高次方程歷史上解法的淺析

1、1學(xué)校代碼學(xué)校代碼 10722 學(xué)學(xué) 號號 0706014410 分分 類類 號號 O11 密密 級級 公公 開開 本科畢業(yè)設(shè)計（論文）本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 題目 高次方程歷史上解法的淺析析 History Of High-order Equation Of The Method Of Solutiou 作作 者者 姓姓 名名 王王 專專 業(yè)業(yè) 名名 稱稱 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué)學(xué) 科科 門門 類類 理理 學(xué)學(xué) 指指 導(dǎo)導(dǎo) 老老 師師 王王 提交論文日期提交論文日期二二一一年六月一一年六月 成績等級評定成績等級評定 2摘要本文首先簡單介紹了我國古代關(guān)于方程的輝煌成就。如九章算術(shù)的開方

2、術(shù)、賈憲的增乘開方法和數(shù)書九章中的部分成就。然后主要介紹國外的方法。費羅關(guān)于缺項三次方程、卡當卡當?shù)葦?shù)學(xué)家的成就。最后簡單介紹高次方程的近似根求法以及一些特殊的高次方程如倒數(shù)方程、二項方程、三項方程的求解問題。對高次方程的研究不僅產(chǎn)生了許多有價值的數(shù)學(xué)思想方法。（換元法、配方法、化歸思想、由特殊到一般等）而且還誕生了一些數(shù)學(xué)分支如抽象代數(shù)等。更重要的是它能讓我們更深刻的理解數(shù)學(xué)前輩們的那種偉大的精神以及數(shù)學(xué)的那種純粹的美。關(guān)鍵詞： 高次方程 卡當公式 近似根 倒數(shù)方程 二項方程Abstract This article first briefly introduces the equation

3、 of ancient China on the achievements. Such as the Nine Chapters on Arithmetic, the square root operation, increased by Jia Xians open approach and the Number Nine Chapters in the part of the achievement. Then introduces the foreign methods. Filo cubic equation on the short term, the card when the c

4、ard when the achievements of other mathematicians. Finally, a brief high-order method for finding an approximate root of equation and some special high-order equation such as the reciprocal equation, two equations, three equations to solve problems. Research on the equation of higher value not only

5、produced a number of mathematical thinking. (Substitution method, with method, the Idea, from specific to general, etc.) but also the birth of a number of branches of mathematics such as abstract algebra. More importantly, it allows us a 3deeper understanding of mathematics that the great predecesso

6、rs of the kind of pure spirit and the beauty of mathematics. Key words: Equation of highe Card when the formula Approximate root Reciprocal equation Two equations目目 錄錄摘 要.1Abstract .2前 言.4第一章 中國古代高次方程理論研究.51.1九章算術(shù).51.2 王孝通和緝古算經(jīng).51.3 賈憲、劉益和楊輝.61.4 秦九韶和數(shù)書九章 .6第二章 國外對高次方程的研究 .72.1 費羅的解法.72.2 卡當?shù)葦?shù)學(xué)家的成就.

7、92.3. 韋達公式 .142.4 高次方程求根公式的提出以及伽羅瓦的成就.15第三章 高次方程的另外解法.16第四章 一些特殊高次方程的解法.184.1倒數(shù)方程.184.2二項方程.20 4.3. 三項方程 21第五章 高次方程的近似根求法簡單介紹.235.1 牛頓切線法和牛頓割線法.235.2 二分法.245.3 劈因子法.2545.4 林士諤趙訪熊法.25總結(jié) .26參考文獻.27謝詞 .28高次方程歷史上解法的淺析王亞波（咸陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 陜西 咸陽 712000）前言前言在二十世紀以前，代數(shù)方程求解問題可以說一直是代數(shù)學(xué)的中心問題。我們在學(xué)習(xí)這部分知識時，我們最直接的目

8、的就是要求解方程的根，我們都可以用它們的系數(shù)的代數(shù)式（也就是用只含加、減、乘、除，以及開方等五種代數(shù)運算的表達式）來表示，所以解一次方程和二次方程比較容易。 （二次方程的求解問題有久遠的歷史，巴比倫泥板中就載有二次方程問題；古希臘人和中國九章算術(shù)都解出過某些二次方程）對于三次、四次方程以及四次以上的高次方程來說，它們的根有沒有關(guān)系呢？如果有，該怎么表示；如果沒有，那如何求解高次方程呢?對一元三次方程的研究自古有之。在巴比倫泥板中就有相當于求解三次方程的問題；阿基米德討論過方程x3+a=cx2的幾何解法；七世紀中國王孝通在自己的著作緝古算經(jīng)中提出了要用三次方程解的問題，直到十六世紀，在一批意大利

9、數(shù)學(xué)家的努力之下，才找到了一元三次方程的一般解法。因此，三次、四次方程可以用求根公式來求解。而五次及五次以上的高次5方程解的問題，直到十九世紀才得以解決。那就是對于五次以上的高次方程，不存在用根式法表示根的一般公式。伽羅瓦對此做了詳細的探討。并給出了不能用根式法來求解的方程的實例。本文對這些方面進行了歸納，并在此基礎(chǔ)之上對一些特殊高次方程的解法做了簡要分析和討論。第一章 中國古代高次方程理論研究1.1九章算術(shù)中國古代高次方程數(shù)值解法的基礎(chǔ)是開平方和開立方。開平方在周牌算經(jīng)中就已經(jīng)提到。我們推測當時的一些數(shù)學(xué)家己經(jīng)掌握了正整數(shù)開方的方法。開方術(shù)曰:“置積為實。借一算，步之，超一等。議所得，以一乘

10、所借一算為法而以除。除己，倍法為定法。其復(fù)除，折法而下。復(fù)置借算步之如初。以復(fù)議一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副從定法。復(fù)除，折下如前。 ”開立方術(shù)曰:“置積為實。借一算，步之，超二等。議所得，以再乘所借一算為法，而除之。除已，三之為定法。復(fù)除，折而下。以三乘所得數(shù)置中行。復(fù)借一算置下行。步之，中超一，下超二位。復(fù)置議，以一乘中，再乘下，皆副，以加定法。以定法除。除已，倍下，并中從定法。復(fù)除，折下如前。 ”公元 3 世紀，杰出數(shù)學(xué)家劉徽為九章算術(shù)作注。在開方術(shù)注中，劉徽利用朱黃方冪的兒何方法加以解釋和證明，用從正方形中連續(xù)分割若干方形來解釋開平方的過程，用從立方體中連續(xù)分害6若干長方體

11、和小立方體來解釋開立方的程1.2 王孝通和緝古算經(jīng)王孝通的上緝古算術(shù)表中可以看到零星的緝古算經(jīng)現(xiàn)存本共有 20 道題，最后 4 問殘缺不全，第 17 問缺少王孝通自注的部分內(nèi)容，后 3 問的題目都不完整了。 緝 古 算 經(jīng)最突出的是關(guān)于三次方程的求解問題，除了第 1 題是關(guān)于天文歷法的簡單算術(shù)題，其余 19 題都要列出方程來求解，其中型如 x3+ax2+bx=c 的三次方程是主要的。式子中的 a,b,c 王孝通分別稱為“廉法” 、 “方法”和“實” 。1.3 賈憲、劉益和楊輝據(jù)有關(guān)史料記載，賈憲曾經(jīng)著有黃帝九章算法細草 ，年代大約在 11 世紀上半葉。對于他的數(shù)學(xué)成就，我們只能通過南宋楊輝的詳

12、解九章算法附纂類中的記載來了解。楊輝記載了賈憲的四種開方方法:賈憲立成釋鎖平方法、增乘開平方法、賈憲立成釋鎖立方法和增乘(開立)方法。 “立成”是指唐以后的天文學(xué)家推算各種天文數(shù)據(jù)時使用的算表的通稱。 “釋鎖”是宋元數(shù)學(xué)家開方或解數(shù)字方程的代名詞。因此，賈憲的立成釋鎖可以解釋作:利用一種表格上的數(shù)字來解決一般的開方問題。這種數(shù)字表格很可能就是賈憲提出的“開方作法本源圖” 。1.4 秦九韶和數(shù)書九章秦九韶 字 道古，著有數(shù)書九章十八卷。 數(shù) 書 九 章 全書利用“正負開方術(shù)”求解方程的題目共 21 題，要求解 32 個二7次及二次以上的方程。其中，二次(含二項)26 例，三次 1 例，四次4 例

13、，十次 1 例。秦九韶沒有給出“正負開方術(shù)”的術(shù)文，但是通過需要求解方程的題目后面的術(shù)文和草文，我們可以看到，他的“正負開方術(shù)”和增乘開方法是一致的，是求解高次方程正解的一般方法。秦九韶己經(jīng)能夠熟練的進行代數(shù)恒等變換和設(shè)未知數(shù)建立方程，最高達到十次.第二章 國外對高次方程的研究21 費羅的解法解方程 x3+ax+b=0。將方程變形為可以求解的二次方程的形式。為此，將 x 分拆成兩個未知數(shù)，令 x=u+v。代入原方程得到u3+v3+3u2v+3uv2+a(u+v)+b=0，u3+v3+b+(3uv+a)(u+v)=0。只要 u3+v3+b=0，3uv+a=0，便保證了 x=u+v 是原方程的根。

14、為此解方程組.3,33auvbvu這方程組可變?yōu)?.3,33333avubvu由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，u3、v3滿足方程y2+by - =0。33a于是，223 222bbauA223 222bbavBu、v 各有三個值，設(shè) u0，v0各是一值，則另外兩個值分別為u0，u02；v0，v02。注：（其中，若 表示231i或132i ，則 1、，2是 x3=1 的三個根。這些根叫做三次方程的單位根。 ）由于 ，所以 u、v 共有三組值3auv ,00vu ,200vu .,020vu所以原方程的三個根是x1=3A+3B，x2=3A+3B2，x3=3A2+3B。 叫做方程 x3+ax+b=0 的判

15、別式。23427ba9當 0 時，u3，v3都是實數(shù)，且 u3v3。它們的立方根表示為3A，3B。原方程的根是3A+3B，3A+3B2，3A2+3B。當 =0 時，u3，v3 都是實數(shù)，且 u3=v3。它們的立方根為32b，方程的根為-232b，32b，32b。當 0,那么有如下結(jié)論：當24bac0 時，方程（3）有四個虛根；當24bac=0 時，方程（3）有兩隊相等的根。（）如果 b0，則（3）的根全為實根；（）如果 b0，則（3）的根全為虛根當24bac0 時，又有三種情況討論：（）若24bbac 0，則（3）有四個實根；（）若24bbac 0，則（3）有四個虛根。（）若2-4bbac與2

16、+4bbac異號，則方程（3）式有兩個實根，兩個虛根。第五章高次方程的近似根求法伽羅華找到了一個一元高次方程能否根式求解的判別方法，但是他還是沒有給出高次程的具體求解方法。那么，如何求得高次方程24xyOx*f(xk-1)xk-1f(xk)xk的根呢？在一般情況下，求出精確根是很困難的，而且科學(xué)研究、工程技術(shù)季實際應(yīng)用中，也沒有必要求出精確根，只要求出根的近似值。那么，又如何求得高次方程的根的近似值呢？設(shè)是的一個精確根，即，假設(shè)問題所要求的精確*x( )f x*()0f x度為 ，也就是滿足的 ，或滿足的 ，稱為的一個近似根。*xxx*xxxx*x 下面我們介紹一下求近似根的幾個常用方法：5.

17、1 牛頓切線法和牛頓割線法方法一：牛頓切線法取一個初始值0 xx，然后使用下述迭代公式1()()kkkkf xxxfx，0,1,2, ,k 其中( )fx是( )f x的一階導(dǎo)數(shù)。 牛頓切線法有明顯的幾何意義，如右圖，因為( )f x的根*x滿足*()0f x，在直角坐標平面中，點*(,0)x恰是( )yf x的曲線與 Ox 軸的交點，于是每次迭代所得的點kx正好是曲線上點(,()kkxf x的橫坐標。牛頓切線法其實就是過曲線上的一列點所作曲線的切線與 Ox 軸的交點。25方法二：牛頓割線法 在方法一中，只要給定一個初始點0 x。而方法二中，我們給定兩個初始點01,x x。然后在每次迭代時，把

18、1,kkxx作為下一次迭代的始值。 111(),1,2,3,()()kkkkkkkxxxxf xkf xf x 這類方法都是從已知的點通過相同的計算公式，求得下一個新點。數(shù)學(xué)上稱為迭代法。迭代法很適合于計算。只要初始值選取得好，以上兩種方法產(chǎn)生的無窮數(shù)列。 01,nx xx的近似解, 使誤差不超過 0.01 . 5.2 二分法 先將分成 N 等份，得到 N 個等長的小區(qū)間，顯然每個小區(qū) , a b間的長度。記第一個小區(qū)間為，其中，bahN11,a b1aa1bah第 個小區(qū)間為，則i ,iia bia ，(1)aih1iibaiha1,2,.iN 若對其中某些 ，有，則在中必有的一個i( )(

19、 )0iif af b( ,)iia b( )f x根。然后對這些再分別用二分法，便能求出的一個近似根。( ,)iia b( )f x 二分法很簡便，是工程師們喜歡的一種求全部相異近似單實根的方法。問題在于如何合適地確定 N，因為 N 太大，則工作量也會太大，而 N 太小時，會出現(xiàn)某個小區(qū)間內(nèi)包含多個根，從而二分法會26將這個小區(qū)間的根漏掉。5.3 劈因子法 先用求單實根的方法，求出的一個根，利用因式分解有( )f x1x，11( )()( )f xxxf x其中是（）次多項式。然后求的一個根，依次計算下1( )f x1n1( )f x2x去就有可能求出的所有實根。這里所說的有可能求出的所有實

20、根，而不是( )f x( )f x一定，是因為在一般情況下，我們只能求得等的近似值，所以12,x x有可能會影響到后面所得根的精確性。5.4 林士諤趙訪熊法 林士諤與趙訪熊是我國兩位著名的數(shù)學(xué)家，在計算數(shù)學(xué)方面都有卓越的貢獻。林士諤趙訪熊法是求的復(fù)數(shù)根的一種好方法。( )f x 我們知道，二次多項式的根由20,0,axbxca給出，林士諤趙訪熊法就是求的二次因式242bbacxa ( )f x的方法。該方法建立了一套求和 的迭代方法，且2( )u xxpxqpq可以避免復(fù)數(shù)運算。一旦求得和 之后，就得到了的兩個根，pq( )f x且當時，可得到的一對共軛復(fù)根，然后再利用240pq( )f x

21、，21( )()( )f xxpxq f x其中是（）次多項式，繼續(xù)用同樣的方法求的實根或1( )f x2n1( )f x復(fù)根。該法也是一種劈因子法。 求高次方程的根的近似值，除了以上幾種方法外，還有施斗姆27（Stome）法等，這里不再詳說。這些方法各有優(yōu)點，又不是萬能的。另外，牛頓法和二分法可以用來求超越方程的根，牛頓法及其改進可以用來求非線性方程組的根?？偨Y(jié)總結(jié)本文在查閱大量資料的基礎(chǔ)之上,運用和借鑒前人有關(guān)高次方程的研究成果,整理并研究了高次方程求解問題.并且通過例子解決了一些常見的高次方程問題,說明并展現(xiàn)了數(shù)學(xué)大師們的偉大思想.同時這也將給我們學(xué)習(xí)這部分知識帶來啟發(fā).使我們能夠更深刻

22、領(lǐng)會到一些數(shù)學(xué)思想方法,更深刻的感受到數(shù)學(xué)美.最后文章還介紹了高次方程近似解問題.本文跨度較大,比較繁雜.例子較少,研究還不夠透徹.參考文獻：1 美 莫里斯克萊因 古今數(shù)學(xué)思想M. 著 上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2002.2 錢寶琮 編中國數(shù)學(xué)史M. :中國科學(xué)大學(xué)出版社,2005.283 美 保羅J納欣著 虛數(shù)的故事M. 朱惠霖 譯 上海教育出版社,2001.4 張奠宙 張廣祥 主編 中學(xué)代數(shù)研究M.高等教育出版社,2006.5 李長明 周煥山 初等數(shù)學(xué)研究.廣州:華南理工大學(xué),2005.6 鄧明立, 包房勛, 張生春. 伽羅瓦理論的傳播與發(fā)展J. 科學(xué)技術(shù)與辯證法 , 2002,(02) 7 李世杰. 根可求的高次多項式方程的判別和構(gòu)造J. 河北理科教學(xué)研究, 2005, (02) 8 程濤.代數(shù)史上的三次真正的進展J.中學(xué)生數(shù)學(xué), 2005, (20) . 9朱德云.高次方程的幾種解法技巧J中學(xué)數(shù)學(xué)月刊, 2008,（05）.10 安敏, 彭亞綿, 楊愛民. 數(shù)學(xué)中特殊高次方程的解法研究J. 科技信息(科學(xué)教研), 2007, (