數(shù)值分析9(迭代法收斂性證明)

1、1/34迭代法收斂性條件迭代法收斂性條件迭代誤差估計(jì)定理迭代誤差估計(jì)定理 數(shù)值分析 9*2/34總結(jié)總結(jié): 矩陣范數(shù)矩陣范數(shù)算子范數(shù)算子范數(shù) 算子范數(shù)算子范數(shù) 矩陣矩陣1范數(shù)范數(shù), 矩陣無窮范數(shù)矩陣無窮范數(shù), 矩陣矩陣2范數(shù)范數(shù)3/34例例4 設(shè)設(shè)|.|為為Rnn 上任意一種矩陣范數(shù)上任意一種矩陣范數(shù), 則對則對任意的任意的A Rnn , 有有證明證明: ( )max|,0iAxAxx 設(shè)設(shè)是是模模最最大大特特征征值值對對應(yīng)應(yīng)特特征征向向量量滿滿足足。Txx則則不不 是是 零零 矩矩 陣陣 。. ,對對于于任任意意矩矩陣陣范范數(shù)數(shù)由由范范數(shù)數(shù)定定義義有有( )TTTTAxxxxAxxA xx

2、()AA 。例例5 設(shè)設(shè)|.|為為Rnn 上任意一種矩陣范數(shù)上任意一種矩陣范數(shù), 則對則對1,.=1II 有有特特別別的的為為算算子子范范數(shù)數(shù)則則。4/34A X = b (MN )X = b M X = N X + b記記 (k) = X(k) X* ( k = 0, 1, 2, )則有則有 (k+1) = B (k) ( k = 0, 1, 2, )迭代格式迭代格式: X(k+1) = B X(k) + f ( B = M-1N, f=M-1b ) X(k+1) X*= B(X(k) X*) 設(shè)方程組的精確解設(shè)方程組的精確解為為 X*,則有則有X* = B X* + f * | (k+1)

3、 |= |B (k) | |B|.| (k) | ( k = 0, 1, 2, )5/34*11( )*( )()|kkkLLxxxx 0( )( )f xxx 11( ),f xAxbxMNxM bAMN 其其中中迭代法構(gòu)造迭代法構(gòu)造收斂條件收斂條件中止準(zhǔn)則中止準(zhǔn)則*(0)*( ), ()|( ),)|1) (NxxxxxxxN x 為為的的不不動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)在在 的的連連續(xù)續(xù)且且則則迭迭代代法法對對任任意意某某鄰鄰域域收收斂斂6/34引理引理1 112,lim0( )1,( )=max|,n nkkkk nnBRBBBBB 矩矩陣陣則則的的充充分分必必要要條條件件是是其其中中為為矩矩陣陣 的的譜

4、譜半半徑徑是是矩矩陣陣 的的特特征征值值。*參考參考: P. 837/34引理引理2 ( )1,BIB 若若則則是是非非奇奇異異的的。21:()(),kkIB IBBBIB 思思路路-10() =jjIBB 故故。*引理引理3 11,1()1BIBB 若若則則對對于于矩矩陣陣算算子子范范數(shù)數(shù)滿滿足足 111:()()()()IB IBIIBB IBI 思思路路111()()()IBIB IBIBIB 8/34證證: 必要性必要性, 設(shè)迭代法產(chǎn)生的序列設(shè)迭代法產(chǎn)生的序列X(k)收斂收斂, 記記X*是該序列的極限點(diǎn)是該序列的極限點(diǎn), 則則X* =B X*+f。 定理定理4.1 對對任意的任意的f和

5、和任意的初始向量任意的初始向量X(0)迭代法迭代法 X(k+1) =B X(k) +f 收斂的收斂的充分必要充分必要條件是條件是(1)*( )*2(1)*1(0)*()()()kkkkXXB XXBXXBXX ( )1B 由由X(0) 的任意性知的任意性知 *=lim()1kkBBOB 。*9/34充分性充分性 (1)( )(1)1(0)0()kkkkkjjXBXfB BXffBXB f ( )1lim()kkXIBf 說說明明迭迭代代法法產(chǎn)產(chǎn)生生的的序序列列收收斂斂。( )1lim0kkBB 21()(),kkIBIBBBIB 則則-10() =jjIBB 。*10/34 譜半徑小于譜半徑小

6、于1是迭代收斂的充要條件是迭代收斂的充要條件,但它不但它不易計(jì)算易計(jì)算,所以在實(shí)際使用中通常并不好用所以在實(shí)際使用中通常并不好用。(),:AA 由由性性質(zhì)質(zhì)我我們們有有如如下下推推論論推論推論4.1 若若|B|1,則對任意的則對任意的f和任意的初始向量和任意的初始向量X(0)迭代法迭代法 X(k+1) =B X(k) +f 收斂。收斂。*:( )1BB 思思路路11/34定理定理4.2 設(shè)設(shè)X*為方程組為方程組 AX=b 的解若的解若|B|0, 記記 xTLTx = a , 則有則有xTAx=xT(D L LT)x=p a a =p 2a 0 xLDxxLxTTT)( xxLLDT 1)(xL

7、DxLT)( 設(shè)設(shè) 為為BGS的任一特征值的任一特征值, x 為其特征向量為其特征向量,則則 *20/341)2(2222222 aappaapapa apaxLDxxLxTTT )( 所以迭代矩陣所以迭代矩陣 BGS 的譜半徑的譜半徑 (BGS) 1,從而當(dāng)從而當(dāng)A 是實(shí)對稱正定矩陣時(shí)是實(shí)對稱正定矩陣時(shí), Gauss-Seidel迭代法收斂。迭代法收斂。*定理定理 方程組方程組 Ax=b 中中, 若若 A 是實(shí)對稱正定矩陣是實(shí)對稱正定矩陣,則則Jacobi迭法收斂？迭法收斂？(反例反例)21/34(1) ()()0;JGSBB 定理定理4.5 設(shè)設(shè)BJ元素均非負(fù)元素均非負(fù), 則下列關(guān)系有且則

8、下列關(guān)系有且只有一個(gè)成立只有一個(gè)成立:參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn): : P. Stein, R.L. Rosenberg, On the solution of linear simultaneous equations by iteration, J. London Math. Soc.(2) 0 ()()1;GSJBB(3) ()()1;JGSBB(4) 1 ()()JGSBB 。*22/3411( )( )()|*|kkkXXXXBB *11( )*( )()|kkkLLxxxx ( )xx 11,xMNxM bAMN其其中中迭代法構(gòu)造迭代法構(gòu)造收斂條件收斂條件(局部局部vs全局全局)中止準(zhǔn)則中止

9、準(zhǔn)則*(0)*()( )|()| 1,(, ()N xxxN xxxxx 為為的的不不動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)在在 的的連連續(xù)續(xù)且且則則迭迭代代法法對對任任意意某某鄰鄰域域收收斂斂(0)X( )1| | |1fBB 對對任任意意的的 和和迭迭代代法法收收斂斂的的充充分分必必要要條條件件是是和和充充分分條條件件是是任任意意的的初初始始向向量量統(tǒng)一的不動(dòng)點(diǎn)框架統(tǒng)一的不動(dòng)點(diǎn)框架23/34直接法直接法vs迭代法迭代法 基于高斯消元法的直接方法提供了基于高斯消元法的直接方法提供了有限步有限步內(nèi)內(nèi)就可以得到解的方法。就可以得到解的方法。* 尋求迭代方法的理由是什么呢？尋求迭代方法的理由是什么呢？十階十階 百階百階 萬階萬

10、階 百萬階百萬階 億階億階 小小 不大不大 較大較大 大大 超大超大24/34迭代法優(yōu)勢迭代法優(yōu)勢1: : 直接法運(yùn)行一個(gè)完整直接法運(yùn)行一個(gè)完整LU分解才能得到解分解才能得到解,迭代法從初始解開始每步對其加工改善使其更迭代法從初始解開始每步對其加工改善使其更加精確。問題是在用戶容忍的范圍內(nèi)需要多少加精確。問題是在用戶容忍的范圍內(nèi)需要多少步才能得到收斂性步才能得到收斂性？*注釋注釋: :運(yùn)行一個(gè)完整運(yùn)行一個(gè)完整LU分解花費(fèi)分解花費(fèi)O(n3)階運(yùn)算階運(yùn)算,一一般地般地,迭代法每次迭代花費(fèi)迭代法每次迭代花費(fèi)O(n2)階運(yùn)算階運(yùn)算, 即即每次每次迭代僅需要完整迭代僅需要完整LU分解花費(fèi)的一部分。分解花

11、費(fèi)的一部分。25/34迭代法優(yōu)勢迭代法優(yōu)勢2: 求解稀疏方程組是使用迭代法的主要理由。求解稀疏方程組是使用迭代法的主要理由。*注釋注釋:系數(shù)矩陣稀疏度為系數(shù)矩陣稀疏度為n, 則求解稀疏方程組則求解稀疏方程組迭代法每步迭代花費(fèi)迭代法每步迭代花費(fèi)O(n)階階運(yùn)算。求解特殊結(jié)運(yùn)算。求解特殊結(jié)構(gòu)方程組構(gòu)方程組(如如Toeplitz)迭代法每步迭代花費(fèi)迭代法每步迭代花費(fèi)O(nlogn)階階運(yùn)算。運(yùn)算。26/34( ),01(0)(1)0uf xxuu Poisson方程方程:令令 h = 1/(n+1) , xi= ih ( i = 0,1, , n+1 )記記 ui= u(xi ), (i = 0,1

12、, , n+1)迭代計(jì)算格式迭代計(jì)算格式:1(1)( )( )21()/ 2iikkkiiuuuh f x 121)2(iiiih f xuuu 差分格式差分格式:22()( )( )( )hf ahf ahfafa 22()( )( )( )hf ahf ahfafa 22()2 ( )()( )()f ahf af ahfaO hh 1(1)(1)( )21()/ 2iikkkiiuuuh f x 27/342112112A n=10000;e=ones(n,1);A = spdiags(e -2*e e, -1:1, n, n), spy(A)28/34 HB矩陣稀疏模式矩陣稀疏模式來源

13、來源 The original Harwell-Boeing collection來源來源: :The University of Florida Sparse Matrix Collection29/34 FreeFieldTechnologies矩陣稀疏模式矩陣稀疏模式來源來源3D vibro-acoustic problem, aircraft engine nacelle30/34 vanHeukelum矩陣稀疏模式矩陣稀疏模式 來源來源DNA electrophoresis31/34 garon2矩陣稀疏模式矩陣稀疏模式 2D FEM, Navier-Stokes, CFD32/34

14、 n=10000;e = ones(n,1); n2=n/2;a = spdiags(-e 3*e -e,-1:1,n,n); c=spdiags(e/2,0,n,n);c=fliplr(c);a=a+c;a(n2+1,n2) = -1; a(n2,n2+1) = -1; b=zeros(n,1); b(1)=2.5;b(n)=2.5;b(2:n-1)=1.5;b(n2:n2+1)=1;% Jacobi Method (Iterative Method)ticd=diag(a); % extract diagonal of ar=a-diag(d); % r is the remainderx=zeros(n,1); % initialize vector xfor j=1:50 % loop for Jacobi iterationx = (b-r*x)./d;endt1=toctic,x=full(a)b,t2=toc % Back Slash (Direct Method)Demo133/34 help sparfunMatlab與大數(shù)據(jù)處理與大數(shù)據(jù)處理Elementary sparse matrices (