(輔導班專用)人教版數(shù)學九年級暑假講義+課堂小測(提高班)11《圓的有關性質》（教師版）

1、 第11講 圓的有關性質知識點一圓的概念圓的描述性概念：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓其固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑圓的集合性概念：圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合圓的表示法：以點O為圓心的圓，記作“O”，讀作“圓O”知識點二與圓有關的概念及簡單計算如圖，(1)連接圓上任意兩點的線段叫做弦，如線段AC，AB；(2)經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如線段AB；(3)圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，“以A，C為端點的弧記作”，讀作“圓弧AC”或“弧AC”圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧

2、都叫做半圓大于半圓的弧(如)叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧(如或)叫做劣弧(4)能夠重合的兩個圓叫做等圓，在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧知識點三圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸知識點四垂徑定理及其推論1垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧2推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧溫馨提示：(1)定理中“垂直于弦的直徑”可以是直徑，也可以是半徑，甚至可以是過圓心的直線或線段.(2)推論中“平分弦”的“弦”一定是非直徑的弦，否則命題就不一定成立了如圖1所示，當弦CD為直徑時，AB平分CD于點O，但結論不成立(3)利用垂徑定理及其推

3、論可以證明兩條弧相等、一條弦垂直平分另一條弦、一條線段是直徑 圖1 圖2知識點五垂徑定理的應用在垂徑定理的運用中，常涉及弦長a、弦心距d(圓心到弦的距離)、半徑r及弓形高h(弦所對的弧的中點到弦中點的距離)這四者之間的關系應用時，構造直角三角形，利用勾股定理求解如圖2所示，它們的關系為r2d2()2，rdh.圓的相關性質1.1、下列說法正確的是(D)A長度相等的弧是等弧 B兩個半圓是等弧C半徑相等的弧是等弧 D直徑是圓中最長的弦1.2、 如圖所示,AC是O的直徑,點B在O上.(1)寫出圖中O的弦,并指出最長的弦;(2)寫出圖中O的劣弧和優(yōu)弧;(3)試判斷O中有沒有相等的線段?有相等的弧嗎?解:

4、(1)O的弦有AC,BC,AB,直徑AC是O中最長的弦.(2)和是O的劣弧.和是O的優(yōu)弧.(3)因為同圓的半徑相等,所以OA=OB=OC;直徑AC把O分成的兩個半圓是相等的弧.1.3、如圖所示:點M,G,D在半圓O上,四邊形OEDF,HMNO均為矩形,EF=b,NH=c,則b與c之間的大小關系是b= c(填“<”“=”“>”)1.4、如圖,點A,B,C是O上的三點,BO平分ABC.求證:BA=BC.證明:連接OA,OC,如圖,因為OA=OB,OB=OC,所以ABO=BAO,CBO=BCO.因為BO平分ABC,所以ABO=CBO.所以BAO=BCO.所以OABOCB.所以AB=BC.

5、【變式訓練1-1】下列說法中正確的是(B )A.長度相等的弧是等弧 B半圓是弧C.半圓是圓中最長的弧 D.優(yōu)弧一定大于劣弧【變式訓練1-2】如圖,在ABC中,ACB=90°,A=40°,以C為圓心,CB為半徑的圓交AB于點D,連接CD,則ACD的度數(shù)為(A)A.10° B15° C.20° D.25°【變式訓練1-3】已知,如圖,BD,CE是ABC的高,M為BC的中點.試證明點B,C,D,E在以點M為圓心的同一個圓上.證明:如圖,連接ME,MD,因為BD,CE分別是ABC的高,所以EBC和DBC都是直角三角形.因為M為斜邊BC的中點,

6、所以ME=MD=BC=MB=MC.所以點B,C,D,E都在以點M為圓心的同一個圓上.垂徑定理及其推理2.1、如圖，AB是O的直徑，CD為弦，CDAB于點E，則下列結論中不成立的是(C)ACOEDOE BCEDE COEBE D.2.2、 如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于點E，若AB8，AE1，則弦CD的長是()A. B2 C6 D82.3、已知：如圖，M是的中點，過點M的弦MN交AB于點C，設O的半徑為4 cm，MN4 cm.(1)求圓心O到弦MN的距離；(2)求ACM的度數(shù).解：(1)如圖，連接OM，過點O作ODMN于點D.由垂徑定理得MDMN2 .在RtODM中，OM4，MD2 ，OD2

7、.故圓心O到弦MN的距離為2 cm.(2)M是的中點，O是圓心，OMAB.在RtODM中，ODOM，OMD30°，ACM60°. 2.4、在RtABC中，C90°，BC3，AC4，點P在以點C為圓心，5為半徑的圓上，連接PA，PB.若PB4，則PA的長為_解析 如圖，連接CP，PB的延長線交C于點P.CP5，CB3，PB4，CB2PB2CP2，CPB為直角三角形，且CBP90°，即CBPB，PBPB4.ACB90°，PBAC.又PBAC4，四邊形ACBP為矩形，PABC3.在RtAPP中，PA3，PP8，PA.綜上所述，PA的長為3或.【變式訓

8、練2-1】 如圖，在O中，AE是直徑，半徑OC垂直于弦AB于點D，連接BE，若AB2 ，CD1，則BE的長是()A5 B6 C7 D8 解析 由垂徑定理可知AD.設O的半徑為x，則ODx1，OAx.由勾股定理得x2(x1)2()2，解得x4.OD3.OD是ABE的中位線，BE6.故選B.【變式訓練2-2】如圖所示，某窗戶由矩形ABCD和弓形AEB組成，已知弓形的跨度AB3 m，弓形的高EF1 m，現(xiàn)計劃安裝玻璃，請你幫工人師傅求出所在的O的半徑.解：由垂徑定理，得BFAB1.5 m，OEAB.設O的半徑為x m，則OF(x1)m.在RtOBF中，根據(jù)勾股定理，得x21.52(x1)2，解得x1

9、.625.即所在的O的半徑是1.625 m.【變式訓練2-3】如圖，一下水管道橫截面為圓形，直徑為100 cm，下雨前水面寬為60 cm，一場大雨過后，水面寬為80 cm，則水位上升_cm. 解析 對于半徑為50 cm的圓而言，圓心到長為60 cm的弦的距離為40 cm，到長為80 cm的弦的距離為30 cm.當圓心在兩平行弦之外時，兩弦間的距離403010(cm)；當圓心在兩平行弦之間時，兩弦間的距離403070(cm)綜上所述，水位上升10 cm或70 cm.垂徑定理的應用3.1、如圖為一拱形公路橋，圓弧形橋拱的水面跨度AB80米，橋拱到水面的最大高度為20米(1)求橋拱的半徑；(2)現(xiàn)有

10、一艘寬60米，船艙頂部為長方形并高出水面9米的輪船要經(jīng)過這里，這艘輪船能順利通過這座拱橋嗎？請說明理由解：(1)如圖，設點E是橋拱所在圓的圓心，過點E作EFAB于點F，延長EF交E于點D，則F是AB的中點，AFFBAB40米，EFDEDFAEDF.由勾股定理，知AE2AF2EF2AF2(AEDF)2.設E的半徑為r米，則r2402(r20)2.解得r50.答：橋拱的半徑為50米(2)這艘輪船能順利通過這座拱橋理由如下：如圖，由題意，知DEMN，PMMN30米，EF502030(米)在RtPEM中，PE40米，PFPEEF403010(米)10米9米，這艘輪船能順利通過這座拱橋 3.2、如圖,一

11、圓弧形橋拱的圓心為E,拱橋的水面跨度AB=80米,橋拱到水面的最大高度DF為20米.(1)求橋拱的半徑;(2)現(xiàn)水面上漲后水面跨度為60米,則水面上漲的高度為米. 解:(1)由垂徑定理,得AF=AB=40,設半徑為r,由勾股定理得AE2=AF2+EF2,即r2=402+(r-20)2.解得r=50.所以橋拱的半徑為50米.(2)設水面上漲后水面跨度MN為60米,MN交ED于H,連接EM,如圖所示,則MH=MN=30,所以EH=40(米).因為EF=50-20=30(米),所以HF=EH-EF=10(米).所以水面上漲10米.【變式訓練3-1】 某地方有座弧形的拱橋,如圖,橋下的水面寬

12、為7.2米,拱頂高出水面2.4米,現(xiàn)有一艘寬3米,船艙頂部為長方形并高出水面2米的船要經(jīng)過這里,此船能順利通過這座拱形橋嗎?解:如圖,設所在圓的圓心為O,半徑為r米,連接OA,OC,過O作OKAB于點K,交CD于點H,交于點G.則OA=OG=r米,GK=2.4米,OK=OG-GK=(r-2.4)米.由垂徑定理,得AK=AB=×7.2=3.6(米).在RtAOK中,由勾股定理,得AK2+OK2=OA2,即(r-2.4)2+3.62=r2.解得r=3.9.所以OK=3.9-2.4=1.5(米).在RtCOH中,CH=CD=×3=1.5(米),由勾股定理,得OH2=OC2-CH2

13、,即OH2=3.92-1.52.解得OH=3.6.所以HK=OH-OK=3.6-1.5=2.1(米).因為2.1>2,所以此船能順利通過這座拱形橋.1.如圖，在O內(nèi)有折線OABC，其中OA8，AB12，AB60°，則BC的長為()A19 B16 C18 D20 解析 如圖，延長AO交BC于點D，過點O作OEBC于點E.AB60°，DAB是等邊三角形，ADDBAB12，ODADOA1284.在RtODE中，DOE90°ADB30°，DEOD2，BEDBDE12210.由垂徑定理，知BC2BE20.2.如圖，在半徑為5的O中，AB，CD是互相垂直的兩條

14、弦，垂足為P，且ABCD8，則OP的長為()A3 B4 C3 D4 C解析 如圖，過點O作OEAB，OFCD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接AO.OEAB，AEAB4.在RtOAE中，OA5，由勾股定理可得OE3，同理得OF3，因此四邊形OEPF是正方形，OEPE3.在RtOPE中，由勾股定理可得OP3 .3.如圖，坐標平面上，A，B兩點分別為P與x軸、y軸的交點，有一直線l經(jīng)過點P且與AB垂直，C為l與y軸的交點若點A，B，C的坐標分別為(a，0)，(0，4)，(0，5)，其中a0，則a等于()A2 B2 C8 D74A解析 連接AC，OB4，OC5，BCOBOC9.由垂徑定理可知直線l是線段AB的

15、垂直平分線，ACBC9.在RtAOC中，AO2.a0，a2.故選A.4.如圖，過A，C，D三點的圓的圓心為E，過B，F(xiàn)，E三點的圓的圓心為D，CAE63°，則CBE_°.解析 連接EC，ED.AECE，ACECAE63°，AEC180°63°×254°.DEDB，DEBCBE，CDEDEBCBE2CBE.CEDE，ECDCDE2CBE，AECECDCBE3CBE.又AEC54°，CBE18°.5.如圖，AB是O的直徑，AB4，M是OA的中點，過點M的直線與O交于C，D兩點若CMA45°，則弦CD

16、的長為_答案 解析 連接OD，過點O作OECD于點E，如圖所示，則CEDE.AB是O的直徑，AB4，M是OA的中點，ODOA2，OM1.OMECMA45°，OEM是等腰直角三角形，OEOM.在RtODE中，由勾股定理得DE，CD2DE.故答案為.6.如圖,AB是O的直徑,點C在O上,CDAB,垂足為D,已知CD=4,OD=3,則AB的長是10. 7.平面上有O及一點A,點A到O上一點的距離最長為10 cm,最短為4 cm,則O的半徑為3 cm或7 cm. 8.如圖,A,B,C是O上的三點,AOB=50°,OBC=40°,求OAC的度數(shù).解:如圖

17、,連接OC,因為OB=OC,所以OCB=OBC=40°.所以BOC=180°-OBC-OCB=180°-40°-40°=100°.所以AOC=AOB+BOC=50°+100°=150°.又因為OA=OC,所以OAC=15°.9.如圖,AB是O的直徑,點C,D在O上,CEAB于E,DFAB于F,且AE=BF,AC與BD相等嗎?為什么?解:AC與BD相等.理由如下:連接OC,OD,如圖.因為OA=OB,AE=BF,所以OA-AE=OB-BF,即OE=OF.因為CEAB,DFAB,所以OEC=OFD=

18、90°.在RtOEC和RtOFD中,所以RtOECRtOFD(HL).所以CE=DF.在AEC與BFD中,所以AECBFD(SAS).所以AC=BD.10.已知O的半徑是 5 cm,弦ABCD,AB=6 cm,CD=8 cm,則AB與CD的距離是多少?解:分為兩種情況:當AB和CD在O的同旁時,如圖(1),過O作OEAB于E,交CD于F,連接OA,OC,因為ABCD,所以OFCD.由垂徑定理得AE=AB=3 cm,CF=CD=4 cm.在RtOAE中,由勾股定理,得OE=4(cm).同理求出OF=3 cm.所以EF=4-3=1 cm.當AB和CD在O的兩側時,如圖(2),同理求出OE

19、=4 cm,OF=3 cm,所以EF=4+3=7 cm;綜上所述,AB與CD的距離是1 cm或7 cm.11.如圖所示,殘缺的圓形輪片上,弦AB的垂直平分線CD交圓形輪片于點C,垂足為D,解答下列問題:(1)用尺規(guī)作圖找出圓形輪片的圓心O的位置并將圓形輪片所在的圓補全;(要求:保留所有的作圖痕跡,不寫作法)(2)若弦AB=8,CD=3,求圓形輪片所在圓的半徑.解:(1)如圖(1)所示.(2)如圖(2),連接OA,因為CD是弦AB的垂直平分線,所以AD=AB=4.設圓的半徑是r.在直角ADO中,AO=r,AD=4,DO=r-3.根據(jù)勾股定理得r2=16+(r-3)2,解得r=.即圓形輪片所在圓的

20、半徑為.1.如圖,AB是O的弦,半徑OCAB于點D,若O的半徑為5,AB=8,則CD的長是(A)(A)2(B)3 (C)4 (D)52.如圖,已知O的直徑AB經(jīng)過弦CD的中點E,連接BC,BD,則下列結論錯誤的是(D)(A)ABCD (B)BC=BD (C)BCD=BDC (D)OE=BE3.如圖:將半徑為2厘米的圓形紙片折疊后,圓弧恰好經(jīng)過圓心O,則折痕AB的長為(D)(A) 厘米 (B)2 厘米 (C)3 厘米 (D)2 厘米4.(2017黔東南州)如圖,O的直徑AB垂直于弦CD,垂足為E,A=15°,半徑為2,則弦CD的長為(A)(A)2(B)1 (C) (D)4 第4題圖 第5題圖 第6題圖 第7題圖5.如圖,AB是O的直徑,弦CDAB,CD=10,APPB=51,O的半徑是(D)