偶數(shù)且為奇數(shù)且NnNhn、hNnNhn、hNnNhn、hNnNhn、h),1()(4),1()(3),1()(2),1()(1( )()h nh Nn 15.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)h(n)=h(N-1-n)為偶對(duì)稱為偶對(duì)稱h(n)= -h(N-n-1)為奇對(duì)稱為奇對(duì)稱N為偶為偶N為奇為奇N為偶為偶N為奇為奇5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)1、且、且N為奇數(shù)

9、為奇數(shù)()( )( )()( )( )()() ( )()()NnnNNNnnNnnNNNnnNnnNNnNnnH zh n zNh n zhzh n zNh n zh Nn zhzNh n zzhz 1011112210211112210211121201211212（( )()h nh Nn 15.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn))( )()NjwNjwjwnjw NnNH eh n eehe121121012（-n（)()( )()( )cos() ()NNNNNjjnjjjnNNjnNH eeh n eeheNNeh nnh 111111222220111220121

10、1222（-n+令令則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)jwze5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)arg()jNH e 12系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)的幅度函數(shù)系統(tǒng)的幅度函數(shù)由定義可知，此時(shí)的由定義可知，此時(shí)的FIR系統(tǒng)具有線性相位。系統(tǒng)具有線性相位。( )( )cos() ()NnNNHh nnh1201122221Nnm令令 ，則，則2/ ) 1(1cos)21(221)(NmmmNhNhH21, 2 , 1,212)(,21)0(NnnNhnaNha 2/10cos)(NnnnaH令令則由于由于 偶對(duì)稱，因此偶對(duì)稱，因此 對(duì)這些頻率對(duì)這些頻率也呈偶對(duì)稱。也呈偶對(duì)

11、稱。2 , 0cos關(guān)于n H(1)/2111( )2 ()cos22NmNNHhhmm 2 05.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)、h(n)= h(N-1-n),且且N為偶數(shù)為偶數(shù)()( )( )( )( )()( )( )( )NNNnnnNnnnNNnnNnnNNnNnnnNnNnnHzh n zh n zh n zh n zh Nn zh n zh n zh nzz 111200211202112210012101（5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn))( )Njwjwnjw NnH eh n e

12、e1210（-n（)()( )NNNNjjnjjnH eeh n ee 111122220（-n+( )cos() NNjnNeh nn 11220122令令則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)jwze5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)arg()jNH e 12系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)的幅頻特性為系統(tǒng)的幅頻特性為由定義可知，此時(shí)的由定義可知，此時(shí)的FIR系統(tǒng)具有線性相位。系統(tǒng)具有線性相位。( )( )cos() NnNHh nn 120122令 ，則12Nnm 2/121cos122NmmmNhH 120121cos22NmNHhmm nNhnbnnbHNn122)

13、(21cos)(2/1或?qū)憺椋?由于 奇對(duì)稱，所以 對(duì) 也為奇對(duì)稱，且由于 時(shí)， 處必有一零點(diǎn)，因此這種情況不能用于設(shè)計(jì) 時(shí) 的濾波器，如高通、帶阻濾波器。對(duì)2/1cosn H1)(, 0)(zzHH在故 0H, 02/1cosn5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)同理可求出同理可求出N奇、偶時(shí)系統(tǒng)的相頻特性分別為奇、偶時(shí)系統(tǒng)的相頻特性分別為 通過以上分析可知，當(dāng)通過以上分析可知，當(dāng)FIR DF的抽樣響應(yīng)滿足對(duì)稱時(shí)，的抽樣響應(yīng)滿足對(duì)稱時(shí)，該濾波器具有線性相位該濾波器具有線性相位，其中，當(dāng)，其中，當(dāng)h(n)為奇對(duì)稱時(shí)，為奇對(duì)

14、稱時(shí)，通過濾波器的所有頻率分量將產(chǎn)生通過濾波器的所有頻率分量將產(chǎn)生90的相移。的相移。arg()jNH e 122下面討論具有線性相位下面討論具有線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布及幅頻響應(yīng)問題濾波器零點(diǎn)分布及幅頻響應(yīng)問題5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)一、零點(diǎn)分析一、零點(diǎn)分析利用利用h(n)的對(duì)稱性可知的對(duì)稱性可知其中其中+表示偶對(duì)稱，表示偶對(duì)稱，-表示奇對(duì)稱。由上式容易可以看表示奇對(duì)稱。由上式容易可以看出出H(Z-1)的零點(diǎn)也是的零點(diǎn)也是H(Z)的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。)( )()( )( )()()NNnnnnNm NnNmmNNnnNH zh n zh Nn zzh m zzh

15、 n zzH z 110011101110111（5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)、情況一：情況一：分析：分析：在這種情況下在這種情況下H（Z-1）的零點(diǎn)也是）的零點(diǎn)也是H（Z）的零點(diǎn)的零點(diǎn),即即Zk為零點(diǎn)為零點(diǎn) ， Zk-1也是零點(diǎn)也是零點(diǎn),(兩者稱為單兩者稱為單位圓鏡像對(duì)稱位圓鏡像對(duì)稱);同時(shí)同時(shí),零點(diǎn)為復(fù)數(shù)，應(yīng)當(dāng)成對(duì)出零點(diǎn)為復(fù)數(shù)，應(yīng)當(dāng)成對(duì)出現(xiàn)，即此時(shí)有四個(gè)互為倒數(shù)的兩組共軛現(xiàn)，即此時(shí)有四個(gè)互為倒數(shù)的兩組共軛 對(duì)零點(diǎn)，對(duì)零點(diǎn)，如下圖所示：如下圖所示：。zr，kkk在單位圓內(nèi)且和, 105.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)、情況二：情況二：分析：分析：

16、此時(shí)零點(diǎn)不在單位圓上，但在實(shí)軸上，此時(shí)零點(diǎn)不在單位圓上，但在實(shí)軸上，是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù),共軛就是自己，所以有一對(duì)互為倒數(shù)的共軛就是自己，所以有一對(duì)互為倒數(shù)的零點(diǎn)零點(diǎn),如下圖所示：如下圖所示：。zr，kkk在實(shí)軸上且和, 105.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)、情況三：情況三：分析：分析：此時(shí)零點(diǎn)在單位圓上，但不在實(shí)軸上，因此時(shí)零點(diǎn)在單位圓上，但不在實(shí)軸上，因倒數(shù)就是自己的共軛，所以有一對(duì)共軛零點(diǎn)，如倒數(shù)就是自己的共軛，所以有一對(duì)共軛零點(diǎn)，如下圖所示：下圖所示：。zr，kkk在單位圓上且和, 105.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)、情況四：情況四：分析：分析：此

17、時(shí)零點(diǎn)既在單位圓上，又在實(shí)軸上，共此時(shí)零點(diǎn)既在單位圓上，又在實(shí)軸上，共軛和倒數(shù)都合為一點(diǎn)，所以軛和倒數(shù)都合為一點(diǎn)，所以以單以單出現(xiàn)，且只有兩出現(xiàn)，且只有兩種可能，種可能，zk=1或或zk=-1。如下圖所示：。如下圖所示：. 10kkr，且和5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn) 通過以上分析可知，一個(gè)具有線性相位的通過以上分析可知，一個(gè)具有線性相位的FIR DF，其轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示為上述四情況的級(jí)聯(lián)，即其轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示為上述四情況的級(jí)聯(lián)，即上述子傳輸函數(shù)分別對(duì)應(yīng)四種情況下的一階、二上述子傳輸函數(shù)分別對(duì)應(yīng)四種情況下的一階、二階和四階子系統(tǒng)。由于其均具有對(duì)稱的系數(shù)，它階和四階子系統(tǒng)。

18、由于其均具有對(duì)稱的系數(shù)，它們均為們均為線性相位子系統(tǒng)線性相位子系統(tǒng)。為實(shí)現(xiàn)。為實(shí)現(xiàn)H（Z）提供了方）提供了方便，便，H（Z）各種情況下的零點(diǎn)位置示意圖如下如）各種情況下的零點(diǎn)位置示意圖如下如所示。所示。)kmlnkmlnH zHzHzHzHz（:4 order:4 order:2 order:2 order:2 order:2 order:1 order:1 order5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)二、線性相位二、線性相位FIR DF幅頻響應(yīng)特點(diǎn)幅頻響應(yīng)特點(diǎn) 在一個(gè)在一個(gè)FIR系統(tǒng)中，滿足圖系統(tǒng)中，滿足圖5.3.1所

19、示的對(duì)稱性，所示的對(duì)稱性，稱此進(jìn)的稱此進(jìn)的H（Z）為鏡像對(duì)稱多項(xiàng)式（）為鏡像對(duì)稱多項(xiàng)式（MIP），下），下面分析這引面分析這引MIP在在z=1或或z=-1處幅頻響應(yīng)的特點(diǎn)。處幅頻響應(yīng)的特點(diǎn)。)()NH zzH z 11（為偶數(shù)奇對(duì)稱類型為奇數(shù)奇對(duì)稱類型為偶數(shù)偶對(duì)稱類型為奇數(shù)偶對(duì)稱、類型N：、N：、N：、N：,44,33,22,115.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)第一類第一類FIR DF (偶對(duì)稱偶對(duì)稱,N為奇為奇)的特點(diǎn)：的特點(diǎn)： 恒相時(shí)延，相位曲線是過原點(diǎn)的直線。恒相時(shí)延，相位曲線是過原點(diǎn)的直線。 H(1)=H(1),H(-1)=H(-1),即即Z=-1和和1(或零點(diǎn)或

20、零點(diǎn)和和點(diǎn)點(diǎn))都能保證都能保證5.3.1式成立式成立, 點(diǎn)相當(dāng)模擬頻點(diǎn)相當(dāng)模擬頻率率 s2，或者說模擬頻率的最高頻，或者說模擬頻率的最高頻(高頻端高頻端),因因此此,此類此類FIR DF可靈活設(shè)置可靈活設(shè)置低通低通高通和帶通濾高通和帶通濾波器波器.)()NH zzH z 11（5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)第二類第二類FIR DF (偶對(duì)稱偶對(duì)稱,N為偶為偶)的特點(diǎn)的特點(diǎn)： 恒相時(shí)延，相位曲線是過原點(diǎn)的直線。恒相時(shí)延，相位曲線是過原點(diǎn)的直線。 H(1)=H(1), H(-1)=-H(-1),即即點(diǎn)一定是點(diǎn)一定是幅度函數(shù)的零點(diǎn)幅度函數(shù)的零點(diǎn),以保證對(duì)稱性成立。以保證對(duì)稱性

21、成立。 點(diǎn)是零點(diǎn)是零點(diǎn)說明高端不通，所以這類點(diǎn)說明高端不通，所以這類FIR系統(tǒng)系統(tǒng)只能做低只能做低通和帶通通和帶通,不能設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器不能設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器.)()NH zzH z 11（5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)第三類第三類FIR DF (奇對(duì)稱奇對(duì)稱,N為奇為奇) 的特點(diǎn)的特點(diǎn)： 恒群時(shí)延，有恒群時(shí)延，有 /2 /2 附加相移，相位曲線附加相移，相位曲線是截距為是截距為/2 /2 、斜率為、斜率為 -(N-1)/2 的直線。的直線。 對(duì)零頻和對(duì)零頻和頻均為頻均為奇對(duì)稱奇對(duì)稱, 即即H(1)=-H(1)， H(-1)=-H(-1)，所以，所以零頻和零頻和頻

22、頻都必須都必須是是H()的零點(diǎn)，以保證對(duì)稱性。所以這類的零點(diǎn)，以保證對(duì)稱性。所以這類FIR系統(tǒng)只系統(tǒng)只能做帶通能做帶通。)()NH zzH z 11（5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)第四類第四類FIR DF (奇對(duì)稱奇對(duì)稱,N為偶為偶)的特點(diǎn)的特點(diǎn)： 恒群時(shí)延，有恒群時(shí)延，有/2 /2 附加相移。相位曲線附加相移。相位曲線與第三類相同。與第三類相同。 幅度曲線對(duì)原點(diǎn)奇對(duì)稱，幅度曲線對(duì)原點(diǎn)奇對(duì)稱，H(1)=-H(1)零零頻是的零點(diǎn)。頻是的零點(diǎn)。 幅度曲線對(duì)幅度曲線對(duì)H(-1)=H(-1),即即點(diǎn)點(diǎn)偶對(duì)稱。所以這類偶對(duì)稱。所以這類FIR系統(tǒng)只能做系統(tǒng)只能做高通和帶通高通和帶通

23、濾波器。濾波器。)()NH zzH z 11（5.1 線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)小結(jié)：小結(jié)： 線性相位濾波器是線性相位濾波器是FIR濾波器中最重要的一種，應(yīng)濾波器中最重要的一種，應(yīng)用最廣。實(shí)際使用時(shí)應(yīng)根據(jù)需用選擇其合適類型，用最廣。實(shí)際使用時(shí)應(yīng)根據(jù)需用選擇其合適類型，并在設(shè)計(jì)時(shí)遵循其約束條件。并在設(shè)計(jì)時(shí)遵循其約束條件。 基于模擬的設(shè)計(jì)是面向極點(diǎn)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，不適用基于模擬的設(shè)計(jì)是面向極點(diǎn)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，不適用于于FIRFIR系統(tǒng)系統(tǒng)，目前，目前FIR DFRFIR DFR的設(shè)計(jì)方法主要建立在對(duì)的設(shè)計(jì)方法主要建立在對(duì)理想濾波器頻率特性作某種近似的基礎(chǔ)上，主要有理想濾波器頻率特性作某

24、種近似的基礎(chǔ)上，主要有窗數(shù)法（時(shí)域逼近）窗數(shù)法（時(shí)域逼近）頻率抽樣法頻率抽樣法( (頻域逼近）頻域逼近）最佳一致逼近法（等波紋逼近）最佳一致逼近法（等波紋逼近） 本章將討論這三種方法，并討論一些常用的特本章將討論這三種方法，并討論一些常用的特殊形式濾波器，如梳狀濾波器等。殊形式濾波器，如梳狀濾波器等。FIR DFFIR DF設(shè)計(jì)的含義是：設(shè)計(jì)的含義是： 根據(jù)根據(jù)給定的給定的設(shè)計(jì)指標(biāo)，求解所選運(yùn)算結(jié)構(gòu)要求設(shè)計(jì)指標(biāo)，求解所選運(yùn)算結(jié)構(gòu)要求的的h(n)h(n)或或H(z)H(z)（線性卷積和快速卷積型結(jié)構(gòu)，求線性卷積和快速卷積型結(jié)構(gòu)，求FIR FIR DFDF的的h(n)h(n)；級(jí)聯(lián)和頻率采樣型結(jié)構(gòu)

25、，求級(jí)聯(lián)和頻率采樣型結(jié)構(gòu)，求FIR DF FIR DF 的的H(z)H(z)） 。1. 由理想的頻率響應(yīng)得到理想的由理想的頻率響應(yīng)得到理想的 ( )dh n2.2.由由 得到因果、有限長(zhǎng)的單位抽樣得到因果、有限長(zhǎng)的單位抽樣響應(yīng)響應(yīng)( )dh n( )h n一、思路與方法：一、思路與方法： 如果希望如果希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為 ，時(shí)間窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從，時(shí)間窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從單位沖響應(yīng)序單位沖響應(yīng)序列著手，使設(shè)計(jì)的濾波器單位沖激響應(yīng)列著手，使設(shè)計(jì)的濾波器單位沖激響應(yīng)h(n)逼近逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)。()jdH e我們知道我們知

26、道h hd d(n(n) )可以從理想頻響通過付氏反變可以從理想頻響通過付氏反變換獲得換獲得, , 即即deeHnhnjjdd21)(如理想低通濾波器如理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)為的單位沖激響應(yīng)為: :nnnhcdsin)(特點(diǎn)：特點(diǎn)： 無限長(zhǎng)無限長(zhǎng) 非因果非因果 偶對(duì)稱偶對(duì)稱解決方法：解決方法： 截短截短 移位移位 保留保留 這種截取可想象為這種截取可想象為h(nh(n) )是通過一個(gè)是通過一個(gè)“窗口窗口”所看到的一段所看到的一段h hd d(n(n) )，因此這種方法稱為窗函因此這種方法稱為窗函數(shù)法。數(shù)法。h(nh(n) )也可表達(dá)為也可表達(dá)為h hd d(n(n) )和一個(gè)和一個(gè)“窗函

27、數(shù)窗函數(shù)”的乘積，即的乘積，即h(nh(n)=)=w(nw(n) ) h hd d(n(n) ) 。 最簡(jiǎn)單的窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)最簡(jiǎn)單的窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)R RN N(n(n），后面我們還可看到，后面我們還可看到, ,為了改善設(shè)計(jì)濾波器的特為了改善設(shè)計(jì)濾波器的特性，窗函數(shù)還可以有其它的形式性，窗函數(shù)還可以有其它的形式，相當(dāng)于在矩，相當(dāng)于在矩形窗內(nèi)對(duì)形窗內(nèi)對(duì)h hd d(n(n) )作一定的加權(quán)處理。作一定的加權(quán)處理。 ( )( -)dh nh n M 20,1,.,nM即：即：隱含著使用隱含著使用了窗函數(shù)了窗函數(shù))()()()(nwnhnheHddjd)()(nheHj10)(Nn

28、jnjenheH1 1）由定義）由定義)()()2jeHnhDFT3 3）卷積）卷積插值插值設(shè)計(jì)步驟設(shè)計(jì)步驟deWeHeWeHeHjRjdjRjdj)(21)(*)()()(窗函數(shù)對(duì)理想特性的影響：窗函數(shù)對(duì)理想特性的影響： 改變了理想頻響的邊沿特性，形成過渡帶，寬為改變了理想頻響的邊沿特性，形成過渡帶，寬為 4/N，等于等于WR()的主瓣寬度的主瓣寬度。（。（決定于窗長(zhǎng)決定于窗長(zhǎng)） 過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振（帶內(nèi)、帶外起伏），過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振（帶內(nèi)、帶外起伏），取決于取決于 WR()的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相對(duì)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相對(duì)值大，肩峰強(qiáng)值大，肩峰強(qiáng) ，與與 N無關(guān)

29、無關(guān)。（決定于窗口形狀）。（決定于窗口形狀） N增加增加,過渡帶寬減小過渡帶寬減小,肩峰值不變肩峰值不變。 其中其中x=N/2,所以所以N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關(guān)系，只能改變例關(guān)系，只能改變WR（）的絕對(duì)值大小和起伏的）的絕對(duì)值大小和起伏的密度，當(dāng)密度，當(dāng)N增加時(shí)，幅值變大，頻率軸變密，而最大增加時(shí)，幅值變大，頻率軸變密，而最大肩峰永遠(yuǎn)為肩峰永遠(yuǎn)為8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（Gibbs）效應(yīng)。效應(yīng)。xxNNNNNWRsin2/)2/sin()2/sin()2/sin()(ccjjdeeH01)(計(jì)算計(jì)算)()(sin(2121)(n

30、ndeedeeHnhcnjjnjjddcc 以一個(gè)截止頻率為以一個(gè)截止頻率為c c的線性相位理想低通濾波器的線性相位理想低通濾波器為例為例, ,討論討論FIRFIR的設(shè)計(jì)問題。的設(shè)計(jì)問題。1 1、對(duì)于給定的理想低通濾波器、對(duì)于給定的理想低通濾波器 這是一個(gè)以為這是一個(gè)以為 中心的偶對(duì)稱的中心的偶對(duì)稱的無限長(zhǎng)非因果無限長(zhǎng)非因果序列序列，如果截取一段，如果截取一段n=0-Nn=0-N的的h hd d(n(n) )作為作為h(nh(n) )，則為，則為保證所得到的是線性相位保證所得到的是線性相位FIRFIR濾波器，延時(shí)濾波器，延時(shí) 應(yīng)為應(yīng)為h(nh(n) )長(zhǎng)度長(zhǎng)度N N的一半的一半, ,即即 2/

31、N為其它值nNnonhnwnhnhdRd0)()()()(其中其中)()(nRnwNR2 2、計(jì)算、計(jì)算)(nh3 3、計(jì)算、計(jì)算)(jeH 改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點(diǎn)要求：窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點(diǎn)要求：窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；相對(duì)于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量相對(duì)于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就盡量集中在主瓣中，這樣就 可以減小肩峰可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。 但實(shí)際

32、上這兩點(diǎn)不能兼得，一般總是通但實(shí)際上這兩點(diǎn)不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對(duì)旁瓣的抑制。過增加主瓣寬度來換取對(duì)旁瓣的抑制。1、理想的線性相位高通、理想的線性相位高通DF的頻率特性為的頻率特性為ccjwMjwdwwwweeH|00|)(2/1| )(|jeHwcwcpww截止頻率為： 相對(duì)于低通濾波器，高通、帶通帶阻濾波器的設(shè)計(jì)相對(duì)于低通濾波器，高通、帶通帶阻濾波器的設(shè)計(jì)只需要改變積分的上下限即可，只需要改變積分的上下限即可，下面介紹：下面介紹：nMnMnMndeeHdeeHdeeHnhcnjjdnjjdnjjddcc)2()2(sin)2(sin)(21)(21)(21)( 理想的線性

33、相位高通理想的線性相位高通DF相當(dāng)于一個(gè)全通減去相當(dāng)于一個(gè)全通減去一個(gè)低通濾波器一個(gè)低通濾波器.2、理想的線性相位帶通、理想的線性相位帶通DF的頻率特性為：的頻率特性為：其它0|)(2/hlMjjwdwwweeHnMnMnwMnwdwedwedweeHnhlhMnjwwMnjjwnjwddhllh)2/()2/(sin)2/(sin2121)(21)(0)2/(0)2/(3、理想的線性相位帶阻、理想的線性相位帶阻DF：略：略 獲得理想特性后，選取一個(gè)滿意的窗函數(shù)獲得理想特性后，選取一個(gè)滿意的窗函數(shù)w(n)，令令 h(n)w(n)hd(n) n0,1, ,M 則則h(n)即是要設(shè)計(jì)的濾波器的頻率

34、響應(yīng)。即是要設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)。 按上述方法設(shè)計(jì)出的濾波器，由于滿足了按上述方法設(shè)計(jì)出的濾波器，由于滿足了h(n)土土h(M一一n)的對(duì)稱關(guān)系的對(duì)稱關(guān)系,因此都因此都具有線性相位具有線性相位。 FIR DF設(shè)計(jì)的窗函數(shù)法不但可以用來設(shè)計(jì)普通設(shè)計(jì)的窗函數(shù)法不但可以用來設(shè)計(jì)普通的的LP，HP，BP及及BS濾波器，也可用以來設(shè)計(jì)一些特濾波器，也可用以來設(shè)計(jì)一些特殊的濾波器，例如差分濾波器，希爾伯特濾波器等。殊的濾波器，例如差分濾波器，希爾伯特濾波器等。優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：1.1.無穩(wěn)定性問題；無穩(wěn)定性問題； 2.2.容易做到線性相位；容易做到線性相位； 3.3.可以設(shè)計(jì)各種特殊類型的濾波器；可以設(shè)計(jì)各種特

35、殊類型的濾波器； 4.4.方法簡(jiǎn)單。方法簡(jiǎn)單。缺點(diǎn)缺點(diǎn)：1.1.不易控制邊緣頻率；不易控制邊緣頻率； 2.2.幅頻性能不理想；幅頻性能不理想； 3. 3. 較長(zhǎng)；較長(zhǎng)；( )h n 二、窗函數(shù)法的特點(diǎn)：二、窗函數(shù)法的特點(diǎn)：改進(jìn)改進(jìn)：1.1.使用其它類型的窗函數(shù)；使用其它類型的窗函數(shù)； 2.2.改進(jìn)設(shè)計(jì)方法。改進(jìn)設(shè)計(jì)方法。)()()(nwnxnxNdeWeXeWeXeXjjjjjN)(21)()()()( 在信號(hào)處理中不可避免地要遇到數(shù)據(jù)截短問題，在信號(hào)處理中不可避免地要遇到數(shù)據(jù)截短問題，例如，上節(jié)討論的例如，上節(jié)討論的FIR DF濾波器的設(shè)計(jì)，還有比如在濾波器的設(shè)計(jì)，還有比如在功率譜估計(jì)中要遇

36、到對(duì)自相關(guān)函數(shù)的截短問題。功率譜估計(jì)中要遇到對(duì)自相關(guān)函數(shù)的截短問題。 總之，我們?cè)趯?shí)際工作中所能處理的離散序列總總之，我們?cè)趯?shí)際工作中所能處理的離散序列總是有限長(zhǎng)。把一個(gè)長(zhǎng)序列變成有限長(zhǎng)的短序列不可避是有限長(zhǎng)。把一個(gè)長(zhǎng)序列變成有限長(zhǎng)的短序列不可避免地要用到窗函數(shù)。因此，窗函數(shù)本身的研究及應(yīng)用免地要用到窗函數(shù)。因此，窗函數(shù)本身的研究及應(yīng)用是信號(hào)處理中的一個(gè)基本問題。是信號(hào)處理中的一個(gè)基本問題。 下面給出了三個(gè)領(lǐng)域指標(biāo)以定量地比較各種窗函下面給出了三個(gè)領(lǐng)域指標(biāo)以定量地比較各種窗函數(shù)的性能：數(shù)的性能：3dB3dB帶寬帶寬B B 它是主瓣歸一化的幅度下降到一它是主瓣歸一化的幅度下降到一3dB3dB時(shí)帶

37、寬。當(dāng)時(shí)帶寬。當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為N N時(shí)，矩形窗主辨兩個(gè)過零點(diǎn)之間的寬度為時(shí)，矩形窗主辨兩個(gè)過零點(diǎn)之間的寬度為4 4N N。最大邊瓣峰值最大邊瓣峰值A(chǔ) A (dB) (dB)。邊瓣譜峰漸近衰減速度邊瓣譜峰漸近衰減速度D D (dB (dBoctoct) )。 說明：一個(gè)理想的窗函數(shù)，應(yīng)該具有說明：一個(gè)理想的窗函數(shù)，應(yīng)該具有最小的最小的B B和和A A及及最大的最大的D D。 除以上三個(gè)指標(biāo)外，除以上三個(gè)指標(biāo)外，窗函數(shù)窗函數(shù)還有一些共同的要求：還有一些共同的要求： w(n)應(yīng)是非負(fù)的實(shí)偶函數(shù)，且應(yīng)是非負(fù)的實(shí)偶函數(shù)，且w(n)從對(duì)稱中心開從對(duì)稱中心開始，應(yīng)是非遞增的。始，應(yīng)是非遞增的。 由由(

38、7.2.2)式可知，若式可知，若X(ejw)恒為正，那么，若恒為正，那么，若W(ejw)有正有負(fù)。則有正有負(fù)。則XN(ejw)將有正有負(fù)。因?yàn)楣β首V將有正有負(fù)。因?yàn)楣β首V總是正的，因此，我們希望總是正的，因此，我們希望W(ejw)也盡可能是正的。也盡可能是正的。 窗函數(shù)的頻譜應(yīng)滿足窗函數(shù)的頻譜應(yīng)滿足1)(21)0(deWwj）升余弦窗布萊克曼窗（又稱二階弦窗）漢明窗（又稱改進(jìn)余（窗）漢寧窗（又稱升余弦（窗三角窗（又稱）矩形窗（的特性。的窗函數(shù)，并比較它們下面我們討論五種常用Window，BlackmanWindowg，HaWindow，HanningWindow，BartlettBartlet

39、tWindowglec)5()min4)3)2()tanRe1octdBDdBABeWewwNNeWNNnnNwNnNnnwjwwNjjw/12,27,28. 1) 2/sin()4sin(2)1, 2/)(2/, 2 , 1 , 02)()21(2的（其頻率響應(yīng)為：octdBDdBAdBBNeUNUNUUeWN，NnNnnWNnNnnWjj/18,32,44. 1) 2/sin(/ ) 2/sin()()2()2(25. 0)(5 . 0)(202),2cos(1 5 . 0)(10),2cos(1 5 . 0)(2/式中或優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)由于頻譜是由三個(gè)互有頻移的不同幅值的矩由于頻譜是由三個(gè)互有頻

40、移的不同幅值的矩形窗函數(shù)相加而成，這樣使旁瓣大大抵消，形窗函數(shù)相加而成，這樣使旁瓣大大抵消，從而能量相當(dāng)有效地集中在主瓣內(nèi)。從而能量相當(dāng)有效地集中在主瓣內(nèi)。代價(jià)（缺點(diǎn)）代價(jià)（缺點(diǎn)）主瓣加寬一倍，可達(dá)到減少肩峰，余振，提主瓣加寬一倍，可達(dá)到減少肩峰，余振，提高阻帶衰減。缺點(diǎn)：過濾帶加大高阻帶衰減。缺點(diǎn)：過濾帶加大NB80主瓣寬度：octdBDdBANBdBBNwUNwUeUeWeW，N，NnNnnwNnNnnwjwjwjwHm/6,43,/8,3 . 1)223. 0)223. 0)(54. 0)()(2/, 02/,)2cos(46. 054. 0)(1, 2 , 1 , 0,)2cos(46

41、. 054. 0)(0（為其頻域函數(shù)或.,4396.99主瓣寬度和漢寧窗相同主瓣小，第一旁瓣的峰值比主瓣的能量約占更加集中在主瓣中，改進(jìn)的升余弦窗，能量dBoctdBDdBANBBNwUNwUNwUNwUUeWN，NnNnNnnwNnNnNnnwjw/18,58,/12,68. 1)4()4(04. 0)2()2(25. 0)(42. 0)(2/,2/,4cos08. 02cos5 . 042. 0)(1, 2 , 1 , 0,4cos08. 02cos5 . 042. 0)(0其頻域函數(shù)為：或NB，wU123)(倍。即：到矩形窗的寬但主瓣寬度卻不得不加可以得到更低的旁瓣，阻帶衰減進(jìn)一步增加，

42、使旁瓣再進(jìn)一步抵消函數(shù)，幅度也不同的它們都是移位不同，且成，其幅頻函數(shù)由五部分組18/12586/84318/83212/8276/413)/)NNNNNoctdBwdB布萊克曼窗漢明窗漢寧窗三角形窗矩形窗漸近衰減速度（過渡帶寬旁瓣峰值幅度（窗函數(shù)% for example 7.9.1 and 7.1.1to test fir1.mclear all;N=10; M=128;b1=fir1(N,0.25,boxcar(N+1); % 矩形窗作為沖激響應(yīng)的窗函數(shù)矩形窗作為沖激響應(yīng)的窗函數(shù)b2=fir1(N,0.25,hamming(N+1); % 漢明窗作沖激響應(yīng)的窗函數(shù)漢明窗作沖激響應(yīng)的窗函數(shù)

43、h1=freqz(b1,1,M);h2=freqz(b2,1,M);% 求濾波器的頻率響應(yīng)；求濾波器的頻率響應(yīng)；t=0:10;subplot(221);stem(t,b2,.);hold on;plot(t,zeros(1,11);grid;f=0:0.5/M:0.5-0.5/M;M1=M/4;for k=1:M1 hd(k)=1; hd(k+M1)=0; hd(k+2*M1)=0; hd(k+3*M1)=0;endsubplot(222);plot(f,abs(h1),b-,f,abs(h2),g-,f,hd,-);grid;0510-0.300.800

44、.1 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從時(shí)域出發(fā)的一種設(shè)計(jì)法。窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從時(shí)域出發(fā)的一種設(shè)計(jì)法。工工程上，程上，常給定頻域上的技術(shù)指標(biāo)常給定頻域上的技術(shù)指標(biāo)，所以采用頻域設(shè)，所以采用頻域設(shè)計(jì)更直接。計(jì)更直接。尤其對(duì)于尤其對(duì)于Hd(ejw)公式較復(fù)雜，或公式較復(fù)雜，或Hd(ejw)不能用封閉公式表示而用一些離散值表示時(shí)，頻率不能用封閉公式表示而用一些離散值表示時(shí)，頻率抽抽樣設(shè)計(jì)法更為方便，有效。樣設(shè)計(jì)法更為方便，有效。102221, 2 , 1 , 0,)(1)().()(1, 2 , 1 , 0),()()(NkknNjddkNjdkNwjwddNnekHNnhnhIDFTkHNNkeH

45、eHkH，得到進(jìn)行點(diǎn)再對(duì)一、思路與方法 使所設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點(diǎn)上的值準(zhǔn)確地等于所需濾波器在這些頻率點(diǎn)處的值，在其它頻率處的特性則有較好的逼近。jnhNIDFTNNkjdjdeHnhkHeHeHd )(2)()(不同于點(diǎn)點(diǎn)頻率取樣確定102101012101)(1)()(1)(1)()()()NkjkNjdNjNnnjjdNkkNjdNdNnneekHNeenheHkHzekHNzzH，kHzHznhzH（系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為。形成濾波器的系統(tǒng)函數(shù)采樣值此式就是直接利用頻率看出：（插值公式為：來表示也可用當(dāng)然（系統(tǒng)函數(shù)為10)1(212/2sin2/2sin)()(Nk

46、NkNjdNjjNkNNkNekHeeH，有經(jīng)推導(dǎo)2/2sin2/2sin),()1(NkNNkNekSNkNj令1021),()()(NkdNjjkSkHeeH有由此可以看出，連續(xù)函數(shù)由此可以看出，連續(xù)函數(shù)H(eH(ej jw w) )是由以是由以N N個(gè)離散值從個(gè)離散值從H Hd d(k(k) ) 作為權(quán)重和插值函數(shù)作為權(quán)重和插值函數(shù)S(S(w,kw,k) )線性組合的結(jié)果。線性組合的結(jié)果。線性相位條件線性相位條件 為了設(shè)計(jì)線性相位的為了設(shè)計(jì)線性相位的FIRFIR濾波器，采樣值濾波器，采樣值 H H（k k）要滿足一）要滿足一定的約束條件。定的約束條件。 具有線性相位的具有線性相位的FIR

47、FIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(nh(n) )是實(shí)序是實(shí)序列，且滿足列，且滿足 ，由此得到的幅頻和相頻，由此得到的幅頻和相頻特性，就是對(duì)特性，就是對(duì)H(kH(k) )的約束。的約束。情況一情況一: :設(shè)計(jì)第一類線性相位設(shè)計(jì)第一類線性相位FIRFIR濾波器，即濾波器，即N N為奇數(shù)，為奇數(shù)，h(nh(n) )偶偶對(duì)稱，則對(duì)稱，則幅度函數(shù)幅度函數(shù)( (用用H(H() )表示表示) )應(yīng)具有偶對(duì)稱性：應(yīng)具有偶對(duì)稱性：)1()(nNhnh21| )(|NjjjeeHeH)2()( HH令令 則則 必須滿足偶對(duì)稱性：必須滿足偶對(duì)稱性：而而 必須取為：必須取為： kjkeHkH)(k

48、NkNNkNk) 1(212情況二情況二:設(shè)計(jì)第二種線性相位設(shè)計(jì)第二種線性相位FIRFIR濾波器，濾波器，N N為偶數(shù)，為偶數(shù)，h(nh(n) )偶對(duì)稱，由于幅度特性是奇對(duì)稱的，偶對(duì)稱，由于幅度特性是奇對(duì)稱的， 2HHkNkHHkH1, 1 , 0Nk1, 1 , 0Nk因此，因此，H Hk k 也必須滿足奇對(duì)稱性：也必須滿足奇對(duì)稱性： 相位關(guān)系同上，相位關(guān)系同上， 其它兩種線性相位其它兩種線性相位FIRFIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，同樣也要滿足數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，同樣也要滿足幅度與相位的約束條件。幅度與相位的約束條件。同樣可根據(jù)頻率響應(yīng)的插值公式來分析。同樣可根據(jù)頻率響應(yīng)的插值公式來分析。 kNkH

49、H1, 1 , 0,) 1(NkNkNk1, 1 , 0Nk根據(jù)所設(shè)計(jì)濾波器的通帶和阻帶的要求根據(jù)所設(shè)計(jì)濾波器的通帶和阻帶的要求, ,根據(jù)根據(jù)N N為為奇偶奇偶, ,按線性相位要求指定按線性相位要求指定H Hd d( (k k).).計(jì)算計(jì)算 , ,求出所設(shè)計(jì)濾波器的頻率響求出所設(shè)計(jì)濾波器的頻率響應(yīng)。應(yīng)。例例.1例例.2分析：分析：過渡帶的設(shè)計(jì)過渡帶的設(shè)計(jì))( ZH)(nh綜上所述，頻率抽樣法的設(shè)計(jì)步驟為綜上所述，頻率抽樣法的設(shè)計(jì)步驟為二、頻率抽樣法的特點(diǎn)二、頻率抽樣法的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 直接從頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，物理概念清楚，直觀方便直接從頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，物理概念清楚

50、，直觀方便； 適合于窄帶濾波器設(shè)計(jì)，這時(shí)頻率響應(yīng)只有少數(shù)適合于窄帶濾波器設(shè)計(jì)，這時(shí)頻率響應(yīng)只有少數(shù)幾個(gè)非零值。幾個(gè)非零值。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 截止頻率難以控制。截止頻率難以控制。因頻率取樣點(diǎn)都局限在因頻率取樣點(diǎn)都局限在2/N2/N的整數(shù)倍點(diǎn)上，所以在指定通帶和阻帶截止頻的整數(shù)倍點(diǎn)上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時(shí)，這種方法受到限制，比較死板。充分加大率時(shí)，這種方法受到限制，比較死板。充分加大N N，可以接近任何給定的頻率，但計(jì)算量和復(fù)雜性增加?？梢越咏魏谓o定的頻率，但計(jì)算量和復(fù)雜性增加。 前面介紹了前面介紹了FIR數(shù)字濾波器的兩種逼近設(shè)計(jì)方數(shù)字濾波器的兩種逼近設(shè)計(jì)方法，即窗口法（時(shí)域逼近法）和頻率

51、采樣法（頻域逼法，即窗口法（時(shí)域逼近法）和頻率采樣法（頻域逼近法），用這兩種方法設(shè)計(jì)出的濾波器的頻率特性都近法），用這兩種方法設(shè)計(jì)出的濾波器的頻率特性都是在不同意義上對(duì)給定理想頻率特性是在不同意義上對(duì)給定理想頻率特性Hd(ej)的逼近。的逼近。 說到逼近，就有一個(gè)逼近得好壞的問題，對(duì)說到逼近，就有一個(gè)逼近得好壞的問題，對(duì)“好好”“”“壞壞”的恒量標(biāo)準(zhǔn)不同，也會(huì)得出不同的結(jié)論。的恒量標(biāo)準(zhǔn)不同，也會(huì)得出不同的結(jié)論。窗口法和頻率采樣法都是先給出逼近方法，所窗口法和頻率采樣法都是先給出逼近方法，所需變量，然后再討論其逼近特性。需變量，然后再討論其逼近特性。如果反過來要求在某種準(zhǔn)則下設(shè)計(jì)濾波器各參如果反

52、過來要求在某種準(zhǔn)則下設(shè)計(jì)濾波器各參數(shù)，以獲取最優(yōu)的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設(shè)計(jì)的概數(shù)，以獲取最優(yōu)的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設(shè)計(jì)的概念，最優(yōu)化設(shè)計(jì)一般需要大量的計(jì)算，所以一般需要念，最優(yōu)化設(shè)計(jì)一般需要大量的計(jì)算，所以一般需要依靠計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)。依靠計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)。 從數(shù)值逼近的理論來看，對(duì)函數(shù)從數(shù)值逼近的理論來看，對(duì)函數(shù)f(x)的逼近一般有的逼近一般有三種方法（或可以適用于三種方法（或可以適用于FIR濾波器最優(yōu)化設(shè)計(jì)中）濾波器最優(yōu)化設(shè)計(jì)中）：插值法插值法最小平方逼近法（最小均方誤差）最小平方逼近法（最小均方誤差）最佳一致逼近法最佳一致逼近法( (最大誤差最小化準(zhǔn)則最大誤差最小化準(zhǔn)則) )插值

53、法：即尋找一個(gè)插值法：即尋找一個(gè)n n階多項(xiàng)式階多項(xiàng)式p p( (x x) )使它在使它在n+1n+1個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)處滿足處滿足而在非插值點(diǎn)上，而在非插值點(diǎn)上，p(xp(x) )是是f(xkf(xk) )的某種組合。在非插值的某種組合。在非插值點(diǎn)上存在一定的誤差。點(diǎn)上存在一定的誤差。頻率抽樣法可以看作為插值法。頻率抽樣法可以看作為插值法。nkxfxpkk, 2 , 1 , 0),()(最小平方逼近法（最小均方誤差）最小平方逼近法（最小均方誤差） 若以若以E(eE(ejj) )表示逼近誤差，則表示逼近誤差，則 那么均方誤差為那么均方誤差為deEdeHeHjjjd2222121)()(jjdjeHeHe

54、E）（均方誤差最小準(zhǔn)則就是選擇一組時(shí)域采樣值，以使均均方誤差最小準(zhǔn)則就是選擇一組時(shí)域采樣值，以使均方誤差方誤差 ，這一方法注重的是在整個(gè)，這一方法注重的是在整個(gè)-頻頻率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點(diǎn)率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點(diǎn)的性能，有些頻率點(diǎn)可能會(huì)有較大的誤差，的性能，有些頻率點(diǎn)可能會(huì)有較大的誤差，min2對(duì)于窗口法對(duì)于窗口法FIRFIR濾波器設(shè)計(jì)，因采用有限項(xiàng)的濾波器設(shè)計(jì)，因采用有限項(xiàng)的h(nh(n) )逼近逼近理想的理想的h hd d(n(n) )，所以其逼近誤差為：，所以其逼近誤差為：如果采用矩形窗如果采用矩形窗 則有則有ndnhnh22)()(其它01

55、)()(Nnonhnhd1222| )()(| )()(|nNnddnhnhnhnh可以證明，這是一個(gè)可以證明，這是一個(gè)最小均方誤差最小均方誤差264264。其優(yōu)點(diǎn)是過渡帶較窄，缺點(diǎn)是局部點(diǎn)誤差大其優(yōu)點(diǎn)是過渡帶較窄，缺點(diǎn)是局部點(diǎn)誤差大, ,或者說或者說誤差分布不均勻。誤差分布不均勻。最大誤差最小化最大誤差最小化最佳一致逼近最佳一致逼近等波紋逼近）等波紋逼近）表示為表示為 切比雪夫理論指出，這樣的多項(xiàng)式是存在的。切比雪夫理論指出，這樣的多項(xiàng)式是存在的。優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：可保證局部頻率點(diǎn)的性能也是最優(yōu)的，誤差分：可保證局部頻率點(diǎn)的性能也是最優(yōu)的，誤差分布均勻，相同指標(biāo)下，可用最少的階數(shù)達(dá)到最佳化。布均勻，

56、相同指標(biāo)下，可用最少的階數(shù)達(dá)到最佳化。 |)()(|maxmin| )()(|maxxfxpxfxpbxabxaspjdeH001設(shè)所希望的理想頻率響應(yīng)為設(shè)所希望的理想頻率響應(yīng)為 我們的任務(wù)是，尋找一，使其在通帶我們的任務(wù)是，尋找一，使其在通帶和阻帶內(nèi)最佳一致逼近理想頻響。和阻帶內(nèi)最佳一致逼近理想頻響。 根據(jù)交錯(cuò)點(diǎn)組定理，可以想象，如果只根據(jù)交錯(cuò)點(diǎn)組定理，可以想象，如果只H(ejw)是是對(duì)對(duì)Hd(ejw)的最佳一致逼近，那么其在通帶和阻帶內(nèi)的最佳一致逼近，那么其在通帶和阻帶內(nèi)應(yīng)具有如圖應(yīng)具有如圖7.4.1的等紋波性質(zhì)。所以最佳一致逼近的等紋波性質(zhì)。所以最佳一致逼近有時(shí)又稱等紋波逼近。有時(shí)又稱等

57、紋波逼近。jeH如圖，用等波紋逼近法設(shè)計(jì)濾波器需要確定五個(gè)參數(shù)：如圖，用等波紋逼近法設(shè)計(jì)濾波器需要確定五個(gè)參數(shù)： N、p、s、1、2按上圖所示的誤差容限設(shè)計(jì)低通濾波器，就是說要在通帶按上圖所示的誤差容限設(shè)計(jì)低通濾波器，就是說要在通帶 0 p 內(nèi)以最大誤差內(nèi)以最大誤差 1 逼近逼近1，在阻帶，在阻帶s 內(nèi)內(nèi) 以最大誤差以最大誤差2逼近零。逼近零。 要同時(shí)確定上述五個(gè)參數(shù)較困難。常用的兩種逼近方法：要同時(shí)確定上述五個(gè)參數(shù)較困難。常用的兩種逼近方法： 1）給定）給定N、1、2，以，以p和和s、為變量。為變量。 缺點(diǎn)：邊界頻率不能精確確定。缺點(diǎn)：邊界頻率不能精確確定。 2）給定）給定N、P和和S，以，

58、以1和和2為變量，通過迭代運(yùn)算為變量，通過迭代運(yùn)算 ，使逼近誤差，使逼近誤差1和和2 最小，并確定最小，并確定h(n)切比雪切比雪 夫最佳一致逼近。夫最佳一致逼近。 特點(diǎn)：能準(zhǔn)確地指定通帶和阻帶邊界頻率。特點(diǎn)：能準(zhǔn)確地指定通帶和阻帶邊界頻率。 2/ ) 1(,cos)()(0NMnnaeHMnjg)()(2/)1(jgNjjeHeeH式中式中為了保證設(shè)計(jì)的濾波器具有線性相位，仍應(yīng)遵守為了保證設(shè)計(jì)的濾波器具有線性相位，仍應(yīng)遵守h(nh(n) )的約束，為了討論方便，現(xiàn)假設(shè)的約束，為了討論方便，現(xiàn)假設(shè)h(nh(n) )為偶對(duì)稱，為偶對(duì)稱，為奇數(shù)，則為奇數(shù)，則 定義逼近誤差函數(shù)：定義逼近誤差函數(shù)：)

59、(cos)()()(0jdMnjjdjgjjeHnnaeWeHeHeWeE 上式中使用加權(quán)因數(shù)上式中使用加權(quán)因數(shù) ，是考慮在設(shè)計(jì)濾波器，是考慮在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)對(duì)通帶和阻帶常要求不同的逼近精度，故乘以不同時(shí)對(duì)通帶和阻帶常要求不同的逼近精度，故乘以不同的加權(quán)函數(shù)。的加權(quán)函數(shù)。 由交錯(cuò)點(diǎn)組定理可知，由交錯(cuò)點(diǎn)組定理可知，Hg(ej)在子集在子集F上是對(duì)上是對(duì)Hd(ejw)唯一最佳一致逼近的充要條件是唯一最佳一致逼近的充要條件是:誤差函數(shù)在誤差函數(shù)在F上至少呈現(xiàn)上至少呈現(xiàn)M十十2個(gè)個(gè)“交錯(cuò)交錯(cuò)”，使得，使得jeW |max|1EEEEEFnnii式中 |max) 1(cos)()(0EEnnaHWFnkM

60、nkkdk式中 如果已知在如果已知在F F上的上的M+2M+2個(gè)交錯(cuò)頻率個(gè)交錯(cuò)頻率, ,即即w1,w2,Wm+1,w1,w2,Wm+1,則有則有上式可以寫成矩陣形式上式可以寫成矩陣形式問題問題: 一是交錯(cuò)點(diǎn)組一是交錯(cuò)點(diǎn)組i事先是不知道的，這樣當(dāng)然無法事先是不知道的，這樣當(dāng)然無法求解方程式求解方程式;二是直接求解方程組比較因難。二是直接求解方程組比較因難。(1)(1)在頻率子集在頻率子集 F F 上均勻等間隔地選取上均勻等間隔地選取 M+2 M+2 個(gè)極個(gè)極值點(diǎn)頻率值點(diǎn)頻率 并計(jì)算作為初值,110M1010)(/) 1()(MkkkkMkkdkWH)cos(cos1)(1,0kiMkiikk式中