第5章-s域分析

1、信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-1頁電子教案第五章第五章 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的s域分析域分析5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換二、收斂域二、收斂域三、三、(單邊單邊)拉普拉斯變換拉普拉斯變換5.2 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)5.3 拉普拉斯變換逆變換拉普拉斯變換逆變換5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析一、微分方程的變換解一、微分方程的變換解二、系統(tǒng)函數(shù)二、系統(tǒng)函數(shù)三、系統(tǒng)的三、系統(tǒng)的s域框圖域框圖四、電路的四、電路的s域模型域模型信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-2頁電子教案 拉普拉斯變換與傅里葉變換一樣是信號處理的拉普

2、拉斯變換與傅里葉變換一樣是信號處理的一種方法。一種方法。S 域分析與頻域分析一樣是系統(tǒng)的變域分析與頻域分析一樣是系統(tǒng)的變換域分析方法。換域分析方法。 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 頻域分析頻域分析以以虛指數(shù)信號虛指數(shù)信號ej t為基本信號，任意信為基本信號，任意信號可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響號可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應(yīng)的求解得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：應(yīng)的求解得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：（1）有些重要信號不存在傅里葉變換，如）有些重要信號不存在傅里葉變換，如e2t (t);（2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。）對于給定初始狀態(tài)的系

3、統(tǒng)難于利用頻域分析。 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-3頁電子教案 在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域來解決這些問題。頻域來解決這些問題。 本章引入本章引入復(fù)頻率復(fù)頻率 s = +j ，以復(fù)指數(shù)函數(shù)，以復(fù)指數(shù)函數(shù) est 為為基本信號，任意信號可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)基本信號，任意信號可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是復(fù)頻率復(fù)頻率 s ，故稱為，故稱為s域分析域分析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。變換。

4、拉普拉斯變換是線性系統(tǒng)的一種有效分析工具。拉普拉斯變換是線性系統(tǒng)的一種有效分析工具。任何領(lǐng)域線性系統(tǒng)的分析幾乎離不開拉普拉斯變換。任何領(lǐng)域線性系統(tǒng)的分析幾乎離不開拉普拉斯變換。5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-4頁電子教案5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換 有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，可用一有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，可用一衰減因衰減因子子e- t ( 為實常數(shù)為實常數(shù))乘信號乘信號f(t) ，適當(dāng)選取，適當(dāng)選取 的值，的值，使乘積使乘積 f(t) e- t 當(dāng)當(dāng) t 時信號幅度趨近于時信號幅度趨近于

5、0 ，從而，從而使使f(t) e- t 的傅里葉變換存在。的傅里葉變換存在。 相應(yīng)的傅里葉逆變換為相應(yīng)的傅里葉逆變換為j1( )e()ed2ttbf tFj f(t) e- t= j(j)( )eed( )edtttf ttf tt (j)1( )(j )ed2tbf tF令令s = +j , d =ds/j ，有，有Fb( +j )=信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-5頁電子教案tetfsFstbd)()(jjde)(j21)(ssFtfstb二、收斂域二、收斂域 只有選擇適當(dāng)?shù)闹挥羞x擇適當(dāng)?shù)?值才能使積分收斂，信號值才能使積分收斂，信號f(t)的雙的雙邊拉普拉斯變換存在。邊拉普拉斯變換

6、存在。 使使 f(t)拉氏變換存在拉氏變換存在 的取值范圍稱為的取值范圍稱為Fb(s)的收斂域。的收斂域。 通過舉例說明通過舉例說明Fb(s)收斂域的問題。收斂域的問題。5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換f(t) Fb(s) Fb(s)稱為稱為f(t) 的雙邊拉普拉斯變換或象函數(shù)的雙邊拉普拉斯變換或象函數(shù)f(t)稱為稱為Fb(s) 的雙邊拉普拉斯逆變換或原函數(shù)的雙邊拉普拉斯逆變換或原函數(shù) 雙邊拉普拉雙邊拉普拉斯變換對斯變換對信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-6頁電子教案例例1. 因果信號因果信號f1(t)= e t (t) ，求其拉普拉斯變換。，求其拉普拉斯變換。 解解 ()()j100e1

7、( )e ed1 limee()()stts tttbtF stss 對于因果信號，僅當(dāng)對于因果信號，僅當(dāng)Res= 時，其拉氏變換存在。時，其拉氏變換存在。 收斂域如收斂域如圖所示。圖所示。 可正可負可正可負j0收斂收斂域域收斂邊收斂邊界界5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 ， Res= = 不定，不定， = 無界，無界， 1ss平面平面信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-7頁電子教案例例2. 反因果信號反因果信號f2(t)= e t (-t) ，求其拉普拉斯變換。，求其拉普拉斯變換。 解解 eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(02ttttssttbsstsF對于反因果信號，僅當(dāng)對

8、于反因果信號，僅當(dāng)Res= = 不定，不定， = ， 時，其收斂域時，其收斂域為為 Res 22211( )( )32bf tFsssRes= 33311( )( )32bf tFsss 3 2可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同?？梢?，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必雙邊拉氏變換必須標出收斂域。須標出收斂域。5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-10頁電子教案 通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設(shè)其初始時刻通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設(shè)其初始時刻為坐標原點。這樣，為坐標原點。這樣，t ，可以，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。省略。本課程主要討論單邊拉

9、氏變換。 三、單邊拉氏變換三、單邊拉氏變換 0defde)()(ttfsFstdefjj1( )( )e d( )2jstf tF sst 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換f(t) F(s)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-11頁電子教案四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換 1、 (t) 1， - 2、 (t)或或1 ， 03、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù) e-s0t 01ss -Res0cos 0t = (ej 0t + e-j 0t )/2 202sssin 0t = (ej 0t e-j 0t )/(2j) 2020s5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換1s信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安

10、郵電大學(xué)第5-12頁電子教案5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系 0( )( )edstF sf tt Res 0 j(j)( )edtFf tt 要討論其關(guān)系，要討論其關(guān)系，f(t)必須為因果信號。必須為因果信號。 根據(jù)收斂坐標根據(jù)收斂坐標 0的值可分為以下三種情況：的值可分為以下三種情況： （1） 0-2；信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-13頁電子教案5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換（2） 0 =0，即即F(s)的收斂邊界為的收斂邊界為j 軸，軸， )(lim)(j0sFF如如f(t)= (t)F(s)=

11、1/s 22220001j(j )limlimlimjF= ( ) + 1/j （3） 0 0，F(xiàn)(j )不存在。不存在。 如如 f(t)=e2t (t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里葉；其傅里葉變換不存在。變換不存在。借助前章廣義借助前章廣義傅里葉變換傅里葉變換信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-14頁電子教案常見信號的拉氏變換常見信號的拉氏變換序號序號信號信號 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 收斂域收斂域 1.2.3. 4.5.6.)(t)()(tnns)(t00( )s tet01ss1s0Res 0sin() ( )tt2020s0)()cos(0tt202ss05.1 拉普拉

12、斯變換拉普拉斯變換1信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-15頁電子教案5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換常見信號的拉氏變換常見信號的拉氏變換序號序號信號信號 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 收斂域收斂域 7.8.9. 10.11.12.0sin() ( )tett 2020)(s0cos() ( )tett 202)(ss)()!1(11ttnn1ns011( )(1)!nttetn ns)(10)(nnTtsTe110)(00nTtfnsTesF1)(0信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-16頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性

13、質(zhì)一、線性性質(zhì)一、線性性質(zhì)若若f1(t)F1(s) Res 1 , f2(t)F2(s) Res 2則則 a1 f1(t)+a2 f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1, 2) 例例f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 二、尺度變換二、尺度變換若若f(t) F(s) , Res 0，且有，且有實數(shù)實數(shù)a 0 ，則則f(at) Resa 0 1( )sFaa信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-17頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)例：如圖信號例：如圖信號f(t)的拉氏變換的拉氏變換F(s) =)ee1 (e2sssss求圖中信號求圖

14、中信號y(t)的拉氏變換的拉氏變換Y(s)。解：解：y(t) = 4f(0.5t)Y(s) = 42 F(2s) )e2e1 (2e82222sssss)e2e1 (e22222sssss信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-18頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)三、時移（延時）特性三、時移（延時）特性 若若f(t) F(s) , Res 0, 且有且有實常數(shù)實常數(shù)t00 ,則則f(t-t0) (t-t0) e-st0F(s) , Res 0 與尺度變換相結(jié)合與尺度變換相結(jié)合f(at-t0) (at-t0)01etsasFaa例例1: 求如圖信號的單邊拉氏變換。求如圖信

15、號的單邊拉氏變換。解：解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1)F1(s)=)e1 (1ssF2(s)= F1(s)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-19頁電子教案5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換“周期信號周期信號” fT (t) 111( )( )()(2 )Tftf tf tTf tT 特例特例： T(t) 11esT 21( )( ) 1eesTsTTftF s L L11( )( )f tF s已知已知1( )1esTF s 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-20頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)例例2:已知已

16、知f1(t) F1(s), 求求f2(t) F2(s)解：解： f2(t) = f1(0.5t) f1 0.5(t-2)f1(0.5t) 2F1(2s)f1 0.5(t-2) 2F1(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)例例3:求求f(t)= e-2(t-1) (t) F (s)=?信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-21頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)四、復(fù)頻移（四、復(fù)頻移（s域平移）特性域平移）特性 若若f(t) F(s) , Res 0 , 且有復(fù)常數(shù)且有復(fù)常數(shù)sa= a+j a,則則f(t)esat F(s-sa) , Res 0+ a

17、例例1:已知因果信號已知因果信號f(t)的象函數(shù)的象函數(shù)F(s)= 12ss求求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。的象函數(shù)。 解：解：e-tf(3t-2) )1(322e9) 1(1sss例例2: f(t)=cos(2t /4) F(s)= ?解：解：cos(2t /4) =cos(2t)cos( /4) + sin(2t)sin ( /4) 42222242224)(222ssssssF信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-22頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)五、時域的微分特性（微分定理）五、時域的微分特性（微分定理） 若若f(t) F(s) , Res 0, 若若f(

18、t)為因果信號，則為因果信號，則f (n)(t) snF(s) 例例2:?2cosddtt?)(2cosddttt1( )1()0( )( )(0 )nnnnmmmfts F ssf 2( )( )(0 )( )( )(0 )(0 )ftsF sffts F ssff 例例1: (n)(t) ? sn信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-23頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)六、時域積分特性（積分定理）六、時域積分特性（積分定理） 若若f(t) F(s) , Res 0, 則則 01( )d( )ntnf xxF ss ( 1)( 1)11( )( )d( )(0 )t

19、ftf xxF sfss 例例1: t 2 (t) ? 0( )d( )txxtt 2200( )d( )d( )2tttxxxxxt232( )tts 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-24頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)例例2:已知因果信號已知因果信號f(t)如圖如圖, 求求F(s).解解：對：對f(t)求導(dǎo)得求導(dǎo)得f (t)，如圖，如圖0( )d( )(0 )tfxxf tf 0( )( )dtf tfxx f (t) = (t) (t 2) 2 (t 2) 2211( )( )(1e)2essftF ssL L1( )( )F sF ss結(jié)論：結(jié)論：若若f

20、(t)為為因果信號因果信號，已知，已知f (n)(t) Fn(s) 則則 f(t) 由于由于f(t)為因果信號，故為因果信號，故 f(0-)=0( )nnF ss信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-25頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)七、卷積定理七、卷積定理 時域卷積定理時域卷積定理: 若因果函數(shù)若因果函數(shù) f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2 則則 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 復(fù)頻域（復(fù)頻域（s域）卷積定理域）卷積定理: j1212j1( )( )( )()d2jccf t ftFF s 例：例： t

21、 (t) ?t (t) = (t) * (t) 21 11( )tts ss 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-26頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)八、八、s域微分和積分域微分和積分 若若f(t) F(s) , Res 0, 則則 d( )() ( )dF st f tsd( )()( )dnnnF stf ts 例例1： 223d12()d2(2)sss ( )( )sf tFdt 22( )?tt et22( )tt et 21( )2tets信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-27頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)例例2：?)(si

22、nttt11)(sin2stt2sin11( )darctanarctanarctan12ssttsts 例例3：21e?tt 21et 21112()dlnln22tssests 112ss 0sinSi( )d?txtxx 11arctanss信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-28頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)九、初值定理和終值定理九、初值定理和終值定理 初值定理和終值定理常用于由初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f()，而不必求出原函數(shù)，而不必求出原函數(shù)f(t)。初值定理初值定理: 設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù)f(t)不含不含 (t)及其各階導(dǎo)數(shù)

23、及其各階導(dǎo)數(shù)（即（即F(s)為真分式，為真分式，若若F(s)為假分式化為真分式），為假分式化為真分式），則則 )(lim)(lim)0(0ssFtffst終值定理終值定理:若若f(t)當(dāng)當(dāng)t 時存在時存在，并且，并且 f(t) F(s) , Res 0, 00，則則 )(lim)(0ssFfs信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-29頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)例例1：222)(2ssssF2222lim)(lim)0(22sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss例例2：22)(22ssssF22222lim)(lim)0(22ss

24、ssssFfss22221)(2ssssF信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-30頁電子教案 序序號號 性質(zhì)性質(zhì) 名稱名稱 信號信號 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì) 定義定義 1線性線性2尺度尺度3時移時移 4復(fù)頻移復(fù)頻移 jj1( )( ) d ,02 jstf tF s es t 00( )( )d ,stF sf t et )()(2211tfatfa)()(2211sFasFa0),(aatf0),(1aasFa0),()(000tttttf0),(0sFest)(0tfets00),(ssF5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-31

25、頁電子教案5時域微分時域微分6時域積分時域積分7時域卷積時域卷積 8時域相乘時域相乘dttdftf)()()1(nnndttfdtf)()()(0( )(0 ),sF sf11( )0( )(0 )nnnmmms F ssf 0( )ntfddftft)()(dftfntn)()()()0,max(),(10sFsn( 1)11( )(0 )F sfss()1111( )(0 )nmnn mmF sfss )()(21tftf為因果信號),max(),()(2121sFsF)()(21tftf2211,)()(21cdsFFjjcjc5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)信號與系統(tǒng)信

26、號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-32頁電子教案9S域微分域微分10S域積分域積分11初值定理初值定理 12終值定理終值定理 )()(tftn0)(),(sFnttf)(0,)(dFs)(lim)0(ssFfs0),(lim)(sssFfs 在收斂域內(nèi)在收斂域內(nèi)F(s)為真分式為真分式5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-33頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換 直接利用定義式求反變換直接利用定義式求反變換-復(fù)變函數(shù)積分，比較困復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。通常的方法難。通常的方法 （1）查表）查表 （2）

27、利用性質(zhì)）利用性質(zhì) （3）部分）部分分式展開法。分式展開法。若象函數(shù)若象函數(shù)F(s)是是s的的有理分式有理分式，可寫為：，可寫為： 11101110.( ).mmmmnnna sasa saF ssbsb sb 若若mn （假分式）（假分式）,可用可用多項式除法多項式除法將象函數(shù)將象函數(shù)F(s)分分解為有理多項式解為有理多項式P(s)與有理真分式之和。與有理真分式之和。 ( )( )( )( )B sF sP sA s信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-34頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換6116332261161531258)(23223234ssssssssssss

28、ssF 由于由于L-11= (t)， L -1sn= (n)(t)，故多項式，故多項式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。 下面主要討論有理真分式的情形。下面主要討論有理真分式的情形。 部分分式展開法部分分式展開法若若F(s)是是s的實系數(shù)有理真分式（的實系數(shù)有理真分式（mn)，則可寫為，則可寫為 01110111.)()()(bsbsbsasasasasAsBsFnnnmmmm 式中式中A(s)稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的特征多項式，特征多項式，方程方程A(s)=0稱為稱為特征方程特征方程，它的根稱為，它的根稱為特征根，特征根，也稱為系統(tǒng)的也稱為系統(tǒng)的固有頻固有頻

29、率率（或自然頻率）。（或自然頻率）。n個特征根個特征根pi稱為稱為F(s)的的極點。極點。 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-35頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換（1）F(s)為單極點（單根）為單極點（單根）nniipsKpsKpsKpsKsAsBsF.)()()(2211ipsiisFpsK)()()(e11tpsLtpiiniiipsKsAsBsF1)()()(1( )( )inp tiif tK et 312( )()13kkkF smnsss10(2)(5)( )(1)(3)ssF ss ss例例1:已知已知，求其逆變換。，求其逆變換。解：部分分式法解：部分分

30、式法信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-36頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換100( )10(2)(5)100(1)(3)3ssksFsssss211(1)( )10(2)(5)20(3)ssksFssss s 其中：其中：100 120101( )3133F ssss)(e310e203100)(3ttftt333(3)( )10(2)(5)10(1)3ssksF ssss s 31210(2)(5)( )(1)(3)13ssF ss sskkksss信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-37頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換32597( )(1)

31、(2)sssF sss例例2:2323222232597322772643ssssssssssssss 解：假分式，利用長除法解：假分式，利用長除法已知已知 ，求其逆變換。，求其逆變換。3( )2(1)(2)sF ssss信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-38頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換12( )212kkF ssss21( )212F ssss2( )( )2 ( )(2ee) ( )ttf tttt11223(1)2(1)(2)311ssskssssks 其中：其中：部分分式展開部分分式展開32597( )=(1)(2)32(1)(2)sssF sssssss

32、信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-39頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換特例：特例：F(s)包含共軛復(fù)根時包含共軛復(fù)根時( p1,2 = j )j)(j)()()()()(22sssDsBssDsBsF)(jj221sFsKsKK2 = K1*BAKsFsKsje|)()j(j1j1je|je|jj)(j1j1211sKsKsKsKsFf1(t)=2|K1|e- tcos( t+ ) (t)若寫為若寫為K1,2 = AjB f1(t)= 2e- tAcos( t) Bsin( t) (t) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-40頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變

33、換拉普拉斯逆變換例例3223( )(25)(2)sF ssss23( )(1j2)(1j2)(2)sF ssss 0121j21j22kkksss 121j2(1j2)( )3(1j2)(2)1j25sksF ssss 其中: 已知已知 ，求其逆變換。，求其逆變換。解：解：242bbaca 1,21j2jp 1,2j ,12(,)55kABAB 即信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-41頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換20237(1j2)(1j2)5sskss 12127jj55555( )1j21j22F ssss 1,2 12,55AB )(e57)2sin(52)

34、2cos(51e2)(2ttttftt f(t)= 2e- tAcos( t) Bsin( t) (t) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-42頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換例例4： 求象函數(shù)求象函數(shù)F(s)的原函數(shù)的原函數(shù) f(t)。 )22)(1)(1(42)(2223sssssssssF356124( )1jj1j1j KKKKKKF sssssss K1= sF(s)|s=0 = 2， K2= (s+1)F(s)|s=-1= 1 K3= (s j)F(s)|s=j=j/2 =(1/2)ej( /2) ,K4=K3*=(1/2)e-j( /2) K5= (s+

35、1 j)F(s)|s=-1+j= 3j41e2K6=K5*)()43cos(e2)2cos(e2)(ttttftt解解：A(s)=0有有6個單根，它們分別是個單根，它們分別是s1=0，s2= 1，s3,4= j1 ，s5,6= 1 j1，故，故 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-43頁電子教案由前面看出：由前面看出：1. 當(dāng)極點為當(dāng)極點為實數(shù)實數(shù)時，則系數(shù)時，則系數(shù)Ki也是也是實數(shù)實數(shù)。響應(yīng)。響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律變化。是按指數(shù)規(guī)律變化。2. 當(dāng)極點為當(dāng)極點為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)時，則一定是共軛極點同時存時，則一定是共軛極點同時存在，且共軛極點對應(yīng)的在，且共軛極點對應(yīng)的系數(shù)系數(shù)也一定是也一定是共軛共軛的。的

36、。響應(yīng)是振幅按指數(shù)規(guī)律變化的振蕩波。響應(yīng)是振幅按指數(shù)規(guī)律變化的振蕩波。5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-44頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換（2）F(s)有重極點（重根）有重極點（重根） 若若A(s) = 0在在s = p1處有處有r重根，重根， )(.)()()()()(111112111psKpsKpsKsAsBsFrrr1)()(dd)!1(11111psrrrrsFpssrK1!)(nnsnttL111111e( )()(1)!p tnnLttspndds K11=(s p1)rF(s)|s=p1， K12= (s

37、p1)rF(s)|s=p1 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-45頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換例例: :32( )(1)sF ss s131112232( )(1)(1)(1)kkkkF sssss312( )(1)( )sF ssF ss111112( )3spsskF ss11212211d(2) 12( )2dspsssskFssss已知已知 ，求其逆變換。，求其逆變換。解：解：令令其中：其中：信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-46頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換121312241d1 d214( )2d2 d122sspskF s

38、ssss23002( )2(1)sssksF ss 323222( )(1)(1)(1)Fsssss23( )e2 e2e2( )2tttf tttt11111e( )(1)!()p tnnttnsp 利用利用信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-47頁電子教案5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析 5.4 復(fù)頻域系統(tǒng)分析復(fù)頻域系統(tǒng)分析 一、微分方程的變換解一、微分方程的變換解 描述描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為 nimjjjiitfbtya00)()()()(系統(tǒng)的初始狀態(tài)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-) , y(1)(0-), , y(n-1) (0-)。思路思路：用：用

39、拉普拉斯變換微分特性拉普拉斯變換微分特性)0()()()(101)(pippiiiyssYsty若若f (t)在在t = 0時接入系統(tǒng)，則時接入系統(tǒng)，則 f ( j )(t) s j F(s)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-48頁電子教案5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析yzi(t), yzs(t), y(t) s域的代數(shù)方程域的代數(shù)方程)()()()()()()0()(0000)(101sFsAsBsAsMsFsasbsaysasYniiimjjjniiinipippiiYzi(s)Yzs(s)11( )0000( )(0 )( )nnimiippjiijiipja sY sasyb sF

40、s 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-49頁電子教案5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析例例1 描述某描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t)+ 6 f (t)已知初始狀態(tài)已知初始狀態(tài)y(0-) = 1,y(0-)= -1, 激勵激勵f (t) = 5cos t (t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t).解解： 方程取拉氏變換，并整理得方程取拉氏變換，并整理得zizs2425( )( )( )(2)(3)21ssY sYsYsssss )(65) 3(265)0(5)0( )0()(22sFsssssyysysYYzi(s)Yzs

41、(s)15)(2sssF信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-50頁電子教案j26.6j26.62145e5e( )232jjY ssssssy(t)= 2e2t (t) e3t (t) 4e2t (t) + 2 5cos(26.6 ) ( )tt yzi(t)yzs (t)暫態(tài)分量暫態(tài)分量yt (t)穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量ys (t)zs( )( )( )( )B sYsF sA szizs2425( )( )( )(2)(3)21ssY sYsYsssss 5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-51頁電子教案5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析二、系統(tǒng)函數(shù)二、系統(tǒng)函數(shù) 系統(tǒng)函

42、數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為定義為 defzs( )( )( )( )( )YsB sH sF sA s它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵、它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵、初始狀態(tài)無關(guān)。初始狀態(tài)無關(guān)。yzs(t)= h(t)*f (t)H(s)= L h(t)Yzs(s)= L h(t)F(s)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-52頁電子教案求求H(s)的途徑：的途徑：zs( )( )( )( )( )YsB sH sF sA s (2)已知微分方程，在零狀態(tài)條件下通過拉氏變已知微分方程，在零狀態(tài)條件下通過拉氏變換可求得換可求得(3)已知已知f(t)激勵下的激勵下的yzs(t)

43、，通過，通過s變換求變換求H(s)。(1)已知已知h(t)，通過拉氏變換求，通過拉氏變換求H(s)；(4)已知框圖，通過已知框圖，通過s域模型求域模型求H(s)。5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-53頁電子教案5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析例例2： 已知當(dāng)輸入已知當(dāng)輸入f (t)= e-t (t)時，某時，某LTI因果系統(tǒng)的零因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)狀態(tài)響應(yīng) yzs(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t) (t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。 解解2( )2(4)4228( )( )(2)(3)2356

44、zsYsssH sF sssssssh(t) = (4e-2t -2e-3t) (t)微分方程微分方程為為 y(t)+5y(t)+6y(t) = 2f (t)+ 8f (t) s2Yzs(s) + 5sYzs(s) + 6Yzs(s) = 2sF(s)+ 8F(s) 取逆變換取逆變換 yzs(t)+5yzs(t)+6yzs(t) = 2f (t)+ 8f (t) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學(xué)第5-54頁電子教案5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析三、系統(tǒng)的三、系統(tǒng)的s域框圖域框圖 時域框圖基本單元時域框圖基本單元f(t)tftyd)()(af(t)y(t) = a f (t)s域框圖基本單元域框圖基本單元(零狀態(tài)零狀態(tài))s1F(s)Y(s) = s1F(s)aF(s)Y(s) = a F(s)f1(t