第7章正弦平面電磁波

1、第六章 正弦平面電磁波 6.1 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 （41.42學(xué)時）學(xué)時）6.2 無耗媒質(zhì)中的平面電磁波無耗媒質(zhì)中的平面電磁波6.3 導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面電磁波導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面電磁波6.4 電磁波的極化電磁波的極化6.5 電磁波的色散和群速電磁波的色散和群速6.6 均勻平面電磁波向平面分界面的垂直入射均勻平面電磁波向平面分界面的垂直入射（43.44學(xué)時）學(xué)時）6.7 均勻平面電磁波向多層媒質(zhì)分界面的垂直入射均勻平面電磁波向多層媒質(zhì)分界面的垂直入射6.8 均勻平面電磁波向平面分界面的斜入射均勻平面電磁波向平面分界面的斜入射6.9 均勻平面電磁波的全透射和全反射均勻平面電磁波的全透射和全反射

2、返回 設(shè)媒質(zhì)的介電常數(shù)為、 磁導(dǎo)率為、 電導(dǎo)率為， 對于線性(LinEar)、 均勻(HomogEnEouS)和各向同性(ISotropic)媒質(zhì)， 和都是標(biāo)量常數(shù)。 除非特別說明， 一般我們均假定媒質(zhì)是線性、 均勻和各向同性。 （第（第41.4241.42學(xué)時）學(xué)時）6.1 亥姆霍茲方程返回v 在線性、 均勻和各向同性的無源媒質(zhì)中， 麥克斯韋方程為 )4(00) 3(00)2() 1 (EDHBtHEtEEH（6-1-1） v對上述方程（2）求旋度， 得 tHE利用矢量恒等式E=(E)-2E和E=0， 并將式（6-1-1）的（1）代入得22tEtEE類似的推導(dǎo)可得 （6-1-2） 22tHt

3、HH（6-1-3） v 式（6-1-2）和式（6-1-3）稱為一般波動方程(GEnEral WavE Equation)。 這些方程支配著無源均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中電磁場的行為。 在二階微分方程中， 一階項(xiàng)的存在, 表明電磁場在導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播是有衰減的（有能量損耗）。 因此導(dǎo)電媒質(zhì)（Conducting MEdium）稱為有耗媒質(zhì)（LoSSy MEdium）。 v 當(dāng)媒質(zhì)為完全電介質(zhì)(PErfEct DiElEctric)或無耗媒質(zhì)(LoSSlESS MEdium)， 即媒質(zhì)的導(dǎo)電率=0時， 上述波動方程變?yōu)?0222222tHHtEE（6-1-4）式（6-1-4）稱為時變亥姆霍茲方程(HElmho

4、ltz Equation)， 它表明電磁場在無耗媒質(zhì)中的傳播是不衰減的。 v 對于時諧電磁場， 將場量的相量形式代入式 （6-1-4）可得 v 2E+k 2E=0v 2H+k 2E=0 （6-1-5）v 式中k 2=2 （6-1-6） 式（6-1-5）稱為亥姆霍茲方程， 也稱為無源、 無耗媒質(zhì)中時諧電磁場的波動方程。 6.2 無耗媒質(zhì)中的平面電磁波無耗媒質(zhì)中的平面電磁波 無耗媒質(zhì)意味著描述媒質(zhì)電磁特性的電磁參數(shù)滿足如下條件：=0, 、為實(shí)常數(shù)。無源意味著無外加場源，即=0， J=0。 6.2.1 無耗媒質(zhì)中齊次波動方程的均勻平面波解無耗媒質(zhì)中齊次波動方程的均勻平面波解 010122222222

5、tHvHtEvE式中 /1圖 6-1 均勻平面電磁波的傳播 0, 0, 0, 0yHxHyExE因此，電場強(qiáng)度E和磁場強(qiáng)度H只是直角坐標(biāo)z和時間t的函數(shù)。 由于空間無外加場源，所以E=0。 0),(),(),(0),(ztzEytzExtzEtzEzyx 從而Ez(z, t)=c(t)。如果t=0時，電磁場為零，那么c(t)=0，從而Ez(z, t)=0。 綜上可見， ),(),(tzEetzEeEyyxx),(),(tzHetzHeHyyxx0),(1),(22222ttzEztzExx此方程的通解為 )()(),(21tzftzftzEx(6-4)圖 6-2 向+z方向傳播的波 在無界媒質(zhì)

6、中，一般沒有反射波存在，只有單一行進(jìn)方向的波。如果假設(shè)均勻平面電磁波沿+z方向傳播，電場強(qiáng)度只有Ex(z, t)分量，則波動方程式(6-4)的解為 )(),(vtzftzEx由麥克斯韋方程式 tBtzEzyxeeeExzyx00),(即 tHzEexy012222tHzHyy)(),(vtzgtzHy沿+z方向傳播的均勻平面電磁波的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的表達(dá)式： )(),(),()(),(),(vtzgetzEetzHvtzfetzEetzEyyyxxx0)()(222zEkdzzEdxxjkzjkzxeEeEzE00)( 將上式代入麥克斯韋方程E=-jH，得到均勻平面波的磁場強(qiáng)度： zEejt

7、zEzyxeeejEjHxyxzyx00),()()(1)()()(00000000jkzjkzyjkzjkzyjkzjkzyjkzjkzyeHeEeeEeEeeEeEjkejeEjkeEjkejH式中： kHEHE0000 具有阻抗的量綱，單位為歐姆()，它的值與媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)，因此它被稱為媒質(zhì)的波阻抗(或本征阻抗)。 真空中的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率為 mHmF/104,/1036170903771200006.2.2 均勻平面波的傳播特性均勻平面波的傳播特性 jkzxxxeEeEeE0jkzyjkzyyxeHeeEeHeH00)cos()cos(Re),()cos(Re),(0000)(000)(

8、0kztHekztEeeEetzHkztEeeEetzEmymykztjymxkztjx圖 6-3 理想介質(zhì)中均勻平面電磁波的電場和磁場空間分布 正弦均勻平面電磁波的等相位面方程為 （常數(shù)）.constkzt1kdtdzp 空間相位kz變化2所經(jīng)過的距離稱為波長，以表示。按此定義有k=2，所以 k22k 時間相位t變化2所經(jīng)歷的時間稱為周期，以T表示。而一秒內(nèi)相位變化2的次數(shù)稱為頻率，以f表示。 由T=2得 21Tffp復(fù)坡印廷矢量為 221*2120*00mzjkzjkzxEeeEeEeHES2Re20mzavEeSS 平均功率密度為常數(shù)，表明與傳播方向垂直的所有平面上，每單位面積通過的平均

9、功率都相同，電磁波在傳播過程中沒有能量損失(沿傳播方向電磁波無衰減)。因此理想媒質(zhì)中的均勻平面電磁波是等振幅波。 電場能量密度和磁場能量密度的瞬時值為 )()(cos/21)(cos21)(21)()(cos212121)(02200220202202twkztEkztHtHtwkztEEEDtwemmmme 可見，任一時刻電場能量密度和磁場能量密度相等，各為總電磁能量的一半。電磁能量的時間平均值為 20,20,20,21,41,41mmaveavavmmavmeavEwwwHwEw均勻平面電磁波的能量傳播速度為 pmmavavevEEwSv12/2/2020 6.2.3 向任意方向傳播的均勻

10、平面波向任意方向傳播的均勻平面波 在直角坐標(biāo)系oxyz中，我們?nèi)匀患僭O(shè)無界媒質(zhì)中，均勻平面波沿+z方向傳播，電場強(qiáng)度只有x方向的坐標(biāo)分量Ex(z)，那么正弦均勻平面電磁波的復(fù)場量還可以表示為 jkzjkzxeEeEeE00利用矢量恒等式(A)=A+A和(A)= A+ A，將上式代入麥克斯韋方程E=-jH和 E=0，可以得到 EekeEejkjEejkejEeEejeEjHzjkzzzjkzjkzjkzjkz00000)()(）（）（0)()(0000jkzzjkzjkzjkzeEejkEeEeeE0Eez把它們寫在一起就是 0,0EeEekHeEEzzjkz0,0EeEekHeEEzzjkz

11、如果開始時我們選擇直角坐標(biāo)系oxyz，那么，正弦均勻平面電磁波的復(fù)場量可以表示為 coscoscos,zyxzzyxeeaeezeyexer(6-21)圖 6-4 向k方向傳播的均勻平面電磁波 zkykxkrkrkeeaerkekzzyxzyxz)coscoscos(式中cos、cos、cos是ez在直角坐標(biāo)系oxyz中的方向余弦。 這樣式(6-21)中的相位因子為 0,00EeEekHeEEkkrjk 例例6-1 已知無界理想媒質(zhì)(=90, =0，=0)中正弦均勻平面電磁波的頻率f=108 Hz， 電場強(qiáng)度 mVeeeeEjjkzyjkzx/333試求： (1) 均勻平面電磁波的相速度vp、

12、波長、相移常數(shù)k和波阻抗； (2) 電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的瞬時值表達(dá)式； (3) 與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過的平均功率。 解解： (1) 4091120/21/1091031088rrpprrpumradvkmfvsmcv(2) )/()3(14mAeeeeEjHjjkzxjkzy)/(32102cos3)2102cos(4Re)(88mVztezteEetEyxtj)/(2102cos101)32102cos(403Re)(88mVztezteHetHyxtj（3）復(fù)坡印廷矢量：233*/165101403342121mWeeeeeeeeeHESzjkzykzjxkzjyjkzx坡印

13、延矢量的時間平均值：2/165RemWeSSzav與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過的平均功率：WdSSPavSav1656.3 導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面電磁波導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面電磁波 6.3.1 導(dǎo)電媒質(zhì)中平面電磁波的傳播特性導(dǎo)電媒質(zhì)中平面電磁波的傳播特性 無源、無界的導(dǎo)電媒質(zhì)中麥克斯韋方程組為 00EHHjHEjEH(6-22a)式(6-22a)可以寫為 EjEjjHc其中： jjc1波動方程： 002222HHEE其中2=2c。 直角坐標(biāo)系中，對于沿+z方向傳播的均勻平面電磁波，如果假定電場強(qiáng)度只有x分量Ex，那么式(6-25)的一個解為 zjxeEeE0令=-j，則E=exE0e-j (-j)

14、z=exE0e-ze-jz。顯然電場強(qiáng)度的復(fù)振幅以因子e-z隨z的增大而減小，表明是說明每單位距離衰減程度的常數(shù)，稱為電磁波的衰減常數(shù)。表示每單位距離落后的相位，稱為相位常數(shù)。=-j稱為傳播常數(shù)。因此電場強(qiáng)度的瞬時值可以表示為 )cos(),(0zteEetzEazmx其中Em、0分別表示電場強(qiáng)度的振幅值和初相角，即 00jmeEE 因?yàn)?c22所以 jja22)(故有 jaja2222從而有 2222由以上兩方程解得 11211222zjazcyzjcyeeEeeEeEjH00其中： jccejj211稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的波阻抗， 它是一個復(fù)數(shù)。 式(6-31)中， (6-31)40arctan2

15、11412c 導(dǎo)電媒質(zhì)的本征阻抗是一個復(fù)數(shù)，其模小于理想介質(zhì)的本征阻抗，幅角在0/4之間變化，具有感性相角。這意味著電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度在空間上雖然仍互相垂直，但在時間上有相位差，二者不再同相，電場強(qiáng)度相位超前磁場強(qiáng)度相位。這樣磁場強(qiáng)度可以重寫為 jzjazcyzjazcyzcyeeeEeeeEeeEeH000其瞬時值為 )cos(),(0zteEetzHazcmy圖 6-5 導(dǎo)電媒質(zhì)中平面電磁波的電磁場 導(dǎo)電媒質(zhì)中均勻平面電磁波的相速為 11121212dtdzvp而波長 fp2 磁場強(qiáng)度矢量的方向與電場強(qiáng)度矢量互相垂直，并都垂直于傳播方向，因此導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面波是橫電磁波。導(dǎo)電媒質(zhì)中的坡印廷

16、矢量的瞬時值、 時間平均值和復(fù)坡印廷矢量分別為 )222cos(cos21),(),(),(022zteEetzHtzEtzSazcmzcos2122azcmzaveEeSjazcmzeeEeHES22*21導(dǎo)電媒質(zhì)中平均電能密度和平均磁能密度分別如下： 2222222,222zmazcmmavazmeaveEeEHweEEw22222222,114114141azmazmazmmaveavaveEeEeEwww能量傳播速度為 pavavewSv2/121121可見，導(dǎo)電媒質(zhì)中均勻平面電磁波的能速與相速相等。 6.3.2 趨膚深度和表面電阻趨膚深度和表面電阻 通常，按

17、/的比值(導(dǎo)電媒質(zhì)中傳導(dǎo)電流密度振幅與位移電流密度振幅之比|E|/|jE|)把媒質(zhì)分為三類： 1:; 1:; 1:良導(dǎo)體不良導(dǎo)體電介質(zhì) 電介質(zhì)(低損耗媒質(zhì))，例如聚四氟乙烯、聚苯乙烯和石英等材料，在高頻和超高頻范圍內(nèi)均有 。 因此，電介質(zhì)中均勻平面電磁波的相關(guān)參數(shù)可以近似為 210,2良導(dǎo)體中，有關(guān)表達(dá)式可以用泰勒級數(shù)簡化并近似表達(dá)為 4)1 (222,2,2jcpej 高頻率電磁波傳入良導(dǎo)體后，由于良導(dǎo)體的電導(dǎo)率一般在107S/m量級，所以電磁波在良導(dǎo)體中衰減極快。 電磁波往往在微米量級的距離內(nèi)就衰減得近于零了。因此高頻電磁場只能存在于良導(dǎo)體表面的一個薄層內(nèi)， 這種現(xiàn)象稱為集膚效應(yīng)(Skin

18、 Effect)。電磁波場強(qiáng)振幅衰減到表面處的1/e的深度，稱為趨膚深度(穿透深度)， 以表示。 因?yàn)?eEeE100所以 f121)(m 可見導(dǎo)電性能越好(電導(dǎo)率越大)，工作頻率越高，則趨膚深度越小。例如銀的電導(dǎo)率=6.15 107 S/m，磁導(dǎo)率0=410-7 H/m， ff0642. 015. 6422)(m良導(dǎo)體中均勻平面電磁波的電磁場分量和電流密度為 00)1(04000)1(0)1(0,2,EJeJEJeEEHeHEHeEEazjxxjcazjcxyazjx)1 (22121*21220*jeEeHEeHESazzyxz在z=0處，平均功率流密度為 221)0(221Re20220

19、EezSeEeSSzavazzav22142121202022002EEadzeEdVEPazVc可見，傳入導(dǎo)體的電磁波實(shí)功率全部轉(zhuǎn)化為熱損耗功率。 導(dǎo)體表面處切向電場強(qiáng)度Ex與切向磁場強(qiáng)度Hy之比定義為導(dǎo)體的表面阻抗，即 SSczyxSjXRjHEHEZ2)1 (0001)(12wlSSwlXR00001001)1 (HEjjEdzeEdzJJazjxS）（圖 6-6 平面導(dǎo)體 從電路的觀點(diǎn)看，此電流通過表面電阻所損耗的功率為 2212212120202EERJPSSc 設(shè)想面電流JS均勻地集中在導(dǎo)體表面厚度內(nèi)，此時導(dǎo)體的直流電阻所吸收的功率就等于電磁波垂直傳入導(dǎo)體所耗散的熱損耗功率。 例例

20、 6-2 海水的電磁參數(shù)是r=81, r=1, =4 S/m，頻率為3 kHz和30 MHz的電磁波在緊切海平面下側(cè)處的電場強(qiáng)度為1V/m， 求： (1) 電場強(qiáng)度衰減為1V/m處的深度，應(yīng)選擇哪個頻率進(jìn)行潛水艇的水下通信； (2) 頻率3 kHz的電磁波從海平面下側(cè)向海水中傳播的平均功率流密度。 解：解： (1) f=3kHz時：因?yàn)?18010321036439所以海水對依此頻率傳播的電磁波呈顯為良導(dǎo)體，故 ml645. 08 .134 .2129103628010410321129762 由此可見，選高頻30MHz的電磁波衰減較大，應(yīng)采用低頻3 kHz的電磁波。在具體的工程應(yīng)用中，具體低

21、頻電磁波頻率的選擇還要全面考慮其它因素。 (2) 平均功率密度為 22020/6 . 4218. 0444221mWEEPSav 例例 6-3 微波爐利用磁控管輸出的2.45 GHz的微波加熱食品。在該頻率上，牛排的等效復(fù)介電常數(shù)=400，tane=0.3，求： (1) 微波傳入牛排的趨膚深度， 在牛排內(nèi)8mm處的微波場強(qiáng)是表面處的百分之幾； (2) 微波爐中盛牛排的盤子是用發(fā)泡聚苯乙烯制成的， 其等效復(fù)介電常數(shù)的損耗角正切為=1.030，tane=0.310-4。說明為何用微波加熱時牛排被燒熟而盤子并沒有被燒毀。 解：解： (1) 根據(jù)牛排的損耗角正切知，牛排為不良導(dǎo)體， mmm8 .200

22、208. 0112112/12%688 .20/8/0eeEEz(2) 發(fā)泡聚苯乙烯是低耗介質(zhì)， 所以其趨膚深度為 m34981028. 103. 1)103 . 0(1045. 22103212221 例例 6-4 證明均勻平面電磁波在良導(dǎo)體中傳播時，每波長內(nèi)場強(qiáng)的衰減約為55dB。 證：證： 良導(dǎo)體中衰減常數(shù)和相移常數(shù)相等。 因?yàn)榱紝?dǎo)體滿足條件 ， 所以，相移常數(shù)=衰減常數(shù) 。 設(shè)均勻平面電磁波的電場強(qiáng)度矢量為 12zjazeeEE0那么z=處的電場強(qiáng)度與z=0處的電場強(qiáng)度振幅比為 220eeeeEEazaz即 dBeEEz575.54log20log2020 例例 6-5 已知海水的電磁

23、參量=51m，r=1, r=81， 作為良導(dǎo)體欲使90以上的電磁能量(僅靠海水表面下部)進(jìn)入1 m以下的深度，電磁波的頻率應(yīng)如何選擇。 解：解：對于所給海水，當(dāng)其視為良導(dǎo)體時，其中傳播的均勻平面電磁波為 azjcyazjxeEeHeEeE)1(0)1(0,式中良導(dǎo)體海水的波阻抗為 42)1 (2jcej 因此沿+z方向進(jìn)入海水的平均電磁功率流密度為 221)1 (221ReRe220220azzazzaveEejeEeSS故海水表面下部z=l處的平均電磁功率流密度與海水表面下部z=0處的平均電磁功率流密度之比為 azzavlzaveSS209 . 020azzavlzaveSS依題意 考慮到良

24、導(dǎo)體中衰減常數(shù)與相移常數(shù)有如下關(guān)系： 2從而 Hznlnfl78.13129 . 0151104129 . 01127126.4 電磁波的極化電磁波的極化6.4.1 極化的概念極化的概念 電場強(qiáng)度矢量的表達(dá)式為 jkzjymyjxmxjkzoyyoxxyyxxeeEeEeeEeEeEeEeEyx)()(電場強(qiáng)度矢量的兩個分量的瞬時值為 )cos()cos(yymyxxmxkztEEkztEE(6-41)6.4.2 平面電磁波的極化形式平面電磁波的極化形式 1. 線極化線極化 設(shè)Ex和Ey同相，即x=y=0。為了討論方便，在空間任取一固定點(diǎn)z=0，則式(6-41)變?yōu)?)cos()cos(00t

25、EEtEEymyxmx合成電磁波的電場強(qiáng)度矢量的模為 )cos(02222tEEEEEymxmyx合成電磁波的電場強(qiáng)度矢量與x軸正向夾角的正切為 常數(shù)xmymxyEEEEatan 同樣的方法可以證明，x-y=時，合成電磁波的電場強(qiáng)度矢量與x軸正向的夾角的正切為 常數(shù)xmymxyEEEEatan 這時合成平面電磁波的電場強(qiáng)度矢量E的矢端軌跡是位于二、 四象限的一條直線，故也稱為線極化，如圖6-7(b)所示。 圖 6-7 線極化波 2. 圓極化圓極化 設(shè) , 0,2,zEEEyxmymxm那么式(6-41)變?yōu)?)sin()2cos()cos(xmxmyxmxtEtEEtEE消去t得 122mym

26、xEEEE)()cos()sin(arctan,22xxxmyxtttEEEE圖 6-8 圓極化波 3. 橢圓極化橢圓極化 更一般的情況是Ex和Ey及x和y之間為任意關(guān)系。在z=0處，消去式(6 - 41)中的t，得 222sincos2ymyymyxmxxmxEEEEEEEE)cos()cos(arctanxxmyymtEtE)(cos)(cos)sin(2222yymxxmyxymxmtEtEEEdtda圖 6-9 橢圓極化 6.4.3 電磁波極化特性的工程應(yīng)用電磁波極化特性的工程應(yīng)用 例例 6-6 證明任一線極化波總可以分解為兩個振幅相等旋向相反的圓極化波的疊加。 解：解： 假設(shè)線極化波

27、沿+z方向傳播。不失一般性，取x軸平行于電場強(qiáng)度矢量E，則 jkzyxjkzyxjkzyjkzyjkzxjkzxejeeEejeeEeEjeeEjeeEeeEezE)(2)(22121)(000000上式右邊第一項(xiàng)為一左旋圓極化波，第二項(xiàng)為一右旋圓極化波， 而且兩者振幅相等，均為E0/2。 例例 6-7 判斷下列平面電磁波的極化形式： )68(0000)543()4()3() 3()2()2()() 1 (yxjkzyxjkzzxjkzyxjkzyxejeeeEEejeeEEejejeEEejeeEE 解：解：(1) E=jE0(jex+ey)e-jkz，Ex和Ey振幅相等，且Ex相位超前Ey

28、相位/2，電磁波沿+z方向傳播，故為右旋圓極化波。 (2) E=jE0(ex-2ey)ejkz，Ex和Ey相位差為，故為在二、四象限的線極化波。 (3) EzmExm，Ez相位超前Ex相位/2，電磁波沿+y方向傳播， 故為右旋橢圓極化波。 (4) rkejzxyreekjzyxnyxejeeEejeeeEE1005354100)(554535在垂直于en的平面內(nèi)將E分解為exy和ez兩個方向的分量，則這兩個分量互相垂直，振幅相等，且exy相位超前ez相位/2，exyez=en，故為右旋圓極化波。 例例 6-8 電磁波在真空中傳播，其電場強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為 )/(10)(204mVejeeE

29、zjyx試求： (1) 工作頻率f;(2) 磁場強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式； (3) 坡印廷矢量的瞬時值和時間平均值； (4) 此電磁波是何種極化，旋向如何。 解解：(1) 真空中傳播的均勻平面電磁波的電場強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為 )/(10)(204mVejeeEzjyx所以有 Hzfvfkvk9800103,2,1031,20其瞬時值為 )sin()cos(104kztekzteEyx(2) 磁場強(qiáng)度復(fù)矢量為 120,10)(1100020400zjxyzejeeEeH磁場強(qiáng)度的瞬時值為 )sin()cos(10)(Re),(04kztekzteezHtzHxytj (3) 坡印廷矢量的瞬時值和時

30、間平均值為 )(sin)(cos10),(),(),(2208kztekztetzHtzEtzSzzzzaveezHzES080810) 11 (1021)(*)(21Re (4) 此均勻平面電磁波的電場強(qiáng)度矢量在x方向和y方向的分量振幅相等，且x方向的分量比y方向的分量相位超前/2，故為右旋圓極化波。 6.5 電磁波的色散和群速電磁波的色散和群速 6.5.1 色散現(xiàn)象與群速色散現(xiàn)象與群速 良導(dǎo)體中的相速為 2p0000,和和 假定色散媒質(zhì)中同時存在著兩個電場強(qiáng)度方向相同、 振幅相同、頻率不同，向z方向傳播的正弦線極化電磁波， 它們的角頻率和相位常數(shù)分別為 且有 00,電場強(qiáng)度表達(dá)式為 )()

31、cos()()cos(00020001ztEEztEE合成電磁波的場強(qiáng)表達(dá)式為 )cos()cos(2)()cos()()cos()(000000000ztztEztEztEtE圖 6-10 相速與群速 群速(Group Velocity)vg的定義是包絡(luò)波上某一恒定相位點(diǎn)推進(jìn)的速度。令調(diào)制波的相位為常數(shù)： .constztdtdzg當(dāng)0時，上式可寫為 )/(smddg6.5.2 群速與相速的關(guān)系群速與相速的關(guān)系 gppppppgvddvvvddvvdvddd)(ddvvvvpppg1(1) ，則vgvp，這類色散稱為非正常色散。 0ddvp0ddvp第43.44學(xué)時6.6 均勻平面電磁波向平

32、面分界面的垂直入射均勻平面電磁波向平面分界面的垂直入射 6.6.1 平面電磁波向理想導(dǎo)體的垂直入射平面電磁波向理想導(dǎo)體的垂直入射 圖 6-11 垂直入射到理想導(dǎo)體上的平面電磁波 返回設(shè)入射電磁波的電場和磁場分別依次為 zjkiyizjkixieEeEeEeE110101式中Ei0為z=0處入射波(Incident Wave)的振幅，k1和1為媒質(zhì)1的相位常數(shù)和波阻抗，且有 111111,k 為使分界面上的切向邊界條件在分界面上任意點(diǎn)、任何時刻均可能滿足， 設(shè)反射與入射波有相同的頻率和極化，且沿-ez方向傳播。于是反射波(Reflected Wave)的電場和磁場可分別寫為 zjkryrzjkr

33、xreEeHeEeE110101媒質(zhì)1中總的合成電磁場為 )(1)(11110011001zjkrzjkiyrizjkrzjkixrieEeEeHHHeEeEeEEE 分界面z=0兩側(cè)，電場強(qiáng)度E的切向分量連續(xù)，即ez(E2-E1)=0，所以 0)0()()0(2001EEEeErix100irEEzkEeeeEeHzkjEeeeEeEiyzjkzjkiyixzjkzjkix1100111001cos2)(1sin2)(1111區(qū)的合成電場和磁場： 它們相應(yīng)的瞬時值為 tzkEeeHtzHtzkEeeEtzEiytjixtjcoscos2)Re),(sinsin2)Re),(110111011

34、 由于區(qū)中無電磁場，在理想導(dǎo)體表面兩側(cè)的磁場切向分量不連續(xù)，所以分界面上存在面電流。根據(jù)磁場切向分量的邊界條件n(H2-H1)=JS，得面電流密度為 1001102cos20ixziyzSEezkEeeJ.)2 , 1 , 0(4) 12(2) 12(),(0),(.)2 , 1 , 0(2),(0),(111111nnznzktzEtzHnnznzktzHtzE或發(fā)生在的最大值的值等于或發(fā)生在的最大值的值等于 任意時刻t, 區(qū)的合成電場E1和磁場H1都在距理想導(dǎo)體表面的某些固定位置處存在零值和最大值： 圖 6-12 不同瞬間的駐波電場 駐波不傳輸能量，其坡印廷矢量的時間平均值為 0cossi

35、n4Re21Re11120*111zkzkEjeHESizav 可見沒有單向流動的實(shí)功率，而只有虛功率。由式(5-54)可得駐波的坡印廷矢量的瞬時值為 tzkEetzHtzEtzSiz2sin2sin),(),(),(11206.6.2 平面電磁波向理想介質(zhì)的垂直入射平面電磁波向理想介質(zhì)的垂直入射 圖 6-13 垂直入射到理想介質(zhì)上的平面電磁波 區(qū)域中只有透射波，其電場和磁場分別為 zjktytzjktxteEeHeEeE220201式中Et0為z=0處透射波的振幅，k2和2為媒質(zhì)2的相位常數(shù)和波阻抗，且有 222222,k 考慮到z=0處分界面磁場強(qiáng)度切向分量連續(xù)的邊界條件H1t=H2t，可

36、得 考慮到z=0處分界面電場強(qiáng)度切向分量連續(xù)的邊界條件E1t=E2t，可得 000triEEE000011)(1triEEE122001212002itirEEEE反射系數(shù)和透射系數(shù)的關(guān)系為 T1區(qū)域(z0(21)。 當(dāng) 2/,.)2 , 1 , 0(2211nznnzk時，有 )1 (1)1 (1min1max1mmEHHEEE即在離分界面四分之一波長(1/4)的奇數(shù)倍處為電場波節(jié)點(diǎn)和磁場波腹點(diǎn)。 (2) 0(20(21)時的電場的波節(jié)點(diǎn)，磁場的波腹點(diǎn)對應(yīng)于0(21)時的磁場的波節(jié)點(diǎn)；電場的波節(jié)點(diǎn)對應(yīng)于0(21)時的電場的波腹點(diǎn)，磁場的波節(jié)點(diǎn)對應(yīng)于0(21)時的磁場的波腹點(diǎn)。 11minma

37、xEE 因?yàn)?-11，所以=1。 當(dāng)|=0、=1時，為行波狀態(tài)，區(qū)域中無反射波，因此全部入射波功率都透入?yún)^(qū)域。 zjkiytzjkixteTEeHHeTEeEE22022021區(qū)域中，入射波向z方向傳輸?shù)钠骄β拭芏仁噶繛?120*,2121ReiziiiavEeHES反射波向-z方向傳輸?shù)钠骄β拭芏仁噶繛?iaviziiravSEeHES,21202*,2121Re區(qū)域中合成場向z方向傳輸?shù)钠骄β拭芏仁噶繛?)1 ()1 (2121Re2,2120*11iaviziavSEeHES區(qū)域中向z方向傳輸?shù)钠骄β拭芏仁噶繛?iavizittavavSTETeHESS,2212202*,221

38、21Re并且有 2,2212,1)1 (aviaviavavSSTSS 例例 6-9 一右旋圓極化波由空氣向一理想介質(zhì)平面(z=0)垂直入射，坐標(biāo)與圖6-13相同，媒質(zhì)的電磁參數(shù)為2=90，1=0， 1=2=0。試求反射波、透射波的電場強(qiáng)度及相對平均功率密度；它們各是何種極化波。 解：解： 設(shè)入射波電場強(qiáng)度矢量為 0010,)(211keEjeeEzjkyxi則反射波和透射波的電場強(qiáng)度矢量為 zjkyxreEjeeE10)(20022203,)(22keEjeeTEzjkyxt式中反射系數(shù)和透射系數(shù)為 5 . 02, 5 . 01221212T%7525. 011%255 . 02,22,ia

39、vtaviavravSSSS 例例 6-10 頻率為f=300MHz的線極化均勻平面電磁波，其電場強(qiáng)度振幅值為2V/m，從空氣垂直入射到r=4、r=1的理想介質(zhì)平面上，求： (1) 反射系數(shù)、透射系數(shù)、駐波比； (2) 入射波、反射波和透射波的電場和磁場； (3) 入射功率、反射功率和透射功率。 解：設(shè)入射波為x方向的線極化波，沿z方向傳播，如圖6-13。 (1) 波阻抗為604,1200002001反射系數(shù)、透射系數(shù)和駐波比為 211322,311221212T(3) 入射波、 反射波、 透射波的平均功率密度為 taviavraviavSSSS,2,)1 (22202202120120,21

40、20,/13522|2/54012|2/6012mWeTEeEeSmWeEeEeSmWeEeSziztztzizrzravziziav6.7 均勻平面電磁波向多層媒質(zhì)分界面的垂直入射均勻平面電磁波向多層媒質(zhì)分界面的垂直入射 6.7.1 多層媒質(zhì)中的電磁波及其邊界條件多層媒質(zhì)中的電磁波及其邊界條件 圖 6-14 垂直入射到多層媒質(zhì)中的均勻平面電磁波 區(qū)域1中的入射波： zjkiyizjkixieEeHeEeE111011011區(qū)域1中的反射波： zjkiyrzjkrxreEeHeEeE111011011區(qū)域1(z0)中的合成電磁波： )(1)(1111010111110101111zjkrzjk

41、iyrizjkrzjkixrieEeEeHHHeEeEeEEE區(qū)域2(0zd)中的合成電磁波： )(02)(02222)(02)(022222222dzjkrdzjkiyridzjkrdzjkixrieEeEeHHHeEeEeEEE區(qū)域3(zd)中的合成電磁波： )(0333)(033331dzjkiydzjkixeEeHeEeE為了求得這四個未知量，利用z=0和z=d處媒質(zhì)分界面上電場和磁場的切向分量都必須連續(xù)的邊界條件： )(,)0(,32322121dzHHEEzHHEEtttttttt6.7.2 等效波阻抗等效波阻抗 媒質(zhì)中平行于分界面的任一平面上的總電場與總磁場之比，定義為該處的等效

42、波阻抗Z(z)，即 總磁場總電場)(zZ此時我們已經(jīng)假設(shè)x方向極化的均勻平面電磁波沿z方向傳播。 1. 無界媒質(zhì)中的等效波阻抗無界媒質(zhì)中的等效波阻抗 假設(shè)無界媒質(zhì)中，x方向極化的均勻平面電磁波沿+z方向傳播，那么媒質(zhì)中任意位置處的等效波阻抗為 /)()()(00jkzjkzyxeEeEzHzEzZx方向極化的均勻平面電磁波沿-z方向傳播時，等效波阻抗為 /)()()(00jkzjkzyxeEeEzHzEzZ2. 半無界媒質(zhì)中的等效波阻抗半無界媒質(zhì)中的等效波阻抗 媒質(zhì)1中離平面分界面為z處的等效波阻抗為 zjkzjkzjkzjkyxeeeezHzEzZ11111111)()()( 由于媒質(zhì)1中z

43、為負(fù)值，因此離開平面分界面(z=0)的距離為l的某一位置z=-l處的等效波阻抗為 ljkljkljkljkyxeeeelHlElZ11111111)()()(lkjlkjlkjlklkjlklZ12111221211111211tantansincossincos)( 如果2=1，那么由式(6-72c)知：Z1(-l)=1。這表明空間僅存在同一種媒質(zhì)，因此沒有反射波，等效波阻抗等于媒質(zhì)的波阻抗；如果區(qū)域2中的媒質(zhì)是理想導(dǎo)體，即2=0, =-1，那么式(6-72b)簡化為 (6-72c)lkjlZ111tan)(3. 有界媒質(zhì)中的等效波阻抗有界媒質(zhì)中的等效波阻抗 )(1)(12222020220

44、101102020101djkrdjkiridjkrdjkirieEeEEEeEeEEE033020220302021)(1iriiriEEEEEEz= d分界面處的反射系數(shù) 23230202irEEz=0分界面處的反射系數(shù) 121201010)0()0(ZZEEir上式中的Z2(0)表示區(qū)域2中z=0處的等效波阻抗： dkjdkjZ23222322tantan)0(區(qū)域2和區(qū)域3中的入射波電場振幅為 djkidkjieEeE220120021102233032iiEE6.7.3 媒質(zhì)媒質(zhì)1中無反射的條件中無反射的條件 dkjdkdkjdkZ23222223212sincossincos)0(

45、或 )sincos()coscos(2223223221dkjdkdkjdk使上式中實(shí)部、虛部分別相等，有 dkdk2321coscosdkdk222231sinsin(6-80a)(6-80b) (1) 如果1=32，那么要使式(6-80a)和(6-80b)同時滿足，則要求 0sin2dk或 ,.)2 , 1 , 0(22nnd 所以，對于給定的工作頻率，媒質(zhì)2的夾層厚度d為媒質(zhì)2中半波長的整數(shù)倍時，媒質(zhì)1中無反射。最短夾層厚度d應(yīng)為媒質(zhì)2中的半波長。 (2) 如果1=3， 那么要求 0cos2dk或 ,.)2 , 1 , 0(4) 12(2nnd且 312 所以當(dāng)媒質(zhì)1和媒質(zhì)3的波阻抗不相

46、等時，若媒質(zhì)2的波阻抗等于媒質(zhì)1和媒質(zhì)3的波阻抗的幾何平均值，且媒質(zhì)2的夾層厚度d為媒質(zhì)2中四分之一波長的奇數(shù)倍，則媒質(zhì)1中無反射波。 例例 6-11 為了保護(hù)天線，在天線的外面用一理想介質(zhì)材料制作一天線罩。天線輻射的電磁波頻率為4 GHz，近似地看作均勻平面電磁波，此電磁波垂直入射到天線罩理想介質(zhì)板上。天線罩的電磁參數(shù)為r=2.25, r=1，求天線罩理想介質(zhì)板厚度為多少時介質(zhì)板上無反射。 解解： 因?yàn)?mfcHzf075. 0104103,1049809所以，理想介質(zhì)板中的電磁波波長 mr05. 025. 2075. 00天線罩兩側(cè)為空氣， 故天線罩的最小厚度應(yīng)為 cmd5 . 226.8

47、 均勻平面電磁波向平面分界面的斜入射均勻平面電磁波向平面分界面的斜入射 6.8.1 均勻平面電磁波向理想介質(zhì)分界面的斜入射均勻平面電磁波向理想介質(zhì)分界面的斜入射 1. 相位匹配條件和斯奈爾定律相位匹配條件和斯奈爾定律 圖 6-15 入射線、 反射線、 透射線 tzztyytxxtztytxkttrzzryyrxxrzryrxkrrizziyyixxiziyixkiikekekeeeekkekkekekeeeekkekkekekeeeekkek)coscoscos()coscoscos()coscoscos(221111rjkttrjkrrrjkiitrieEEeEEeEE000因?yàn)榉纸缑鎧=0

48、處兩側(cè)電場強(qiáng)度的切向分量應(yīng)連續(xù)，故有 )(0)(0)(0ykxkjttykxkjtrykxkjtitytxryrxiyixeEeEeEykxkykxkykxkEEEtytxryryiyixtttrti000tyryiytxrxixkkkkkk,trtrikkkkkcoscos0coscoscos212112trttrrii2,2,2trikkksinsinsin211ri221121sinsinkkit對于非磁性媒質(zhì)，1=2=0， 式(6-90)簡化為 (6-90)2121sinsinnnit2. 反射系數(shù)和透射系數(shù)反射系數(shù)和透射系數(shù) 斜入射的均勻平面電磁波，不論何種極化方式，都可以分解為兩個

49、正交的線極化波：一個極化方向與入射面垂直，稱為垂直極化波；另一個極化方向在入射面內(nèi)，稱為平行極化波。 即 EEE 因此，只要分別求得這兩個分量的反射波和透射波，通過疊加，就可以獲得電場強(qiáng)度矢量任意取向的入射波的反射波和透射波。 1) 垂直極化波 圖 6-16 垂直極化的入射波、反射波和透射波 )cossin(01iizxjkryreEeE)cossin(101)sincos(iizxjkiizixieEeeH考慮到反射定律， 反射波的電磁場為 )cossin(01iizxjkiyieEeE)cossin(101)sincos(iizxjkrizixreEeeH透射波的電磁場為 )cossin(

50、02ttzxjktyteEeE)cossin(202)sincos(ttzxjkttztxteEeeHtixjktxjkrieEeEEsin0sin0021tixjkttxjkirieEeEEsin02sin10021cos1cos1(6-95)考慮到折射定律k1sini=k2sint，式(6-95)簡化為 02100000coscos)(ttiritriEEEEEE解之得 tiiittitiirEETEEcoscoscos2coscoscoscos12200121200(6-96a)(6-97)若以Ei0除式(6-96a)，則有 T1對于非磁性媒質(zhì)，1=2=0，式(6-97)簡化為 iiii

51、titititinnnn2122122121sincossincos)sin()sin(coscoscoscosiiitititiinnnT212211sincoscos2)sin(sincos2coscoscos2 上述反射系數(shù)和透射系數(shù)公式稱為垂直極化波的菲涅耳(A.J.Fresnel)公式。 由此可見，垂直入射時，i=t=0，式(6-97)簡化為式(6-58)。透射系數(shù)總是正值。當(dāng)12時，由折射定律知，it，反射系數(shù)是正值；反之，當(dāng)12時，反射系數(shù)是負(fù)值。 2) 平行極化波 圖 6-17 平行極化的入射波、 反射波和透射波 入射波電磁場： )cossin(01)cossin(0111)s

52、incos(iiiizxjkiyizxjkiizixieEeHeEeeE反射波電磁場(已經(jīng)考慮了反射定律)： )cossin(01)cossin(0111)sincos(iiiizxjkryrzxjkrizixreEeHeEeeE透射波電磁場： )cossin(02)cossin(0221)sincos(tittzxjktytzxjkttztxteEeHeEeeE應(yīng)用分界面z=0處場量的邊界條件和折射定律有 020010001)(1coscoscostrittiriiEEEEEE解之得反射系數(shù)、 透射系數(shù)： tiiittitiirEETEEcoscoscos2coscoscoscos21200

53、212100|21|1T如果i=0，那么r=t=0， 故 1212|(6-104)對于非磁性媒質(zhì)，1=2=0，式(6-104)簡化為 iiiititititinnnn2121221212|1211|sincossincos)tan()tan(coscoscoscosttitititiinnnT)cos()sin(sincos2coscoscos2121|即 iiiT2121212|sincoscos2由此可見，透射系數(shù)T總是正值，反射系數(shù)則可正可負(fù)。 3. 媒質(zhì)媒質(zhì)1中的合成電磁波中的合成電磁波 xkjzjkzjkiyriiiieeeEeEEE)sin(coscos01111xkjzjkzjk

54、ixzjkzjkixiiiiiieeeeeeeEH)sin(coscoscoscos01111111(sin(cos1(6-107)相移常數(shù)為 ixkksin1相速為 ixpxkksin1 沿z方向，電磁場的每一分量都是傳播方向相反、幅度不相等的兩個行波之和，電磁場沿z方向的分布為行駐波。它們的相移常數(shù)、 相速和相應(yīng)的波長為 izizpzizkkkvkkcos2,cos,cos1116.8.2 均勻平面電磁波向理想導(dǎo)體的斜入射均勻平面電磁波向理想導(dǎo)體的斜入射 垂直極化的反射系數(shù)和透射系數(shù)： 0, 1T平行極化的反射系數(shù)和透射系數(shù)： 0, 1|T由此可見，同垂直入射時一樣，斜入射電磁波也不能透入

55、理想導(dǎo)體。 (6-108a) 1. 垂直極化垂直極化 將式(6-108a)代入式(6-107)，便得經(jīng)區(qū)域2的理想導(dǎo)體表面反射后媒質(zhì)1(z0)中的合成電磁波： yyxkjiiyEeezkjEeEi)sin(1011)cossin(2zzxxxkjiiziixiHeHeezkjezkeEHi)sin(110111)cossin(sin)coscos(cos21(6-109)媒質(zhì)1中的合成電磁波具有下列性質(zhì)： (1) 合成電磁波是沿x方向傳播的TE波，相速為 iipxksin1sin111 (2) 合成電磁波的振幅與z有關(guān)，所以為非均勻平面電磁波，即合成電磁波沿z方向的分布是駐波。電場強(qiáng)度的波節(jié)點(diǎn)

56、位置離分界面(z=0)的距離， ,.)2 , 1 , 0(cos21nnzi (3) 坡印廷矢量有兩個分量。由式(6-109)可見，坡印廷矢量有x、z兩個分量，它們的時間平均值為 0021Re*,zxxyyzaveHeEeS)cos(sinsin2121Re12201*,zkEeHeEeSiiixavzyyxav 2. 平行極化平行極化 若Ei平行入射面斜入射到理想導(dǎo)體表面，類似于上面垂直極化的分析，我們獲知媒質(zhì)1中的合成電磁波是沿x方向傳播的TM波，垂直理想導(dǎo)體表面的z方向合成電磁波仍然是駐波。 例例 6-12 如果定義功率反射系數(shù)、功率透射系數(shù)為 ziavztavpziavzravpeSeSTeSeS,證明： p+Tp=1即在垂直分界面的方向，入射波、反射波、透射波的平均功率密度滿足能量守恒關(guān)系。 解：解： 不論Ei垂直入射面還是平行入射面，均有 )(21)(Re21Re21*001*001*00,iikiikiiiiiavEEeEeEHES)(21)(21)(21*)(21*001212*002,*001*001,iiktttkttaviikrrrkrravEETeEEeSEEeEEeS 將以上三式代入功率反射系數(shù)和功率透射系數(shù)的定義，并且考慮到 tztxktizixk