函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(39)課件

1、1 函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的連續(xù) 性與間斷點性與間斷點 函數(shù)的函數(shù)的 函數(shù)的函數(shù)的 間斷點間斷點 第一類間斷點第一類間斷點 第二類間斷點第二類間斷點 可去間斷點可去間斷點 跳躍間斷點跳躍間斷點 無窮間斷點無窮間斷點 振蕩間斷點振蕩間斷點 其它間斷點其它間斷點 234上面的定義用上面的定義用 “ ”語言表達如下：語言表達如下： )()(lim00 xfxfxx就稱函數(shù)就稱函數(shù) )(xf在點在點 0 x連續(xù)。連續(xù)。 定義定義2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) )(xfy 在點在點 0 x的某一鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù)的某一鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù) )(xf當當 0 xx 時的極限存在，時的極限存在， ),(0 xf即即 0 x

2、處的函數(shù)值處的函數(shù)值 且等于它在點且等于它在點 此定義經(jīng)常用來判斷此定義經(jīng)常用來判斷 函數(shù)在某點的連續(xù)性函數(shù)在某點的連續(xù)性 定義定義3 3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) )(xfy 在點在點 0 x的某一鄰域內(nèi)有定義，若對于的某一鄰域內(nèi)有定義，若對于 , 0 , 0 使得對于適合不等式使得對于適合不等式 0 xx的一切的一切 ,x對應(yīng)的函數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)值 都滿足不等式都滿足不等式 )()(0 xfxf就稱函數(shù)就稱函數(shù) 在點在點 0 x連續(xù)。連續(xù)。 )(xf)(xf56在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，叫做在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，叫做該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)， 或者說或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。函數(shù)在該

3、區(qū)間上連續(xù)。 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線。連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線。 如函數(shù)如函數(shù) xyxyxyln, 1,sin3是連續(xù)函數(shù)。是連續(xù)函數(shù)。但但 xyxy1,tan不是連續(xù)函數(shù)。不是連續(xù)函數(shù)。 7證明：函數(shù)證明：函數(shù)xysin是連續(xù)函數(shù)。是連續(xù)函數(shù)。證：證：),(x設(shè)設(shè) 當當x有增量有增量 x 時，則時，則 xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx 12cosxx .2sin2sin)sin(xxxxy 又因為當又因為當0 時，時， sinxxxxxxy 222sin2sin)sin(0當當0 x 時，時， 由夾逼準則得由夾逼準則得. 0y 這就證明了這就證

4、明了 xysin在在),(內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。 8)(xf則函數(shù)則函數(shù) 在點在點 0 x不連續(xù)，不連續(xù)， 0 x稱為函數(shù)稱為函數(shù) )(xf的不連續(xù)點的不連續(xù)點 而而點點 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) )(xf在點在點 0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義。的某去心鄰域內(nèi)有定義。 有下列情形之一：有下列情形之一： （1）在在0 x沒有定義；沒有定義； （2）雖在雖在 0 x有定義，但有定義，但 )(lim0 xfxx不存在；不存在； （3）雖在雖在 0 x有定義，且有定義，且 )(lim0 xfxx存在，但存在，但 );()(lim00 xfxfxx或間斷點?；蜷g斷點。 )(xf若函數(shù)若函數(shù) 9例例1 函數(shù)函數(shù) 112xxy

5、在點在點 1x沒有定義，沒有定義， 2)1(lim11lim121xxxxx 令令 1x時時, 2y則該函數(shù)在則該函數(shù)在 1x處連續(xù)。處連續(xù)。 所以，所以， 1x稱為該函數(shù)的稱為該函數(shù)的可去間斷點可去間斷點。 。Oxy1x為函數(shù)的間斷點。為函數(shù)的間斷點。 所以所以 10例例2 函數(shù)函數(shù) ,21,)(xxfy. 1, 1xx, 1lim)(lim11xxfxx而而.21)1(fxyO。.改變函數(shù)的定義，令改變函數(shù)的定義，令 1)1(f則該函數(shù)在則該函數(shù)在 1x成為連續(xù)。成為連續(xù)。 1x也稱為該函數(shù)的也稱為該函數(shù)的可去間斷點可去間斷點。 xyO。.11例例3 函數(shù)函數(shù), 1, 0, 1)(xxxf

6、y. 0, 0, 0 xxxxyO。 1)1(lim)(lim00 xxfxx1)1(lim)(lim00 xxfxx所以所以 )(lim0 xfx不存在。不存在。 0 x稱為稱為 該函數(shù)的該函數(shù)的跳躍間斷點跳躍間斷點。 12例例4 正切函數(shù)正切函數(shù) xytan在在2 x處沒有定義，處沒有定義， 所以所以 2 x是函數(shù)是函數(shù) xytan的間斷點。的間斷點。 Oxy2 2 23 xxtanlim2 所以，稱所以，稱 2 x為函數(shù)為函數(shù) xytan的的無窮間斷點無窮間斷點。 131415例例6 下列函數(shù)在指出的點處間斷，說明這些間斷點屬于那下列函數(shù)在指出的點處間斷，說明這些間斷點屬于那一類，如果是

7、可去間斷點，則補充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù)。一類，如果是可去間斷點，則補充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù)。 . 1, 1,3, 1, 14; 0,1cos3;2,tan; 2, 1,2311222xxxxxyxxykkxkxxxyxxxxxy 2,1,0, , 2 16解解 2, 1,231122xxxxxy 231lim221xxxx21lim1xxx21x是是可去間斷點，屬于第一類間斷點可去間斷點，屬于第一類間斷點。補充定義：補充定義：. 21yx時時，當當則該函數(shù)在則該函數(shù)在1x點連續(xù)。點連續(xù)。0123lim222xxxx231lim222xxxx2x是是無窮間斷點，屬于第二類間斷點無窮間斷點

8、，屬于第二類間斷點。17xxkxtanlim ,kkxkxxxy2102,tan 2 1cossinlim0 xxxxxxxtanlim0當當0k時，時，所以所以 0 x是是可去間斷點，屬于第一類間斷點可去間斷點，屬于第一類間斷點 補充定義：補充定義： .10yx時時，當當則則函數(shù)在該點連續(xù)函數(shù)在該點連續(xù)。 當當0k時，時，則則 kx 是是無窮間斷點無窮間斷點。 0tanlim2xxkx 所以所以 2 kx是是可去間斷點可去間斷點。屬于第一類屬于第一類 補充定義：補充定義： . 02ykx時，時，當當 則則函數(shù)在該點連續(xù)函數(shù)在該點連續(xù)。18 0,1cos32xxy 時，時，當當0 x函數(shù)在函數(shù)

9、在 -1 到到 +1 之間變動無限多次，之間變動無限多次， 0 x所以所以 是是振蕩間斷點振蕩間斷點， 屬于屬于第二類間斷點第二類間斷點。 1, 1,3, 1, 14xxxxxy 01lim0101xfx23lim0101xfx則則 1x是是跳躍間斷點，屬于第一類間斷點跳躍間斷點，屬于第一類間斷點。 19解解1,1, 011,1, 01,xxxxxxxx例例7 討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxfnnn2211lim)(的連續(xù)性，若有間斷點的連續(xù)性，若有間斷點 判斷其類型。判斷其類型。 ,1,1, 11, 0lim2xxxxnn1,1, 01,)(xxxxxxf,1, 11, 01, 111lim22xxxxxnnn20 11lim0101fxfx