還原問題二教師版

1、6-1-2.還原問題（二）教學(xué)目標(biāo)本講主要學(xué)習(xí)還原問題通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生掌握倒推法的解題思路以及方法，并會運用倒推法解決問題1. 掌握用倒推法解單個變量的還原問題2. 了解用倒推法解多個變量的還原問題3. 培養(yǎng)學(xué)生“倒推”的思想知識點撥一、還原問題已知一個數(shù)，經(jīng)過某些運算之后，得到了一個新數(shù)，求原來的數(shù)是多少的應(yīng)用問題，它的解法常常是以新數(shù)為基礎(chǔ)，按運算順序倒推回去，解出原數(shù)，這種方法叫做逆推法或還原法，這種問題就是還原問題還原問題又叫做逆推運算問題解這類問題利用加減互為逆運算和乘除互為逆運算的道理，根據(jù)題意的敘述順序由后向前逆推計算在計算過程中采用相反的運算，逐步逆推二、解還原問題

2、的方法在解題過程中注意兩個相反：一是運算次序與原來相反；二是運算方法與原來相反方法：倒推法?？谠E：加減互逆，乘除互逆，要求原數(shù)，逆推新數(shù)關(guān)鍵：從最后結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理，每一步運算都是原來運算的逆運算，即變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘列式時還要注意運算順序，正確使用括號.例題精講模塊一、單個變量的還原問題【例 1】 剛打完籃球，冬冬覺得非?？?，就拿起一大瓶礦泉水狂喝他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的，第三口則喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五口喝了剩下的此時瓶子里還剩0.5升礦泉水，那么最開始瓶子里有幾升礦泉水？【考點】單個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解

3、答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 最開始瓶子里有礦泉水：（升）【答案】升【例 2】 李白提壺去買灑，遇店加一倍，見花喝一斗。三遇店和花，喝光壺中酒。壺中原有（ ）斗酒?！究键c】單個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】可逆思想方法，走美杯，六年級【解析】 設(shè)李白壺中原有斗酒，則三次經(jīng)過店和花之后變?yōu)榧磯刂性卸肪?【答案】斗【例 3】 有60名學(xué)生，男生、女生各30名，他們手拉手圍成一個圓圈如果讓原本牽著手的男生和女生放開手，可以分成18個小組那么，如果原本牽著手的男生和男生放開手時，分成了_ _個小組【考點】單個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，四年級

4、，初賽，3題【解析】 方法一：男生和女生放手分成個組，說明有男生被計算次，男生與男生放開手后分成的組數(shù)和男生數(shù)相同，但是因為是圍成了一圈，所以剛剛計算人數(shù)會被算成了兩次，所以按照逆推的原則，原來有男生人，被計算（次），所以（次）分成了組。方法二：名學(xué)生圍成圈，每個人與相鄰的同學(xué)牽手，那么有對牽著的手，其中男生與女生牽手的有對，假設(shè)男生與男生牽手的有人，那么，參與圍圈的男生一共有人，所以，那么原來牽手的男生和男生放手，分成了個小組【答案】個小組模塊二、多個變量的還原問題【例 4】 甲、乙、丙、丁四個學(xué)習(xí)小組共有圖書280本，班主任老師提議讓四個組的書一樣多，得到擁護，于是從甲調(diào)14本給乙，從乙調(diào)

5、15本給丙，從丙調(diào)17本給丁，從丁調(diào)18本給甲。這時四個組的書一樣多。這說明甲組原來有書_ 本?！究键c】多個變量的還原問題 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】 甲得到4本，乙失去1本，丙失去2本，丁失去1本后，四個人書一樣多，為2804=70，所以甲原來有70-4=66本書【答案】本書【例 5】 一群小神仙玩扔沙袋游戲，他們分為甲、乙兩個組，共有140只沙袋如果甲組先給乙組5只，乙組又給甲組8只，這時兩組沙袋數(shù)相等兩個組原來各有沙袋多少只?【考點】多個變量的還原問題 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 甲乙兩組的沙袋經(jīng)歷了兩次交換第二次交換后

6、兩組沙袋相等，又知沙袋總數(shù)為140只，所以這時兩組各有沙袋70只解答時可以從開始倒推列表倒推如下：解決此類問題的關(guān)鍵是找到從哪里開始倒推因為甲乙兩組的沙袋經(jīng)歷了兩次交換后數(shù)量相等，所以應(yīng)從兩組各有沙袋70只開始倒推【答案】甲，乙【鞏固】 甲、乙兩班各要種若干棵樹，如果甲班拿出與乙班同樣多的樹給乙班，乙班再從現(xiàn)有的樹中也拿出與甲班同樣多的樹給甲班，這時兩班恰好都有28棵樹，問甲、乙兩班原來各有樹多少棵？【考點】多個變量的還原問題 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 如果后來乙班不給與甲班同樣多的樹，甲班應(yīng)有樹（棵），乙班有（棵），如果開始不從甲班拿出與乙班同樣多的樹，乙班原

7、有樹（棵），甲班原有樹（棵）列表倒推如下:【答案】甲班原有樹棵，乙班原有樹棵【例 6】 有甲、乙兩堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆現(xiàn)在按如下方法移動棋子：第一次從甲堆中拿出和乙堆一樣多的棋子放到乙堆；第二次從乙堆中拿出和甲堆剩下的同樣多的棋子放到甲堆；第三次又從甲堆中拿出和乙堆同樣多的棋子放到乙堆照此移法，移動三次后，甲、乙兩堆棋子數(shù)恰好都是32個問甲、乙兩堆棋子原來各有多少個？【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 我們從最后一步倒著分析因為第三次是從甲堆拿出棋子放到乙堆，這樣做的結(jié)果是兩堆棋子都是32個，因此，在未進行第三次移動之前，乙堆只有(個)

8、棋子，而甲堆的棋子數(shù)是(個)，這樣再逆推下去，逆推的過程可以用下表來表示，表中的箭頭表示逆推的方向所以，甲堆原有44個棋子；乙堆原有20個棋子采用列表法非常清楚【答案】甲乙兩堆棋子原來各有個和個【鞏固】 有一個兩層書架，一共擺放224本書，先從上層取出與下層本數(shù)同樣多的書放入下層，再從下層現(xiàn)有書中，取出與上層剩下的本數(shù)同樣多的書放入上層，這算進行了一輪調(diào)整若如此共進行了兩輪調(diào)整后，兩層擺放書的本數(shù)相等，上層書架原來擺放_本書,下層書架原來擺放_本書【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，3年級，第8題，可逆思想方法【解析】 還原法 結(jié)果：上層 112 本；下層

9、 112 本 上層 本；下層 本 上層 140 本；下層 84 本 上層 70 本；下層 154 本 上層 147 本；下層 77 本【答案】上層本，下層本【例 7】 三人有不等的存款，只知如果甲給乙40元，乙再給丙30元，丙再給甲20元，給乙70元，這樣三人各有240元，三人原來各有存款多少元？【考點】多個變量的還原問題 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 甲：（元）； 乙：（元）；丙：【答案】甲元， 乙元，丙元【鞏固】 小巧、小亞、小紅共有個玻璃球，小巧給小亞個，小亞給小紅個，小紅給小巧個，他們的玻璃球個數(shù)正好相等小巧、小亞、小紅原來各有多少個玻璃球？【考點】多個變量

10、的還原問題 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 由已知條件可知，小巧比原來多了個，小亞比原來多了個，小紅少了個，三人一樣多時，都是（個），所以小巧原來有（個），小亞原來有（個），小紅原來有（個）【答案】所以小巧原來有個，小亞原來有個，小紅原來有個【例 8】 三棵樹上共有36只鳥，有4只鳥從第一棵樹上飛到第二棵樹上，有8只鳥從第二棵樹上飛到第三棵樹上，有10只鳥從第三棵樹上飛到第一棵樹上，這時，三棵樹上的鳥同樣多原來每棵樹上各有幾只鳥?【考點】多個變量的還原問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 這道題要采用倒推法，最后三棵樹上的鳥同樣多，那每棵數(shù)上

11、就是（只），第一棵樹上的鳥，先是飛了4只到第二棵樹上，然后又有10只飛了回來，現(xiàn)在和原來比小鳥增加了6只，這樣比較就能求出第一棵樹上小鳥的只數(shù)；第二棵樹上的鳥，先是飛來了4只，然后又有飛走了8只，現(xiàn)在和原來比少了4只，這樣比較就能求出第二棵樹上小鳥的只數(shù)；第三棵樹上的鳥，先是飛來了8只，然后又飛走了10只，現(xiàn)在和原來比少了1只，這樣比較就能求出第三棵樹上小鳥的只數(shù)列式：現(xiàn)在一樣多的：（只），第一棵樹上的小鳥只數(shù)：（只）或 （只），第二棵樹上的小鳥只數(shù)：（只）或（只），第三棵樹上的小鳥只數(shù)：（只）或（只）原來第一棵樹上有6只小鳥，第二棵樹上有16只小鳥，第三棵樹上有14只小鳥【答案】原來第一棵樹

12、上有6只小鳥，第二棵樹上有16只小鳥，第三棵樹上有14只小鳥【鞏固】 三棵樹上共有27只鳥，從第一棵飛到第二棵2只，從第二棵飛到第三棵3只，從第三棵飛到第一棵4只，這時，三棵樹上的鳥同樣多原來每棵樹上各有幾只鳥？【考點】多個變量的還原問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 三棵樹上的鳥同樣多的只數(shù)：（只），第一棵數(shù)上鳥的只數(shù)：（只），第二棵數(shù)上鳥的只數(shù)：（只），第三棵數(shù)上鳥的只數(shù)：（只），第一棵數(shù)上有7只鳥，第二棵數(shù)上有10只鳥，第三棵數(shù)上有10只鳥【答案】第一棵數(shù)上有7只鳥，第二棵數(shù)上有10只鳥，第三棵數(shù)上有10只鳥【鞏固】 3個籠子里共養(yǎng)了78只鸚鵡，如果從第1個籠

13、子里取出8只放到第2個籠子里，再從第2個籠子里取出6只放到第3個籠子里，那么3個籠子里的鸚鵡一樣多求3個籠子里原來各養(yǎng)了多少只鸚鵡?【考點】多個變量的還原問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 3個籠子里的鸚鵡不管怎樣取，78只的總數(shù)始終不變變化后“3個籠子里的鸚鵡一樣多”，可以求出現(xiàn)在每個籠里的是（只）根據(jù)“從第1個籠子里取出8只放到第2個籠子里”，可以知道第1個籠子里原來養(yǎng)了（只）；再根據(jù)“從第2個籠子里取出6只放到第3個籠子里”，得出第個籠子里有：（只），第3個籠子里原有（只）【答案】第1個籠子里原來養(yǎng)了只，第個籠子里有只，第3個籠子里原有只。【鞏固】 3個籠子里

14、共養(yǎng)了36只兔子，如果從第1個籠子里取出8只放到第2個籠子里，再從第2個籠子里取出6只放到第3個籠子里，那么3個籠子里的兔子一樣多求3個籠子里原來各養(yǎng)了多少只兔子？【考點】多個變量的還原問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 3個籠子里的兔子不管怎樣取，36只的總數(shù)始終不變變化后“3個籠子里的兔子一樣多”，可以求出現(xiàn)在每個籠里的兔子是（只）根據(jù)“從第1個籠子里取出8只放到第2個籠子里”，可以知道第1個籠子里原來養(yǎng)了（只）；再根據(jù)“從第2個籠子里取出6只放到第3個籠子里”，所以第3個籠子里原有：（只），第個籠子里原有：(只)【答案】第1個籠子里原來養(yǎng)了只，第個籠子里原有只

15、，第3個籠子里原有只?！纠?9】 張、王、李、趙四個小朋友共有課外讀物200本，為了廣泛閱讀，張給王13本，王給李18本，李給趙16本，趙給張2本這時4個人的本數(shù)相等他們原來各有多少本？【考點】多個變量的還原問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 解這道題應(yīng)該先明白這樣一個道理，他們共有課外讀物200本，經(jīng)過互相交換后，這200本書的總數(shù)沒有變化，仍然是200本后來這4個人的本數(shù)相等時，每個人的本數(shù)是(本)用倒推法，求每個人原來各有多少本書，可以從最后結(jié)果50本開始，把給出的本數(shù)加上，收進的本數(shù)減去，就得到各人原有課外讀物的本數(shù)張原有讀物的本數(shù)：(本)王原有讀物的本數(shù)：

16、(本)李原有讀物的本數(shù)：(本)趙原有讀物的本數(shù)：(本)【答案】張原有讀物本，王原有讀物本，李原有讀物本，趙原有讀物本。【例 10】 解放軍某部參加抗震救災(zāi)，從第一隊抽調(diào)一半人支援第二隊，抽調(diào)35人支援第三隊，又抽調(diào)剩下的一半支援第四隊，后來又調(diào)進8人，這時第一隊還有30人，求第一隊原有多少人？【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 由條件“后來又調(diào)進人”和“這時第一隊還有人”，可知不調(diào)進人有(人)由“又抽調(diào)剩下的一半支援第四隊”后還有人，可知如果不抽調(diào)人去支援第四隊，一隊有(人)；由“抽調(diào)人支援第三隊”后還有人，可知之前有(人)；由“從第一隊抽調(diào)一

17、半人支援第二隊”后還有人，可知第一隊原有(人)列式為：(人)還原問題有一個基本方法：列表法，教師可以再用列表法重新理一下題目?！敬鸢浮咳恕纠?11】 科學(xué)課上，老師說：“土星直徑比地球直徑的9倍多4800千米，土星直徑除以24等于水星直徑，水星直徑加上2000千米是火星直徑，火星直徑除以2減去500千米等于月亮的直徑，月亮直徑是3000千米.”請你算一算，地球的直徑是多少？【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 先求土星直徑：(千米)再求地球直徑：(千米)，即：地球的直徑是12800千米.【答案】千米【例 12】 有18塊磚，哥哥和弟弟爭著去搬弟弟

18、搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕到了哥哥看弟弟搬得太多，就搶過一半弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半，這時爸爸走過來，他從哥哥那拿走一半少2塊，從弟弟那兒拿走一半多2塊，結(jié)果是爸爸比哥哥多搬了3塊，哥哥比弟弟多搬了3塊問最初弟弟準(zhǔn)備搬多少塊?【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 先來看看最后爸爸、哥哥、弟弟各搬了多少塊磚如果爸爸給弟弟塊，那么3個人搬的磚數(shù)就一樣多了，都等于哥哥搬的磚數(shù)，所以最后哥哥搬了(塊)，弟弟搬了(塊)，爸爸搬了(塊)爸爸從弟弟處搬了一半多2塊，所以，爸爸從弟弟處搬之前，弟弟的磚數(shù)是(塊)，哥哥的磚數(shù)是(塊)；弟弟從哥哥處搬了一半，這

19、“一半”應(yīng)與哥哥剩下的磚數(shù)一樣，是8塊，所以，弟弟從哥哥處搬之前，哥哥的磚數(shù)是(塊)，那時，弟弟的磚數(shù)是(塊)；哥哥從弟弟處搬了一半，這“一半”應(yīng)與弟弟剩下的磚數(shù)一樣，是2塊所以，哥哥從弟弟處搬之前，弟弟處的磚數(shù)是(塊)，那時，哥哥的磚數(shù)是(塊)所以，最初，弟弟準(zhǔn)備搬4塊磚即：最后，爸爸、哥哥和弟弟分別搬了多少塊磚：哥哥：(塊)，爸爸：(塊)，弟弟：(塊)爸爸從哥哥、弟弟處搬之前，哥哥、弟弟各有多少塊：哥哥：(塊)， 弟弟：(塊)弟弟從哥哥處搬之前，哥哥、弟弟各有多少塊：哥哥：(塊)，弟弟：(塊)哥哥從弟弟處搬之前，哥哥、弟弟各有多少塊：弟弟：(塊)，哥哥：(塊)【答案】塊【鞏固】 有磚26塊

20、，兄弟二人爭著去挑弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕到了哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊，這時哥哥比弟弟多挑2塊問最初弟弟準(zhǔn)備挑多少塊？【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 先算出最后各挑幾塊：（和差問題）哥哥是（塊），弟弟是（塊），然后來還原： 哥哥還給弟弟5塊：哥哥是（塊），弟弟是（塊）； 弟弟把搶走的一半還給哥哥：搶走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就應(yīng)該是（塊），弟弟是（塊）； 哥哥把搶走的一半還給弟弟：那么弟弟原來就是（塊）【答案】塊【例 13】 口渴的三個和尚分別捧著一個水罐最

21、初，老和尚的水最多，并且有一個和尚沒水喝于是，老和尚把自己的水全部平均分給了大、小兩個和尚；接著，大和尚又把自己的水全部平均分給了老、小兩個和尚；然后，小和尚又把自己的水全部平均分給了另外兩個和尚就這樣，三人輪流謙讓了一陣結(jié)果太陽落山時，老和尚的水罐里有10升水，小和尚的水罐則裝著20升水請問：最初大和尚的水罐里有多少升水？【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 首先，因為每次分水都是全部平分給另外兩個人，所以每次分完水以后分水的人自己一定沒有水了于是太陽落山時老和尚、大和尚和小和尚分別有水10、0、20升列表分析如下：回到最后的狀態(tài)，于是發(fā)現(xiàn)三個

22、人的水量是循環(huán)變化的，一共只有這三種狀態(tài)又因為已知最初老和尚水最多，所以最初的狀態(tài)與倒數(shù)第二次分水前相同所以大和尚的水罐里最初有10升水【答案】升【例 14】 兄弟三人分24個桔子，每人所得個數(shù)分別等于他們?nèi)昵案髯缘臍q數(shù).如果老三先把所得的桔子的一半平分給老大與老二，接著老二把現(xiàn)有的桔子的一半平分給老三與老大，最后老大把現(xiàn)有的桔子的一半平分給老二與老三，這時每人的桔子數(shù)恰好相同.問：兄弟三人的年齡各多少歲？【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 由于總共有24個桔子，最后三人所得到的桔子數(shù)相等，因此每人最后都有(個)桔子.由此列表逆推如下表：由上

23、表看出，老大、老二、老三原來分別有桔子13，7，4個，現(xiàn)在的年齡依次為16，10，7歲.逆推時注意，拿出桔子的人其桔子數(shù)減少了一半，逆推時應(yīng)乘以2；另兩人各增加拿出桔子的人拿出桔子數(shù)的一半，逆推時應(yīng)減去拿出桔子數(shù)的一半【答案】三個人的年齡依次為16，10，7歲【例 15】 甲、乙、丙3人共有192張郵票從甲的郵票中取出乙那么多給乙后，再從乙的郵票中取出丙那么多給丙，最后從丙的郵票中取出甲那么多給甲，這時甲、乙、丙3人郵票數(shù)相同，甲、乙、丙原來各有多少張？【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 甲、乙、丙原共有192張郵票，經(jīng)過三次交換后，甲乙丙三人

24、仍有郵票192張，而且三人郵票數(shù)相同，即3人各有郵票：（張）第三次交換從丙的郵票中取出甲那么多給甲，說明這次交換前甲有郵票（張），丙有郵票：（張），依此類推，就可以推出答案了最后相等時各有（張），列表倒推如下：【答案】甲、乙、丙原有郵票數(shù)依次為，張【鞏固】 有甲、乙、丙三堆蘋果共96個，第一次從甲堆中取出與乙堆一樣多的蘋果放入乙堆；第二次再從乙堆中取出與丙堆一樣多的蘋果放入丙堆；第三次從丙堆中取出與甲堆剩下的蘋果數(shù)相同的蘋果放入甲堆中，這時三堆蘋果數(shù)相等原來甲堆有 個蘋果，乙堆有 個蘋果，丙對有 個蘋果【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，2年級，第12題，

25、可逆思想方法【解析】 如下表：【答案】甲，乙，丙【例 16】 七個人都各有一些珠子。從開始依序進行以下操作，每次都分給其他六個人與他們當(dāng)時手中現(xiàn)有珠子數(shù)量一樣多的珠子。當(dāng)操作后，每個人手中都恰好各有顆珠子，請問原先有多少顆珠子？【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法，2008年，臺灣，小學(xué)數(shù)學(xué)競賽【解析】 本題應(yīng)該采用倒推法，我們用表格形象的表示、于是之前的珠子個數(shù)是顆。本題沒有要求求出全部七個人之前的珠子個數(shù)，所以也可以簡化一下求解過程，因為最終結(jié)果有顆珠子，所以在操作之前，的珠子個數(shù)應(yīng)該減半為顆，在操作前應(yīng)該再減半為顆，在操作前應(yīng)該再減半到顆，在操作前

26、，其余所有人的珠子應(yīng)該都只有操作后的一半，也就是其他所有人的珠子數(shù)目應(yīng)該減半，也就是，這些都是分給他們的，所以在操作前，應(yīng)該有顆珠子，于是在操作前，的珠子應(yīng)該減半到，于是在操作前，的珠子數(shù)應(yīng)該減半到，于是在操作前，的珠子數(shù)目應(yīng)該減半到顆。也就是說之前的珠子數(shù)目是顆。【答案】顆【例 17】 一班、二班、三班各有不同數(shù)目的圖書如果一班拿出本班的一部分圖書分給二班、三班，使這兩個班的圖書各增加一倍；然后二班也拿出一部分圖書分給一班、三班，使這兩個班的圖書各增加一倍；接著三班也拿出一部分圖書分給一班、二班，使這兩個班的圖書各增加一倍這時，三個班的圖書數(shù)目都是48本求三個班原來各有圖書多少本？【考點】多

27、個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 我們可采用倒推法，再結(jié)合列舉法進行分析推理在每一次重新變化后，三個班的圖書總數(shù)目是一個不變的數(shù)，由此，可從最后三個班的圖書數(shù)目都是48本出發(fā)進行倒推，求每一次重新變化以前三個班各自的圖書數(shù)目，逐步倒推出原有的圖書數(shù)目依據(jù)題意可知，一班、二班的圖書數(shù)目各增加一倍才是48本，因此增加前各應(yīng)有24本，所以一班、二班的圖書數(shù)目各應(yīng)減半，還給三班其余各次，以此類推，把倒推解答的過程用下表表示：【答案】三個班原來各有圖書本，本，本【鞏固】 3個探險家結(jié)伴去原始森林探險，路上覺得十分乏味就聚在一起玩牌第一局，甲輸給了乙和丙，使他們每

28、人的錢數(shù)都翻了一番第二局，甲和乙一起贏了，這樣他們倆錢袋里面的錢也都翻了倍第三局，甲和丙又贏了，這樣他們倆錢袋里的錢都翻了一倍結(jié)果，這3位探險家每人都贏了兩局而輸?shù)袅艘痪?，最?人手中的錢是完全一樣的細(xì)心的甲數(shù)了數(shù)他錢袋里的錢發(fā)現(xiàn)他自己輸?shù)袅?00元你能推算出來甲、乙、丙3人剛開始各有多少錢嗎？【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 假設(shè)最后每個人手中的錢是8份，三人總共24份，利用倒推法從開始到最后甲的份數(shù)少了份，說明每份是元所以剛開始時，甲有(元)，乙有(元)，丙有(元)【答案】剛開始時甲有元，乙有元，丙有元【鞏固】 A、B、C三個油桶各盛油若

29、干千克第一次把A桶的一部分油倒入B、C兩桶，使B、C兩桶內(nèi)的油分別增加到原來的2倍；第二次從B桶把油倒入C、A兩桶，使C、A兩桶內(nèi)的油分別增加到第二次倒之前桶內(nèi)油的2倍；第三次從C桶把油倒入A、B兩桶，使A、B兩桶內(nèi)的油分別增加到第三次到之前桶內(nèi)油的2倍，這樣，各桶的油都為16千克問A、B、C三個油桶原來各有油多少千克？【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法，第四屆，小數(shù)報【解析】 用“倒推法”列出下表，從表中可以看出：原來A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克【答案】原來A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克【鞏固】 乙丙三人各有

30、糖豆若干粒，甲從乙處取來一些，使自己的糖豆增加了一倍；接著乙從丙處取來一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再從甲處取來一些，也使自己的糖豆增加了一倍現(xiàn)在三人的糖豆一樣多如果開始時甲有51粒糖豆，那么乙最開始有多少粒糖豆？【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 先假設(shè)后來三個人都是4份，還原后得到甲、乙、丙分別是3份，5份，4份，實際上甲原來有51粒，那么我們可以把1份看成17粒，所以乙最開始有糖豆（粒）【答案】?！眷柟獭?甲、乙、丙三人各有銅板若干枚，開始甲把自己的銅板拿出一部分給乙、丙，使乙、丙的銅板數(shù)各增加了1倍；乙把自己的銅板拿出一部分給甲、丙

31、，使甲、丙的銅板數(shù)各增加了1倍；丙把自己的銅板拿出一部分給乙、甲，使乙、甲的銅板數(shù)各增加了1倍，這時三人銅板數(shù)都是8枚，原來每人各有幾枚？【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 甲13枚，乙7枚，丙枚【答案】甲13枚，乙7枚，丙枚【例 18】 三個容器各放一些水，第一次從第一個容器倒一些水到另兩個容器，使得它們的水分別增加到原來的2倍與3倍，第二次從第二個容器倒一些水到第一個與第三個容器中，使它們的水分別增加到3倍與2倍，第三次從第三個容器中倒一些水到第一個與第二個容器中，使它們的水都增加到2倍，這時三個容器中的水都為96毫升，原來三個容器中各有多

32、少毫升水？【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 可以列一個表，使每一步之間的關(guān)系一目了然，下列的表是從后面向前倒推的，具體的填法見下面的解答。先在第一行填上三個96，第二行的前2個數(shù)是，第3個數(shù)是，第三行的第1個數(shù)是，第3個數(shù)是，第2個數(shù)是，第四行第2個數(shù)是，第3個數(shù)是，第1個數(shù)是，三個容器原來有水168毫升、88毫升、32毫升?！敬鸢浮咳齻€容器原來分別有水168毫升、88毫升、32毫升【例 19】 某工廠有、五個車間，人數(shù)各不相等由于工作需要，把車間工人的調(diào)入車間，車間工人的調(diào)入車間，車間工人的調(diào)入車間，車間工人的調(diào)入車間現(xiàn)在五個車間都是30人

33、原來每個車間各有多少人？【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】 采用倒推法，列表如下所以原來、車間分別有11、38、33、32、36個工人解這種還原問題的關(guān)鍵是從最后結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理，每一步運算都是原來運算的逆運算，即變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘列式時還要注意運算順序，正確使用括號，這種逆向思維的方法是數(shù)學(xué)中常用的思維方法【答案】原來、車間分別有11、38、33、32、36個工人【例 20】 老師在黑板上寫了三個不同的整數(shù)，小明每次先擦掉第一個數(shù)，然后在最后寫上另兩個數(shù)的平均數(shù)，如此做了7次，這時黑板上三個數(shù)的和為159如果開始時老師在黑板上寫的三個數(shù)之和為2008，且所有寫過的數(shù)都是整數(shù)請問：開始時老師在黑板上寫的第一個數(shù)是多少？【考點】多個變量的還原問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】