向量積數(shù)量積混合積高等數(shù)學學習教案

1、會計學1向量積數(shù)量向量積數(shù)量(shling)積混合積高等數(shù)學積混合積高等數(shù)學第一頁，共27頁。,0時當a上的投影為在ab記作故,0,時當同理babj rPb2. 性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)為兩個(lin )非零向量,則有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba機動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共27頁第二頁，共27頁。(1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事實上, 當0c時, 顯然(xinrn)成立 ;時當0cc

2、)(ba babcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac機動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第3頁/共27頁第三頁，共27頁。ABCabccos2222abbac證證:則cos2222abbac如圖 . 設(shè),aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,機動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第4頁/共27頁第四頁，共27頁。設(shè)則, 10zzyyxxbababa當為非零向量(xingling)時,cos zzyyxxbababa222zyx

3、aaa222zyxbbb由于(yuy) bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjikbaba baba,兩向量的夾角公式 , 得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共27頁第五頁，共27頁。)(MB, )(MA BM, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1則AMBcos10022213AMB求MBMAMAMB故機動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第6頁/共27頁第六頁，共27頁。為 ) .求單位時間內(nèi)流過

4、該平面域的流體(lit)的質(zhì)量P (流體(lit)密度的流體(lit)流過一個面積為 A 的平面域 ,與該平面域的單位垂直向量,A解解:單位時間內(nèi)流過的體積APAA的夾角為且vvncosvcosvnv vnn為單位向量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共27頁第七頁，共27頁。引例引例. 設(shè)設(shè)O 為杠桿為杠桿(gnggn)L 的支點的支點 ,有一個(y )與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規(guī)則OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一個向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點上 ,則力 F 作用在杠桿上的力FoPFMFM 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共27頁第

5、八頁，共27頁。定義(dngy)向量(xingling)方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右圖三角形面積abba21S機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共27頁第九頁，共27頁。為非零向量(xingling), 則，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時當baba0basinab03. 運算運算(yn sun)律律(2) 分配律(3) 結(jié)合律(證明略)abcba)(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (證明證明:機動 目錄 上

6、頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共27頁第十頁，共27頁。)(kajaiazyx)(kbjbibzyx設(shè)則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk機動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第11頁/共27頁第十一頁，共27頁。kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxy

7、yx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式計算(j sun)見 P339P342 ) 機動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第12頁/共27頁第十二頁，共27頁。, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積(min j) 解解: 如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共27頁第十三頁，共27頁。一點(y din) M 的線速度導出剛體(gngt)上 的表示式 . Ml解解: 在軸 l 上引進

8、一個角速度向量使a其在 l 上任取一點 O,O作它與則點 M離開轉(zhuǎn)軸的距離a且符合右手法則的夾角為 , ,sinar, rOM vsinr,vr rvvv方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則 ,r向徑機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共27頁第十四頁，共27頁。1. 定義定義(dngy)已知三向量(xingling)稱數(shù)量混合積混合積 .記作幾何意義幾何意義 為棱作平行六面體,底面積高h故平行六面體體積為hAV coscba)(cba,cba的為cba,Abaccba,以則其cosbaccba)(cbabacba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共27頁第十五頁，共27頁。zyx

9、zyxbbbaaaxcyczckji設(shè)xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共27頁第十六頁，共27頁。(1) 三個非零向量(xingling)共面的充要條件是0(2) 輪換(lnhun)對稱性 :(可用三階行列式推出)cbacba,a b cab ca bcabc機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共27頁第十七頁，共27頁。),(kk

10、kkzyxA,3,2, 1( k4 ) , 求該四面體體積(tj) . 1A2A3A4A解解: 已知四面體的體積等于已知四面體的體積等于(dngy)以向量以向量為棱的平行六面體體積的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共27頁第十八頁，共27頁。, )3,3,2(),6,5,4(, )1 , 1 , 1(CBA共面 .解解: 因0)17,15,10(DABCD34512291416故 A , B , C , D 四點共面 .

11、ADACAB機動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第19頁/共27頁第十九頁，共27頁。設(shè)1. 向量(xingling)運算加減(ji jin):數(shù)乘:點積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積:kjixayazaxbybzbba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共27頁第二十頁，共27頁。2. 向量(xingling)關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,

12、0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0ba第21頁/共27頁第二十一頁，共27頁。1. 設(shè)計算(j sun)并求夾角 的正弦(zhngxin)與余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法證明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共27頁第二十二頁，共27頁。AcbsinBacsinBbAasinsin所以(suy)CcsinCbasin因BabcACABACSABC21BCBA21CACB

13、21ABAC BCBACACB機動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第23頁/共27頁第二十三頁，共27頁。 作業(yè)作業(yè)(zuy) P310 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第24頁/共27頁第二十四頁，共27頁。22343cos322)2(171. 已知向量已知向量(xingling)的夾角(ji jio)且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁/共27頁第二十五頁，共27頁。22200)2(211ABCD在頂點(dngdin)為三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 ,