復(fù)變函數(shù)課件：第八講 留數(shù)

1、第八講 留數(shù)留數(shù)& 1. 定義定義& 2. 分類分類& 3. 性質(zhì)性質(zhì)& 4. 零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系5.1 孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn) 1. 定義定義例如例如zezf1)( -z=0為孤立奇點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)zzf1sin1)( -z=0及及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的都是它的奇點(diǎn)奇點(diǎn)11)( zzf-z=1為孤立奇點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)定義定義.)(,0,)(0000的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為則則稱稱內(nèi)內(nèi)解解析析的的某某個(gè)個(gè)去去心心鄰鄰域域但但在在處處不不解解析析在在若若zfzzzzzzf xyo這說明奇點(diǎn)未這說明奇點(diǎn)未必是孤立的。必是孤立的。的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)存存在在，總總有有鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)不不

2、論論多多么么小小的的去去心心在在但但)(,0, 01limzfznn 的孤立奇點(diǎn)。的孤立奇點(diǎn)。不是不是故故zz1sin10 2. 分類分類以下將以下將f (z)在孤立奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，根在孤立奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，根據(jù)展開式的不同情況，將孤立點(diǎn)進(jìn)行分類。據(jù)展開式的不同情況，將孤立點(diǎn)進(jìn)行分類?？疾欤嚎疾欤?)!12()1(! 5! 31sin)1(242nzzzzznn特點(diǎn)：特點(diǎn)：沒有負(fù)冪次項(xiàng)沒有負(fù)冪次項(xiàng) ! 211!1)2(1010nzzznznzzzennnnnz特點(diǎn)：特點(diǎn)：只有有限多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)只有有限多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng) nznzzez!1!211)3(211特點(diǎn)：特點(diǎn)：有無窮多個(gè)負(fù)冪

3、次項(xiàng)有無窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)定義定義 設(shè)設(shè)z0是是f (z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，在的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，在z0 的去心鄰域內(nèi)，的去心鄰域內(nèi)， 若若f (z)的洛朗級(jí)數(shù)的洛朗級(jí)數(shù) 00)()()(nnnzzczfi沒有負(fù)冪次項(xiàng)，稱沒有負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為可去奇點(diǎn)為可去奇點(diǎn);)1, 0()()()(0 mczzczfiimmnnn只有有限多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，稱只有有限多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為為m 級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn); nnnzzczfiii)()()(0有無窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，稱有無窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為本性奇點(diǎn)。為本性奇點(diǎn)。3. 性質(zhì)性質(zhì).)()(000解解析析在在補(bǔ)補(bǔ)充充定定義義：zzfczf 000)(lim)(

4、)(0czfzzczfzznnn q若若z0為為f (z)的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn))1, 0()()(0 mczzczfmmnnnq若若z0為為f (z)的的m (m 1) 級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn))()(1)()(lim00zgzzzfzfmzz . 0)()(,)()()(:0020201 zgzzzgzzczzcczgmmm內(nèi)是解析函數(shù)且內(nèi)是解析函數(shù)且在在其中其中 422)1)(1(23)( zzzzzf例如：例如：z=1為為f (z)的一個(gè)三級(jí)極點(diǎn)，的一個(gè)三級(jí)極點(diǎn)， z= i為為f (z)的一級(jí)極點(diǎn)。的一級(jí)極點(diǎn)。 不不存存在在，也也不不為為負(fù)負(fù)冪冪次次項(xiàng)項(xiàng)的的洛洛朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)有有無無窮窮多多項(xiàng)項(xiàng))(l

5、im)(zfzfnq若若z0為為f (z)的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn)4. 零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系定義定義 不恒等于不恒等于0的解析函數(shù)的解析函數(shù)f (z)如果能表示成如果能表示成)()()(0zzzzfm Nmzzz ,)(, 0)(00點(diǎn)點(diǎn)解解析析在在其其中中： 則稱則稱z=z0為為f (z) 的的m 級(jí)零點(diǎn)。級(jí)零點(diǎn)。與與三三級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)。的的一一級(jí)級(jí)分分別別是是與與3)1()(10 zzzfzz例如：例如：0)()()(0000 zczzcznnn ),)(, 0)(00Nmzzz 點(diǎn)點(diǎn)解解析析在在 . 0)()1, 2 , 1 , 0(0)()()()(0)(0)(0 zfmnzfz

6、zzzfmnm 定理定理事實(shí)上事實(shí)上，必要性得證！必要性得證！ 00)()(nmnnzzczf0!)(),1, 2 , 1 , 0(0)(:00)(0)( cmzfmnzfTaylormn而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的系系數(shù)數(shù)公公式式有有由由充分性略！充分性略！的的零零點(diǎn)點(diǎn)。均均為為與與3)1()(10 zzzfzz例如例如zzzzf6)1(6)1(12)( 23)1(3)1()( zzzzf又又0)1( f)1(6)1(6)(2 zzzzf為為一一級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)00)1()0( 3 zf為三級(jí)零點(diǎn)為三級(jí)零點(diǎn)1 z06)1( f0)1( f級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)的的是是若若mzfz)(0定理定理:.)(10級(jí)零點(diǎn)級(jí)零點(diǎn)

7、的的是是mzfz證明證明)()(1)(0zgzzzfm “”若若z0為為f (z)的的m 級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn) 0)(,)(00 zgzzg且且解析解析在在)()()()(1)()(1000zzzhzzzgzzzfmm .0)(,)(00 zhzzh且且解析解析在在，令令0)(1, 0)(1lim00 zfzfzz.)(10級(jí)零點(diǎn)級(jí)零點(diǎn)的的是是則則mzfz則則級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)的的是是”若若“,)(10mzfz)()()(10zzzzfm .0)(,)(00 zzz 且且解解析析在在)()(1)(1)(1)(000zzzzzzzfzzmm 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) .0)(,)(00 zzz 且且解析解析在在.)(0級(jí)

8、級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)的的是是mzfz。如如果果是是極極點(diǎn)點(diǎn)指指出出它它的的級(jí)級(jí)的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)，求求)1)(1()(2zezzzf 例例解解顯然，顯然，z= i 是是(1+z2)的一級(jí)零點(diǎn)的一級(jí)零點(diǎn), 2, 1, 0)12()12()2()1(1, 01 kikzikkiLnzeekzz故故奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為：即即 0)12(sin)12(cos)1()12()12( kikeekizzkizz的的一一級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)是是zkekkiz 1), 2, 1, 0()12(.)(), 2, 1()12(;)(一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)的的為為的的二二級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)為為zfkkizzfizk 綜合綜合級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)。如如果果是是極極點(diǎn)點(diǎn)，指

9、指出出它它的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)，奇奇點(diǎn)點(diǎn)類類型型，練練習(xí)習(xí)：考考察察下下列列函函數(shù)數(shù)的的)1(1)()1(2 zezzfzzzf)1ln()()2( 11)()5(23 zzzzfzzzfsin1)()6( 11)()7( zezf 322sin)2()1()()8(zzzzf 2211)()3( zzzf3sin)()4(zzzf & 1. 留數(shù)的定義留數(shù)的定義& 2. 留數(shù)定理留數(shù)定理& 3. 留數(shù)的計(jì)算規(guī)則留數(shù)的計(jì)算規(guī)則5.2 留數(shù)留數(shù)(Residue)1. 留數(shù)的定義留數(shù)的定義rzzzzczfnnn 000 ,)()(設(shè)設(shè) cciczzdzcdzzfc1012)( 逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分得得

10、：線線對(duì)對(duì)上上式式兩兩邊邊沿沿簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲),)(00在在其其內(nèi)內(nèi)部部包包含含的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)是是zczfz 的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)含含有有未未必必為為所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)解解析析在在)(0)(0)(zfcczfdzzfc定義定義設(shè)設(shè) z0 為為 f (z) 的孤立奇點(diǎn)，的孤立奇點(diǎn)， f (z) 在在 z0 鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪次項(xiàng)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪次項(xiàng) (z- z0)1 的系數(shù)的系數(shù) c1 稱為稱為f (z)在在 z0 的的留數(shù)留數(shù)，記作，記作 Res f (z), z0 或或 Res f (z0)。由留數(shù)定義由留數(shù)定義, Res f (z), z0=

11、 c1 (1)2()(21),(Re10dzzficzzfsc 故故2. 留數(shù)定理留數(shù)定理)3(),(Re2)(,)(,)(,121 nkkcnzzfsidzzfcczfzzzczfc 則則上上解解析析內(nèi)內(nèi)及及在在除除此此以以外外有有限限個(gè)個(gè)孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)有有在在函函數(shù)數(shù)是是一一條條簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線設(shè)設(shè)定理定理,), 2 , 1(,圍圍繞繞內(nèi)內(nèi)孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)將將曲曲線線互互不不相相交交的的正正向向簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉用用互互不不包包含含kkzcnkc 證明證明Dcznz1z3z2 nkknkcczzfsdzzfidzzfik11),(Re)(21)(21 nccccdzzfdzzfdzzf

12、dzzf)()()()(21由復(fù)合閉路定理得：由復(fù)合閉路定理得：用用2 i 除上式兩邊得除上式兩邊得: nkkczzfsidzzf1),(Re2)( 故故得證！得證！A 求沿閉曲線求沿閉曲線c的積分，歸之為求在的積分，歸之為求在c中各孤立中各孤立奇點(diǎn)的留數(shù)。奇點(diǎn)的留數(shù)。 一般求一般求 Res f (z), z0 是采用將是采用將 f (z) 在在 z0 鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)求系數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù)求系數(shù) c1 的方法的方法, 但如果能先知道但如果能先知道奇點(diǎn)的類型，對(duì)求留數(shù)更為有利。奇點(diǎn)的類型，對(duì)求留數(shù)更為有利。0),(Re0)(010 zzfsczzi為為可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)若若以下就三類孤立

13、奇點(diǎn)進(jìn)行討論：以下就三類孤立奇點(diǎn)進(jìn)行討論：3. 留數(shù)的計(jì)算規(guī)則留數(shù)的計(jì)算規(guī)則規(guī)則規(guī)則有以下幾條有以下幾條為極點(diǎn)時(shí)，求為極點(diǎn)時(shí)，求若若),(Re)(00zzfszziii 規(guī)則規(guī)則I)4()()(lim),(Re,)(0000zfzzzzfszfzzz 的的一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)是是若若級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn)的的是是若若mzfz)(0規(guī)則規(guī)則II )5()()(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz 1000),(Re)()()( czzfszzczfzziinn展開展開為本性奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn)若若事實(shí)上事實(shí)上，由條件，由條件)0(,)()()()()(0101012020 mmmc

14、zzcczzczzczzczf得得乘乘上上式式兩兩邊邊以以,)(0mzz mmmmmzzczzczzcczfzz)()()()()(00101010 )( !)!1()()(101011zzmcmzfzzdzdmmmm階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得兩兩邊邊求求 .)5(,)!1()()(lim10110式式移移項(xiàng)項(xiàng)得得 cmzfzzdzdmmmzzA當(dāng)當(dāng)m=1時(shí)，式時(shí)，式(5)即為式即為式(4).)6()( )(),(Re,)(0)( ,0)(,0)(,)(),()()()(00000000zQzPzzfszfzzQzQzPzzQzPzQzPzf 且且的的一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)是是處處解解析析在在設(shè)設(shè)規(guī)則規(guī)則II

15、I事實(shí)上事實(shí)上，,)(1,)(0)( 0)(0000的的一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)為為從從而而的的一一級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)為為及及zQzzQzzQzQ 0)()()(1)(1,000 zzzzzzzQ 處處解解析析且且在在因因此此),0)(,)()()()(1)(000 zgzzPzzgzgzzzf且且解解析析在在故故 得得證證！0)( )( )()()()(lim)()(lim),(Re000000000 zQzQzPzzzQzQzPzfzzzzfszzzz 由由規(guī)規(guī)則則級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)的的為為則則,)(0zfz 22)1(25:zdzzzz計(jì)計(jì)算算例例1解解102)1(25)(2 zzzzzzzf和和一一個(gè)個(gè)二

16、二級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)極極點(diǎn)點(diǎn)的的內(nèi)內(nèi)部部有有一一個(gè)個(gè)一一級(jí)級(jí)在在2)1(25lim)(lim0),(Re200 zzzzfzfszz 由由規(guī)規(guī)則則)1(25)1()!12(1lim 1),(Re221 zzzzdzdzfszII由由規(guī)規(guī)則則22lim)25(lim211 zzzzz0 1),(Re20),(Re2)(2 zfsizfsidzzfz 2:14 zcdzzzc正正向向計(jì)計(jì)算算例例2解解內(nèi)內(nèi)，都都在在圓圓周周個(gè)個(gè)一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)有有cizf , 1:4)(23414)( )(zzzzQzP 由規(guī)則由規(guī)則0414141412),(Re),(Re 1),(Re 1),(Re214 iizfsi

17、zfszfszfsidzzzc 故故 13coszdzzz計(jì)計(jì)算算例例3解解的的三三級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)有有一一個(gè)個(gè)0cos)(3 zzzzfiizfsidzzzz )21(20),(Re2cos1321)(coslim21)()!13(1lim0),(Re03220 zzfzdzdzfszz由由規(guī)規(guī)則則)(tanNnzdznz 計(jì)計(jì)算算例例4解解), 2, 1, 0(21,20coscossintan kkzkzzzzz即即解得解得令令 0csc)(cot21212 kzkzzz 得得由由規(guī)規(guī)則則為為一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)III,21 kz), 1, 0(1)(cossin21,tanRe21 kzzkz

18、skz ninikzsizdznknz422,tanRe2tan2121 故由留數(shù)定理得：故由留數(shù)定理得：A(1)要靈活運(yùn)用規(guī)則及洛朗級(jí)數(shù)展開來求留要靈活運(yùn)用規(guī)則及洛朗級(jí)數(shù)展開來求留數(shù)，不要死套規(guī)則。數(shù)，不要死套規(guī)則。6sin)()()(zzzzQzPzf ,)(001cos)0(0sin)0(0)cos1()0( 0)0(000的的三三級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)是是由由于于zpzzpzpzppzzz 如如是是f (z)的三級(jí)極點(diǎn)的三級(jí)極點(diǎn)。:)(級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開作作若若將將Laurentzfsinlim)!13(10 ,sinRe306 zzzzzzsz由規(guī)則由規(guī)則! 510 ,sinRe6 zzzs zzzzzz