同濟大學高等數(shù)學第六版上第二章第二節(jié)_函數(shù)的求導法則

1、函數(shù)的求導法則函數(shù)的求導法則用定義只能求出一些較簡單的函數(shù)的導數(shù)（常用定義只能求出一些較簡單的函數(shù)的導數(shù)（常函數(shù)、冪函數(shù)、正、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對函數(shù)、冪函數(shù)、正、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)），對于比較復雜的函數(shù)則往往很困難。數(shù)函數(shù)），對于比較復雜的函數(shù)則往往很困難。本節(jié)我們就來建立求導數(shù)的基本公式和基本法本節(jié)我們就來建立求導數(shù)的基本公式和基本法則，借助于這些公式和法則就能比較方便地求則，借助于這些公式和法則就能比較方便地求出常見的函數(shù)出常見的函數(shù)初等函數(shù)的導數(shù)，從而是初初等函數(shù)的導數(shù)，從而是初等函數(shù)的求導問題系統(tǒng)化，簡單化。等函數(shù)的求導問題系統(tǒng)化，簡單化。一、和、差、積、商的求導法則一、

2、和、差、積、商的求導法則定理定理并且并且可導可導處也處也在點在點分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導處可導在點在點如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu證證(1)(1)、(2)(2)略略. .證證(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf設設hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvhxvxuxvh

3、xuh)()()()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處可導處可導在在xxf注注 （1）即是和、差的導數(shù)等于導數(shù)的和、差）即是和、差的導數(shù)等于導數(shù)的和、差（2）即是乘積的導數(shù)等于第一個因子的導數(shù)）即是乘積的導數(shù)等于第一個因子的導數(shù) 乘以第二個因子再加上第一個因子乘以乘以第二個因子再加上第一個因子乘以 第二個因子的導數(shù)第二個因子的導數(shù)（3）即是商的導數(shù)等于分子的導數(shù)乘以分母）即是商的導數(shù)等于

4、分子的導數(shù)乘以分母 減去分子乘以分母的導數(shù)，再除以分母減去分子乘以分母的導數(shù)，再除以分母 的平方的平方 （1）可推廣到任意有限個可導函數(shù)的情形）可推廣到任意有限個可導函數(shù)的情形; )( )(11 niiniixfxf （2）也可推廣到任意有限個函數(shù)的情形）也可推廣到任意有限個函數(shù)的情形wuvwvuvwuuvw )(; )()()()()()()()( )(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf 作為（作為（2）的特殊情況）的特殊情況uccucv )(，則，則若若);( )(xfCxCf 或或即常數(shù)因子可以提到導數(shù)符號的外面即常數(shù)因子可以提到導數(shù)符號的外面

5、)( )(11xfkxfkniiiinii 即線性組合的導數(shù)等于導數(shù)的線性組合即線性組合的導數(shù)等于導數(shù)的線性組合說明求導是一線性運算說明求導是一線性運算作為（作為（3）的一種特殊情況，）的一種特殊情況，2)1(, 1vvvu 則則若若二、例題分析二、例題分析例例1 1.sin223的導數(shù)的導數(shù)求求xxxy 解解23xy x4 .cos x 例例2 2.ln2sin的導數(shù)的導數(shù)求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的導數(shù)的導數(shù)求求xy 解解)cossin(

6、)(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即同理可得同理可得.csc)(cot2xx 例例4 4yxy 求求sec解解 xycos1xx2cos)(cos xxxxxtanseccos1cossin 同理可得同理可得xxxcotcsc)(csc 例例5 5).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求設設解解,0時時當當 x, 1)( xf,0時時當當 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x ,0時時當當 xhhfh)01

7、ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf三、反函數(shù)的導數(shù)三、反函數(shù)的導數(shù)定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy且有內(nèi)也可導在對應區(qū)間那末它的反函數(shù)且內(nèi)單調(diào)、可導在某區(qū)間如果函數(shù)即即 反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).例例6 6.arcsin的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導內(nèi)單調(diào)、可導在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)有內(nèi)有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos

8、1 y2sin11 .112x 同理可得同理可得.11)(arccos2xx ;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc例例7 7.log的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xya 解解,),(內(nèi)單調(diào)、可導內(nèi)單調(diào)、可導在在 yyIax, 0ln)( aaayy且且,), 0(內(nèi)有內(nèi)有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 特別地特別地.1)(lnxx 四、復合函數(shù)的求導法則四、復合函數(shù)的求導法則 前面我們已經(jīng)會求簡單函數(shù)前面我們已經(jīng)會求簡單函數(shù)基本初等函數(shù)經(jīng)基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算的結(jié)果有限次四則運算的結(jié)果的導數(shù)，但是像的導數(shù)，但是像12sin,tanln22

9、 xxexx等函數(shù)（復合函數(shù)）是否可導？可導的話，如何求等函數(shù)（復合函數(shù)）是否可導？可導的話，如何求它們的導數(shù)？它們的導數(shù)？先看一個例子先看一個例子例例8 yxy ，求，求22)1(22)1(xy 4221xx 344xxy )1(42xx 這里我們是先展開，再求導，若像這里我們是先展開，再求導，若像10002)1(xy 求導數(shù)，展開就不是辦法，再像求導數(shù)，展開就不是辦法，再像521xy 求導數(shù)，根本無法展開，又該怎么辦？求導數(shù)，根本無法展開，又該怎么辦？ 仔細分析一下，這三個函數(shù)具有同樣的復合結(jié)構仔細分析一下，這三個函數(shù)具有同樣的復合結(jié)構我們從復合函數(shù)的角度來分析一下上例的結(jié)果。我們從復合函

10、數(shù)的角度來分析一下上例的結(jié)果。22)1(xy 復復合合而而成成的的和和是是由由221xuuy uyu2 xux2 )1(4)2(22xxxuuyxu xy 再如再如xy2sin )cossin2( xxy)(cossincos)(sin2 xxxx)sin(cos222xx x2cos2 注意到注意到xy2sin xuuy2,sin uyucos 2 xuuuyxucos2 x2cos2 xy 由以上兩例可見：由由以上兩例可見：由)(),(xuufy 復合復合而成的函數(shù)而成的函數(shù))(xfy 的導數(shù)的導數(shù)xy 恰好等于恰好等于y對中間變量對中間變量u的導數(shù)的導數(shù)uy 與中間變量與中間變量u對自變

11、量對自變量x的導數(shù)的導數(shù)xu 的乘積的乘積xuxuyy 這就是這就是鏈式法則鏈式法則定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其導數(shù)為且其導數(shù)為可導可導在點在點則復合函數(shù)則復合函數(shù)可導可導在點在點而而可導可導在點在點如果函數(shù)如果函數(shù)即即 因變量對自變量求導因變量對自變量求導, ,等于因變量對中間變量等于因變量對中間變量求導求導, ,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.(.(鏈式法則鏈式法則) )dxdududydxdyIxfyIxuIxIufyIxu 上可導，且有上可導，且有在在則復合函數(shù)則復合函數(shù)上可導上可導在在上可導

12、，上可導，在在若若)(,)(,)()(11 證證,)(0可可導導在在點點由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0則則xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 注注1.鏈式法則鏈式法則“由外向里，逐層求導由外向里，逐層求導”2.注意中間變量注意中間變量推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設設.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導數(shù)為的導數(shù)為則復合函數(shù)則復合函數(shù) 例例9 9.sinln的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy dxd

13、ududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例1010.)1(102的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例5 5.arcsin22222的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)axaxaxy )0( a解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa 例例1111.)2(21ln32的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1212.1sin的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函

14、數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 例例13.sinh的導數(shù)的導數(shù)求求xy 解解 )(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 例例14 求冪函數(shù)的導數(shù)求冪函數(shù)的導數(shù))( xy xeln )ln(ln xex xx1 1 x例例1515.)(sin的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sin

15、cos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 注注1.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和上述求導法則基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和上述求導法則是初等函數(shù)求導運算的基礎，必須熟練掌握是初等函數(shù)求導運算的基礎，必須熟練掌握2.復合函數(shù)求導的鏈式法則是一元函數(shù)微分復合函數(shù)求導的鏈式法則是一元函數(shù)微分學的理論基礎和精神支柱，要深刻理解學的理論基礎和精神支柱，要深刻理解 ，熟，熟練應用練應用注意不要漏層注意不要漏層3.對于分段函數(shù)求導問題：在定義域的各個部對于分段函數(shù)求導問題：在定義域的各個部分區(qū)間內(nèi)部，仍按初等函數(shù)的求導法則處理，分區(qū)間內(nèi)部，仍按初等函數(shù)的求導法則處理，在分界點處須用導數(shù)的定義仔細分析，即分別

16、在分界點處須用導數(shù)的定義仔細分析，即分別求出在各分界點處的左、右導數(shù)，然后確定導求出在各分界點處的左、右導數(shù)，然后確定導數(shù)是否存在。數(shù)是否存在。例例16 0001)(1xxexxfx)(xf 求求解解時時0 x xexxf11)(2111)1(11xxxeexe 時時0 x0)0()(lim)0(0 xfxffxxxe1011lim 1 0)0()(lim)0(0 xfxffxxxe1011lim 0 )0()0( ff處不可導處不可導在在0)( xxf 00)1(11)(2111xxeexexfxxx不存在不存在五、初等函數(shù)的求導問題五、初等函數(shù)的求導問題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式常數(shù)

17、和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函數(shù)的和、差、積、商的求導法則函數(shù)的和、差、積、商的求導法則設設)(),(xvvxuu 可導，則可導，則（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數(shù)

18、是常數(shù)) )C 3.復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或?qū)?shù)為導數(shù)為的的則復合函數(shù)則復合函數(shù)而而設設利用上述公式及法則初等函數(shù)求導問題可完全解利用上述公式及法則初等函數(shù)求導問題可完全解決決.注意注意: :初等函數(shù)的導數(shù)仍為初等函數(shù)初等函數(shù)的導數(shù)仍為初等函數(shù).五、小結(jié)五、小結(jié)注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函數(shù)分段函數(shù)求導時求導時, 分界點導數(shù)用左右導數(shù)求分界點導數(shù)用左右導數(shù)求.反函數(shù)的求導法則反函數(shù)的求導法則（注意成立條件（注意成立條件:單調(diào)，單調(diào)，原函數(shù)可導）原函數(shù)可導）;復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則（注意函數(shù)的復合過程（注意函數(shù)的復