實際問題與二次函數(shù)(拱形橋)

1、你能從拋物線的不同位置中想到其解析式你能從拋物線的不同位置中想到其解析式的不同形式嗎的不同形式嗎?復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)頂點(diǎn)在原點(diǎn)頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸為對稱軸為y軸軸.拋物線解析式拋物線解析式為為:y = axy = ax2 2頂點(diǎn)在頂點(diǎn)在y軸上軸上,對稱軸為對稱軸為y軸軸.拋物線解析式拋物線解析式為為:y = axy = ax2 2+ +k k拋物線經(jīng)過原點(diǎn)拋物線經(jīng)過原點(diǎn),拋物線解拋物線解析式為析式為:y = axy = ax2 2+ +bxbx探究探究3 圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 L 時，拱頂離時，拱頂離水面水面2m，水面寬，水面寬4m，水面下降，水面下降1m時，水面寬度時

2、，水面寬度增加了多少？增加了多少？解一解一如圖所示，如圖所示， 以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對稱軸為以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對稱軸為 y y 軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系。建立平面直角坐標(biāo)系?？稍O(shè)這條拋物線所表示可設(shè)這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為的二次函數(shù)的解析式為:2axy 當(dāng)拱橋離水面當(dāng)拱橋離水面2m時時,水面寬水面寬4m即拋物線過點(diǎn)即拋物線過點(diǎn)(2,-2)22a2 5 .0a 這條拋物線所表示的二這條拋物線所表示的二次函數(shù)為次函數(shù)為:2x5.0y 當(dāng)水面下降當(dāng)水面下降1m時時,水面的水面的縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo)為y=-3,這時有這時有:2x5 . 03 6x m62這這時時水水面

3、面寬寬度度為為當(dāng)水面下降當(dāng)水面下降1m時時,水面寬水面寬度增加了度增加了m)462( 解二解二如圖所示如圖所示,以拋物線和水面的兩個交點(diǎn)的連線為以拋物線和水面的兩個交點(diǎn)的連線為x軸，以拋物線軸，以拋物線的對稱軸為的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系軸，建立平面直角坐標(biāo)系.當(dāng)拱橋離水面當(dāng)拱橋離水面2m時時,水面寬水面寬4m即即:拋物線過點(diǎn)拋物線過點(diǎn)(2,0)22a02 5 .0a 這條拋物線所表示的二這條拋物線所表示的二次函數(shù)為次函數(shù)為:2x5.0y2 當(dāng)水面下降當(dāng)水面下降1m時時,水面的水面的縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo)為y=-1,這時有這時有:2x5 . 012 6x m62這這時時水水面面寬寬度度為為當(dāng)水

4、面下降當(dāng)水面下降1m時時,水面寬水面寬度增加了度增加了m)462( 可設(shè)這條拋物線所表示可設(shè)這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為的二次函數(shù)的解析式為:2axy2 此時此時,拋物線的頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)為(0,2)解三解三 如圖所示如圖所示,以拋物線和水面的兩個交點(diǎn)的連線為以拋物線和水面的兩個交點(diǎn)的連線為x軸，以其中軸，以其中的一個交點(diǎn)的一個交點(diǎn)(如左邊的點(diǎn)如左邊的點(diǎn))為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.可設(shè)這條拋物線所表示可設(shè)這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為的二次函數(shù)的解析式為:2)2x(ay2 拋物線過點(diǎn)拋物線過點(diǎn)(0,0)2)2(a02 5 .0a 這條拋物線所表示的二

5、這條拋物線所表示的二次函數(shù)為次函數(shù)為:2)2x(5 . 0y2 當(dāng)水面下降當(dāng)水面下降1m時時,水面的水面的縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo)為y=-1,這時有這時有:2)2x(5 . 012 62x,62x21 m62xx12 當(dāng)水面下降當(dāng)水面下降1m時時,水面寬水面寬度增加了度增加了m)462( 此時此時,拋物線的頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)為(2,2)這時水面的寬度為這時水面的寬度為:某涵洞是拋物線形，它的截面如圖所示，某涵洞是拋物線形，它的截面如圖所示，現(xiàn)測得水面寬現(xiàn)測得水面寬16m，涵洞頂點(diǎn)，涵洞頂點(diǎn)O到水面到水面的距離為的距離為24m，在圖中直角坐標(biāo)系內(nèi)，在圖中直角坐標(biāo)系內(nèi)，涵洞所在的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是什么？涵

6、洞所在的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是什么？解：如圖，以解：如圖，以AB的垂直平分線為的垂直平分線為y軸，以過點(diǎn)軸，以過點(diǎn)O的的y軸的垂線為軸的垂線為x軸，建立了直角坐標(biāo)系。軸，建立了直角坐標(biāo)系。 由題意，得點(diǎn)由題意，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（0. .8，-2. .4），），又因為點(diǎn)又因為點(diǎn)B在拋物線上，將它的坐標(biāo)代入在拋物線上，將它的坐標(biāo)代入 ,得得所以所以因此，函數(shù)關(guān)系式是因此，函數(shù)關(guān)系式是)0(2aaxy28 . 04 . 2a415a2415xyBA1252yxABAB30hA 5B 6C 8D 9河北省趙縣的趙州橋的橋拱是拋物線型，建立如圖所示的坐標(biāo)系,其函數(shù)的解析式為， 當(dāng)水位線在位置時，水

7、面寬米,這時水面離橋頂?shù)母叨?是（）、米、米； 、米； 、米20m有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬為有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬為 20 m，拱頂距離水面拱頂距離水面 4 m（1）如圖所示的直角坐標(biāo)系中，）如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出這條拋物線表求出這條拋物線表示的函數(shù)的解析式；示的函數(shù)的解析式；（2）設(shè)正常水位時橋下的水深為）設(shè)正常水位時橋下的水深為 2 m，為保證過往，為保證過往船只順利航行，橋下水面的寬度不得小于船只順利航行，橋下水面的寬度不得小于 18 m求水深求水深超過多少時就會影響過往船只在橋下順利航行超過多少時就會影響過往船只在橋下順利航行ACDBOyx4m1

8、8m如圖所示，有一座拋物線型拱橋，在正常水位如圖所示，有一座拋物線型拱橋，在正常水位ABAB時，時，水面寬水面寬2020米，水位上升米，水位上升3 3米，就達(dá)到警戒線米，就達(dá)到警戒線CD,CD,這時水這時水面寬為面寬為1010米。米。（1 1）求拋物線型拱橋的解析式。）求拋物線型拱橋的解析式。（2 2）若洪水到來時，水位以每小時）若洪水到來時，水位以每小時0.20.2米的速度上升，米的速度上升，從警戒線開始，在持續(xù)多少小時才能達(dá)到拱橋頂？從警戒線開始，在持續(xù)多少小時才能達(dá)到拱橋頂？（3 3）若正常水位時，有）若正常水位時，有一艘寬一艘寬8 8米，高米，高2.52.5米的小船米的小船能否安全通過

9、這座橋？能否安全通過這座橋？A AB B20m20mCD某大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物某大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物, ,大門的地面寬大門的地面寬度為度為8 8米，兩側(cè)距地面米，兩側(cè)距地面4 4米高處各有一個掛校名匾用的米高處各有一個掛校名匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6 6米，則校門的高為（精確米，則校門的高為（精確到到0.10.1米，水泥建筑物的厚度忽略不記）（米，水泥建筑物的厚度忽略不記）（ ）A A、5.15.1米米 B B、9 9米米 C C、9.19.1米米 D D、9.29.2米米CxyO如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的如圖，隧道的截

10、面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是長是8m，寬是，寬是2m，拋物線可以用，拋物線可以用 表示表示.（1）一輛貨運(yùn)卡車高）一輛貨運(yùn)卡車高4m，寬，寬2m，它能通過該隧，它能通過該隧道嗎？（道嗎？（2）如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，那么這輛貨運(yùn)卡）如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，那么這輛貨運(yùn)卡車是否可以通過？車是否可以通過？2144yx （1）卡車可以通過）卡車可以通過.提示：當(dāng)提示：當(dāng)x=1時，時，y =3.75, 3.7524.（2）卡車可以通過）卡車可以通過.提示：當(dāng)提示：當(dāng)x=2時，時，y =3, 324.13131313O 例例:某工廠大門是一拋物線形的水泥建筑物某工廠大門是一拋物線形的水泥建筑物,大門

11、底部寬大門底部寬AB=4m,頂部頂部C離地面的高度為離地面的高度為4.4m,現(xiàn)有載滿貨物的汽車欲通過大門現(xiàn)有載滿貨物的汽車欲通過大門,貨物頂貨物頂部距地面部距地面2.7m,裝貨寬度為裝貨寬度為2.4m.這輛汽車能否這輛汽車能否順利通過大門順利通過大門?若能若能,請你通過計算加以說明請你通過計算加以說明;若若不能不能,請簡要說明理由請簡要說明理由.解：如圖，以解：如圖，以AB所在的直線為所在的直線為x軸，軸，以以AB的垂直平分線為的垂直平分線為y軸，建立平面軸，建立平面直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系.AB=4A(-2,0) B(2,0)OC=4.4 C(0,4.4)設(shè)拋物線所表示的二次函數(shù)為設(shè)拋物線所表示

12、的二次函數(shù)為4 . 4axy2 拋物線過拋物線過A(-2,0)04 . 4a4 1 . 1a 拋物線所表示的二次函數(shù)為拋物線所表示的二次函數(shù)為4 . 4x1 . 1y2 7 . 2816. 24 . 42 . 11 . 1y2 . 1x2 時，時，當(dāng)當(dāng)汽車能順利經(jīng)過大門汽車能順利經(jīng)過大門.有一輛載有長方體體狀集裝箱的貨車要想通過有一輛載有長方體體狀集裝箱的貨車要想通過洞拱橫截面為拋物線的隧道，如圖，已知沿底洞拱橫截面為拋物線的隧道，如圖，已知沿底部寬部寬AB為為4m，高，高OC為為3.2m；集裝箱的寬與；集裝箱的寬與車的寬相同都是車的寬相同都是2.4m；集裝箱頂部離地面；集裝箱頂部離地面2.1

13、m。該車能通過隧道嗎？請說明理由。該車能通過隧道嗎？請說明理由. 一場籃球賽中一場籃球賽中,球員甲跳起投籃球員甲跳起投籃,如圖如圖2,已知球在已知球在A處出手時離地面處出手時離地面20/9 m,與籃筐中心與籃筐中心C的水平的水平距離是距離是7m,當(dāng)球運(yùn)行的水平距離是當(dāng)球運(yùn)行的水平距離是4 m時時,達(dá)到達(dá)到最大高度最大高度4m（B處）處）,設(shè)籃球運(yùn)行的路線為拋物設(shè)籃球運(yùn)行的路線為拋物線線.籃筐距地面籃筐距地面3m. 問此球能否投中問此球能否投中? 此時對方球員乙前來蓋帽此時對方球員乙前來蓋帽,已知乙跳起后摸到已知乙跳起后摸到的最大高度為的最大高度為3.19m,他如何做才能蓋帽成功他如何做才能蓋帽

14、成功?一場籃球賽中，小明跳起投籃，已知球出手時離地面高一場籃球賽中，小明跳起投籃，已知球出手時離地面高 米，與籃圈中心的水平距離為米，與籃圈中心的水平距離為8 8米，當(dāng)球出手后水平米，當(dāng)球出手后水平距離為距離為4 4米時到達(dá)最大高度米時到達(dá)最大高度4 4米，設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為米，設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面拋物線，籃圈中心距離地面3 3米。米。3米2098米4米4米209問此球能否投中？問此球能否投中？048（4，4）920 xy如圖，建立平面如圖，建立平面 直角坐標(biāo)系，直角坐標(biāo)系，點(diǎn)（點(diǎn)（4，4）是圖中這段拋物）是圖中這段拋物線的頂點(diǎn)，因此可設(shè)這段拋線的頂點(diǎn)，因此可設(shè)這段拋物線

15、對應(yīng)的函數(shù)為：物線對應(yīng)的函數(shù)為：442xay(0 x8)9200，拋物線經(jīng)過點(diǎn)4409202a91 a44912xy(0 x8)9208yx時，當(dāng)籃圈中心距離地面籃圈中心距離地面3米米此球不能投中此球不能投中若假設(shè)出手的角度和力度都不變?nèi)艏僭O(shè)出手的角度和力度都不變,則如何才能使此球命中則如何才能使此球命中?（1）跳得高一點(diǎn)）跳得高一點(diǎn)（2）向前平移一點(diǎn)）向前平移一點(diǎn)-5510642-2-4-6yx（4，4）（8，3）200,9208,9 在出手角度和力度都不變的情況下在出手角度和力度都不變的情況下, ,小明的出手高度小明的出手高度為多少時能將籃球投入籃圈為多少時能將籃球投入籃圈? ?0 1 2

16、 3 4 5 6 7 8 9-5510642-2-4-6yX（8，3）（5，4）（4，4）200,90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 在出手角度、力度及高度都不變的情況下，則小明朝在出手角度、力度及高度都不變的情況下，則小明朝著籃球架再向前平移多少米后跳起投籃也能將籃球投著籃球架再向前平移多少米后跳起投籃也能將籃球投入籃圈？入籃圈？(，），）在一場籃球比賽中在一場籃球比賽中,如圖如圖,隊員甲正在投籃隊員甲正在投籃,已知球已知球出手時距地面高出手時距地面高 ,與籃筐中心的水平距離為與籃筐中心的水平距離為7m,當(dāng)當(dāng)球出手后水平距離為球出手后水平距離為4m時球到達(dá)最大高度時球到達(dá)最大高度4m,

17、設(shè)籃球設(shè)籃球運(yùn)動的路線為拋物線運(yùn)動的路線為拋物線,籃筐距地面籃筐距地面3m.(1)球能否準(zhǔn)確投中球能否準(zhǔn)確投中?(2)此時此時,若對方隊員乙在若對方隊員乙在甲前面甲前面1m處跳起蓋帽攔截處跳起蓋帽攔截,已知乙的最大摸高為已知乙的最大摸高為3.1m,那么他能否獲得成功那么他能否獲得成功?9204米米4米米3米米3米米xyO如圖如圖,一位運(yùn)動員在距籃下一位運(yùn)動員在距籃下4米處跳起投籃米處跳起投籃,求運(yùn)行的求運(yùn)行的路線是拋物線路線是拋物線,當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時米時,達(dá)到達(dá)到最大高度最大高度3.5米米,然后準(zhǔn)確落入籃圈然后準(zhǔn)確落入籃圈,已知籃圈中心距已知籃圈中心距離地面的

18、距離為離地面的距離為3.05米米(1)建立如圖所示坐標(biāo)系建立如圖所示坐標(biāo)系求拋物線解析式求拋物線解析式.(2)該運(yùn)動員身高該運(yùn)動員身高1.8米米,在在此次投籃中此次投籃中,球在頭頂上球在頭頂上方方0.25米處出手米處出手,求當(dāng)運(yùn)求當(dāng)運(yùn)動員出手時他跳離地面動員出手時他跳離地面的高度的高度.3.05米米2.5米米4米米Oyx如圖，某公園要設(shè)計一圓形噴水池，水流在各方向沿形狀相同的拋物線落下.建立如圖所示的坐標(biāo)系，如果噴頭所在處A(0，1.25)，水流路線最高處B(1，2.25),如果不考慮其他因素，水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外。B(1,2.25)(0,1.25)B(1,2.

19、25)(0,1.25)如圖，要使水不落到池外，水池的半徑，即要求拋物線與x軸右側(cè)的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)。已知噴泉的最高點(diǎn)，故函數(shù)可用頂點(diǎn)式表示。 解：解：由題意，設(shè)水流路線構(gòu)成的拋物線為y=a(x-1)2+2.25.點(diǎn)A(0，1.25)在拋物線上，則有：1.25=a(0-1)2+2.25. a=-1y=(x-1)2+2.25當(dāng)y=0時，解得x1=-0.5，x2=2.5。x0，x=2.5水池的半徑至少要2.5米。20.1()2.5yx k 推鉛球的出手高度為推鉛球的出手高度為1.6m 1.6m , ,在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，鉛球的運(yùn)行路線近似為拋物線鉛球的運(yùn)行路線近似為拋物

20、線求求k的值的值xyO求鉛球的落點(diǎn)與丁丁求鉛球的落點(diǎn)與丁丁 的距離的距離一個一個1.5m的小朋友跑到的小朋友跑到離原點(diǎn)離原點(diǎn)6米的地方米的地方(如圖如圖)，他會受到傷害嗎？他會受到傷害嗎？(0, 1.6)xyO20.1()2.5yx k求求k的值的值解：解：由圖像可知，拋物解：由圖像可知，拋物線過點(diǎn)線過點(diǎn)(0,1.6)即當(dāng)即當(dāng)x=0時，時，y=1.61.6=-0.1k+2.5K=3又因為對稱軸是在又因為對稱軸是在y軸的軸的右側(cè)，右側(cè)， 即即x=k0所以，所以，k=32-0.1(x-3)+2.5=0-0.1(x-3)+2.5=0解之得，解之得，x =8,x =-2x =8,x =-2所以，所以，

21、OB=8OB=8故故鉛球的落點(diǎn)與丁丁的距離鉛球的落點(diǎn)與丁丁的距離是是8米。米。221當(dāng)當(dāng)x=6時，時，y=-0.1(6-3)+2.5 =1.621.5所以，這個小朋友不所以，這個小朋友不會受到傷害。會受到傷害。B如圖，一單杠高如圖，一單杠高2.2米，兩立柱米，兩立柱之間的距離為之間的距離為1.6米，將一根繩子的米，將一根繩子的兩端栓于立柱與鐵杠結(jié)合處，繩子兩端栓于立柱與鐵杠結(jié)合處，繩子自然下垂呈拋物線狀。自然下垂呈拋物線狀。一身高一身高0.70.7米米的小孩站在離立柱的小孩站在離立柱0.40.4米處，其頭部米處，其頭部剛好觸上繩子，求繩子最低點(diǎn)到地剛好觸上繩子，求繩子最低點(diǎn)到地面的距離。面的距離。 ABCD0.71.62.20.4EFOxyABCD0.71.62.20.4EF解解 ：如圖，：如圖，所以，繩子最低點(diǎn)到地面所以，繩子最低點(diǎn)到地面 的距離為的距離為 0.2米米.Oxy 以以CD所在的直線為所在的直線為X軸，軸，CD的中垂線為的中垂線為Y軸建立軸建立 直角坐標(biāo)系，直角坐標(biāo)系， 則則 B（0.8, 2.2），），F(xiàn)（- 0.4, 0.7）設(shè)設(shè) y = ax + k ,從而有從而有 0.64a + k = 2.2 0.16a + k = 0.72解得：解得：a = K = 0.2258所以，所以，y = x + 0.2 頂點(diǎn)頂點(diǎn) E（0, 0