北京理工大學(xué)-數(shù)學(xué)分析-微分中值定理- 函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性的判別法3.4（本科課件）

1、Nove. 7 Fri. Review1. 局部Taylor展開式：2. 帶Lagrange余項(xiàng)的Taylor公式：帶Lagrange余項(xiàng)的Maclaurin公式：Nove. 4 Fri. 4 函數(shù)單調(diào)性與凸性的判別法函數(shù)單調(diào)性判別法函數(shù)的凸性及其判別法一. 函數(shù)單調(diào)性的判別法定義定理1證明：定理2證明：例證明：證明：解：注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性二. 函數(shù)的凸性及其判別法問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于弦的上方圖形上任意弧段位于弦的下方定義1假設(shè)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上是凸的或凹的，那么稱函

2、數(shù)是凸函數(shù)或凹函數(shù)。凸函數(shù)凹函數(shù)定義1凸函數(shù)凹函數(shù)定義2定理證明：幾何意義：假設(shè)曲線弧個(gè)點(diǎn)處的切線斜率是單調(diào) 增加的，那么該曲線是下凸的；假設(shè)各點(diǎn)處的切 線斜率是單調(diào)減少的，那么該曲線弧是上凸的。例求拐點(diǎn)的步驟：解：導(dǎo)數(shù)不存在，二階導(dǎo)數(shù)也不存在。凹凸凸證明：證明：Hw：p151 3(2,4,5,7)，4(2,3,4,5)，7(3,4)， 8(2,4,6)，9(2)，10，11，12，1，3。更進(jìn)一步有不等式：Nove. 9 Wed. Review函數(shù)單調(diào)性判別法函數(shù)凸性及其判別法假設(shè)函數(shù)可微：凸函數(shù)凹函數(shù)函數(shù)凸性判別法：求拐點(diǎn)的步驟：3.考察在這些點(diǎn)的左、右的凹凸性。函數(shù)的極值：極大值與極小值

3、5 函數(shù)極值、函數(shù)作圖函數(shù)的極值與求法；漸近線；函數(shù)作圖。一. 函數(shù)的極值與求法定義：函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).定理1(必要條件)注意:例如,極值可疑點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(尖點(diǎn)).定理2(第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形)求極值的步驟:(不是極值點(diǎn)情形)例1解列表討論極大值極小值圖形如下例定理3第二充分條件證明：極大值極小值定理3(第二充分條件)例 1. 假設(shè)直角三角形的一只角邊與斜邊之和為常數(shù)，求有最大面積的直角三角形；小 結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為極值可疑點(diǎn).函數(shù)的極值必在極值可疑點(diǎn)

4、取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)Hw：p160 1(雙),2,3,4(2,3),6,7,9,10,12,13,15.二. 漸近線定義:1.垂直漸近線例如有垂直漸近線兩條:2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:3.斜漸近線斜漸近線求法:注意:例三. 函數(shù)作圖1.函數(shù)根本性質(zhì)：1). 定義域，值域，連續(xù)范圍；2). 函數(shù)的奇偶性：奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶 函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱；3). 周期性。2. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)：3. 漸近線1). 垂直漸近線；2). 水平與斜漸近線。4. 描點(diǎn)作圖 例hw：p166 3,4.列表xyy . 對(duì)函數(shù)進(jìn)行全面討論并畫圖：解所以，曲線有漸近線 x =00(拐點(diǎn))+因00+3極小值+例1.0.間斷點(diǎn)0 xy3.列表xyy . 對(duì)函數(shù)進(jìn)行全面討論并畫圖：解所以，曲線有漸近線 y =0，因+0因 y(x) = y(x)，圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。1010(拐點(diǎn))間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)+及 x =1，x = 1x