概率分布函數(shù)

1、第三章第三章 幾種重要的概率分布幾種重要的概率分布 3.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 3.2 泊松分布泊松分布 3.3 均勻分布均勻分布 3.4 指數(shù)分布指數(shù)分布 3.5 正態(tài)分布正態(tài)分布返回總目錄一 貝努里概型和二項(xiàng)公式二 二項(xiàng)分布三 二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望與方差 返回主目錄3.1 二項(xiàng)分布返回主目錄一、貝努里概型和二項(xiàng)公式 在相同條件下進(jìn)行的 n次重復(fù)試驗(yàn)，如果每次試驗(yàn)只有兩個(gè)相互對立的基本事件，而且它們在各次試驗(yàn)中發(fā)生的概率不變，那末稱這樣的試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn)或貝努里概型。例如，擲n 次硬幣， 投n 次籃， 檢查n 個(gè)產(chǎn)品， 做 n 道單項(xiàng)選擇題等第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄證明 由概率加法

2、公式得： pqnmqpCpnmbmnmmn1;, 2 , 1 , 0,),;(其中00( ; , )()1nnmmn mnnmmb m n pC p qpq且第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄二、二項(xiàng)分布常見的二項(xiàng)分布實(shí)際問題： 有放回或總量大的無放回抽樣； 打槍、投籃問題（試驗(yàn) n 次發(fā)生 k 次）； 設(shè)備使用、設(shè)備故障問題。第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄三、二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差 npqXDnpXE)()(第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄 例1 據(jù)調(diào)查,市場上假冒的某名牌香煙有0.15,某人每年買20條這個(gè)品牌的香煙,求他至少買到1條假煙的概率.00202011010.15

3、(10.15)10.0390.961P XP XC 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄例2 某人定點(diǎn)投籃的命中率是0.6,在10次投籃中,求(1) 恰有4次命中的概率;(2) 最多命中8次的概率.( 2 ) 最多命中8次的概率99101001010081819101(0.6) (1 0.6)(0.6) (1 0.6)0.9536PXP XP XP XCC 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄例3 已知一批產(chǎn)品共10件,其中正品7件,次品3件,今從中抽取若干次,每次抽出1件,求在放回抽樣下的4次抽取中,抽得次品數(shù)的分布列.解: 在放回抽樣下,每次抽取只有兩個(gè)相互對立的基本事件 所以, 在放回抽

4、樣下的4次抽取是4重貝努里試驗(yàn). 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄例4 投擲一枚均勻硬幣6次，求：（1）恰好出現(xiàn)2次正面的概率；（2）至少出現(xiàn)5次正面的概率；（3）出現(xiàn)正面次數(shù)的均值； （4）出現(xiàn)正面次數(shù)的方差。第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄解：從已知條件得到數(shù)學(xué)期望30103)(3)3()(XEXEYE819)3()()3()3()(22XDXDYD101 . 0100)( npXE第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄 小結(jié)與提問：小結(jié)與提問： 本次課，我們介紹了貝努里概型與二項(xiàng)公式、二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分布是離散型隨機(jī)變量的概率分布中的重要分布，我們應(yīng)掌握二項(xiàng)分布及其概率計(jì)算，能夠?qū)?shí)

5、際問題歸結(jié)為貝努里概型，然后用二項(xiàng)分布計(jì)算有關(guān)事件的概率、數(shù)學(xué)期望與方差。課外作業(yè)：課外作業(yè)：P150 習(xí)題三 3.01,3.02,3.03,3.04,3.05第三章 幾種重要的概率分布一 泊松分布的定義二 二項(xiàng)分布與泊松分布三 泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差 返回主目錄3.2 泊松分布返回主目錄一、泊松分布的定義 設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0 , 1 , 2 , , 且概率分布為：,!eiiXPi)0;, 2 , 1 , 0(i 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄二、二項(xiàng)分布與泊松分布定理3.2.1（泊松定理） eippCiiniin!)1 ( 定理指出n 當(dāng)充分大時(shí)，泊松分布是二項(xiàng)分布的近似

6、分布，但要注意僅當(dāng)P的值很小(一般來說當(dāng)p0.1) 時(shí) ，用泊松分布取代二項(xiàng)分布所產(chǎn)生的誤差才比較小常見的泊松分布的例子： （1）飛機(jī)被擊中的子彈數(shù)； （2）一個(gè)集團(tuán)公司中生日在元旦的人數(shù)； （3）三胞胎出生的次數(shù)； （4）一年中死亡的百歲老人數(shù)； 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄解: 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄例2 某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)為0.8的泊松分布. 求:該城市一天內(nèi)發(fā)生3次以上火災(zāi)的概率. 解： PX3=1- PX3 =1-PX=0+ PX=1+PX=2 0.0474 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄 例3 某出租汽車公司共有出租車400輛,設(shè)每天每

7、輛出租車出現(xiàn)故障的概率為0.02, 求:一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障的概率. 解：將觀察一輛車一天內(nèi)是否出現(xiàn)故障看成一次試驗(yàn)E.因?yàn)槊枯v車是否出現(xiàn)故障與其它車無關(guān),于是觀察400輛出租車是否出現(xiàn)故障就是做400次伯努利試驗(yàn),設(shè)X表示一天內(nèi)出現(xiàn)故障的出租車數(shù),則: X B(400, 0.02). 于是: P一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障=PX=0 =b(0;400,0.02) 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄三、泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差)()(XDXE第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄9324. 0! 0)1007(0100710070eeXP第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄解：由于已知一匹布上

8、有8個(gè)疵點(diǎn)與有7個(gè)疵點(diǎn)的可能性相同， 即概率 78XPXP! 7! 878ee所以一匹布上平均有8個(gè)疵點(diǎn)。8第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄解：（1）由于已知概率21XPXP! 2! 12ee即有22第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄26345PXP XP XP X! 52! 42! 32252423eee3067. 015342e（3）數(shù)學(xué)期望2)(XE（4）方差2)(XD第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄小結(jié)與提問：小結(jié)與提問： 本次課，我們介紹了泊松分布的概念、二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系及泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差。泊松分布是離散型隨機(jī)變量的概率分布中的重要分布，我們應(yīng)掌握泊松分布及

9、其概率計(jì)算，能夠?qū)?shí)際問題歸結(jié)為泊松分布，然后用泊松分布計(jì)算有關(guān)事件的概率、數(shù)學(xué)期望與方差。VII課外作業(yè)：課外作業(yè)：P150 習(xí)題三 3.06,3.07,3.08,3.09第三章 幾種重要的概率分布一均勻分布(Uniform)的定義二均勻分布的數(shù)學(xué)期望與方差返回主目錄3.3 均勻分布若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 其其它它01bxaabxf 上上的的均均勻勻分分布布，服服從從區(qū)區(qū)間間則則稱稱隨隨機(jī)機(jī)變變量量baX記作記作 X U a , b第三章 幾種重要的概率分布一 均勻分布(Uniform)的定義返回主目錄密度函數(shù)的驗(yàn)證 是是其其密密度度函函數(shù)數(shù)，則則有有：，設(shè)設(shè)xf

10、baUX ；，有有對對任任意意的的0 xfx bbaadxxfdxxfdxxfdxxf badxab11 確確是是密密度度函函數(shù)數(shù)其其它它 01bxaabxf由此可知，由此可知，第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄均勻分布的概率背景 變變量量上上的的均均勻勻分分布布，則則隨隨機(jī)機(jī)，服服從從區(qū)區(qū)間間如如果果隨隨機(jī)機(jī)變變量量baX 上上取取值值是是等等可可能能的的，在在區(qū)區(qū)間間量量這這時(shí)時(shí)，可可以以認(rèn)認(rèn)為為隨隨機(jī)機(jī)變變baXXXabxll0 lccdxxflcXcP)(.1abldxablcc 取取值值的的概概率率與與該該子子區(qū)區(qū)上上的的任任意意一一個(gè)個(gè)子子區(qū)區(qū)間間上上，在在區(qū)區(qū)間間baX該該子子

11、區(qū)區(qū)間間的的位位置置無無關(guān)關(guān)間間的的長長度度成成正正比比，而而與與第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄均勻分布的分布函數(shù) xbbxaabaxaxxF10abxF (x)01 上的均勻分布，上的均勻分布，服從區(qū)間服從區(qū)間若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量baX的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為則則X第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄例 1 設(shè)公共汽車站從上午7時(shí)起每隔15分鐘來一班車,如果某乘客到達(dá)此站的時(shí)間是 7:00 到7:30之間的均勻隨機(jī)變量試求該乘客候車時(shí)間不超過5分鐘的概率解： 設(shè)該乘客于7時(shí) X 分到達(dá)此站其其密密度度函函數(shù)數(shù)為為 其它其它0300301xxf 上的均勻分布上的均勻分布，服從區(qū)間服從區(qū)間

12、則則300X第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄例 1（續(xù)）令：B= 候車時(shí)間不超過5分鐘 30251510 XPXPBP則則 30251510301301dxdx31 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄例 2 上上的的均均勻勻分分布布，服服從從區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量31 Y試試求求方方程程0)2(442 YxYx有有實(shí)實(shí)根根的的概概率率解：解：的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量Y 其它其它03141yyf第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄例 2（續(xù)） 有實(shí)根有實(shí)根方程方程設(shè)：設(shè)：0)2(442 YxYxA 0)2(4442 YYPAP則則 021 YYP 21 YYP或或 3

13、21410dxdx41 其它其它03141yyf第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄二、均勻分布的數(shù)學(xué)期望與方差1()2Exba21()12Dxba第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布 解：從已知條件得到關(guān)系式31)(121)(2)(21)(2abXDbaXE24abab返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布其它, 0,21)(axaaxf返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布aaaaxadxadxxfXPa2121) 1(2112121)(111312121a其它, 033,61)(xxf 根據(jù)計(jì)算概率公式，所以概率95)3(316161)(3131331dx

14、dxxfXP返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布（3）數(shù)學(xué)期望0)3(321)(XE（4）方差3)3(3121)(2XD返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布小結(jié)與提問：小結(jié)與提問： 本次課，我們介紹了均勻分布的概念及泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差。均勻分布是是最簡單、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。應(yīng)當(dāng)熟記均勻分布的概率密度函數(shù)的表達(dá)式、數(shù)學(xué)期望及方差，掌握有關(guān)均勻分布的概率、數(shù)學(xué)期望及方差的計(jì)算，并了解均勻分布在實(shí)際問題中的應(yīng)用。課外作業(yè)：課外作業(yè)：P150 習(xí)題三 3.10,3.11一 指數(shù)分布的定義 二 指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望與方差返回主目錄3.4 指數(shù)分布如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)

15、為的密度函數(shù)為 000 xxexfx的指數(shù)分布參數(shù)為服從為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量其中0 第三章第三章 幾種重要的概率分布幾種重要的概率分布一 指數(shù)分布的定義 返回主目錄密度函數(shù)的驗(yàn)證密度函數(shù)的驗(yàn)證 是其密度函數(shù)，則有：的指數(shù)分布，參數(shù)為設(shè)xfX ；，有對任意的0 xfx 00dxxfdxxfdxxf0dxex1由此可知，0 xe 確是一密度函數(shù)000 xxexfx 第三章第三章 幾種重要的概率分布幾種重要的概率分布返回主目錄指數(shù)分布的分布函數(shù)指數(shù)分布的分布函數(shù)的分布函數(shù)為則指數(shù)分布，服從參數(shù)若隨機(jī)變量XX 0100 xexxFx 第三章第三章 幾種重要的概率分布幾種重要的概率分布返回主目錄例例 1

16、分鐘之間的概率鐘到分話間，求你需等待好在你前面走進(jìn)公用電如果某人剛為參數(shù)的指數(shù)隨機(jī)變量以（單位：分鐘）是間設(shè)打一次電話所用的時(shí)2010101X解：的密度函數(shù)為X 00010110 xxexfx 第三章第三章 幾種重要的概率分布幾種重要的概率分布返回主目錄例例 1（續(xù)）（續(xù)） 2010XPBP則令：B= 等待時(shí)間為1020分鐘 201010101dxex201010101xe21ee2325. 0 第三章第三章 幾種重要的概率分布幾種重要的概率分布返回主目錄二、 指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望與方差 第三章第三章 幾種重要的概率分布幾種重要的概率分布1Ex21Dx返回主目錄返回主目錄第三章 幾種重要的概率分

17、布000002. 0)(002. 0 xxexfx，（1）100小時(shí)內(nèi)需要維修的概率返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布該熱水器平均能正常使用500小時(shí). 返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布 解：（1）X的密度函數(shù)為其它, 00,10001)(1000 xexfx 任取1只電子元件使用壽命超過1000小時(shí)的概率返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布110001000100010001( )1000 xP Xf x dxedx10001000()1000 xxed100010.36791000 xee返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布1353. 0)1(220222eqpCYP返回主目錄第三章

18、 幾種重要的概率分布其它, 00,)(xexfx100)(100dxxfXP100 xedx 返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布2100ee501返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布其它, 00,501)(50 xexfx15050)(15050dxxfXP1505050150 xedx50()50 xxed5015050 xe31()ee3110.3181ee返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布5050111)(XE根據(jù)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，所以數(shù)學(xué)期望 10115021)(2) 12(XEXE2500)501(11)(22XD根據(jù)隨機(jī)變量方差的性質(zhì)，所以方差 1000025004)(2

19、) 12(2XDXD返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布小結(jié)與提問：小結(jié)與提問： 本次課，我們介紹了指數(shù)分布的概念及指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望與方差。指數(shù)分布是常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布之一。應(yīng)當(dāng)熟記指數(shù)分布的概率密度函數(shù)的表達(dá)式、數(shù)學(xué)期望及方差，掌握有關(guān)指數(shù)分布的概率、數(shù)學(xué)期望及方差的計(jì)算，并了解指數(shù)分布在實(shí)際問題中的應(yīng)用。課外作業(yè)：課外作業(yè)：P150 習(xí)題三 3.12,3.13一 正態(tài)分布的定義二 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布三 正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)四 正態(tài)分布的期望與方差返回主目錄3.5 正態(tài)分布xf (x)0第三章 幾種重要的概率分布的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為如果連續(xù)型隨機(jī)變量如果連續(xù)型隨機(jī)變量 X

20、xexfx22221 ，為參數(shù)為參數(shù)，其中其中0 的的正正態(tài)態(tài)分分布布記記作作，服服從從參參數(shù)數(shù)為為則則稱稱隨隨機(jī)機(jī)變變量量2 X 2 ，NX一 正態(tài)分布的定義 為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布，我我們們稱稱，若若1010N 數(shù)數(shù)為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的密密度度函函 xexx2221 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 我我們們有有：由由高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)中中的的知知識(shí)識(shí)，數(shù)數(shù)對對于于正正態(tài)態(tài)分分布布的的密密度度函函 xexfx22221 hXPXhPhx ，有有這這表表明明：對對于于任任意意的的對對稱稱，曲曲線線關(guān)關(guān)于于直直線線0 xf (x)0hh第三章 幾種重要的概率

21、分布返回主目錄三、正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì) 越越小小落落在在該該區(qū)區(qū)間間中中的的概概率率就就變變量量越越遠(yuǎn)遠(yuǎn)時(shí)時(shí)，隨隨機(jī)機(jī)間間離離同同樣樣長長度度的的區(qū)區(qū)間間，當(dāng)當(dāng)區(qū)區(qū)對對于于的的值值就就越越小小這這表表明明，越越遠(yuǎn)遠(yuǎn)，離離取取到到最最大大值值時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)Xxfxfxfx 21 第三章 幾種重要的概率分布xf (x)0hh返回主目錄 軸為漸近線軸為漸近線以以曲線曲線處有拐點(diǎn)；處有拐點(diǎn)；在在曲線曲線Oxxfyxxfy 確確定定所所圖圖形形的的位位置置完完全全由由參參數(shù)數(shù)因因此此其其形形狀狀軸軸平平行行移移動(dòng)動(dòng)，但但不不改改變變圖圖形形沿沿的的的的值值，則則固固定定，而而改改變變?nèi)羧?xfyxxf

22、 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄f (x)0hh 的的取取值值越越分分散散形形越越平平坦坦，這這表表明明的的圖圖越越大大時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)附附近近的的概概率率越越大大；反反之之落落在在圖圖形形越越陡陡，因因而而越越小小時(shí)時(shí)，可可知知，當(dāng)當(dāng)?shù)牡淖钭畲蟠笾抵禐闉榈牡闹抵?，由由于于固固定定，而而改改變變?nèi)羧鬤xfyXxfyfxf 21xf (x)0第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下情形加以說明：情形加以說明： 正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，大量的隨機(jī)現(xiàn)象都

23、是服從或近似服從正態(tài)分布一，大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的可以證明，如果一個(gè)隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的的可以證明，如果一個(gè)隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中任何一個(gè)因素都不起決定性作用，則影響，但其中任何一個(gè)因素都不起決定性作用，則該隨機(jī)指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布該隨機(jī)指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布 正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)是其它許正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)是其它許多分布所不具備的多分布所不具備的 正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布第三章 幾種重要的概率分布正態(tài)分布的重要性返回主目錄標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算： ，則則其其密密度度函函數(shù)數(shù)

24、為為，如如果果隨隨機(jī)機(jī)變變量量10 NX ,2122xex xdtedttxxtx2221 其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為.)(,值值由由此此可可得得態(tài)態(tài)分分布布表表教教科科書書上上都都附附有有標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正x 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算（續(xù)）0 xx)(x-x第三章 幾種重要的概率分布 xtxdtedttx2221 ，得，得，作變換作變換dudtut xuduex2221 xudue2221 xudue22211 x 1，我們可由公式，我們可由公式如果如果0 x 直接計(jì)算直接計(jì)算，我們可由公式，我們可由公式如果如果xXPxx )(0返回主目錄一般正態(tài)分布的計(jì)算 )1, 0(2NXYNX ，則，則，設(shè)設(shè) yXPyYPyFY ytdte 22221，代代入入上上式式，得得，則則作作變變換換 dtdutu yuYdueyF2221 y yXP )(xXPxFX)( x xXP第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄一般正態(tài)分布的計(jì)算（續(xù)） 函數(shù)函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布其中，其中，x ).a()P,ba -b(bXa 有有故對任意的故對任意的 )(xFX)( x第三章 幾種重要的概率分布該公式給出了一般正態(tài)分該公式給出了一般正態(tài)分布分布函數(shù)值的求法布分布函數(shù)值的求法返回主目錄例 1 ；，試求：，試求：，設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量212110 XPXPNX解