函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(8)課件

1、第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的間斷點三、小結(jié)思考題三、小結(jié)思考題一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量.,),(,)()(0000的的增增量量稱稱為為自自變變量量在在點點內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相應(yīng)應(yīng)于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 注：注：增量可以是正的，也可以是負的增量可以是正的，也可以是負的,還可為還可為0.x0: 正增量；正增量；x0: 負增量負增量函數(shù)函數(shù) f(x) 相應(yīng)

2、于相應(yīng)于x的增量也可以寫成：的增量也可以寫成：y=f(x0+x) f(x0)2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是:定義連續(xù)的.)()(, 0, 000 xfxfxx恒恒有有時時使使當當例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義1知知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處處左左連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱且

3、且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxf例例3

4、., 0,0, 3)(2xxaxxxf設(shè)問問a為何值時為何值時, f (x)在在x=0連續(xù)連續(xù).解解: f (0)=3)00( f)(lim0 xfx)3(lim20 xx= 3f (x)在在 x = 0右右連續(xù)連續(xù).為使為使f (x)在在x=0連續(xù)連續(xù), 必須必須 f (00)=f (0)=f (0+0)即即, a=3.故故, a=3時時, f (x)在在x=0連續(xù)連續(xù).)00( f)(lim0 xfx)(lim0 xax= a4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連

5、續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點在右端點處右連續(xù)處右連續(xù)并且在左端點并且在左端點內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如例如,.),(內(nèi)是連續(xù)的有理整函數(shù)在區(qū)間若若f (x)在區(qū)間在區(qū)間I上連續(xù)上連續(xù),記作記作f C(I )例例.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,

6、0,時時當當對對任任意意的的 |,|sin有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當當.),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對任意對任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy二、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的間斷點:)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個個在在點點函函數(shù)數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或間間斷斷點點的的不不連連續(xù)續(xù)點點為為并并稱稱點點或或間間斷斷處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點函函數(shù)數(shù)則則稱稱要要有有一一個個不不滿滿足足如如果果上上述述三三個個條條件件中中只只xfxxxf

7、1.跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點點如如果果xfxxfxfxxf 例例.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點為函數(shù)的跳躍間斷點 xoxy2.可去間斷點可去間斷點.)(,)(),()(lim,)(00000的可去間斷點為函數(shù)則稱點義處無定在點或但處的極限存在在點如果xfxxxfxfAxfxxfxx例例.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)

8、性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點為函數(shù)的可去間斷點 x注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.如例中如例中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點. .特點：特點：.0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點點 xox

9、y1123.第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00的的第第二二類類間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點在在右右極極限限至至少少有有一一個個不不存存處處的的左左、在在點點如如果果xfxxxf例例.0, 0, 0,1)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點 x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間例例8 8.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0為為第第二二類類間間斷

10、斷點點 x.點這種情況稱為振蕩間斷 , 0, 1)(是是無無理理數(shù)數(shù)時時當當是是有有理理數(shù)數(shù)時時當當xxxDy狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)在定義域在定義域R內(nèi)每一點處都間斷內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間且都是第二類間斷點斷點. ,)(是無理數(shù)時是無理數(shù)時當當是有理數(shù)時是有理數(shù)時當當xxxxxf僅在僅在x=0處連續(xù)處連續(xù), 其余各點處處間斷其余各點處處間斷.注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.o1x2x3xyx xfy , 1, 1)(是無理數(shù)時是無理數(shù)時當當是有理數(shù)時是有理數(shù)時當當xxxf在定義域在定義域 R內(nèi)每一點處都間斷內(nèi)每一點處都間斷, 但其

11、絕對值處但其絕對值處處連續(xù)處連續(xù).判斷下列間斷點類型判斷下列間斷點類型:例例9 9.0, 0, 0,cos)(,處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)取取何何值值時時當當 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要要使使,1時時故當且僅當故當且僅當 a.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf, 1 a三、小結(jié)三、小結(jié)1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點第一類間斷點

12、:可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點間斷點(見下圖見下圖)可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x思考題思考題 若若)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，則則| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)(xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？思考題解答思考題解答)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxf

13、xx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都都連連續(xù)續(xù).但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不連連續(xù)續(xù)但但| )(|xf、)(2xf在在00 x連連續(xù)續(xù)一、一、 填空題：填空題：1 1、 指出指出23122 xxxy 在在1 x是第是第_類間類間斷點；在斷點；在2 x是第是第_類間斷點類間斷點 . .2 2、 指出指出)1(22 xxxxy在在0 x是第是第_類間類間斷點；在斷點；在1 x是第是第_類間斷點；在類間斷點；在1 x是第是第_類間斷點類間斷點 . .二、二、 研究函

14、數(shù)研究函數(shù) 1, 11,)(xxxxf的連續(xù)性，并畫出函數(shù)的連續(xù)性，并畫出函數(shù) 的圖形的圖形 . .練練 習習 題題三、三、 指出下列函數(shù)在指定范圍內(nèi)的間斷點，并說明這些指出下列函數(shù)在指定范圍內(nèi)的間斷點，并說明這些間斷點的類型，如果是可去間斷點，則補充或改變間斷點的類型，如果是可去間斷點，則補充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù)函數(shù)的定義使它連續(xù) . .1 1、 1,31, 1)(xxxxxf在在Rx 上上 . .2 2、 xxxftan)( , ,在在Rx 上上 . .四、四、 討論函數(shù)討論函數(shù) nnnxxxf2211lim)( 的連續(xù)性，若有間斷的連續(xù)性，若有間斷點，判斷其類型點，判斷其類型 . .五、試確定五、試確定ba,的值的值, ,使使)1)()( xaxbexfx， （1 1）有無窮間斷點）有無窮間斷點0 x； （2 2）有可去間斷點）有可去間斷點1 x . .一、一、1 1、一類、一類, ,二類；二類； 2 2、一類、一類, ,一類一類, ,二類二類. .二、二、,), 1()1,()(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)與與在在 xf1 x為跳躍間為跳躍間 斷點斷點. .三、三、1 1、1 x為