第三章晶體的振動1

1、第三章第三章 晶體振動和晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶體振動和晶體的熱學(xué)性質(zhì)一、晶體振動一、晶體振動1.晶體振動晶體振動 晶體中的原子并不是在各自的平衡位置上固晶體中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不動，而是為繞其平衡位置作振動。定不動，而是為繞其平衡位置作振動。2.振動的特點振動的特點 晶體中各原子的振動是相互聯(lián)系的。晶體中各原子的振動是相互聯(lián)系的。3.振動模式振動模式 用格波表述原子的各種振動模式用格波表述原子的各種振動模式二、晶體振動的分類二、晶體振動的分類(根據(jù)振動的劇烈程度分類根據(jù)振動的劇烈程度分類)1.晶格振動晶格振動原子在平衡位置附近的微振動。原子在平衡位置附近的微振動。2.空位或間隙原子空

2、位或間隙原子少數(shù)原子脫離其格點的振少數(shù)原子脫離其格點的振動。動。3.熔解熔解溫度相當(dāng)高，整個晶體瓦解，即長程溫度相當(dāng)高，整個晶體瓦解，即長程序解體。序解體。三、晶格振動的特點三、晶格振動的特點1.當(dāng)原子間相互作用微弱時，原子的振動可近似當(dāng)原子間相互作用微弱時，原子的振動可近似為相互獨立的簡諧振動。為相互獨立的簡諧振動。2.由于晶體的周期性，振動模式所取的能量值不由于晶體的周期性，振動模式所取的能量值不是連續(xù)的，而是分立的。是連續(xù)的，而是分立的。3.可以用一系列獨立的簡諧振子來描述這些獨立而可以用一系列獨立的簡諧振子來描述這些獨立而又分立的振動模式。簡諧振子的能量用能量量子又分立的振動模式。簡諧

3、振子的能量用能量量子(稱為聲子，稱為聲子， 微振動模式的角頻率。微振動模式的角頻率。) )描述。描述。振子之間不會發(fā)生相互作用，即不能有能量的交振子之間不會發(fā)生相互作用，即不能有能量的交換。聲子一旦被激發(fā)出來，它的數(shù)目就一直保持換。聲子一旦被激發(fā)出來，它的數(shù)目就一直保持不變。不能把能量傳遞給其它頻率的聲子。不變。不能把能量傳遞給其它頻率的聲子。4.如果原子間的相互作用稍強時，就必須考慮非簡如果原子間的相互作用稍強時，就必須考慮非簡諧效應(yīng)諧效應(yīng)聲子間發(fā)生能量的交換。聲子間發(fā)生能量的交換。5.晶體的宏觀性質(zhì)，例如，比熱、熱膨脹和熱傳導(dǎo)晶體的宏觀性質(zhì)，例如，比熱、熱膨脹和熱傳導(dǎo)等都與晶格振動有關(guān)。等

4、都與晶格振動有關(guān)。3.1 一維原子鏈的振動一維原子鏈的振動一、一維布喇菲晶格的振動一、一維布喇菲晶格的振動1.原子的運動方程原子的運動方程(1)振動示意圖振動示意圖m為原子質(zhì)量；為原子質(zhì)量；xn為位移。為位移。 n-2 n-1 n n+1 n+2nx1 nx2 nx1 nx2 nxnnxx 1 第第n個原子和第個原子和第n+1個原子間的相對位移。個原子間的相對位移。(2)兩原子間的相互作用力兩原子間的相互作用力U(a)：平衡時兩原子間的互作用勢能；：平衡時兩原子間的互作用勢能；U(a+)：產(chǎn)生相對位移：產(chǎn)生相對位移后的互作用勢能。后的互作用勢能。把把U(a+)在平衡位置附近用泰勒級數(shù)展開，可得

5、：在平衡位置附近用泰勒級數(shù)展開，可得： 22221 aadrUddrdUaUaU項項。泰泰勒勒展展開開式式中中只只保保留留到到很很小小，所所以以，且且當(dāng)當(dāng)振振動動很很微微弱弱時時，由由于于20 adrdU 22221 adrUdaUaU?；謴?fù)力系數(shù)?；謴?fù)力系數(shù)?；謴?fù)力：恢復(fù)力：0221222222 aaadrUddrUddrUdddUfrramrUfOO0間距增大間距增大0間距縮小間距縮小f f a)f 0斥力斥力(rmn222 n12 n22 nfnf2正方向正方向m(2n+1)原子受原子受力分析力分析 nnnxxf2122 122222 nnnxxf 12222222122 nnnnnnx

6、xxfff 合合力力：M(2n+2)受受力分析力分析 122212 nnnxxf 223232 nnnxxf 2212323212222 nnnnnnxxxfff 合合力力：22 n12 n32 nf12 nf正方向正方向32 n(3)運動方程運動方程 1222221222 nnnnxxxdtxdm NnxxxdtxdMnnnn, 3, 2, 1 22212322222 tnqintnqinBexAex 22221212(3)位移表達式位移表達式(運動方程的解運動方程的解)2.和和q的關(guān)系的關(guān)系色散關(guān)系色散關(guān)系(振動頻譜振動頻譜)。把位移。把位移表達式代入相應(yīng)的運動方程，通過整理，可以得表達式

7、代入相應(yīng)的運動方程，通過整理，可以得到到和和q的色散關(guān)系。的色散關(guān)系。(1)m(2n+1)原子原子: 1222221222 nnnnxxxdtxdm tnqinAex 1212 0cos222 BqaAm (2)M(2n+2)原子原子同理可得：同理可得： 02cos22 BMAqa 02cos2 0cos2 2 22BMAqaBqaAm (3)和和q的關(guān)系的關(guān)系色散關(guān)系色散關(guān)系(振動頻譜振動頻譜) 此方程組中，此方程組中，A、B若有異于零的解，其系數(shù)若有異于零的解，其系數(shù)行列式必須等于零。行列式必須等于零。 02 cos2cos2 2 22 Mqaqam 0sin422224 qamMMm 2

8、12222cos2qaMmmMmMMm (4)結(jié)果分析結(jié)果分析 由于由于 和和 q 存在兩種不同的色散關(guān)系，即存存在兩種不同的色散關(guān)系，即存在兩種獨立的格波，所以一維復(fù)式晶格中存在則在兩種獨立的格波，所以一維復(fù)式晶格中存在則兩種不同的格波，分別有著各自的色散關(guān)系。兩種不同的格波，分別有著各自的色散關(guān)系。 聲聲學(xué)學(xué)波波 2122212cos2qaMmmMmMMm 光光學(xué)學(xué)波波 2122222cos2qaMmmMmMMm 3.2的周期性的周期性 由于由于是是q的周期函數(shù)，為了保證的周期函數(shù)，為了保證和和q的一的一一對應(yīng)關(guān)系，通常把一對應(yīng)關(guān)系，通常把q的取值范圍定在：的取值范圍定在： aa 2,2

9、4. 1和和2簡析簡析(1) 1極大值極大值 2122212cos2qaMmmMmMMm 2122222cos2qaMmmMmMMm mmaqmMMmMmmMq 22222, 0min22min2max22max2 ，則則有有如如果果；則則有有：如如果果(2) 2極小值極小值MMaqq 22200, 0max12max1121 ，則則有有如如果果則則有有：如如果果(3)結(jié)論結(jié)論所所對對應(yīng)應(yīng)的的格格波波的的頻頻率率。小小于于所所對對應(yīng)應(yīng)的的格格波波的的頻頻率率恒恒即即；21min2max1 聲學(xué)波聲學(xué)波1支格波可支格波可以用聲波來激發(fā)，稱為聲以用聲波來激發(fā)，稱為聲頻支格波。簡稱頻支格波。簡稱聲學(xué)

10、波聲學(xué)波。光學(xué)波光學(xué)波2支格波可支格波可以用光波來激發(fā)，稱為光以用光波來激發(fā)，稱為光頻支格波。簡稱頻支格波。簡稱光學(xué)波光學(xué)波。Oqa2 a2 m 2 M 2 21 2 光光學(xué)學(xué)波波聲聲學(xué)學(xué)波波三、聲學(xué)波和光學(xué)波的物理意義三、聲學(xué)波和光學(xué)波的物理意義1.一維復(fù)式格子和布喇菲格子中聲學(xué)波的關(guān)系一維復(fù)式格子和布喇菲格子中聲學(xué)波的關(guān)系(1) 和和q的關(guān)系的關(guān)系 21222122212212221sin411 sin212211 2cos2211 2cos2mMqaMmmMMmmMqaMmMmmMMmmMqaMmMmmMMmqaMmmMmMMm ?？煽傻玫茫?，如如果果，利利用用12111sin422 x

11、xxmMqaMm qamMmMqaMmmMMm22221sin2 sin211 qamMsin21 (2)結(jié)論結(jié)論一維復(fù)式格子中的聲學(xué)波和一維布喇菲格子中一維復(fù)式格子中的聲學(xué)波和一維布喇菲格子中的聲學(xué)波在形式上是相同的。具有相似的波形；的聲學(xué)波在形式上是相同的。具有相似的波形；一維布喇菲晶格中只有聲學(xué)波。一維布喇菲晶格中只有聲學(xué)波。2sin221qam 2.聲學(xué)波的物理意義聲學(xué)波的物理意義(1)聲學(xué)波中，相鄰兩原子聲學(xué)波中，相鄰兩原子(M和和m)的振動情況的振動情況 0222;,2,2:,2,2:0cos 02cos2 0cos22212max12121121 mMmmmqaaaqqamqaB

12、ABqaAm一一般般情情況況下下：可可得得：由由方方程程：結(jié)論結(jié)論相鄰原子相鄰原子是沿著是沿著同一方向同一方向振動的。當(dāng)波長很長振動的。當(dāng)波長很長時，聲學(xué)波實際上是代表原子質(zhì)心的振動。聲學(xué)波描述時，聲學(xué)波實際上是代表原子質(zhì)心的振動。聲學(xué)波描述的是晶體中不同原胞之間的振動情況。的是晶體中不同原胞之間的振動情況。n)(橫橫波波圖圖聲聲學(xué)學(xué)波波中中原原子子振振動動示示意意(2)兩種特殊振動兩種特殊振動 體體，其其質(zhì)質(zhì)心心來來回回振振動動。原原胞胞的的振振動動如如同同一一個個剛剛時時：12cos2 0211 mqaBAq 原子振動。原子振動。原子保持不動，原子保持不動，原胞中原胞中時：時：)2()12

13、(00/222cos2 21nMnmAMmaaBAaq n10, , 01 BAq n, 0 , 0,21 BAAaq 0122222, 0cos0cos2202cos22min22222222 mMmMMMqaqaMBABMAqa ；一般情況下：；一般情況下：可得：可得：由方程：由方程：3.光學(xué)波的物理意義光學(xué)波的物理意義(1)光學(xué)波中，相鄰兩原子光學(xué)波中，相鄰兩原子(M和和m)的振動情況的振動情況結(jié)論結(jié)論相鄰兩種不同的原子相鄰兩種不同的原子振動的方向是相反振動的方向是相反的。當(dāng)波長很長時，原胞質(zhì)心保持不動。光學(xué)波的。當(dāng)波長很長時，原胞質(zhì)心保持不動。光學(xué)波描述的是同一原胞中各原子之間的相對振

14、動情況。描述的是同一原胞中各原子之間的相對振動情況。n)(橫波橫波動示意圖動示意圖光學(xué)波中元胞中原子振光學(xué)波中元胞中原子振(2)兩種特殊振動兩種特殊振動 。而而大大原原子子振振動動的的幅幅度度小小小小原原子子振振動動的的幅幅度度大大，原原胞胞的的質(zhì)質(zhì)心心保保持持不不動動，折折合合質(zhì)質(zhì)量量；時時：0;cos2/22 ,/20221max2 MBmAmMqaMBAq 原子振動。原子振動。原子保持不動，原子保持不動，原胞中原胞中。即：即：時：時：)12()2(0;2cos2/22/2 22212min nmnMBaamMBAmaq n mMBAq 221max2,/2 , 0 n , ,/2,222

15、1min2 BAmaq 四、周期性邊界條件四、周期性邊界條件(波恩波恩-卡門邊界條件卡門邊界條件) 1.波恩波恩-卡門邊界條件卡門邊界條件 對于有限的對于有限的(N個原子組成個原子組成)原子鏈，晶體兩原子鏈，晶體兩端原子的受力情況和內(nèi)部的有所不同。端原子的受力情況和內(nèi)部的有所不同。 1 2 3 n-1 n n+1 n+2 N-1 N(1)各原子受力分析即運動方程各原子受力分析即運動方程n號原子：號原子：n1 nf1 nf nnnnnnnnnnxxxdtxdmxxxfff2211221111 運動方程：運動方程：1號原子號原子 122121221xxdtxdmxxff 運動方程：運動方程：N號原

16、子號原子同理可得：同理可得：2f12 NNNxxdtxdm 122 運動方程：運動方程：結(jié)論結(jié)論由于所有原子的方程都是聯(lián)立的，由于所有原子的方程都是聯(lián)立的，1號原子和號原子和N號原子運動方程的差異將會使方程組號原子運動方程的差異將會使方程組的求解十分復(fù)雜，為了解決這一問題，波恩的求解十分復(fù)雜，為了解決這一問題，波恩-卡卡門提出了如下的模型門提出了如下的模型波恩波恩-卡門邊界條件卡門邊界條件。(2)波恩波恩-卡門邊界條件卡門邊界條件 假設(shè)對于給定的有限長為假設(shè)對于給定的有限長為Na(a為晶格常數(shù)，為晶格常數(shù)，N為為原子個數(shù)原子個數(shù))的晶體的邊界之外，仍然有無窮多個和該的晶體的邊界之外，仍然有無窮

17、多個和該晶體完全相同的晶體，并且這些完全相同的晶體內(nèi)晶體完全相同的晶體，并且這些完全相同的晶體內(nèi)相對應(yīng)的原子的運動狀況是一樣的，即第相對應(yīng)的原子的運動狀況是一樣的，即第j(j=1,2,N)個原子和第個原子和第tN+j(t=1,2,)個原子的運動情況是一樣個原子的運動情況是一樣的。由于相互作用是的。由于相互作用是短程的短程的，所以，晶體內(nèi)的絕大，所以，晶體內(nèi)的絕大數(shù)原子受此假想晶體的影響很弱，完全可以忽略。數(shù)原子受此假想晶體的影響很弱，完全可以忽略。 1 2 j N N+1 N+j 2N 2N+1 2N+j 3N 3N+1 tN+j2.波恩波恩-卡門邊界條件在有限一維布喇菲格子中的應(yīng)用卡門邊界條

18、件在有限一維布喇菲格子中的應(yīng)用 1 2 j N N+1 N+j 2N 2N+1 2N+j 3N 3N+1 tN+j1號原子應(yīng)和號原子應(yīng)和N+1號原子的振動完全相同。即：號原子的振動完全相同。即： )( 21111111為整數(shù)為整數(shù)；llqNaeeAeAeAeAexAexxxiqNaiqNatqaitaNqitqaitaNqiNtqaiN 22- 2 NlNNalq 個分立的值。個分立的值。只能取只能取矢矢描述晶格振動狀態(tài)的波描述晶格振動狀態(tài)的波Nq為元胞數(shù)。為元胞數(shù)。個分立的值。個分立的值。只能取只能取，；NNqNlNNlaNalqNlaNalqNalqaqaaaq22-22222 ;,222

19、111 2.波恩波恩-卡門邊界條件在有限一維復(fù)式格子中的應(yīng)用卡門邊界條件在有限一維復(fù)式格子中的應(yīng)用 設(shè)晶體有設(shè)晶體有N個原胞組成，每個原胞中含有兩個不同個原胞組成，每個原胞中含有兩個不同的原子。由周期性邊界條件可得：的原子。由周期性邊界條件可得：(2n+1)和和2N+(2n+1)完全相同。即：完全相同。即：12 nN2)12(2 nN )( 22121221)(2121212212為整數(shù)為整數(shù)；llqNaeAexAexxxNaiqtanNqiNntanqinnNn 22- NlNNalq 個分立的值。個分立的值。只能取只能取矢矢描述晶格振動狀態(tài)的波描述晶格振動狀態(tài)的波Nq為原胞數(shù)。為原胞數(shù)。個

20、分立的值。個分立的值。也只能取也只能取，；NNqNl2N-NlaNalqNlaNalqNalq aqaaaq22222;222,2222111 3.原胞數(shù)原胞數(shù)N和波矢和波矢q、角頻率、角頻率的關(guān)系的關(guān)系(1)不管是布喇菲格子還是復(fù)式格子，波矢不管是布喇菲格子還是復(fù)式格子，波矢q數(shù)目數(shù)目等于晶體中原胞的數(shù)目等于晶體中原胞的數(shù)目N。(2)對于一維布喇菲格子，每個波矢對于一維布喇菲格子，每個波矢q對應(yīng)于一個對應(yīng)于一個角頻率角頻率 ?？偟慕穷l率個數(shù)為?？偟慕穷l率個數(shù)為N個。個。(3)對于一維復(fù)式格子，每個波矢對于一維復(fù)式格子，每個波矢q對應(yīng)于對應(yīng)于n(n是每是每個原胞中包含的原子數(shù)目個原胞中包含的原

21、子數(shù)目)個角頻率個角頻率?？偟慕穷l總的角頻率個數(shù)為率個數(shù)為nN個。個。 4.結(jié)論結(jié)論 (1)晶格振動波矢的數(shù)目晶格振動波矢的數(shù)目=晶體原胞數(shù)晶體原胞數(shù)； (2)晶格振動頻率的數(shù)目晶格振動頻率的數(shù)目=晶體自由度數(shù)晶體自由度數(shù)。3.2 晶格振動的量子化晶格振動的量子化 聲子聲子1.格波格波描述晶格振動的波。對于微弱的晶格描述晶格振動的波。對于微弱的晶格振動，在簡諧近似的情況下，格波可以看成簡諧振動，在簡諧近似的情況下，格波可以看成簡諧波。每個格波都是一個獨立的模式?？梢杂锚毩⒉?。每個格波都是一個獨立的模式?？梢杂锚毩⒑?諧 振 子 來 描 述 格 波 的 獨 立 模 式 。簡 諧 振 子 來 描

22、述 格 波 的 獨 立 模 式 。2.聲子聲子()簡諧振子的能量量子。簡諧振子的能量量子。 振動模振動模式的角頻率。聲子不是真正的粒子，而是表示狀式的角頻率。聲子不是真正的粒子，而是表示狀態(tài)的態(tài)的“準(zhǔn)粒子準(zhǔn)粒子”。晶格振動的能量是以。晶格振動的能量是以為單為單元來增、減能量的。格波與物質(zhì)的相互作用可以元來增、減能量的。格波與物質(zhì)的相互作用可以理解為聲子和晶體中原子、分子的相互碰撞。理解為聲子和晶體中原子、分子的相互碰撞。3.三維晶體原胞數(shù)、波矢、模式數(shù)之間的關(guān)系三維晶體原胞數(shù)、波矢、模式數(shù)之間的關(guān)系晶體有晶體有N個原胞組成，每個原胞中含有個原胞組成，每個原胞中含有n個原子。個原子。(1)波矢波

23、矢q數(shù)目數(shù)目N。(晶體原胞數(shù)目晶體原胞數(shù)目)(2)晶體自由度數(shù)目晶體自由度數(shù)目3nN。(3)晶體頻率晶體頻率數(shù)目數(shù)目3nN。(4)格波數(shù)目格波數(shù)目3nN。(5)格波支數(shù)格波支數(shù)3n支支。每只對應(yīng)。每只對應(yīng)N個個 。(6)聲學(xué)波支數(shù)聲學(xué)波支數(shù)3支支。共有。共有3N個個 。(7)光學(xué)波支數(shù)光學(xué)波支數(shù)(3n-3)支支，共有，共有(3n-3)N個個。 例如，分別由例如，分別由N個原胞組成的鋁晶體和金剛石晶個原胞組成的鋁晶體和金剛石晶體 中 ， 聲 學(xué) 波 、 光 學(xué) 波 的 分 布 情 況 。體 中 ， 聲 學(xué) 波 、 光 學(xué) 波 的 分 布 情 況 。鋁晶體：鋁是面心立方結(jié)構(gòu)，因此格波中只有鋁晶體：

24、鋁是面心立方結(jié)構(gòu)，因此格波中只有3支支聲學(xué)波，而沒有光學(xué)波。聲學(xué)波的個數(shù)為聲學(xué)波，而沒有光學(xué)波。聲學(xué)波的個數(shù)為3N個。個。金剛石：金剛石是復(fù)式格子，金剛石：金剛石是復(fù)式格子，n=2，格波支數(shù)共，格波支數(shù)共有有3n支，其中聲學(xué)波支，其中聲學(xué)波3支，光學(xué)波支，光學(xué)波(3n-3)=3支。支。4.晶格振動的總能量晶格振動的總能量；零零點點振振動動能能。格格波波的的頻頻率率； iinNiiinE 2121 313.3 長波近似長波近似一、長聲學(xué)波一、長聲學(xué)波1.長聲學(xué)波波速長聲學(xué)波波速vp的計算的計算 當(dāng)波長很長時，當(dāng)波長很長時，q很小。很小。 qamMqamM 2sin21q 2 為為晶晶格格常常數(shù)數(shù)

25、。為為原原子子質(zhì)質(zhì)量量；、晶晶體體恢恢復(fù)復(fù)力力常常數(shù)數(shù)；其其中中：amMdrUda222 常常數(shù)數(shù)； amMqvp 2 12.物理意義物理意義 相鄰原胞中原子振動的位相差趨于零，而且相鄰原胞中原子振動的位相差趨于零，而且振幅也趨于相等。振幅也趨于相等。3.原因原因 這是由于長聲學(xué)波的波長遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原胞的線這是由于長聲學(xué)波的波長遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原胞的線度，在半個波長內(nèi)就包含了許多原胞，這些原胞度，在半個波長內(nèi)就包含了許多原胞，這些原胞都整體的沿同一方向運動。因此整個晶格可以近都整體的沿同一方向運動。因此整個晶格可以近似地看成連續(xù)介質(zhì)，而長聲學(xué)波也就可以近似地似地看成連續(xù)介質(zhì)，而長聲學(xué)波也就可以近似地被認(rèn)為

26、是彈性波。被認(rèn)為是彈性波。n二、長光學(xué)波二、長光學(xué)波對于長光學(xué)波，也可以在宏觀理論的基礎(chǔ)上對于長光學(xué)波，也可以在宏觀理論的基礎(chǔ)上進行近似處理。這就是黃昆于進行近似處理。這就是黃昆于19511951年首先提年首先提出的方法。離子晶體在作長光學(xué)波振動時，出的方法。離子晶體在作長光學(xué)波振動時，由于原胞內(nèi)正負(fù)離子作相對運動，因而產(chǎn)生由于原胞內(nèi)正負(fù)離子作相對運動，因而產(chǎn)生宏觀極化（出現(xiàn)宏觀電偶極矩）。從而可以宏觀極化（出現(xiàn)宏觀電偶極矩）。從而可以和電磁波發(fā)生強烈相互作用。所以長光學(xué)格和電磁波發(fā)生強烈相互作用。所以長光學(xué)格波與離子晶體的電學(xué)、光學(xué)性質(zhì)有著密切的波與離子晶體的電學(xué)、光學(xué)性質(zhì)有著密切的關(guān)系?？?/p>

27、以利用黃昆的方法，直接由晶體的關(guān)系?？梢岳命S昆的方法，直接由晶體的宏觀性質(zhì)確定長光學(xué)格波的頻率。詳細(xì)計算宏觀性質(zhì)確定長光學(xué)格波的頻率。詳細(xì)計算略。略。cosnuqtqna例題：原子質(zhì)量為例題：原子質(zhì)量為m m，間距為，間距為a a，恢復(fù)力常數(shù)為，恢復(fù)力常數(shù)為的一維簡單晶格頻率為的一維簡單晶格頻率為的格波的格波求求 (1)(1)該波的總能量，該波的總能量， (2)(2)每個原子的時間平均總能量每個原子的時間平均總能量 解：解：(1)格波的總能量為各原子能量的總和，格波的總能量為各原子能量的總和，其中第其中第n個原子的動能為個原子的動能為 212numt而該原子與第而該原子與第n十十1個原子之間

28、的勢能為個原子之間的勢能為 2112nnuu若只考慮最近鄰相互作用，則格波的總能量為若只考慮最近鄰相互作用，則格波的總能量為 2211122nnnnnuEmuut將將 cosnuqtqna代入上式得代入上式得 2222221sin2114sin21sin222nnEmAtqnaqaAtnqa設(shè)設(shè)T為原子振動的周期，利用為原子振動的周期，利用 2011sin2TtdtT可得可得 22202220222211sin21114sin21sin2221sin42TnTnEmAtqna dtTqaAtnqa dtTqamA NA N 式中式中N為原子總數(shù)為原子總數(shù) (2)每個原子的時間平均總能量則為每個

29、原子的時間平均總能量則為 22221sin42EqamAAN作業(yè)作業(yè)1、格波，聲學(xué)波，光學(xué)波，聲子、格波，聲學(xué)波，光學(xué)波，聲子 2長光學(xué)支格波與長聲學(xué)支格波本質(zhì)上有何差長光學(xué)支格波與長聲學(xué)支格波本質(zhì)上有何差別別? 3長聲學(xué)格波能否導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化長聲學(xué)格波能否導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化? 再利用色散關(guān)系再利用色散關(guān)系 224sin2qam便得到每個原子的時間平均能量便得到每個原子的時間平均能量 2212EmAN3.4 固體比熱固體比熱一、經(jīng)典理論對定容比熱的描述一、經(jīng)典理論對定容比熱的描述1.比熱表達式比熱表達式VVTEC 當(dāng)溫度不太低時，電子運動能量的變化對比當(dāng)溫度不太低時，電子運動能量的

30、變化對比熱的貢獻較小熱的貢獻較小(約占約占1%左右左右)，可以忽略。，可以忽略。2.杜隆杜隆-珀替定律珀替定律原原子子個個數(shù)數(shù)。勢勢能能。動動能能和和包包括括。每每一一個個自自由由度度能能量量均均為為；采采用用能能量量均均分分原原理理， NTkTkTkTkTNkEBBBBB21213molKJ9 .241038. 110023. 6332323 BVVNkTEC動動能能量量晶晶格格振振動動能能量量和和電電子子運運括括：是是固固體體的的平平均均內(nèi)內(nèi)能能，包包E3.杜隆杜隆-珀替定律的局限性珀替定律的局限性(1)杜隆杜隆-珀替定律只是在溫度比較高珀替定律只是在溫度比較高(300K以上以上)時和時和

31、實驗相符。實驗相符。(2)當(dāng)溫度較低時，杜隆當(dāng)溫度較低時，杜隆-珀替定律和實驗不符。定容珀替定律和實驗不符。定容比熱不再是常數(shù)，而是隨溫度降低而降低。比熱不再是常數(shù)，而是隨溫度降低而降低。絕緣體的比熱按絕緣體的比熱按 T3 趨于零；導(dǎo)體的比熱按趨于零；導(dǎo)體的比熱按 T 趨于零。趨于零。4.原因原因 低溫時，能量均分的經(jīng)典理論已不再適用，必須低溫時，能量均分的經(jīng)典理論已不再適用，必須用晶格振動的量子理論重新計算晶體的平均內(nèi)能。用晶格振動的量子理論重新計算晶體的平均內(nèi)能。二、量子理論對定容比熱的描述二、量子理論對定容比熱的描述1.平均內(nèi)能的計算平均內(nèi)能的計算(1)振子能量振子能量(量子化量子化)

32、21nEn nEn 21故故能能量量：為為貢貢獻獻，可可以以略略去去，不不隨隨溫溫度度變變化化，對對比比熱熱由由于于(2)溫度為溫度為T時，頻率為時，頻率為的振動的平均能量的振動的平均能量 根據(jù)波爾茲曼統(tǒng)計理論根據(jù)波爾茲曼統(tǒng)計理論,平均能量為：平均能量為：TkxeneeenEBnnxnnxnTknnTknBB ；0000 NiTkiNiiBieEE31311 1111ln000 xxnnxnnxnnxeedxdedxdene式式中中：平均能量為：平均能量為： 1 TknBeE (3)晶體的平均能量晶體的平均能量(4)晶體平均能量的積分表示晶體平均能量的積分表示 表表示示最最大大角角頻頻率率。；

33、其其中中：且且有有：之之間間的的格格波波數(shù)數(shù)，到到表表示示角角頻頻率率在在設(shè)設(shè)mNdddm 3 0 mBdeETk 012.定容比熱定容比熱CV的計算的計算 mBBTkTkBBVVedeTkkTEC 0221 如果要求晶體的定容比熱，必須知道角頻率如果要求晶體的定容比熱，必須知道角頻率分布函數(shù)分布函數(shù)()。 ()的計算有兩種用得比較廣泛的計算模型：的計算有兩種用得比較廣泛的計算模型：愛因斯坦模型和德拜模型。愛因斯坦模型和德拜模型。三、愛因斯坦模型三、愛因斯坦模型1.愛因斯坦模型假設(shè)愛因斯坦模型假設(shè) 晶體中所有的原子都以相同的頻率晶體中所有的原子都以相同的頻率振動。振動。2.晶體平均能量晶體平均

34、能量13131 TkNiTkiBBieNeE 3.定容比熱定容比熱 TkfNkeeTkNkTECBEBTkTkBBVVBB 31322 愛愛因因斯斯坦坦比比熱熱函函數(shù)數(shù)。 221TkTkBBEBBeeTkTkf 4.用愛因斯坦溫度用愛因斯坦溫度E表示定容比熱表示定容比熱稱稱為為愛愛因因斯斯坦坦溫溫度度。；EBEEBkk 2213 TTEBVEEeeTNkC 5. 愛因斯坦溫度愛因斯坦溫度E的選取的選取 采用試探法，選取合適的采用試探法，選取合適的E ，使得理論曲線，使得理論曲線和實驗數(shù)據(jù)較好地吻合。和實驗數(shù)據(jù)較好地吻合。 大多數(shù)固體的大多數(shù)固體的E在在100300K之間之間。6. 溫度較高時的

35、比熱變化溫度較高時的比熱變化molKJ9 .243322 BEEBVNkTTNkC 22222222111 EEETTTTTTTeeeeEEEE 7. 溫度較低時的比熱變化溫度較低時的比熱變化TEBVEeTNkC 23CV比實驗結(jié)果比實驗結(jié)果(T3)更快地趨于零。主要原因如下：更快地趨于零。主要原因如下：(1)原子之間的振動不是獨立的，是有聯(lián)系的。原子之間的振動不是獨立的，是有聯(lián)系的。(2)振動不是一個定值。格波的頻率是不一樣的。振動不是一個定值。格波的頻率是不一樣的。(3)低溫時仍有聲子的激發(fā)。低溫時仍有聲子的激發(fā)。 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

36、 1.0CV(J/Kmol)18. 41 18. 42 18. 43 18. 44 18. 45 18. 46 金剛石比熱的實驗值和愛因斯坦模型計算值的比較金剛石比熱的實驗值和愛因斯坦模型計算值的比較 E=1320KET三、德拜模型三、德拜模型1.德拜模型假設(shè)德拜模型假設(shè)(1)晶體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)；格波看作彈性波。晶體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)；格波看作彈性波。(2)縱波和橫波波速相等，用縱波和橫波波速相等，用vp表示；表示；(3)波矢波矢q連續(xù)變化。連續(xù)變化。2.波矢波矢q的分布的分布波矢空間波矢空間(q空間空間)是狀態(tài)是狀態(tài)空間，在波矢空間中，空間，在波矢空間中，每一點每一點(qxqyqz)

37、所代表的所代表的是一個狀態(tài)。是一個狀態(tài)。xqqdqOyqzq dqqVdqqqVVVNaNaqNaq23333333348)5(881)4(;88/2)3()2(;2)1( 內(nèi)的狀態(tài)數(shù)內(nèi)的狀態(tài)數(shù)分布在分布在；單位體積內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目單位體積內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目所占的體積所占的體積每個狀態(tài)每個狀態(tài)；狀態(tài)數(shù)目狀態(tài)數(shù)目空間分布體積空間分布體積3.角頻率的分布角頻率的分布 ddvVvqddqqVdqqqpp 3222323 )2(483)1(代入上式可得：代入上式可得：內(nèi)的角頻率數(shù)目內(nèi)的角頻率數(shù)目分布在分布在；內(nèi)的角頻率數(shù)內(nèi)的角頻率數(shù)分布在分布在 1123 1022232022 mBBmBBTkTkBBpTkTk

38、BBVedeTkkvVedeTkkC 4.比熱的計算比熱的計算把上式代入比熱公式可得：把上式代入比熱公式可得： 623 331203220pmpvVNdvVdNmm mDBDDBpBmmBkTVNTkvTkxxTk 德拜溫度。德拜溫度。，令令 6312把把式和式和式代入式代入式可得：式可得： TRfedxxeTNkCDDTxxDBVD3190243 德德拜拜比比熱熱函函數(shù)數(shù)。 TxxDDDDedxxeTTf/0243135.當(dāng)當(dāng)TD時時 molKJNkTTNkxxdxxTNkeedxxTNkedxxeTNkCBDDBTDBTxxDBTxxDBVDDD 9 .243 319 21219 9 19

39、330243022121430243和杜隆和杜隆-珀替珀替定律一致。定律一致。6.當(dāng)當(dāng)TD時時德德拜拜定定律律。 34512DBVTNkC 7.德拜定律和實驗結(jié)果的一致性德拜定律和實驗結(jié)果的一致性 德拜定律和實驗符合得非常好，主要因為：德拜定律和實驗符合得非常好，主要因為：(1)在低溫時，長波的激發(fā)時主要的。而對于長波在低溫時，長波的激發(fā)時主要的。而對于長波晶格可以當(dāng)成連續(xù)的介質(zhì)。晶格可以當(dāng)成連續(xù)的介質(zhì)。(2)德拜模型假設(shè)條件和實際相符合。德拜模型假設(shè)條件和實際相符合。8. D的計算的計算(1)從從vp求；求；(2)從比熱實驗數(shù)據(jù)求。從比熱實驗數(shù)據(jù)求。 0 100 200 300 CV/CV鋁

40、比熱的實驗值和德拜模型計算值的比較鋁比熱的實驗值和德拜模型計算值的比較 D=396K)(KT1.00.80.60.40.23.5 非簡諧效應(yīng)非簡諧效應(yīng)一、非簡諧效應(yīng)一、非簡諧效應(yīng)1.簡諧效應(yīng)簡諧效應(yīng) 當(dāng)原子間相互作用微弱時，原子的振動可近當(dāng)原子間相互作用微弱時，原子的振動可近似為相互獨立的簡諧振動。即原子所受的恢復(fù)力似為相互獨立的簡諧振動。即原子所受的恢復(fù)力和其位移成正比，忽略了勢能表示式中和其位移成正比，忽略了勢能表示式中3以上的以上的高次項?？梢杂靡幌盗歇毩⒌暮喼C振子來描述這高次項?？梢杂靡幌盗歇毩⒌暮喼C振子來描述這些獨立而又分立的振動模式。些獨立而又分立的振動模式。振子之間不會發(fā)生振子之

41、間不會發(fā)生相互作用，即不能有能量的交換。聲子一旦被激相互作用，即不能有能量的交換。聲子一旦被激發(fā)出來，它的數(shù)目就一直保持不便。不能把能量發(fā)出來，它的數(shù)目就一直保持不便。不能把能量傳遞給其它頻率的聲子。傳遞給其它頻率的聲子。2.非簡諧效應(yīng)非簡諧效應(yīng) 如果考慮勢能表示式中如果考慮勢能表示式中3以上的高次項，晶以上的高次項，晶格的原子的振動就不能用一系列獨立的線性諧振格的原子的振動就不能用一系列獨立的線性諧振子描述，此時的線性諧振子之間有相互作用，即子描述，此時的線性諧振子之間有相互作用，即聲子與聲子之間將相互交換能量，某種頻率的聲聲子與聲子之間將相互交換能量，某種頻率的聲子可以轉(zhuǎn)換為另一頻率的聲子，即聲子可以產(chǎn)生，子可以轉(zhuǎn)換為另一頻率的聲子，即聲子可以產(chǎn)生，也可以湮滅。也可以湮滅。 通過聲子之間的相互作用，當(dāng)聲子的分布達通過聲子之間的相互作用，當(dāng)聲子的分布達到熱平衡后，晶格振動也就達到了熱平衡。到熱平衡后，晶格振動也就達到了熱平衡。3.聲子碰撞聲子碰撞 兩個聲子通過非簡諧項的作用，而產(chǎn)生第三兩個聲子通過非簡諧項的作用，而