隨機(jī)變量及其數(shù)字特征11

1、第11章 隨機(jī)變量及其數(shù)字特征知識結(jié)構(gòu)圖： 教學(xué)基本要求：1了解隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量、分布函數(shù)的概念和性質(zhì);2了解兩點(diǎn)分布、泊松分布、均勻分布，掌握二項分布、正態(tài)分布；3理解數(shù)學(xué)期望、方差的概念、性質(zhì)及其計算；4掌握利用概率分布列、概率密度及分布函數(shù)計算有關(guān)事件概率；5會求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望重點(diǎn)：理解隨機(jī)變量（離散型連續(xù)型）、分布函數(shù)、隨機(jī)變量函數(shù)以及概率密度等概念和性質(zhì)；了解兩點(diǎn)分布、泊松分布、均勻分布、二項分布、正態(tài)分布的差異和關(guān)系以及性質(zhì)；掌握數(shù)學(xué)期望、方差的計算方法及性質(zhì)；掌握概率分布列、概率密度及分布函數(shù)的計算及計算有關(guān)事件的概率。難點(diǎn)：隨機(jī)變量的概

2、念、分布函數(shù)的概念、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望11.1隨機(jī)變量11.1.1 隨機(jī)變量的概念 隨機(jī)變量：如果一個變量，它的取值隨著試驗結(jié)果的不同而變化著，當(dāng)試驗結(jié)果確定后，它所取的值也就相應(yīng)地確定，這種變量稱為隨機(jī)變量，隨機(jī)變量可用英文大寫字母X,Y,Z,(或希臘字母)等表示隨機(jī)變量與一般變量有點(diǎn)差別：隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的(試驗前只知道它可以取值的范圍，但不能確定它取什么值)，且取這些值具有一定的概率，比如X取值是0，相應(yīng)地有概率P(X=0)；一般變量X取值是確定的，比如X取值是0，就是X=0例1 在10件同類型產(chǎn)品中，有3件次品，現(xiàn)任取2件，用一個變量X表示“2件中的次品數(shù)”，X的取值有0,1,

3、2顯然，“X=0”表示次品數(shù)為0，它與事件“取出的2件中沒有次品”是等價的由此可知，“X=1”等價于“恰好有1件次品”，“X=2”等價于“恰好有2件次品” 于是由古典概率可求得                 此結(jié)果可統(tǒng)一成              例5某人打靶，一發(fā)子彈打中的概率為p，打不中的概

4、率為1-p，用隨機(jī)變量描述這個隨機(jī)現(xiàn)象，通常規(guī)定隨機(jī)變量                   這樣取X有幾個優(yōu)點(diǎn)： (1)X反映了一發(fā)子彈的命中次數(shù)(0次或1次) 隨機(jī)變量的分類(2)計算上很方便，有利于今后進(jìn)一步討論 隨機(jī)變量的分類：根據(jù)隨機(jī)變量取值的情況，我們可以把隨機(jī)變量分為兩類：離散型隨機(jī)變量和非離散型隨機(jī)變量，若隨機(jī)變量X的所有可能取值是可以一一列舉出來的(即取值是可列個)，則稱X為離散型隨機(jī)變量；若隨機(jī)變量X的所有

5、取值不能一一列舉出來，則稱X為非離散型隨機(jī)變量 對一個隨機(jī)變量X，不僅要了解它取哪些值，而且要了解取各個值的概率，即它的取值規(guī)律，通常把X取值的規(guī)律稱為X的分布11.1.2 離散型隨機(jī)變量定義11.1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有取值為x1,x2,xk,，并且X取各個可能值的概率分別為            pk=P(X=xk)，k=1,2,稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，簡稱分布列或分布 為清楚起見，X及其分布列也可以用表格的形式表示    &#

6、160; x     x1     x2       xk       pk     p1     p2        pk   分布列的性

7、質(zhì)：由概率的定義可知,pk滿足如下性質(zhì)： 性質(zhì)1    性質(zhì)2   如例1中“任取2件產(chǎn)品，2件中的次品件數(shù)X”的分布列是       X    0    1    2      pk   7/15   7/15  &#

8、160;1/15例6設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M件是次品，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取n(nN )件，抽到的次品數(shù)X就是一個隨機(jī)變量，由古典概率的計算公式知X的分布列是     其中l(wèi)=min(M,n)，具有這種形式的分布稱為超幾何分布11.1.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量：定義11.2設(shè)隨機(jī)變量X，如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),()，使得對任意ab，有                   則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量

9、，稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或分布密度 概率密度函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)：由定義可知，概率密度有下列性質(zhì)：性質(zhì)1 f(x)0(因為概率不能小于0)    性質(zhì)2   例7設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)是                     試求：(1) 系數(shù)A ；(2) X落在區(qū)間內(nèi)的概率 解 (1)根據(jù)概率密度函數(shù)的性質(zhì)

10、2，可得                       所以A=1/.例8設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)是                       其中>0

11、，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布若某電子元件的壽命X服從參數(shù)1/2000的指數(shù)分布，求P(X1200). 解 電子元件的使用壽命、電話的通話時間等都可以用指數(shù)分布來描述11.2分布函數(shù)及隨機(jī)變量函數(shù)的分布11.2.1分布函數(shù)概念分布函數(shù)概念：定義11.3設(shè)X是一個隨機(jī)變量，稱函數(shù)                     F(x)=P(Xx)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)記作XF(x)或FX(x) （

12、1）對于離散型隨機(jī)變量X，若它的概率分布是pk=P(X=xk)( k=1,2,)，則X的分布函數(shù)為               （2）對于連續(xù)型隨機(jī)變量X，其概率密度為f(x)，則它的分布函數(shù)                即分布函數(shù)是概率密度的變上限的定積分由微分知識可知，在f(x)的連續(xù)點(diǎn)X處，

13、有                   也就是說概率密度是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分布函數(shù)F(x)的性質(zhì)：性質(zhì)10F(x)1(因為F(x)就是某種概率) 性質(zhì)2F(x)是單調(diào)不減函數(shù)，且                 性質(zhì)3   

14、;      或    11.2.2分布函數(shù)的計算離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的計算：例1設(shè)隨機(jī)變量X的分布列是    X    -1    0    1    pi   0.3  0.5  0.2求X的分布函數(shù)解 當(dāng)x<-1時，因為事

15、件Xx=Ø，所以F(x)=0 ;當(dāng)-1x<0時，有                    F(x)=P(Xx)=P(X=-1)=0.3 ； 當(dāng)0x<1時，有                  

16、60; F(x)=P(Xx)=P(X=-1)+P(X=0)                =0.3+0.5=0.8；當(dāng)x1時，有                   F(x)=P(Xx)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1) 

17、0;             =0.3+0.5+0.2=1. 故X的分布函數(shù)為           連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的計算：例2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度是                求X的分布函數(shù)F(x) 解 由分布函

18、數(shù)定義，可得當(dāng)x<a時，f(x)=0，故F(x)=0 ; 當(dāng)ax<b時，故             當(dāng)bx時，有f(x)=0，故              故X的分布函數(shù)F(x)為            &#

19、160;11.2.3隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的概念：設(shè)f(x)是一個函數(shù)，若隨機(jī)變量X的取值為x時，隨機(jī)變量Y的取值為y=f(x)，則稱隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)，記作Y=f(X) 例如，設(shè)隨機(jī)變量X是圓直徑的測量值，而圓面積Y就是X的函數(shù)：我們的問題是如何根據(jù)已知的隨機(jī)變量X的分布去求隨機(jī)變量Y=f(X)的分布 隨機(jī)變量函數(shù)的分布：（1）若離散型隨機(jī)變量Y=f(X)，X的分布列是     X     x1     x2 

20、60;       xk        pk     p1     p2         pk   如果f(xk)( k=1,2,)的值全不相等，則Y=f(X)的分布列是     

21、 Y   f(x1)   f(x2)      f(xk)         pk     p1     p2        pk   如果f(xk)( k=1,2,)中有

22、相等的，則把相等的值合并起來，同時把對應(yīng)的概率相加，即得隨機(jī)變量Y的分布列例4 已知隨機(jī)變量X的分布列是     X   -1   0   1   2     pk  0.2  0.3  0.4     k(1) 求參數(shù)k；(2)求Y1=X2和Y2=2X-1的

23、概率分布解 (1)根據(jù)分布列的性質(zhì)可知：0.2+0.3+0.4+k=1，故k=0.1 (2) 因為X的取值分別為-1,0,1,2,故Y1=X2的取值分別為0,1,4,并且                    P(Y1=0)=P(X=0)=0.3 ，            

24、60;       P(Y1=1)=P(X=-1)+P(X=1)=0.6 ，                    P(Y1=4)=P(X=2)=0.1 因此Y1=X2的概率分布為    Y1    0    

25、1    2   pi   0.3   0.6   0.1同理可求Y2=2X-1的分布列：      Y2=2X-1的取值分別為-3,-1,1,3，并且                   

26、 P(Y2=-3)=P(X=-1)=0.2 ，                    P(Y2=-1)=P(X=0)=0.3 ，                    P(Y2=1)=P(X

27、=1)=0.4 ，                    P(Y2=3)=P(X=2)=0.1 因此Y2=2X-1的分布列為     Y2   -3   -1   1   3    

28、0;pk  0.2  0.3  0.4  0.1（2）對連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布，我們不加證明地指出結(jié)論（可通過例5理解）：設(shè)隨機(jī)變量X和隨機(jī)變量Y=f(X)的分布密度分別記為，   若函數(shù)y=f(x)是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，x=g(y)是y=f(x)的反函數(shù)，則       例5若隨機(jī)變量X的概密度為，求X的線性函數(shù)Y=X+的概率密度(其中、均為常數(shù)，且>0)解 隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)為   

29、60;   兩邊對Y求導(dǎo)，就得到Y(jié)的概率密度函數(shù)                            (11.2.1) 概率密度為(11.2.1)式的隨機(jī)變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量   定理11.1若隨機(jī)變量XN(,2)，則隨機(jī)變量例7設(shè)XN(1,0.22)，求P(X<

30、;1.2)及P(0.7X<1.1) 解設(shè)，則YN(0,1)，于是          11.3幾種常見隨機(jī)變量的分布11.3.1幾種常見離散型隨機(jī)變量的分布兩點(diǎn)分布：設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0,1兩個值，它的概率分布是        P(X=1)=p , P(X=0)=1-p (0<p<1)， 則稱X服從兩點(diǎn)分布，或稱X具有兩點(diǎn)分布 二項分布：設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為       其中

31、0<p<1，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記為B(n,p).例1已知某地區(qū)人群患有某種病的概率是0.20，研制某種新藥對該病有防治作用，現(xiàn)有15個人服用該藥，結(jié)果都沒有得該病，從這個結(jié)果我們對該種新藥的效果會得到什么結(jié)論?解 15個人服用該藥，可看作是獨(dú)立地進(jìn)行15次試驗，若藥無效，則每人得病的概率是0.20，這時15人中得病的人數(shù)應(yīng)服從參數(shù)為(15,0.20)的二項分布，所以“15人都不得病”的概率是        這說明，若藥無效，則15人都不得病的可能性只有0.035，這個概率很小，在實際上不大

32、可能發(fā)生，所以實際上可以認(rèn)為該藥有效.泊松分布：設(shè)隨機(jī)變量X取值為0,1,2,其相應(yīng)的概率分布為        其中為參數(shù)(>0)，則稱X服從泊松分布，記作P()例2 電話交換臺每分鐘接到的呼叫次數(shù)X為隨機(jī)變量，設(shè)XP(4)，求一分鐘內(nèi)呼叫次數(shù)(1)恰為8次的概率；(2)不超過1次的概率解 在這里=4，故         當(dāng)n很大，p很小時，二項分布可以用泊松分布近似，有      

33、0;                其中=np 例3 某單位為職工上保險，已知某種險種的死亡率是0.0025，該單位有職工800人，試求在未來的一年里該單位死亡人數(shù)恰有2人的概率 解 用X表示死亡人數(shù)，則“死亡人數(shù)恰有2人”表為“X =2”，Xb(800,0.0025)若用二項分布計算，則          由于試驗次數(shù)較多，計算較繁，故用泊松分布

34、計算：n=800，    p=0.0025，=np=2，k=2，于是            11.3.2 幾種常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布均勻分布：如果隨機(jī)變量X的概率密度是            則稱X服從a,b上的均勻分布，記作U(a,b)如果X在a,b上服從均勻分布，則對任意滿足ac<db的c,d，有  

35、60;  例4一位乘客到某公共汽車站等候汽車，如果他完全不知道汽車通過該站的時間，則他的候車時間X是一個隨機(jī)變量，假設(shè)該汽車站每隔6分鐘有一輛汽車通過，則乘客在0到6分鐘內(nèi)乘上汽車的可能性是相同的，因此隨機(jī)變量X服從均勻分布，分布密度函數(shù)為           可以計算他等候時間不超過3分鐘的概率是             超過4分鐘的概率是 正態(tài)分布：如果隨機(jī)變量X的概率密度

36、函數(shù)是             則稱X服從正態(tài)分布，記作，其中是兩個常數(shù)，稱為參數(shù)利用微積分的知識可知道正態(tài)分布概率密度函數(shù)的性態(tài)：(1)f(x)以x=為對稱軸，并在x=處達(dá)到最大，最大值為 (2)當(dāng)x±時，f(x)0，即f(x)以x軸為漸近線 (3) 用求導(dǎo)的方法可以證明：x=±為f(x)的兩個拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且為拐點(diǎn)到對稱軸的距離(4) 若固定而改變的值，則正態(tài)分布曲線沿著x軸平行移動，而不改變其形狀，可見曲線的位置完全由參數(shù)確定；若固定改變的

37、值，則當(dāng)越小時圖形變得越陡峭；反之，當(dāng)越大時圖形變得越平緩，因此的值刻畫了隨機(jī)變量取值的分散程度：即越小，取值分散程度越小，越大，取值分散程度越大標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：若正態(tài)分布N(,2)中的兩個參數(shù)=0,=1時，相應(yīng)的分布N(0,1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形關(guān)于y軸對稱，通常用表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的概率密度，用表示N(0,1)的分布函數(shù)，即   這說明，若隨機(jī)變量XN(0,1)，則事件Xx的概率是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度曲線下小于x的區(qū)域面積，如圖11-4所示的陰影部分的面積由此不難得到事件aXb的概率為    

38、0;由于是偶函數(shù)，故有顯然           例6 設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1)，求P(X<1.65),P(1.65X<2.09),P(X2.09). 解一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系：設(shè)XN(,2)，對任意的x1<x2，由概率密度的定義，有              作積分換元，設(shè)，則  即   &

39、#160;   于是正態(tài)分布的概率計算化成了查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表的計算問題. 例7設(shè)XN(1,0.22)，求P(X<1.2)及P(0.7X<1.1) 解 設(shè)，則YN(0,1)，于是            例8設(shè)XN(3,22)，試求：(1)P(|X|>2)         (2)P(X>3)    

40、60;       (3)若P(X>c)=P(Xc)，問c為何值? 解    (3) 要使P(X>c)=P(Xc)，即 1-P(Xc)=P(Xc)       于是P(Xc)=1/2 .      即c應(yīng)滿足    反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表，故c=3.例9已知某車間工人完成某道工序的時間X服從正態(tài)分布N(10,32)，問：(1)從該車間工

41、人中任選一人，其完成該道工序的時間不到7分鐘的概率；(2)為了保證生產(chǎn)連續(xù)進(jìn)行，要求以95的概率保證該道工序上工人完成工作時間不多于15分鐘，這一要求能否得到保證?解根據(jù)已知條件， XN(10,32)，故 11.4期望與方差11.4.1數(shù)學(xué)期望(平均數(shù))定義11.4設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為       X       x1       x2   

42、60;       xnP(X=xk)       p1       p2           pn則稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，記作E(X). 對于離散型隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=f(X)的數(shù)學(xué)期望有如下公式：如果f(x)的數(shù)學(xué)期望存在，則  

43、60;        例1設(shè)X的概率分布為     Xk    -1    0    2    3     pk   1/8   1/4   3/8  

44、0;1/4求：E(X)；E(X2)；E(-2X+1) 解 定義11.5設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度是f(x)，若積分收斂，則稱積分為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作E(X)，即同樣,對于連續(xù)型隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望有如下公式：如果g(X)的數(shù)學(xué)期望存在，則             其中f(x)是X的分布密度函數(shù) 例2設(shè)隨機(jī)變量X服從均勻分布          

45、0;     求X和Y=5X2的數(shù)學(xué)期望(k>0,k為常數(shù))解     11.4.2方差定義11.6設(shè)X是一個隨機(jī)變量，若EX-E(X)2存在，則稱EX-E(X)2為X的方差，記為D(X)，即D(X)=EX-E(X)2. 實際使用中,為了使單位統(tǒng)一，引入標(biāo)準(zhǔn)差描述X的偏離程度               若離散型隨機(jī)變量X的分布列為pk=P(X=xk)，則X的方差為

46、60;              若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度是f(x)，則X的方差為            注意到分布密度f(x)有性質(zhì)，于是            上式右端的第一項為E(X2)，從而得到計算方差的一個最常用的公式： &#

47、160;             D(X)=E(X2)-E(X)2,此公式對離散型隨機(jī)變量也成立 例3設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其分布列是P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=q (p+q=1).求D(X). 解E(X)=1p+0q=p    E(X2)=12p+02q=p    D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=pq. 例3設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其分布列是P(X=1)=

48、p，P(X=0)=1-p=q (p+q=1).求D(X). 解E(X)=1p+0q=p    E(X2)=12p+02q=p    D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=pq. 例4計算本節(jié)例1的方差解    例5設(shè)XN(0,1)，求X的期望與方差 解因為XN(0,1)，于是               由于被積函數(shù)為奇函數(shù)，故積分為零即E(

49、X)=0        于是D(X)=E(X2)-E(X)2=1-0=1 .11.4.3期望和方差的性質(zhì)性質(zhì)1E(c)=c，D(c)=0 (c為任意常數(shù)) 性質(zhì)2設(shè)k為常數(shù)，則E(kX)=kE(X)，D(kX)=k2D(X) 性質(zhì)3對于任意兩個隨機(jī)變量X,Y，有                      E(

50、X±Y)=E(X)±E(Y)           對于相互獨(dú)立的兩個隨機(jī)變量X,Y，有                     D(X±Y)=D(X)+D(Y) 這個性質(zhì)可以推廣到多個隨機(jī)變量的情形：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn，則有  &#

51、160;        E(X1+X2+Xn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn)如果隨機(jī)變量X1,X2,Xn相互獨(dú)立，則有           D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn) 性質(zhì)4E(aX+b)=aE(X)+b， D(aX+b)=a2D(X)例6 已知YN(2,0.32)，求E(Y)和D(Y)解 令，則XN(0,1),Y=0.3X+2由例5知E(X)=0，D(X)=1，再由性

52、質(zhì)4知 E(Y)=E(0.3X+2)=0.3E(X)+2=2;              D(Y)=D(0.3X+2)=0.32D(X)=0.32 .正態(tài)分布N(,2)中的兩個參數(shù),即為正態(tài)分布的期望和標(biāo)準(zhǔn)差11.4.4常用分布的期望與方差1兩點(diǎn)分布若X的分布列是P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=q，則           

53、0;                 E(X)=p，D(X)=pq2二項分布若XB(n,p) ,其分布列為             則              

54、;         E(X)=np，D(X)=np(1-p) 3泊松分布若XP()，其分布列為，則E(X)=， D(X)=4均勻分布若XU(a,b)，則               5正態(tài)分布若XN(0,1)則E(X)=0，D(X)=1,若XN(,2)，         

55、0;      則E(X)=，D(X)=211.4.5矩定義11.7設(shè)X是隨機(jī)變量，若Xk的期望E(Xk)存在，則稱它為隨機(jī)變量X 的k階原點(diǎn)矩(k=1,2,)若X-E(X)k的期望EX-E(X)k存在，則稱它為X的k階中心矩(k=1,2,)          表11-1k階原點(diǎn)矩和k階中心矩的計算公式  k階原點(diǎn)矩     E(Xk)   

56、60;       k階中心矩         EX-E(X)k離散型隨機(jī)變量X的概率分布是pi=P(X=xi)     連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率分布密度是f(x)第11章 習(xí)題課總結(jié)歸納本章主要內(nèi)容：1隨機(jī)變量    如果一個變量，它的取值隨著試驗結(jié)果的不同而變化著，當(dāng)試驗結(jié)果確定后，它所取的值也就相應(yīng)地確定，也就是說這個變量的取值伴有相應(yīng)的概率，

57、這種變量稱為隨機(jī)變量    2離散型隨機(jī)變量及其概率分布    若隨機(jī)變量的所有取值是有限個或可列多個，則稱之為離散型隨機(jī)變量    設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為x1,x2,xk,X取各個可能值的概率分別為                    pk=P(X=xk)，k=1

58、,2,則稱這個概率表示式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布列，簡稱分布    3連續(xù)型隨機(jī)變量    設(shè)隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),(-<x<+)，使得對任意實數(shù)ab，有                     則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x)為X的概率密度  &

59、#160; 4隨機(jī)變量X,Y是獨(dú)立的    設(shè)X,Y是兩個隨機(jī)變量，如果對于任意的實數(shù)x,y，事件X<x,Y<y是相互獨(dú)立的，即滿足               PX<x,Y<y=PX<xPY<y，則稱隨機(jī)變量X,Y是獨(dú)立的    5分布函數(shù)    設(shè)X是一個隨機(jī)變量，X是任意實數(shù)，

60、稱函數(shù)F(x)=P(Xx)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)    6幾種常見離散型隨機(jī)變量的分布及其分布列    (1) 兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量X只取0,1兩個值，概率分布是                    P(X=1)=p，P(X=0)=1-p  (0<p<1)，則稱X服從兩點(diǎn)分布  

61、;  (2) 二項分布若隨機(jī)變量X的概率分布為          則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記為B(n,p).    二項分布的實驗背景是：對只有兩個試驗結(jié)果的試驗E；                     &#

62、160;獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，事件A發(fā)生的次數(shù)X服從二項分布B(n,p).    (3) 泊松分布若隨機(jī)變量X取值為0,1,2,，其相應(yīng)的概率分布為                      其中為參數(shù)(>0)，則稱X服從泊松分布，記作P().    7幾種常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 &

63、#160;  (1) 均勻分布若隨機(jī)變量X的概率密度是                    則稱X服從a,b上的均勻分布，記作U(a,b)    (2) 正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的概率密度是            

64、0;   則稱X服從正態(tài)分布，記作XN(,2)，其中,(>0)是兩個常數(shù)    若正態(tài)分布N(,2)中的兩個參數(shù)=0,=1，則相應(yīng)的分布N(0,1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布    標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的概率密度                        

65、         分布函數(shù)                      8隨機(jī)變量的函數(shù)    設(shè)f(x)是一個函數(shù)，所謂隨機(jī)變量X的函數(shù)f(X)是指這樣的隨機(jī)變量Y：當(dāng)X取值x時，Y取值y=f(x)，記作Y=f(X)   

66、; 9數(shù)學(xué)期望    離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為                         P(X=xk)=pk，k=1,2,.若級數(shù)絕對收斂，則稱和數(shù)為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，記作E(X)，即    連續(xù)型隨

67、機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度是f(x)，若積分收斂，則稱積分為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作E(X)，即            10方差    設(shè)X是一個隨機(jī)變量，若EX-E(X)2存在，則稱EX-E(X)2為X的方差，記為D(X),即          標(biāo)準(zhǔn)差      &#

68、160;             11矩    設(shè)X是隨機(jī)變量，若Xk的期望E(Xk)存在，則稱它為X的k階原點(diǎn)矩(k=1,2,).    若X-E(X)k的期望EX-E(X)k存在，則稱它為X的k階中心矩(k=1,2,). 基本性質(zhì)1離散型隨機(jī)變量X的分布列pk=P(X=xk)，(k=1,2,)滿足：       &

69、#160;2連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度滿足：        3分布函數(shù)F(x)具有如下性質(zhì)：    (1) 0F(x)1;    (2) F(x)是單調(diào)不減函數(shù)，且F(+)=1，F(xiàn)(-)=0；    (3) 對于連續(xù)型隨機(jī)變量，有      對于離散型隨機(jī)變量，有      4正態(tài)分布的性

70、質(zhì)    (1) 若隨機(jī)變量XN(,2)，則隨機(jī)變量    (2) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)               5隨機(jī)變量X的期望和方差具有下列性質(zhì)：    (1) E(c)=c,D(c)=0;    (2) 設(shè)k為常數(shù)，則E(kX)=kE(X),D(kX)=k2D(X)； &#

71、160;  (3) 對于任意兩個隨機(jī)變量X,Y，有E(X±Y)=E(X)±E(Y)；    (4) 對于相互獨(dú)立的兩個隨機(jī)變量X,Y，有D(X±Y)=D(X)±D(Y)；    (5) E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)計算 1正態(tài)分布的概率計算設(shè)XN(,2)，對任意的x1<x2，有           &

72、#160;       2分布函數(shù)      3期望    離散型          連續(xù)型         4方差    離散型       

73、60;   連續(xù)型          統(tǒng)一公式        5隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=f(X)的數(shù)學(xué)期望：    離散型     連續(xù)型    6隨機(jī)變量函數(shù)的分布    如果離散型隨機(jī)變量X的概率分布是pk=P(x=xk),(k=

74、1,2,)，且f(xk)的值全不相等，則Y=f(X)的概率分布是pk=P(Y=f(xk),(k=1,2,)，若f(xk)的值中有相等的，則把那些相等的值合并起來，同時把對應(yīng)的概率相加，即得隨機(jī)變量Y的概率分布    設(shè)隨機(jī)變量X和隨機(jī)變量Y=(X)的分布密度分別記為若函數(shù)F(X)是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，X=g(Y)是Y=F(X)的反函數(shù)，則                   

75、;            7常見分布的期望和方差    (1)兩點(diǎn)分布E(X)=p，D(X)=pq    (2)二項分布若XB(n,p)，則E(X)=np，D(X)=np(1-p)    (3)泊松分布若XP()，則E(X)=，D(X)=     (4)均勻分布若XU(a,b)，則    (5)正態(tài)分布若XN(,2)，則E(X)=，D(X)=2 ；       若XN(0,1) ，則E(X)=0，D(X)=1 例題分析部分習(xí)題的處理：(一) 關(guān)于隨機(jī)變量分布列例1擲一枚勻稱骰子，用X表示出現(xiàn)的每一個結(jié)果 解 X是隨機(jī)變量，在未試驗前，出現(xiàn)幾點(diǎn)，即X取什么數(shù)是不能確定的，但X的所有取值就是1,2,3,4,5,6，這可預(yù)先知道，而且取這些數(shù)的概率是            例