偏微分方程數(shù)值解

1、第三章第三章 橢圓形方程的有限差分法橢圓形方程的有限差分法有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的兩種有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的兩種用數(shù)值微商或數(shù)值積分導(dǎo)出相應(yīng)的線性代數(shù)方程組用數(shù)值微商或數(shù)值積分導(dǎo)出相應(yīng)的線性代數(shù)方程組. 主要數(shù)值方法主要數(shù)值方法. 兩種方法的主要差別：離散化的第二步兩種方法的主要差別：離散化的第二步. 有限差分法：從定解問題的微分或積分形式出發(fā)，有限差分法：從定解問題的微分或積分形式出發(fā)，但基函數(shù)要按特定但基函數(shù)要按特定方式選取方式選取.有限元方法：從定解問題的変分形式出發(fā)，用有限元方法：從定解問題的変分形式出發(fā)，用Ritz- -Galerkin 方法導(dǎo)出相應(yīng)的線

2、性代數(shù)方程組，方法導(dǎo)出相應(yīng)的線性代數(shù)方程組，差分法求解的主要步驟：差分法求解的主要步驟：(3) 差分方程的解法差分方程的解法. .(1) 對求解區(qū)域做網(wǎng)格剖分對求解區(qū)域做網(wǎng)格剖分. . 一維：將區(qū)間分成等距或不等距的小區(qū)間單元一維：將區(qū)間分成等距或不等距的小區(qū)間單元. . 二維：將區(qū)域分割成一些均勻或不均勻的矩形，二維：將區(qū)域分割成一些均勻或不均勻的矩形，其邊與其邊與坐標(biāo)軸平行，或分割成一些三角形或一些凸四邊形等坐標(biāo)軸平行，或分割成一些三角形或一些凸四邊形等. . (2) 構(gòu)造逼近微分方程定解問題的差分格式：構(gòu)造逼近微分方程定解問題的差分格式：三種方法三種方法直接差分化法、積分插值法、有限體積

3、法直接差分化法、積分插值法、有限體積法(或廣義差分法或廣義差分法). .差分解的存在唯一性、差分性及穩(wěn)定性的研究差分解的存在唯一性、差分性及穩(wěn)定性的研究. .1 差分逼近的基本概念差分逼近的基本概念考慮二階微分方程邊值問題考慮二階微分方程邊值問題22,(1.1)( ),( ),(1.2)d uLuqufaxbdxu au b 將其分成等分，分點(diǎn)為將其分成等分，分點(diǎn)為,0,1,;ibaxaih iNhN將方程將方程 (1.1) 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)ix其中其中 q，f 為為 a , b 上的連續(xù)函數(shù)，上的連續(xù)函數(shù)，0,q為給定常數(shù)為給定常數(shù). .處再離散化處再離散化. . i22431124()2 (

4、)()()12iiiiu xu xu xd uhd uo hhdxdx由由 Taylor 展開得展開得其中其中ix于是在于是在ix112() 2 ( )()( ) ( )( )( ),(1.3)iiiiiiiu xu xu xq x u xf xR uh其中其中 2434( )( )().12iihd u xRuO hdx 舍去舍去將方程將方程 (1.1) 寫成寫成( )iRu點(diǎn)取值點(diǎn)取值. .表示方括號內(nèi)的函數(shù)在表示方括號內(nèi)的函數(shù)在得逼近方程得逼近方程 (1.1) 的差分方程為：的差分方程為：11,22iiihiiiiuuuL uqufh 稱稱( )iR u形成關(guān)于形成關(guān)于iu11202,1

5、,2,1,iiiniiiiNuuuL uqufiNhuu(1.4)(1.5)注注 此方程組盡管是高階方程組，但每個(gè)方程未知數(shù)此方程組盡管是高階方程組，但每個(gè)方程未知數(shù) 對方程組對方程組 (1.4)(1.5) 的解分析需要考慮以下幾個(gè)問題：的解分析需要考慮以下幾個(gè)問題：最多有最多有3 3個(gè)易于求解個(gè)易于求解. .為差分方程為差分方程 (1.3) 的截?cái)嗾`差的截?cái)嗾`差. .的線性代數(shù)方程組的線性代數(shù)方程組(a) 解是否惟一解是否惟一？0h iu( )?iu x以以hI121,Nx xxLhI0,Nxaxb定義在定義在()hiiuxunI()nnIor I對對hI(b) 當(dāng)網(wǎng)格無限加密時(shí)，即當(dāng)網(wǎng)格無

6、限加密時(shí)，即時(shí)，差分解時(shí)，差分解是否收斂到真解是否收斂到真解(c) 在何種度量下收斂？在何種度量下收斂？(d) 收斂速度如何？收斂速度如何？為了解決如上問題，需要給出如下說明：為了解決如上問題，需要給出如下說明：內(nèi)點(diǎn)和界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)和界點(diǎn)表示網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)表示網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)的集合的集合，表示網(wǎng)格表示網(wǎng)格集合集合. .hI上的網(wǎng)函數(shù)上的網(wǎng)函數(shù). .或或上的函數(shù)上的函數(shù)稱為稱為上的網(wǎng)函數(shù)引進(jìn)如下范數(shù)：上的網(wǎng)函數(shù)引進(jìn)如下范數(shù)：11|m ax |,hciiNuu 其中其中22111|.Niihiuuuhh定義定義1.1 1.1 設(shè)設(shè) U 是某一充分光滑的函數(shù)類，是某一充分光滑的函數(shù)類，( )hR u稱差分算子稱差分算子

7、,uU0lim|( )|0,(1.6)hhR uhL222101| ,hhhuuu12201|,Nhiiuh u斷誤差定義的網(wǎng)格函數(shù)斷誤差定義的網(wǎng)格函數(shù). . 為相為相容條件容條件. .是由截是由截恒有恒有若對任何若對任何逼近微分算子逼近微分算子 L ，并稱，并稱 (1.6)注注 當(dāng)用當(dāng)用hL22c01|( )|()|( )|()|( )|( ).hhhR uO hR uO hR uO h，定義定義1.2 當(dāng)當(dāng) h 充分小時(shí)，若充分小時(shí)，若 (1.4) (1.5) 的解的解| |稱稱如果存在與網(wǎng)格如果存在與網(wǎng)格00,NvvhIhf0,hhuhu0lim |0,hhuu,1,2,3,1,hiiL

8、 vfiNL階也就不同階也就不同. .且按某一范數(shù)且按某一范數(shù)定義定義1.3 對于差分方程對于差分方程數(shù)數(shù) M 和和0| ,0hhRvMfhh逼近逼近 L 時(shí)，選擇網(wǎng)函數(shù)的范數(shù)不同，逼近的時(shí)，選擇網(wǎng)函數(shù)的范數(shù)不同，逼近的 存在，存在， 有有 收斂到邊值問題的解收斂到邊值問題的解 u . .無關(guān)無關(guān)的的常數(shù)常數(shù)及右端及右端使使 稱差分方程關(guān)于右端穩(wěn)定稱差分方程關(guān)于右端穩(wěn)定. .相同的收斂階相同的收斂階. .hu| |( )|hRR u定理定理1.1 若邊值問題的解若邊值問題的解 u 充分光滑，差分方程按充分光滑，差分方程按滿足相容條件，且關(guān)于右端穩(wěn)定，則差分解滿足相容條件，且關(guān)于右端穩(wěn)定，則差分

9、解收斂到邊值問題的解收斂到邊值問題的解 u ，且有，且有與與| |按按2 兩點(diǎn)邊值問題的差分格式兩點(diǎn)邊值問題的差分格式考慮兩點(diǎn)邊值問題考慮兩點(diǎn)邊值問題 ,udduduLprqufaxbdxdxdxu au b (2.2)(2.1)其中其中min , ,( )0, , , ,pC a bp xpr q fC a b是給定的常數(shù)是給定的常數(shù). . ,2.1 直接差分法直接差分法(1) 取取 N+1 個(gè)節(jié)點(diǎn)將個(gè)節(jié)點(diǎn)將 I =a, b 分成分成 N 個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間: :01iNaxxxxbLL1:,1,2,iiiIxxxiNL1,max.iiiiihxxhh于是，得到于是，得到 I 的一個(gè)網(wǎng)格剖分的

10、一個(gè)網(wǎng)格剖分. .(2) 對對 I = a, b 進(jìn)行對偶剖分進(jìn)行對偶剖分1121,1,2,2iiixxxiN取取1,iixx稱為半整數(shù)點(diǎn)稱為半整數(shù)點(diǎn)，則則的中點(diǎn)的中點(diǎn)0131222NNaxxxxxb 構(gòu)成構(gòu)成 I 的一個(gè)對偶剖分的一個(gè)對偶剖分. .(3) 將方程將方程 (2.1) 在內(nèi)點(diǎn)在內(nèi)點(diǎn)ix111()()iiiiu xu xhh2212()2iiiihhdud uO hdxdx(2.3)112( )()()iiiiu xu xp xh23331122()24iiihdud uppO hdxdx(2.4)處離散化處離散化. .233312()24iiihdud uppO hdxdx111

11、2()()()iiiiu xu xp xh2331312()24iiihdud uppO hdxdx(2.5)將將 (2.5) 減減 (2.4) 再除以再除以1,2iihh11111122()( )( )()2()()iiiiiiiiiiu xu xu xu xp xp xhhhh3213111222()12iiiiiiihhdudud upppO hhhdxdxdx得得2321123()()()412iiiiiiihhhhdduddud upppO hdxdxdxdxdx于是得逼近方程于是得逼近方程 (2.1)(2.2) 的差分方程：的差分方程：111111221102,1,2,1,iiii

12、hiiiiiiiiiiiiiiiNuuuuL upphhhhuuqufiNhhuu 誤差為誤差為23221232111( )()()()4122iiiiiiddud ud uR uhhpprO hdxdxdxdx 2.2 積分插值法積分插值法( )( )( )udduLp xq x uf xdxdx ( ) 在在 a, b 內(nèi)任一小區(qū)間內(nèi)任一小區(qū)間(1)(2),xx(2)(2)(2)(1)(1)(1)( )( )xxxxxxddup xdxqudxf x dxdxdx考慮守恒型微分方程考慮守恒型微分方程上積分得：上積分得：(2)(2)(1)(1)(1)(2)()()( )xxxxW xW xq

13、 x udxf dx其中其中( )( )duW xp xdx(1)( 2 )1122,iixxxx112211221122()()iiiixxxxiiW xW xqudxf dx令令( ),( )duW xdxp x取取則則或或1,iixx11112( )1()( )( )iiiixxiixxiW xuudxW xdxp xp x利利用用中中矩矩形形公公式式于是于是112,iiiiiuuWah又又12121,2iixiiiixhhqudxd u121212( ).iixixiidq x dxhh111.( )iixixidxahp x沿沿積分，得積分，得得守恒型差分方程得守恒型差分方程：111

14、111()2iiiiiiiiiiiiuuuuaahhd uhh其中其中121212( )iixixiif x dxhh(2.6)11(),2iiihh2.3 邊值條件的處理邊值條件的處理考慮第二、第三邊值條件考慮第二、第三邊值條件0101( )( )( )( )u au au bu b(2.7) (2.8)由于由于( )0,p x 01( )( )( ),p b u bu b不妨設(shè)不妨設(shè)01( )( )( ),p a u au a(2.9) (2.10)取取(1)(2)012,xxaxx得得11220012( )()xxxxW aW xqudxf dx而而001( )( )(),x aduW

15、ap xudx 故故11220010012()()xxxxW xqudxuf dx101101111121(),( )xxuudxW xaahhp x112200100012,2xxxxhqudxd udqdxh于是逼近邊值條件于是逼近邊值條件 (2.9)(2.10) 的差分方程為：的差分方程為：10111000101()()0.22uuhhad uh (2.11)可以證明：當(dāng)網(wǎng)格均勻且系數(shù)光滑時(shí)，差分方程可以證明：當(dāng)網(wǎng)格均勻且系數(shù)光滑時(shí)，差分方程(2.6)( )291P2();O h11220010012,2xxxxhf dxf dxh逼近微分方程逼近微分方程的階為的階為邊界差分方程邊界差分

16、方程(2.11)2().O h逼近逼近 (2.9) (2.11) 的階為的階為作業(yè)作業(yè)第第3節(jié)節(jié) 二維橢圓邊值問題的差分格式二維橢圓邊值問題的差分格式( , ),( , )uf x yx yG (3.1)G 的邊界的邊界 T 為分段光滑曲線為分段光滑曲線. . ( , )Tux y( (第一邊值條件第一邊值條件) ) (3.2)( , )Tux yn( (第二邊值條件第二邊值條件) ) (3.3)( , )Tukux yn( (第三邊值條件第三邊值條件) ) (3.4)考慮考慮 Poisson 方程方程在在 T 上上 u 滿足下列邊值條件之一：滿足下列邊值條件之一：3.1 五點(diǎn)差分格式五點(diǎn)差分

17、格式122212() .hhh作兩族與坐標(biāo)軸平行的直線作兩族與坐標(biāo)軸平行的直線:1,0,1,xihi兩族直線的交點(diǎn)兩族直線的交點(diǎn)12(,)ih ih( ,)( , ).ijx yi j或或取定沿取定沿 x 軸和軸和 y 軸方向的步長軸方向的步長12,hh ，令令2,0,1,yjhj為網(wǎng)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)，記為為網(wǎng)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)，記為若若121jjiiyyxxhh或或(,),(,)ijijxyxy與與T 交點(diǎn)交點(diǎn)( (也稱界點(diǎn)也稱界點(diǎn)) )的集合；的集合；( ,),hijGx yGjyy內(nèi)點(diǎn)；否則稱為非正則內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)；否則稱為非正則內(nèi)點(diǎn)( ,)ijx y,hG| 1iijj則稱則稱是相鄰節(jié)點(diǎn)是相鄰節(jié)點(diǎn).令令表示所

18、有屬于表示所有屬于G 內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)( (也稱內(nèi)點(diǎn)也稱內(nèi)點(diǎn)) )的集合；的集合；hT表示網(wǎng)線表示網(wǎng)線ixx或或,hhhGGT用用hG代替區(qū)域代替區(qū)域.hhGT若內(nèi)點(diǎn)若內(nèi)點(diǎn)的四個(gè)相鄰點(diǎn)都屬于的四個(gè)相鄰點(diǎn)都屬于稱其為正則稱其為正則設(shè)設(shè)(,)ijxy1,1,1,1221222ijijiji jiji jhijijuuuuuuufhh (3.5)利用利用Taylor展式可知展式可知44224212441( )()()12ijuuR uhhO hO hxy 差分方程差分方程 (3.5) 稱為五點(diǎn)差分格式稱為五點(diǎn)差分格式代替代替為正則內(nèi)點(diǎn)，沿為正則內(nèi)點(diǎn)，沿 x, y 方向分別用二階中心差商方向分別用

19、二階中心差商,xxyyuu則有則有若取正方形網(wǎng)格，即若取正方形網(wǎng)格，即12,hhh則差分方程則差分方程 (3.5)簡化為簡化為21,11,1().44ijiji jiji jijhuuuuuf若若1,11,1().4ijiji jiji juuuuu(3.6)0f ( Laplace方程方程 ) , 則則3.2 邊值條件的處理邊值條件的處理1 討論第一邊值條件：討論第一邊值條件：|( , )ux y當(dāng)當(dāng)( ,).ijijux y100320402112111(2),uuuuuuufhhhh是非正則內(nèi)點(diǎn)，如同正則內(nèi)點(diǎn)，建立是非正則內(nèi)點(diǎn)，如同正則內(nèi)點(diǎn)，建立不等距的差分格式，如在節(jié)點(diǎn)不等距的差分格式

20、，如在節(jié)點(diǎn) 0 處有處有(,)ihjxy時(shí)，取時(shí)，取當(dāng)當(dāng)(,)ijxy031111,()2ihxxhhh其截?cái)嗾`差階為其截?cái)嗾`差階為( ).O h如上處理邊值條件缺點(diǎn)是破壞了對稱正定性，而這一如上處理邊值條件缺點(diǎn)是破壞了對稱正定性，而這一性質(zhì)是五點(diǎn)差分格式所固有的性質(zhì)是五點(diǎn)差分格式所固有的為了保持對稱正定性，可用為了保持對稱正定性，可用100320402112111(2),uuuuuuufhhhh此時(shí)，其截?cái)嗾`差階為此時(shí)，其截?cái)嗾`差階為 0()1 .O hO(3.7)僅討論一種特殊情況，假設(shè)僅討論一種特殊情況，假設(shè)h中的節(jié)點(diǎn)是兩族網(wǎng)線中的節(jié)點(diǎn)是兩族網(wǎng)線針對邊值條件，在針對邊值條件，在ABC上對

21、上對 (3. 8) 積分，積分，TBACABCAABCAudsf dxdyn202,ppABuuudsABnh2 討論第二、三邊值條件討論第二、三邊值條件|.ukurn(3.8)的交點(diǎn)的交點(diǎn)公式得公式得而而101,ppBCuuudsBCnh2P0P1P利用利用Green000()()pppCACAudsrku dsrk uCAn201000021()pppppppuuuuABBCrk uCAhhABCf dxdy于是于是 (3.9) 就是逼近就是逼近 (3.8) 的差分方程的差分方程. .(3.9)于是有于是有4 極值定理極值定理 斂速估計(jì)斂速估計(jì)定理定理4.1 設(shè)設(shè)hG0 (0),hijhi

22、jL uL u( ,),ijhx yG（負(fù)的極?。?，除非（負(fù)的極?。莍ju .常常數(shù)數(shù)證明證明 用反證法，設(shè)用反證法，設(shè)ijijhuuG 常常數(shù)數(shù), , 且且在在中某點(diǎn)達(dá)到正中某點(diǎn)達(dá)到正的極大值的極大值 M .由于由于hG聯(lián)通，必有某一內(nèi)點(diǎn)聯(lián)通，必有某一內(nèi)點(diǎn)00(,),ijxy001,.ijuMiju是是上任一網(wǎng)函數(shù)，若上任一網(wǎng)函數(shù)，若對任意對任意則則不可能在內(nèi)點(diǎn)取正的極大不可能在內(nèi)點(diǎn)取正的極大iju使使00,ijuM且至少有一個(gè)相鄰網(wǎng)點(diǎn)，比如且至少有一個(gè)相鄰網(wǎng)點(diǎn)，比如00(,),ijxy使使于是有于是有000000000000,1,1,11,1()0.hijijijijijijL ua

23、aaaaM矛盾矛盾（負(fù)的極小），則一定在邊界上?。ㄘ?fù)的極?。瑒t一定在邊界上取推論推論4.2 若網(wǎng)函數(shù)若網(wǎng)函數(shù)iju0,( ,),ijijhux yT0,( ,).ijijhux yG注注本定理說明在定理中所給條件下，若有正的極大本定理說明在定理中所給條件下，若有正的極大推論推論4.1 差分方程有唯一解差分方程有唯一解滿足滿足0,( ,),hijijhL ux yG則則|,( ,),hijhijijhL uL Ux yG定理定理4.2 設(shè)設(shè),ijijuU是兩個(gè)網(wǎng)函數(shù)，滿足是兩個(gè)網(wǎng)函數(shù)，滿足則則|,( ,).ijijijhuUx yG證明由條件可知證明由條件可知0,( ,),0,hijijhijijhL ux yGUuT于于()0,0,hijijhijijhL UuGUuT于于于于|,(