第5章數(shù)字控制器的連續(xù)設計方法(改)

1、離散化設計方法（也稱為離散化設計方法（也稱為直接設計方法直接設計方法）：）：將被控將被控對象和保持器組成的連續(xù)部分離散化，直接應用離對象和保持器組成的連續(xù)部分離散化，直接應用離散控制理論的方法進行分析和綜合，設計出滿足控散控制理論的方法進行分析和綜合，設計出滿足控制指標的離散控制器，由計算機實現(xiàn)。制指標的離散控制器，由計算機實現(xiàn)。連續(xù)化設計方法連續(xù)化設計方法( (也稱也稱模擬化設計方法模擬化設計方法) )：忽略控制忽略控制回路中所有的零階保持器和采樣器，在回路中所有的零階保持器和采樣器，在s s域中按連域中按連續(xù)系統(tǒng)進行初步設計，求出連續(xù)控制器，再通過續(xù)系統(tǒng)進行初步設計，求出連續(xù)控制器，再通過

2、某某種近似種近似，將連續(xù)控制器變換為離散控制器，由計算，將連續(xù)控制器變換為離散控制器，由計算機去實現(xiàn)。機去實現(xiàn)。 將將D(s)離散成離散成D(z)的方法有多種，離散化的方法有多種，離散化的實質(zhì)是求得一個等效的控制器脈沖傳遞函數(shù)，的實質(zhì)是求得一個等效的控制器脈沖傳遞函數(shù)，使之與連續(xù)域的控制器傳遞函數(shù)在很多方面是使之與連續(xù)域的控制器傳遞函數(shù)在很多方面是相似的相似的 比如在脈沖響應特性、階躍響應特性、頻率特性、比如在脈沖響應特性、階躍響應特性、頻率特性、穩(wěn)態(tài)增益和零、極點分布等方面穩(wěn)態(tài)增益和零、極點分布等方面 一階一階差分變換法差分變換法（后向差分）（后向差分）（1）離散化公式）離散化公式11( )

3、( )szsTD zD sTs為采樣周期為采樣周期 后向差分的近似式是后向差分的近似式是： ( )( )(1)st kTsde te ke kdtT等式左邊取拉氏變換為：等式左邊取拉氏變換為： ( )sE s等式右邊取等式右邊取Z Z變換為：變換為： 11( )(1)1( )ssE zE zzzE zTT 這樣可以得到變換關系：這樣可以得到變換關系：11szsT結(jié)論：結(jié)論：11( )( )szsTD zD sjs平面0z平面0ImRe01-1后向差分法的映射關系S平面的虛軸映射為Z平面半徑為1/2的圓 22211Re( )Im ( )22zzS左半平面的映射 2211SszTT 特點：特點：0

4、2 2、后向差分變換在、后向差分變換在從從0 時，唯一映射到半徑為時，唯一映射到半徑為1/21/2的圓上，因此沒的圓上，因此沒有出現(xiàn)頻率混疊現(xiàn)象，但是頻率被嚴重壓縮了，不能保證頻率特性不變，變有出現(xiàn)頻率混疊現(xiàn)象，但是頻率被嚴重壓縮了，不能保證頻率特性不變，變換精度低，工程應用上受限制。換精度低，工程應用上受限制。優(yōu)點優(yōu)點是簡單易做。是簡單易做。圖5-10 后向差分法的映射關系 1 1、 ( (即表示即表示S S平面左半平面平面左半平面) )，|z|1,|z|1,說明映射到說明映射到Z Z平面的單位圓內(nèi)，平面的單位圓內(nèi)，因此因此D(s)D(s)是穩(wěn)定的，經(jīng)后向差分變換后，是穩(wěn)定的，經(jīng)后向差分變換

5、后，D(z)D(z)也是穩(wěn)定的。也是穩(wěn)定的。前向差分的近似式是：前向差分的近似式是：( )(1)( )st kTsde te ke kdtT變換式為：變換式為：1szsT或者或者1szsT 結(jié)論：結(jié)論：1( )( )szsTD zD s js平面0z平面0ImRe01-1前向差分法的映射關系圖5-11前向差分變換法的映射關系 令sj則1szj T S平面的虛軸，映射到平面的虛軸，映射到Z Z平面是一平面是一條過實軸條過實軸1 1，平行于虛軸的直線，平行于虛軸的直線令sj221(1)()sssszTj TzTT 要使要使 除除 外，還要外，還要 較小時才行，較小時才行，可見這種變換會產(chǎn)生不穩(wěn)定的

6、可見這種變換會產(chǎn)生不穩(wěn)定的1z 0sT( )D z則 顯見，顯見，前向差分變換法中穩(wěn)定的前向差分變換法中穩(wěn)定的D(s)不能保證變換成穩(wěn)不能保證變換成穩(wěn)定的定的D(z)，要穩(wěn)定采樣周期縮小，要穩(wěn)定采樣周期縮小，且不能保證有相同的脈沖且不能保證有相同的脈沖響應和頻率響應。響應和頻率響應。用后向差分變換法離散用后向差分變換法離散21( )0.21D sss假設假設1sTs12111121( )( )110.210.455( )10.455( )szsTssD zD szzTTU zzzE z等效差分方程（控制算法）為：等效差分方程（控制算法）為：u(k)=0.455e(k)- u(k-1)+0.45

7、5u(k-2) 梯形面積公式逼近積分運算原理梯形面積公式逼近積分運算原理 定積分定積分 0( )( )tu te t dt兩邊求拉氏變換兩邊求拉氏變換 1( )( )U sE ss積分傳遞函數(shù)積分傳遞函數(shù) ( )1( )s)U sD sEs（ kK-1e(k-1)e(k)eu(k-1)梯形面積運算圖5-12 梯形面積運算( )(1) ( )(1)2sTu ku ke ke k求求Z變換變換 -11sTU(z)=z U(z)+ ( )( )2E zz E z積分積分Z的傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù)1111( )1z1( )2 1 z( )2 1 z1zssTU zD zE zT離散化方法是：離散化方法是：

8、 1121 z1 z( )( )ssTD zD s *22ssTszTs變換式的另一種形式變換式的另一種形式設設sj則則222244()242sSSsSjTjTTzTjT 說明說明:從從0 z 的相角單調(diào)的從的相角單調(diào)的從0變換到變換到sj 2222(2)(2)ssTzTs平面的左半平面映射到平面的左半平面映射到z z平面的單位圓內(nèi)平面的單位圓內(nèi)結(jié)論：結(jié)論：從這樣的映射關系可以看出，如果從這樣的映射關系可以看出，如果 是穩(wěn)定的，是穩(wěn)定的，雙線性變換后雙線性變換后 也是穩(wěn)定的，并且不出現(xiàn)頻率的混疊現(xiàn)象也是穩(wěn)定的，并且不出現(xiàn)頻率的混疊現(xiàn)象( )D s( )D z設設則則 s平面的虛軸，唯一映射到平

9、面的虛軸，唯一映射到z z平面的單位圓上平面的單位圓上0,1sz21( )0.21D sss111122 1 z21 z11121211( )110.21(2)0.2(2)1110.185(12)(z)1 1.1110.852(z)ssTD zzzsszzzzUzzE等效差分方程（控制算法）為：等效差分方程（控制算法）為：u(k)=1.111u(k-1)-0.852u(k-2)+0.185e(k)+0.37e(k-1)+ 0.185e(k-2)結(jié)論：結(jié)論：連續(xù)控制器連續(xù)控制器 零點少于極點數(shù)，經(jīng)雙線性變換后，零點少于極點數(shù)，經(jīng)雙線性變換后，零、極點數(shù)相等，這點可以做如下解釋：由于雙線性變換將零

10、、極點數(shù)相等，這點可以做如下解釋：由于雙線性變換將整個整個S S平面一一對應變換到平面一一對應變換到Z Z平面，因此平面，因此 在無窮遠處的在無窮遠處的零點，經(jīng)雙線性變換后被變換到零點，經(jīng)雙線性變換后被變換到z=-1z=-1處。處。( )D s( )D s應用：應用：使用方便，有一定精度和好的特性，應用較為普遍。使用方便，有一定精度和好的特性，應用較為普遍。不需要校正穩(wěn)態(tài)增益。不需要校正穩(wěn)態(tài)增益。但高頻特性嚴重失真，主要用于低通環(huán)節(jié)的離散化。但高頻特性嚴重失真，主要用于低通環(huán)節(jié)的離散化。s 01( )( )zD sD zD(z)D(S)( ) t( ) th(t)th(kTs)t脈沖響應不變法

11、圖圖5-8 5-8 脈沖響應不變法脈沖響應不變法()sh kT 所謂所謂脈沖響應不變脈沖響應不變是指所設計出的是指所設計出的D(z)其單位脈沖響應其單位脈沖響應與與D(s)的單位脈沖響應的單位脈沖響應h(t)的采樣值相等的采樣值相等 0( )1( )( )niiiU sD sAE ssa1111( )L inna tiiiiih tAAesa1()iSna kTsiih kTA e1101( )1iSiSnna kTkiia TikiAD zAezez ()sh kT對對D(z)求求Z Z反變換得到反變換得到 ，所以符合單位脈沖響應不變的，所以符合單位脈沖響應不變的條件，條件，D(z)是是D(

12、s)的離散化。這一方法實質(zhì)上是由的離散化。這一方法實質(zhì)上是由D(s)直接求直接求Z變換的方法，當變換的方法，當D(s)很簡單時，可以直接查很簡單時，可以直接查Z Z變換表，如果變換表，如果D(s)較復雜，則必須先用部分分式展開成可查表的形式較復雜，則必須先用部分分式展開成可查表的形式對上式求對上式求Z Z變換變換 （5-85-8）（5-75-7）21( )0.21D sss222111.005 0.995( )0.21(0.10.995 )(0.10.995 )(0.1)0.995D ssssj sjs0.110.10.222121.005sin0.9950.760.76( )( )2cos0

13、.9950.9850.8191 0.9850.819( )sssTsTTszeTzzU zD zzzeTezzzzE z查查Z變換表變換表等效差分方程（控制算法）：等效差分方程（控制算法）：u(k)=0.985u(k-1)-0.819u(k-2)+0.76e(k-1)22)(basbaTaTaTebTzezbTze22cos2sinasasD)(1( )( )( )1( )saTaU zD zD sezE z ( )( )(1)saTu kae keu k注意！兩種避免頻率混疊現(xiàn)象發(fā)生的方法注意！兩種避免頻率混疊現(xiàn)象發(fā)生的方法 采樣器前串聯(lián)低通濾波器，以衰減高頻分量 使用足夠高的采樣頻率 2

14、2特點及應用范圍特點及應用范圍sD(S)1sT sesD(S)1( )( )sT seDzZD ss加零階保持器的脈沖響應不變法2.2.特點：特點：(1) D(s)是穩(wěn)定的，變換后D(z)也是穩(wěn)定的。(2) 由于零階保持器具有低通濾波特性，將使信號最大頻率低些，因此頻率混疊現(xiàn)象將比單純采用脈沖響應不變法要有所改善。(3) 零階保持器的引入將帶來相位滯后，故穩(wěn)定裕度要差些。 圖圖5-9 加加零階保持器的脈沖響應不變法零階保持器的脈沖響應不變法21( )0.21D sss1222221111121212121110.10.995(z) Z (1)Z0.10.21(0.1)0.995(0.1)0.9

15、9511 0.49230.763(1)11 0.9850.8191 0.9850.8190.4310.403(1 0.9850.819sTsesDzsssssszzzzzzzzzzUzz )( )zE z等效差分方程（控制算法）等效差分方程（控制算法）: : u(k)=0.985u(k-1)-0.819u(k-2)+0.431e(k-1)+0.403e(k-2)經(jīng)雙線性變換后，模擬頻率與離散頻率兩者之間存在著非線性關系sjSjTZe將將 帶入雙線性變換式：帶入雙線性變換式：22222222222222222 121222.2sin22cos2TTTTjjjjsssssTTTTjjjjsssss

16、TTjjssTTjjssTTTTjjjjssssTjTjssssssseeeeejTeTeeeeeejeejTTeeeeTjTT22ssTjtgT與與之間的非線之間的非線性性關系式關系式22ssTtgT 2sT2sTsTw與w之間的非線性關系圖5-13 之間的非線性關系 22ssTtgTsT0sT假設假設0( )1sD s 當考慮頻率響應時，將當考慮頻率響應時，將sj代入代入0()1jD j在臨界頻率在臨界頻率0 處有處有()1D jj 將將( )D s中的中的0變換成變換成002*2SsTtgT則則0( )122SssD sTtgT再再實施實施雙線雙線性性變換，變換，代入代入112 1 z1

17、zssT0012 1()1212121222SSSjTjTjTSssSSsseD eTTetgTTtgTTtgT當當00()1SjTD ej保證了臨界頻率保證了臨界頻率0處處( )D s與與( )D z有相同的特性有相同的特性 將所期望的極點和零點（將所期望的極點和零點（s+a）,以以a代替代替as0s2*2*TatgTsasa2. 2. 將將D(s, a)變換成變換成D(z,a)D(z,a)112 1 z1 z( , )( , *)ssTD z aD s a3. 3. 調(diào)整增益，因為頻率預畸變之后。零極點挪動，直流調(diào)整增益，因為頻率預畸變之后。零極點挪動，直流增益發(fā)生了變化，所以必須保證變化

18、前后直流增益不變出增益發(fā)生了變化，所以必須保證變化前后直流增益不變出發(fā)，進行增益調(diào)整。發(fā)，進行增益調(diào)整。10( )( )zsD zD s例例4-5已知已知21( )0.21D sssTs=1s( )D s的臨界頻率的臨界頻率1/nrad s用頻率預畸變的雙線性變換法變換成用頻率預畸變的雙線性變換法變換成D(z)D(z) 1）進行頻率預畸變進行頻率預畸變s2*1.0932nnsTtgT2222211( )( ,*)20.2*10.2191.195nnnnnD sD sssssss2 2） 對對 進行雙線性變換進行雙線性變換( ,*)nD s11112 121111212( ,)( ,*)114(

19、)0.21921.195110.178 (1)10.9960.827snnzsTzkD zD szzzzkzzz令令10( )( )zsD zD s20.178 (1 1)11 0.9960.827k1.17k 等效差分方程等效差分方程( (控制算法控制算法):):( ) 0.996 (1) 0.827 (2) 0.208 ( ) 0.416 (1) 0.208 (2)u ku ku ke ke ke k 21212121827. 0996. 01208. 0416. 0208. 0827. 0996. 01)1 (178. 017. 1)(zzzzzzzkzD5.3.6 極點零點對應法極點零點對應法 將s平面的零點或極點用ssTze關系映射到Z平面上可以定義為下列變換關系：1s1( )( )aTs azeD z def D s 對于復數(shù)極點或零點ss212()()12cos()aTaTSSajb Sajbz ebTez 1 同一個同一個( )D s用極點零點對應法和脈沖響應不變法變換后的用極點零點對應法和脈沖響應不變法變換后的( )D z極點相同而零點不同。極點相同而零點不同。