第二章條件概率與獨(dú)立性【哈工大版】

1、第二章第二章 條件概率與獨(dú)立性條件概率與獨(dú)立性2.12.1條件概率、乘法定理?xiàng)l件概率、乘法定理2.22.2全概率公式全概率公式2.3 2.3 貝葉斯公式貝葉斯公式2.4 2.4 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性2.5 2.5 重復(fù)獨(dú)立事件、二項(xiàng)概率公式重復(fù)獨(dú)立事件、二項(xiàng)概率公式一、條件概率乘法定理一、條件概率乘法定理一一. 條件概率乘法公式條件概率乘法公式1. 條件概率的概念條件概率的概念在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).一般地 P(A|B) P(A)例如，擲一顆均勻骰子，A=擲出2點(diǎn)， B=擲出偶

2、數(shù)點(diǎn)， P(A )=1/6，P(A|B)=？ 已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B， P(A|B)= 1/3.容易看到)()(636131BPABPP(A|B)擲骰子 B中共有3個(gè)元素,它們的出現(xiàn)是等可能的,其中只有1個(gè)在集A中. 于是 又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品. 現(xiàn)從這10件中任取一件，記A=取到一等品， B=取到正品則P(A )=3/10，P(A|B)()(10710373BPABPA=取到一等品， B=取到正品P(A )=3/10，P(A|B)=3/7 本例中，計(jì)算P(A)時(shí)，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例. 計(jì)

3、算P(A|B)時(shí)，這個(gè)前提條件未變，只是加上“事件事件B已發(fā)生已發(fā)生”這個(gè)新的條件. 這好象給了我們一個(gè)“情報(bào)情報(bào)”，使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.2. 條件概率的定義條件概率的定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)0,則稱 (1)()()|(BPABPBAP為在事件在事件B發(fā)生的發(fā)生的條件下,事件A的條件概率的條件概率.SABAB 若事件B已發(fā)生, 則為使 A也發(fā)生 , 試驗(yàn)結(jié)果必須是既在 B 中又在A中的樣本點(diǎn) , 即此點(diǎn)必屬于AB. 由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生, 故B變成了新的變成了新的樣本空間樣本空間 , 于是 有(1). “條件概率”是“概率”嗎？條件概率符合概率定義中的三個(gè)條

4、件對概率所證明的一些結(jié)果都適用于條件概率(1)0|1;|1,|0.P A BPBPB(2)|AB CP A CP B C若A與B互不相容,則P(3)|1|P A BP A B 例1 在全部產(chǎn)品中有4%是廢品，有72%為一等品?，F(xiàn)從其中任取一件為合格品，求它是一等品的概率。解 設(shè)A表示“任取一件為合格品”，B表示“任取一件為一等品”， 96%,72%,P AP ABP B注意 ，則所求概率為BA 72%|0.7596%P ABP B AP A例2 盒中有5個(gè)黑球3個(gè)白球，連續(xù)不放回地從中取兩次球，每次取一個(gè)。若已知第一次取到的是白球，求第二次取出的是黑球的概率。解 設(shè)A表示“第一次取球取出的是白

5、球”，B表示“第二次取球取出的是黑球”，所求概率為|.P BA由于第一次取球取出的是白球，所以第二次取球時(shí)盒中有5個(gè)黑球2個(gè)白球，由古典概型的概率計(jì)算方法得5|7PBA例例3 3 有外觀相同的三極管有外觀相同的三極管6 6只，按電流放大系數(shù)分只，按電流放大系數(shù)分類類,4,4只屬甲類只屬甲類, , 兩只屬乙類。不放回地抽取三極管兩只屬乙類。不放回地抽取三極管兩次兩次, , 每次只抽一只。求在第一次抽到是甲每次只抽一只。求在第一次抽到是甲類條件類條件下下, , 第二次又抽到甲類三極管的概率。第二次又抽到甲類三極管的概率。 解解:記記Ai= 第第 i 次抽到的是甲類三極管次抽到的是甲類三極管, i=

6、1,2, A1A2= 兩次抽到的都是甲類三極管兩次抽到的都是甲類三極管, . 5/230/12)(21AAP再由再由P(A1)=4/6=2/3，得，得.533/22/5)()()|(12112APAAPAAP2. 條件概率的說明條件概率的說明v條件概率條件概率 P(A|B) 也是概率也是概率-原來的事件原來的事件 B變成了樣變成了樣本空間本空間 （樣本空間縮減了）（樣本空間縮減了）, 其中事件其中事件 AB 的概率；的概率；v幾何上看，幾何上看，AB 的面積在的面積在 B 面積中所占的比例；面積中所占的比例；v古典概型中，設(shè)古典概型中，設(shè) B 有有 個(gè)樣本點(diǎn)，個(gè)樣本點(diǎn)，AB 有有 個(gè)個(gè)，BnA

7、 BnABABBBnnP(AB)nP(A | B) =nnP(B)n3. 乘積公式乘積公式設(shè) A、BU，P（A） 0,則 (1) P(AB)P(A)P(B|A) 稱為事件 A、B 的概率乘法公式。 (2) 上式還可推廣到三個(gè)事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) (3) 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1) 例 4 在10個(gè)產(chǎn)品中，有2件次品，不放回的抽取2次產(chǎn)品，每次取一個(gè)，求取到兩件產(chǎn)品都是次品的概率。解 設(shè)A表示“第一次取產(chǎn)品取到次品”，B表示“第二次取產(chǎn)品取到次品”，則211,|1059PAP BA故 1 11

8、|5 945P ABP A P B A , ,2 ,3 5 5試按個(gè)白球個(gè)黑球個(gè)紅球設(shè)袋中有例 2; 1不放回抽樣不放回抽樣有放回抽樣有放回抽樣 兩種方式摸球三次兩種方式摸球三次 . , 概率概率求第三次才摸得白球的求第三次才摸得白球的每次摸得一球每次摸得一球 解解 , 第一次未摸得白球第一次未摸得白球設(shè)設(shè) A , 第二次未摸得白球第二次未摸得白球 B . 第三次摸得白球第三次摸得白球 C 可表示為可表示為第三次才摸得白球第三次才摸得白球則事件則事件. ABC 1 有放回抽樣有放回抽樣 AP, 108 ABP|, 108 ABCP|, 102 APABPABCPABCP| 108108102

9、. 12516 2 無放回抽樣無放回抽樣 AP, 108 ABP|, 97 ABCP|, 82 APABPABCPABCP| 1089782 . 457 例6 一場精彩的足球賽將要舉行, 5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.入場券5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場券”,其余的什么也沒寫. 將它們放在一起,洗勻,讓5個(gè)人依次抽取.我們用Ai表示“第i個(gè)人抽到入場券” i1,2,3,4,5.iA則 表示“第i個(gè)人未抽到入場券”顯然，P(A1)=1/5，P( )4/51A也就是說，第1個(gè)人抽到入場券的概率是1/5.212AAA 由于由乘法公式 )|()()(121

10、2AAPAPAP也就是要想第2個(gè)人抽到入場券，必須第1個(gè)人未抽到， P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5因?yàn)槿舻?個(gè)人抽到了入場券，第1個(gè)人肯定沒抽到. 同理，第3個(gè)人要抽到“入場券”，必須第1、第2個(gè)人都沒有抽到. 因此)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn), 每個(gè)人抽到“入場券” 的概率都是1/5.課堂練習(xí)求1、設(shè) 0.8,0.4,|0.25,P AP BP B A|.P A B求2、設(shè) 111,|,|,432P AP B AP A B.P AB二、全概率公式二、全概率公式二二. 全概率公

11、式全概率公式v.設(shè) B1,Bn 是 U 的一個(gè)劃分，且 P(Bi)0，(i1，n)，則對任何事件 AU 有 1()()(|)niiiP AP B P A B上式就稱為全概率公式。全概率公式的解釋全概率公式的解釋v.1211221( )()()()= ( | ) ( )( | ) ( )( |) ( ) =( ) ( | ) nnnniiiPA PABPABPABPA B PBPA B PBPA B PBPB PA B 它的理論和實(shí)用意義在于它的理論和實(shí)用意義在于: 在較復(fù)雜情況下，直接計(jì)算在較復(fù)雜情況下，直接計(jì)算P(A)不容不容易易, 但總可以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的但總可以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩

12、互斥的Bi , 使使A伴隨著某個(gè)伴隨著某個(gè)Bi 的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個(gè)的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個(gè) P( ABi ) 容易計(jì)算?？捎盟腥菀子?jì)算?？捎盟?P( ABi ) 之和之和計(jì)算計(jì)算 P(A).例1：市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為 2、1、3，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。買到一件丙廠的產(chǎn)品買到一件乙廠的產(chǎn)品買到一件甲廠的產(chǎn)品：買到一件次品設(shè)：:321AAAB)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0225. 02103. 04101. 04102. 0)()()()(3

13、21BAPBAPBAPBP例例2 有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球這六個(gè)球手感上不可區(qū)別今從甲袋中球這六個(gè)球手感上不可區(qū)別今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？一球，問此球是紅球的概率？解：設(shè)解：設(shè)A1從甲袋放入乙袋的是白球；從甲袋放入乙袋的是白球；A2從甲袋放入乙袋的是紅球；從甲袋放入乙袋的是紅球；B從乙袋中任取一球是紅球；從乙袋中任取一球是紅球；12731433221)()|()()|()(2211APABPAPA

14、BPBP甲甲乙乙例例1.4.51.4.5：一批同型號的螺釘由編號為：一批同型號的螺釘由編號為I,II,IIII,II,III的三的三臺機(jī)器共同生產(chǎn)。各臺機(jī)器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘臺機(jī)器共同生產(chǎn)。各臺機(jī)器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)谋壤謩e為的比例分別為35%,40%, 25%35%,40%, 25%。各臺機(jī)器生產(chǎn)的螺釘。各臺機(jī)器生產(chǎn)的螺釘?shù)拇纹仿史謩e為的次品率分別為3%, 2%3%, 2%和和1%1%。求該批螺釘中的次品。求該批螺釘中的次品率。率。 解：解：設(shè) A=螺釘是次品, B1=螺釘由I號機(jī)器生產(chǎn), B2=螺釘由II號機(jī)器生產(chǎn), B3=螺釘由III號機(jī)器生產(chǎn)。則三、三、 貝葉斯公式貝葉斯公式三、

15、貝葉斯公式三、貝葉斯公式11nniiiiBBBABA 則B發(fā)生條件下 發(fā)生的條件概率iA|iiPA BPABPB由乘法公式和全概率公式可得1|iiinkkkPAPBAPABPAPBA該公式稱為貝葉斯(Bayes)公式12,.,nA AA設(shè)事件是的一個(gè)劃分，B是任意一個(gè)事件通常認(rèn)為 是導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果B的原因，稱 為先驗(yàn)概率，若實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生了結(jié)果B,探究它發(fā)生的原因，稱條件概率 為后驗(yàn)概率，它反映了試驗(yàn)之后各種原因發(fā)生的可能性大小。12,.,nAAAiP A|iP A B例1 針對某種疾病進(jìn)行一種化驗(yàn)，患該病的人中有90%呈陽性反應(yīng)，而未患該病的人中有5%呈陽性反應(yīng)。設(shè)人群中有1%的人患這種病。若某人做

16、這種化驗(yàn)呈陽性反應(yīng)，則他患這種疾病的概率是多少？解 設(shè)A表示“某人患這種病”，B表示“化驗(yàn)呈陽性反應(yīng)”，則 0.01,0.99,|0.9,|0.05P AP AP B AP B A由全概率公式得 |0.01 0.9 0.99 0.05 0.0585P BP A P B AP A P B A再由貝葉斯公式得 |0.01 0.9|0.1515%0.0585P A P B AP A BP B例4，已知男性中有5%是色盲患者，女性中有0.25%是色盲患者?，F(xiàn)從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？ |0.50.05200.50.050.50.002521PAPC

17、APACPAPCAPBPCB四、四、 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性四、事件的獨(dú)立性四、事件的獨(dú)立性1.兩事件獨(dú)立兩事件獨(dú)立 定義定義: 設(shè)設(shè)A、B是兩事件，是兩事件，P(A) 0,若若 P(B)P(B|A) 則稱事件則稱事件A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立。表明表明事件事件A 的的發(fā)生不發(fā)生不影響影響B(tài)的的發(fā)生。發(fā)生。等價(jià)于：等價(jià)于： P(AB)=P(B|A)P(A)P(A)P(B)例例1： 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記 A= 抽到抽到K , B=抽到黑色的牌抽到黑色的牌。問事件。問事件A, B是否是否獨(dú)立？獨(dú)立？解：由于解：由于 P(A) = 4/52 =

18、 1/13, P(B) = 26/52 = 1/2， P(AB) = 2/52 = 1/26 故故, P(AB) = P(A)P(B). 這說明事件這說明事件A, B獨(dú)立。獨(dú)立。 思考：互斥和獨(dú)立之間的聯(lián)系：思考：互斥和獨(dú)立之間的聯(lián)系： 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0, 則則 A與與B不獨(dú)立。不獨(dú)立。P(AB)=0，P(A) 0,P(B) 0, P(AB) P(A)P(B) 其逆否命題是：若其逆否命題是：若A與與B獨(dú)立，且獨(dú)立，且 P(A)0, P(B)0, 則則 A與與B一定不互斥。一定不互斥。 請問：能否在樣本空間請問：能否在樣本空間中找到兩個(gè)事件，中找到兩個(gè)事件， 它

19、們既相互獨(dú)立又互斥它們既相互獨(dú)立又互斥? ，且且因因?yàn)闉?, 0)()()(PPP所以，所以，與與獨(dú)立且互斥。獨(dú)立且互斥。不難發(fā)現(xiàn)不難發(fā)現(xiàn): (或或)與任何事件都獨(dú)立。與任何事件都獨(dú)立?？梢远ɡ矶ɡ? 以下四件事等價(jià)：(1)事件A、B相互獨(dú)立；(2)事件A、B相互獨(dú)立；(3)事件A、B相互獨(dú)立；(4)事件A、B相互獨(dú)立。證明證明: 僅證A與 B獨(dú)立。P(A B)= P(A A B) = P(A) P(AB) = P(A) P(A) P(B) = P(A)1 P(B) = P(A)P(B),概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)A與與B獨(dú)立獨(dú)立獨(dú)立。與故， BA2 多多個(gè)事件相互獨(dú)立個(gè)事件相互獨(dú)立定義定義: 設(shè)A

20、1，A2，An是n個(gè)事件個(gè)事件，如果對任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) 則稱n個(gè)事件個(gè)事件A1，A2，An相互獨(dú)立相互獨(dú)立。對于三個(gè)事件對于三個(gè)事件A, B, C，若，若 P(AB)= P(A)P(B)，P(AC)= P(A)P(C) , P(BC)= P(B)P(C) , P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 個(gè)等式同時(shí)成立，稱事件個(gè)等式同時(shí)成立，稱事件A, B, C相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。n個(gè)事件相互獨(dú)立要滿足等式的個(gè)數(shù)為個(gè)事件相互獨(dú)立要滿足等式的個(gè)數(shù)為43323CC12.32nCCCn

21、nnnn 一般地，設(shè) A1，A2，An 是 n 個(gè)事件，如果對任意 k (1kn), 任意的 1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)，則稱 n 個(gè)事件 A1，A2，An 相互獨(dú)立。此時(shí),加法公式可以簡化為: 112(.) 1(). ()nnP AAAP AP A 3、獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用對獨(dú)立事件，許多概率計(jì)算可得到簡化 , 0.9 0.8 1和和苗率分別為苗率分別為有甲、乙兩批種子，出有甲、乙兩批種子，出例例 , 求求取一粒取一?，F(xiàn)從這兩批種子中各任現(xiàn)從這兩批種子中各任 ; 1 兩粒種子都出苗的概率兩粒種子都出苗

22、的概率 ; 2出苗的概率出苗的概率恰好有一粒種子恰好有一粒種子 . 3概率概率至少有一粒種子出苗的至少有一粒種子出苗的 解解 子出苗子出苗由甲批中取出的一粒種由甲批中取出的一粒種設(shè)設(shè) A 子出苗子出苗由乙批中取出的一粒種由乙批中取出的一粒種 B , 兩粒種子都出苗兩粒種子都出苗且事件且事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立、則事件則事件BA : 表示為表示為 , AB : 表示為表示為恰好有一粒出苗恰好有一粒出苗 , ABAB : 表示為表示為至少有一粒種子出苗至少有一粒種子出苗 . BA ABP 1 BPAP ; 0.720.90.8 BABAP 2 BAPBAP BPAPBPAP . 0.260.10.80

23、.90.2 BAP 3 ABPBPAP BPAPBPAP 0.90.80.90.8 . 0.98 BAP 或者或者 BAP 1 BAP 1 BPAP 1 . 0.98 例例2 三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解解 將三人編號為將三人編號為1，2，3，記記 Ai=第第i個(gè)人破譯出密碼個(gè)人破譯出密碼 i=1 , 2 , 3所求為所求為 123P AAA已知已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P

24、(A3)=1/4 1231231P AAAP AAA 1231231P AAAP AAA)(1321AAAP)()()(1321APAPAP =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 6 . 0534332541123例例3 3 驗(yàn)收驗(yàn)收100100件產(chǎn)品方案如下，從中任取件產(chǎn)品方案如下，從中任取3 3件進(jìn)件進(jìn)行獨(dú)立測試，如果至少有一件被斷定為次品，則行獨(dú)立測試，如果至少有一件被斷定為次品，則拒絕接收此批產(chǎn)品。設(shè)一件次品經(jīng)測試后被斷定拒絕接收此批產(chǎn)品。設(shè)一件次品經(jīng)測試后被斷定為次品的概率為為次品的概率為0.950.95，一件正品經(jīng)測試后被斷定，一件正品經(jīng)測試后被斷定為正品的概率為為正品

25、的概率為0.990.99，并知這，并知這100100件產(chǎn)品恰有件產(chǎn)品恰有4 4件件次品。求該批產(chǎn)品能被接收的概率。次品。求該批產(chǎn)品能被接收的概率。 解解: : 設(shè)設(shè) A A=該批產(chǎn)品被接收該批產(chǎn)品被接收 = =測試出測試出3 3件正品，件正品， B Bi i=取出取出3 3件產(chǎn)品中恰有件產(chǎn)品中恰有i i件是次品件是次品 ， i i = 0,1,2,3= 0,1,2,3。 則則。 )(, )(, )(, )(31003433100196242310029614131003960CCBPCCCBPCCCBPCCBP因因三次測試相互獨(dú)立，故三次測試相互獨(dú)立，故 P(P(A| |B0 0)=0.99)

26、=0.993 3， P(P(A| |B1 1)=0.99)=0.992 2(1-0.95), (1-0.95), P( P(A| |B2 2)=0.99(1-0.95)=0.99(1-0.95)2 2, , P( P(A| |B3 3)= (1-0.95)= (1-0.95)3 3。 由全概率公式由全概率公式, , 得得。8629.0)()|()(30 iiiBPBAPAP例例4 4 若干人獨(dú)立地向一移動(dòng)目標(biāo)射擊若干人獨(dú)立地向一移動(dòng)目標(biāo)射擊, ,每人擊中每人擊中目標(biāo)的概率都是目標(biāo)的概率都是0.6。求至少需要多少人。求至少需要多少人, 才能以才能以0.990.99以上的概率擊中目標(biāo)以上的概率擊中

27、目標(biāo)? ?解：設(shè)至少需要解：設(shè)至少需要 n 個(gè)人才能以個(gè)人才能以0.99以上的概率以上的概率擊中目標(biāo)。擊中目標(biāo)。 令令A(yù)=目標(biāo)被擊中目標(biāo)被擊中,Ai =第第i人擊中目標(biāo)人擊中目標(biāo), , i=1,2,=1,2,n。則。則A1 1, ,A2 2,An n 相互獨(dú)立。故，相互獨(dú)立。故， 也相互獨(dú)立。也相互獨(dú)立。nAAA,21因因 A= =A1 1A2 2An， 得得 P(P(A)=)= P(P(A1 1A2 2An) ). )(1)(12121nnAAAPAAAP.4 .01)6 .01 (1 )()()(1 )( , 2121nnnnAPAPAPAPAAA得得相相互互獨(dú)獨(dú)立立，因因問題化成了求最小

28、的問題化成了求最小的 n, 使使1- -0.4n 0.99。解不等式，得解不等式，得. 6 026.54 .0ln01.0lnnn，故故五、五、 重復(fù)獨(dú)立事件及二項(xiàng)概率公式重復(fù)獨(dú)立事件及二項(xiàng)概率公式五五. 貝努利概型貝努利概型v. 我們重復(fù)地進(jìn)行 n 次獨(dú)立試驗(yàn) ( “重復(fù)”是指這次試驗(yàn)中各次試驗(yàn)條件相同 )。 每次試驗(yàn)成功的概率都是 p ，失敗的概率都是 q=1-p 。稱作 n 重貝努利試驗(yàn)，簡稱貝努利概型。定理3.5 (二項(xiàng)概率公式) 設(shè)事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 p，則在 n 重貝努利試驗(yàn)中事件 A 恰好發(fā)生 k 次的概率為 () (1), 0,1,kkn knP XkC ppk

29、n1)(0nkkXP（2）不難驗(yàn)證：0)(kXP（1）例例1 一射手對一目標(biāo)獨(dú)立射擊一射手對一目標(biāo)獨(dú)立射擊4次，每次射擊次，每次射擊的命中率為的命中率為0.8，求求(1)恰好命中兩次的概率；恰好命中兩次的概率；(2)至少命中一次至少命中一次的概率。的概率。解解 因?yàn)槊看紊鋼羰窍嗷オ?dú)立的，故此問題因?yàn)槊看紊鋼羰窍嗷オ?dú)立的，故此問題可看作可看作4重重貝努利貝努利實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)，0 .8p (1)設(shè)事件設(shè)事件 表示表示“4次射擊恰好命中兩次次射擊恰好命中兩次”，則所求概率為，則所求概率為 2A 22224420.80.20.1536P APC(2)設(shè)事件設(shè)事件B表示表示“4次射擊中至少命中一次次射擊中至

30、少命中一次”，又又 表示表示“4次射擊中都未命中次射擊中都未命中”，則，則0A 0004,110BA P BP AP AP 故所求概率為故所求概率為 040441010.80.20.9984PC 例例2 一車間有一車間有5臺同類型且獨(dú)立工作的機(jī)器，假設(shè)在任一臺同類型且獨(dú)立工作的機(jī)器，假設(shè)在任一時(shí)刻時(shí)刻t，每臺機(jī)器出故障的概率為，每臺機(jī)器出故障的概率為0.1，問在同一時(shí)刻，問在同一時(shí)刻(1)沒有機(jī)器出故障的概率是多少？沒有機(jī)器出故障的概率是多少？(2)至多有一臺機(jī)器出故障的概率是多少？至多有一臺機(jī)器出故障的概率是多少？解解 在同一時(shí)刻觀察在同一時(shí)刻觀察5臺機(jī)器，它們是否出故障是相互獨(dú)立的，臺機(jī)器

31、，它們是否出故障是相互獨(dú)立的，故可看做故可看做5重貝努力試驗(yàn)，重貝努力試驗(yàn)，p=0.1,q=0.9. 設(shè)設(shè) 表示表示“沒有機(jī)器沒有機(jī)器出故障出故障”， 表示表示“有一臺機(jī)器出故障有一臺機(jī)器出故障”，B表示表示“至多有一至多有一臺機(jī)器出故障臺機(jī)器出故障”，則，則0A1A01.BAA于是有于是有 05005500.10.90.59049P APC 015505140155010.10.90.10.90.91854P BP AP APPCC例例3 某人有一串某人有一串m把外形相同的鑰匙，其中有一把能打開家門，把外形相同的鑰匙，其中有一把能打開家門，有一天該人酒醉后回家，下意識的每次從有一天該人酒醉后回家，下意識的每次從m把鑰匙中隨便拿一把鑰匙中隨便拿一只去開門，問該人在第只去開門，問該人在第k次才打開的概率多大？次才打開的概率多大？解解 因?yàn)樵撊嗣看螐囊驗(yàn)樵撊嗣看螐膍把鑰匙中任取一把把鑰匙中任取一把(試用后不做記號又試用后不做