高中一年級數(shù)學(xué) 平面向量教學(xué)分析與實用教案 下

1、第 PAGE 25頁（共 NUMPAGES 25頁）高中一年級數(shù)學(xué)第五章 平面向量教學(xué)分析與實用教案 下正弦定理、余弦定理教學(xué)目標：使學(xué)生掌握正弦定理能應(yīng)用解斜三角形，解決實際問題教學(xué)重點：正弦定理教學(xué)難點：正弦定理的正確理解和熟練運用教學(xué)過程：一、引言：在直角三角形中，由三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)，可以由已知邊和角求出未知的邊和角那么斜三角形怎么辦？提出課題：正弦定理、余弦定理 二、講解新課：正弦定理：在任一個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即= =2R（R為ABC外接圓半徑） 1直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即c=， c= ， c= =2斜三角

2、形中 證明一：（等積法）在任意斜ABC當中SABC= 兩邊同除以即得：=證明二：（外接圓法）如圖所示，同理 =2R，2R證明三：（向量法）過A作單位向量垂直于由+= 兩邊同乘以單位向量 得 (+)=則+=|cos90+|cos(90C)=|cos(90A) =同理，若過C作垂直于得： = =正弦定理的應(yīng)用 從理論上正弦定理可解決兩類問題： 1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角（見圖示）已知a, b和A, 用正弦定理求B時的各種情況:若A為銳角時:若A為直角或鈍角時:三、講解范例：例1 已知在解：由得 由得例2 在解：例3 解：，例4 已

3、知ABC，B為B的平分線，求證：ABBCAC四、課堂練習(xí)：1在ABC中，,則k為( )A2R BR C4R D(R為ABC外接圓半徑)2ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，則ABC為( )A直角三角形 B等腰直角三角形C等邊三角形 D等腰三角形3在ABC中，sinAsinB是AB的A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件4在ABC中，求證：五、小結(jié) 正弦定理，兩種應(yīng)用六、課后作業(yè)：1在ABC中，已知，求證：a2，b2，c2成等差數(shù)列求證：a2，b2，c2成等差數(shù)列七、板書設(shè)計（略）八、課后記： 正弦定理、余弦定理教學(xué)目標：1掌握正弦定理、余弦定理；2使學(xué)

4、生能初步運用它們解斜三角形，并會解決斜三角形的計算問題教學(xué)重點：正弦定理、余弦定理的運用教學(xué)難點：正弦定理、余弦定理的靈活運用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1正弦定理：在任一個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即= =2R（R為ABC外接圓半徑）2正弦定理的應(yīng)用 從理論上正弦定理可解決兩類問題： 1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角（見圖示）已知a, b和A, 用正弦定理求B時的各種情況:A為銳角:A為直角或鈍角:二、講解新課：1余弦定理 ：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍即 問題 對于任意一個

5、三角形來說，是否可以根據(jù)一個角和夾此角的兩邊，求出此角的對邊？推導(dǎo) 如圖在中，、的長分別為、 即同理可證 ，2余弦定理可以解決的問題利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角三、講解范例：例1在ABC中，已知a7，b10，c6，求A、B和C例2在ABC中，已知a2730，b3696，C8228，解這個三角形例 3 ABC三個頂點坐標為(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A例4 設(shè)=(x1, y1) =(x2, y2) 與的夾角為 （0），求證：x1x2+ y1y2=|cos四、課堂練習(xí)：1在ABC中，bCosA=

6、acosB，則三角形為( )A直角三角形 B銳角三角形C等腰三角形D等邊三角形2在ABC中，若a2b2+c2，則ABC為；若a2=b2+c2，則ABC為 ；若a2b2+c2且b2a2+c2且c2a2+b2，則ABC為 3在ABC中，sinA=2cosBsinC，則三角形為 4在ABC中，BC=3，AB=2，且，A= 五、小結(jié) 余弦定理及其應(yīng)用六、課后作業(yè)：1在ABC中，證明下列各式：（1）（a2b2c2）tanA（a2b2c2）tanB0(2) 2在ABC中，已知sinBsinCcos2，試判斷此三角形的類型3在ABC中，bcosAacosB試判斷三角形的形狀七、板書設(shè)計（略） 八、課后記：

7、5.9.3正弦定理、余弦定理教學(xué)目標：1進一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；2能夠應(yīng)用正、余弦定理進行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；3能夠利用正、余弦定理判斷三角形的形狀；4能夠利用正、余弦定理證明三角形中的三角恒等式教學(xué)重點：利用正、余弦定理進行邊角互換時的轉(zhuǎn)化方向教學(xué)難點:三角恒等式證明中結(jié)論與條件之間的內(nèi)在聯(lián)系的尋求教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：正弦定理：余弦定理： ，二、講授新課：1正余弦定理的邊角互換功能 對于正、余弦定理，同學(xué)們已經(jīng)開始熟悉，在解三角形的問題中常會用到它其實，在涉及到三角形的其他問題中，也常會用到它們兩個定理的特殊功能是邊角互換，即利用它們可以把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化

8、為邊的關(guān)系，從而使許多問題得以解決例1已知a、b為ABC的邊，A、B分別是a、b的對角，且，求的值解：(這是角的關(guān)系)， (這是邊的關(guān)系)于是，由合比定理得例2已知ABC中，三邊a、b、c所對的角分別是A、B、C，且a、b、c成等差數(shù)列求證：sinAsinC2sinB證明：a、b、c成等差數(shù)列，ac2b(這是邊的關(guān)系)又 將、代入，得整理得sinAsinC2sinB(這是角的關(guān)系)2正、余弦定理的巧用某些三角習(xí)題的化簡和求解，若能巧用正、余弦定理，則可避免許多繁雜的運算，從而使問題較輕松地獲得解決，現(xiàn)舉例說明如下：例3求sin220cos280sin20cos80的值解：原式sin220sin

9、2102sin20sin10cos1502010150180，20、10、150可看作一個三角形的三個內(nèi)角設(shè)這三個內(nèi)角所對的邊依次是a、b、c，由余弦定理得：a2b22abcos150c2（）而由正弦定理知：a2sin20，b2sin10，c2sin150，代入()式得：sin220sin2102sin20sin10cos150sin2150 原式例4在ABC中，三邊長為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三邊長()分析：由于題設(shè)條件中給出了三角形的兩角之間的關(guān)系，故需利用正弦定理建立邊角關(guān)系其中利用正弦二倍角展開后出現(xiàn)了cos，可繼續(xù)利用余弦定理建立關(guān)于邊長的方程，從而達到求邊

10、長的目的解：設(shè)三角形的三邊長分別為，1，2，其中*，又設(shè)最小角為，則 ,又由余弦定理可得2（1）2（2）22（1）（2）cos將代入整理得：2340解之得14，21(舍)所以此三角形三邊長為4，5，6評述： 此題所求為邊長，故需利用正、余弦定理向邊轉(zhuǎn)化，從而建立關(guān)于邊長的方程例5已知三角形的一個角為60，面積為10c2，周長為20c，求此三角形的各邊長分析：此題所給的題設(shè)條件除一個角外，面積、周長都不是構(gòu)成三角形的基本元素，但是都與三角形的邊長有關(guān)系，故可以設(shè)出邊長，利用所給條件建立方程，這樣由于邊長為三個未知數(shù)，所以需尋求三個方程，其一可利用余弦定理由三邊表示已知60角的余弦，其二可用面積公

11、式ABCabsinC表示面積，其三是周長條件應(yīng)用評述： (1)在方程建立的過程中，應(yīng)注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面積公式的應(yīng)用(2)由條件得到的是一個三元二次方程組，要注意要求學(xué)生體會其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及運算能力三、課堂練習(xí)：1在ABC中，已知B=30,b=50,c=150，那么這個三角形是( )A等邊三角形B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形2在ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，則此三角形為( )A直角三角形 B等腰三角形C等邊三角形 D等腰直角三角形3在ABC中，已知sinAsinBsinC=654，

12、則secA= 4ABC中，則三角形為 5在ABC中，角A、B均為銳角且cosAsinB，則ABC是 6已知ABC中，試判斷ABC的形狀7在ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判斷ABC的形狀參考答案：1D 2A 3 8 4等腰三角形5鈍角三角形 6等邊三角形 7等腰三角形或直角三角形四、小結(jié) 熟悉了正、余弦定理在進行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)換時的橋梁作用，并利用正、余弦定理對三角恒等式進行證明以及對三角形形狀進行判斷五、課后作業(yè)：1在ABC中，已知，求證：a2，b2，c2成等差數(shù)列2在ABC中，A30，cosB2sinBsinC(1)求證：ABC為等腰三角形；(提示BC

13、75)(2)設(shè)D為ABC外接圓的直徑BE與AC的交點，且AB2，求ADDC的值六、板書設(shè)計（略） 七、課后記： 正弦定理、余弦定理教學(xué)目標：1進一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；2能夠應(yīng)用正、余弦定理進行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；3能夠利用正、余弦定理判斷三角形的形狀；4能夠利用正、余弦定理證明三角形中的三角恒等式教學(xué)重點：利用正、余弦定理進行邊角互換時的轉(zhuǎn)化方向教學(xué)難點: 三角函數(shù)公式變形與正、余弦定理的聯(lián)系教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：正弦定理：余弦定理： ，二、講解范例：例1在任一ABC中求證：證：左邊=0=右邊例2 在ABC中，已知，B=45 求A、C及c解一：由正弦定理得：B=4590 即ba A=60

14、或120當A=60時C=75 當A=120時C=15 解二：設(shè)c=x由余弦定理 將已知條件代入，整理：解之： 當時 從而A=60 ，C=75 當時同理可求得：A=120 ，C=15例3 在ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的兩個根，且2cos(A+B)=1 求（1）角C的度數(shù) （2）AB的長度 （3）ABC的面積解：（1）cosC=cos(A+B)=cos(A+B)= C=120（2）由題設(shè)： AB2=AC2+BC22ACBCosC 即AB=（3）SABC=例4 在四邊形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的長解：在ABD

15、中，設(shè)BD=x則即 整理得：解之： （舍去）由余弦定理： 例5 ABC中，若已知三邊為連續(xù)正整數(shù)，最大角為鈍角，1求最大角 ; 2求以此最大角為內(nèi)角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積例6 在ABC中，AB5，AC3，D為BC中點，且AD4，求BC邊長分析：此題所給題設(shè)條件只有邊長，應(yīng)考慮在假設(shè)BC為后，建立關(guān)于的方程而正弦定理涉及到兩個角，故不可用此時應(yīng)注意余弦定理在建立方程時所發(fā)揮的作用因為D為BC中點，所以BD、DC可表示為，然用利用互補角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程評述：此題要啟發(fā)學(xué)生注意余弦定理建立方程的功能，體會互補角的余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應(yīng)用，并注意總結(jié)這一性質(zhì)的

16、適用題型另外，對于本節(jié)的例2，也可考慮上述性質(zhì)的應(yīng)用來求解sinA，思路如下：由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)可得，設(shè)BD5，DC3，則由互補角ADC、ADB的余弦值互為相反數(shù)建立方程，求出BC后，再結(jié)合余弦定理求出cosA，再由同角平方關(guān)系求出sinA三、課堂練習(xí)：1半徑為1的圓內(nèi)接三角形的面積為025，求此三角形三邊長的乘積2在ABC中，已知角B45，D是BC邊上一點，AD5，AC7，DC3，求AB3在ABC中，已知cosA，sinB，求cosC的值四、小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，我們進一步熟悉了三角函數(shù)公式及三角形的有關(guān)性質(zhì)，綜合運用了正、余弦定理求解三角形的有關(guān)問題，要求大家注意常見解題方法與解題技巧的

17、總結(jié)，不斷提高三角形問題的求解能力五、課后作業(yè)： 六、板書設(shè)計（略） 七、課后記解斜三角形應(yīng)用舉例教學(xué)目標：1會在各種應(yīng)用問題中抽象出三角形，標出已知量、未知量，確定解三角形的方法；2搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題的基本圖形和基本等量關(guān)系；3理解各種問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4通過解三角形的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提高解決實際問題的能力教學(xué)重點：實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化及解斜三角形的方法教學(xué)難點：實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1正弦定理：2余弦定理： ，3解三角形的知識在測量、航海、幾何、物理學(xué)等方面都有非常廣泛的應(yīng)用，如果我們抽去每

18、個應(yīng)用題中與生產(chǎn)生活實際所聯(lián)系的外殼，就暴露出解三角形問題的本質(zhì)，這就要提高分析問題和解決問題的能力及化實際問題為抽象的數(shù)學(xué)問題的能力下面，我們將舉例來說明解斜三角形在實際中的一些應(yīng)用二、講解范例：例1 自動卸貨汽車的車箱采用液壓結(jié)構(gòu)，設(shè)計時需要計算油泵頂桿BC的長度已知車箱的最大仰角為60，油泵頂點B與車箱支點A之間的距離為195，AB與水平線之間的夾角為620，AC長為140，計算BC的長(保留三個有效數(shù)字)分析：求油泵頂桿BC的長度也就是在ABC內(nèi)，求邊長BC的問題，而根據(jù)已知條件，AC140，AB195，BAC606206620相當于已知ABC的兩邊和它們的夾角，所以求解BC可根據(jù)余弦

19、定理例2某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出求救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45、距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105的方向，以9海里的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里的速度前去營救，試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進?并求出靠近漁船所用的時間分析：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時間為 ，則利用余弦定理建立方程來解決較好，因為如圖中的1，2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用表示，故可看成是一個已知兩邊夾角求第三邊問題評述：解好本題需明確“方位角”這一概念，方位角是指由正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，其范圍是（0，360）在利用余弦定理建立方程求出

20、后，所求艦艇方位角就轉(zhuǎn)化為一個已知三邊求角的問題，故仍然利余弦定理例3用同樣高度的兩個測角儀AB和CD同時望見氣球E在它們的正西方向的上空，分別測得氣球的仰角是和，已知B、D間的距離為a，測角儀的高度是b，求氣球的高度分析：在RtEGA中求解EG，只有角一個條件，需要再有一邊長被確定，而EAC中有較多已知條件，故可在EAC中考慮EA邊長的求解，而在EAC中有角，EAC180兩角與BDa一邊，故可以利用正弦定理求解EA評述：此題也可以通過解兩個直角三角形來解決，思路如下：設(shè)EG，在RtEGA中，利用cot表示AG；在RtEGC中，利用cot表示CG，而CGAGCABDa，故可以求出EG，又GFC

21、Db，故EF高度可求例4如圖，已知半圓的直徑AB2，點C在AB的延長線上，BC1，點P為半圓上的一個動點，以DC為邊作等邊PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值分析：要求四邊形OPDC面積的最大值，這首先需要建立一個面積函數(shù)，問題是選誰作為自變量，注意到動點P在半圓上運動與POB大小變化之間的聯(lián)系，自然引入POB作為自變量建立函數(shù)關(guān)系四邊形OPDC可以分成OPC與等邊PDC，OPC可用OPOCsin表示，而等邊PDC的面積關(guān)鍵在于邊長求解，而邊長PC可以在POC中利用余弦定理表示，至于面積最值的獲得，則通過三角函數(shù)知識解決三、課堂練習(xí)：1如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東

22、45方向，距A處(1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以10海里時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里時的速度，從B處向北偏東30方向逃竄問：輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時間四、小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家在了解解斜三角形知識在實際中的應(yīng)用的同時，掌握由實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，并提高解三角形問題及實際應(yīng)用題的能力五、課后作業(yè)：六、板書設(shè)計（略） 七、課后記：解斜三角形應(yīng)用舉例教學(xué)目標：1進一步掌握正、余弦定理解斜三角形方法，明確解斜三角形在實際中廣泛的應(yīng)用；2熟練掌握實際問題向解斜三角形類型的轉(zhuǎn)化；3通過解斜三角形的應(yīng)

23、用的教學(xué)，繼續(xù)提高運用所學(xué)知識解決實際問題的能力教學(xué)重點：1實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化；2解斜三角形的方法教學(xué)難點：實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：上一節(jié)，我們一起學(xué)習(xí)了解三角形問題在實際中的應(yīng)用，了解了一些把實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題的方法，掌握了一定的解三角形的方法與技巧這一節(jié)，繼續(xù)給出幾個例題，要求大家嘗試用上一節(jié)所學(xué)的方法加以解決二、講解范例： 例1如圖，是曲柄連桿機的示意圖當曲柄CB0繞C點旋轉(zhuǎn)時，通過連桿AB的傳遞，活塞作直線往復(fù)運動當曲柄在CB0位置時，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點A在AO處設(shè)連桿AB長為340 ，曲柄CB長為85 ，曲柄自CB0按順時針

24、方向旋轉(zhuǎn)80，求活塞移動的距離(即連桿的端點A移動的距離A0A)(精確到1 )分析：如圖所示，因為A0AAOCAC，又知AOCABBC34085425，所以只要求出AC的長，問題就解決了在ABC中，已知兩邊和其中一邊的對角，可由正弦定理求出AC評述：注意在運用正弦定理求角時應(yīng)根據(jù)三角形的有關(guān)性質(zhì)具體確定角的范圍要求學(xué)生注意解題步驟的總結(jié)：用正弦定理求A求B 求AC求AOA例2 如圖，為了測量河對岸A、B兩點間的距離，在這一岸定一基線CD，現(xiàn)已測出CDa和ACD，BCD，BDC，ADC，試求AB的長分析：如圖所示：對于AB求解，可以在ABC中或者是ABD中求解，若在ABC中，由ACB，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解而AC可在ACD內(nèi)利用正弦定理求解，BC可在BCD內(nèi)由正弦定理求解評述：(1)要求熟練掌握正、余弦定理的應(yīng)用(2)注意體會例2求解過程在實際中的應(yīng)用例3 據(jù)氣象臺預(yù)報，距S島300 的A處有一臺風(fēng)中心形成，并以每小時30的速度向北偏西30的方向移動，在距臺風(fēng)中心270 以內(nèi)的地區(qū)將受到臺風(fēng)的影響問：S島是否受