第三節(jié)垂徑定理[1](1)

1、3.3 3.3 垂徑定理垂徑定理九年級數(shù)學九年級數(shù)學( (下下) )第三章第三章 圓圓1.1.圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形. . 圓的對稱軸是任意一條經過圓心的直線圓的對稱軸是任意一條經過圓心的直線, ,它有無數(shù)條對稱軸它有無數(shù)條對稱軸. .2.2.圓也是中心對稱圖形圓也是中心對稱圖形. .它的對稱中心就是圓心它的對稱中心就是圓心. .知識回顧知識回顧4.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。的弦相等。 5.定理：在同圓或等圓中，如果兩個定理：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角圓心角、兩條、兩條弧弧、兩條、兩條弦弦中有一組

2、量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。等。3.頂點頂點在在圓心圓心的角叫做的角叫做圓心角圓心角.AM=BM,垂徑定理垂徑定理AB是是 O的一條弦的一條弦.作直徑作直徑CD,使使CDAB,垂足為垂足為M.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系?與同伴說說你的想法和理由與同伴說說你的想法和理由.O下圖是軸對稱圖形嗎下圖是軸對稱圖形嗎?如果是如果是,其對稱軸是什么其對稱軸是什么?小明發(fā)現(xiàn)圖中有小明發(fā)現(xiàn)圖中有:ABCDM 由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對

3、的弧。垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。垂徑定理垂徑定理證明：連接證明：連接OA,OB,則則OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM RtOAM RtOBMAM=BM, AOC=BOCAOD=180AOC, BOD=180BOC AOD=BOD垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧OABCDMAC=BC AM=BM 由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.OABCDM垂徑定理垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。并

4、且平分弦所對的弧。CD是直徑，是直徑， CDAB ,AB是弦是弦AM=BM，ADBD，ACBCCDAB,垂徑定理的逆定理垂徑定理的逆定理AB是是 O的一條弦的一條弦,且且AM=BM. 你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系?與同伴說說與同伴說說你的想法和理由你的想法和理由.O下圖是軸對稱圖形嗎下圖是軸對稱圖形嗎?如果是如果是,其對稱軸是什么其對稱軸是什么? 小明發(fā)現(xiàn)圖中有小明發(fā)現(xiàn)圖中有:CD 由由 CD是直徑是直徑 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD. MAB平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦所對的兩條弧分弦所對的兩條弧.

5、CD是直徑，是直徑，AB是弦，并且是弦，并且CD平分平分ABCDAB，ADBD，ACBC討論討論（1）過圓心）過圓心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平）平分弦所對優(yōu)弧分弦所對優(yōu)弧 （5）平分弦所對的劣?。┢椒窒宜鶎Φ牧踊。?）（1）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（4）（5）（1）（4）（3）（2）（5）（1）（5）（3）（4）（2）（1 1）平分弦（）平分弦（不是直徑不是直徑）的直徑垂直于）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧弦，并且平分弦所對的兩條弧（2 2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧分弦所對的兩條?。? 3

6、）平分一條弧的直徑，垂直平分弧所平分一條弧的直徑，垂直平分弧所對的弦，并且平分弦所對的另一條弧對的弦，并且平分弦所對的另一條弧OABCDM垂徑定理的應用垂徑定理的應用例例1 :如圖，一條公路的轉變處是一段圓弧如圖，一條公路的轉變處是一段圓弧(即圖中弧即圖中弧CD,點點O是是弧弧CD的圓心的圓心),其中其中CD=600m,E為弧為弧CD上的一點上的一點,且且OECD垂足為垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑求這段彎路的半徑.解解:連接連接OC.m)90R(OF,Rm 則則設設彎彎路路的的半半徑徑為為,CDOE ).m(30060021CD21CF 得得根據(jù)勾股定理根據(jù)勾股定理,即即,OFCF

7、OC222 .90R300R222 .545R, 得得解解這這個個方方程程.m545這這段段彎彎路路的的半半徑徑約約為為OCDEFOABCDM弧的中點到弦的距離弧的中點到弦的距離,叫弓形高或叫弓形高或弓弓高高，如圖線段，如圖線段CM是弓高是弓高圓心到弦的距離圓心到弦的距離,叫叫弦心距弦心距。如圖。如圖線段線段OM是是O到弦到弦AB的弦心距。的弦心距。趙州石拱橋趙州石拱橋1. 1300多年前多年前,我國隋朝建造的趙州石拱橋我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖如圖)的橋拱是圓弧的橋拱是圓弧形形,它的跨度它的跨度(弧所對是弦的長弧所對是弦的長)為為 37.4 m,拱高拱高(弧的中點到弦弧的中點到弦的距離的

8、距離,也叫弓形高也叫弓形高)為為7.2m,求橋拱的半徑求橋拱的半徑(精確到精確到0.1m).趙州石拱橋趙州石拱橋解：如圖，用解：如圖，用 表示橋拱，表示橋拱， 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為，半徑為Rm，經過圓心經過圓心O作弦作弦AB的垂線的垂線OD，D為垂足，與為垂足，與 相交于點相交于點C.根根據(jù)垂徑定理，據(jù)垂徑定理，D是是AB的中點，的中點，C是是 的中點，的中點，CD就是拱高就是拱高.由題設由題設ABABABAB, 2 . 7CD, 4 .37AB AB21AD, 7 .184 .3721 DCOCOD . 2 . 7R 在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,OD

9、ADOA222 .)2 . 7R(7 .18R222 即即解得解得 R27.9（m）.答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為27.9m.37.47.2OABCRDABOCOABCD如果圓的兩條弦平行，那么這兩條弦所夾的如果圓的兩條弦平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？為什么弧相等嗎？為什么?EFMN還有其他情況嗎？還有其他情況嗎？OABCDCD“圓材埋壁圓材埋壁”是我國古代著名的數(shù)學著作是我國古代著名的數(shù)學著作九章算術九章算術中的一中的一個問題，個問題，“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問鋸幾何？一寸，鋸道長

10、一尺，問鋸幾何？”用現(xiàn)代的數(shù)學語言表述是：用現(xiàn)代的數(shù)學語言表述是：“如下圖，如下圖，CD為為 O的直徑，弦的直徑，弦ABCD垂足為垂足為E，CE1寸，寸，AB10寸，求直徑寸，求直徑CD的長的長”， 如圖，已知如圖，已知 O的半徑為的半徑為30mm，弦，弦AB=36mm.則點則點O到到AB的距離及的距離及 OAB的余弦值。的余弦值。C 如圖，兩個圓都是以如圖，兩個圓都是以O為圓心，小圓的弦為圓心，小圓的弦CD與大圓的弦與大圓的弦AB在同在同一條直線上，你認為一條直線上，你認為AC與與BD的大小有什么關系？為什么？的大小有什么關系？為什么？ ABCD理由：過理由：過O作作OEAB于于E，解后指出

11、解后指出：在圓中，解有關：在圓中，解有關弦弦的問的問題時，常常需要作出題時，常常需要作出“垂直于弦的垂直于弦的直徑直徑”作為輔助線，實際上，往往作為輔助線，實際上，往往只需只需從圓心作弦的垂線段。從圓心作弦的垂線段。則則 AE=BE,CE=DEAECE=BEDE即即AC=BD解：解：AC=BDOE如圖如圖,M為為 O內的一點內的一點,利用尺規(guī)作一條弦利用尺規(guī)作一條弦AB,使使AB過點過點M.并并且且AM=BM.OMAB判斷判斷（1）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的弧弧.( )（2）弦所對的兩弧中點的連線，垂直于弦，并且）弦所對的兩弧中點的連線，垂直于弦，并且經過圓心經過圓心.( )（3）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分分.( )（4）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧兩條弧( )（5）圓內兩條非直徑的弦不能互相平分（）圓內兩條非直徑的弦不能互相平分（ ）挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我（6）平分弦的直徑，平分這條弦所對的?。┢椒窒业闹睆?，平分這條弦所對的弧 ( ） （7）平分弦的直線，必定過圓心）平分弦的直線，必定過圓心 （ ）（8）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直線垂直）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直線垂直這條弦這