D1_1映射與函數(shù)(1)

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學A任課教師： 胡軍其電 話： 65902557電子郵件： 答疑時間： 每周二15：0017：00 答疑地點： 紅瓦樓908最終成績： 考試成績70%+平日成績30%交作業(yè)時間： （待定）目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 教材教材:主要參考書主要參考書:高等數(shù)學上海財經(jīng)大學應用數(shù)學系 主編上海財經(jīng)大學出版社 高等數(shù)學（第六版）同濟大學應用數(shù)學系 主編高等教育出版社 高等數(shù)學習題集 （第二版）楊愛珍、葉玉全主編 高等教育出版社第一章基礎(chǔ)內(nèi)容 函數(shù) 極限 連續(xù) 函數(shù)與極限第一節(jié) 函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 元素 a 屬于集合 M , 記作元素 a 不屬于集合

2、M , 記作1. 定義及表示法定義及表示法定義定義 具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合集合.組成集合的事物稱為元素元素.不含任何元素的集合稱為空集空集 , 記作 . Ma( 或Ma) .Ma注注: M 為數(shù)集 *M表示 M 中排除 0 的集 ;M表示 M 中排除 0 與負數(shù)的集 .簡稱集集簡稱元元集合集合目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 表示法表示法：(1) 列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素 .例例: 有限集合naaaA,21niia1自然數(shù)集,2,1,0nNn(2) 描述法： xM x 所具有的特征例例: 整數(shù)集合 ZxNx或Nx有理數(shù)集qpQ,NZ qp p 與 q 互質(zhì)實數(shù)集合 Rx

3、 x 為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間 ),(xbabxa閉區(qū)間 ,xbabxa目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(aa ),(xaU ),xbabxa ,(xbabxa無限區(qū)間 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx點的 鄰域a ),(xaUaxa xaxax0其中, a 稱為鄰域中心 , 稱為鄰域半徑 .半開區(qū)間去心 鄰域左 鄰域 :, ),(aa右 鄰域 :. ),(aa ),(xaxa ),(xb bx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 是 B 的子集子集 , 或稱 B 包含 A ,2. 集合之間的關(guān)系及運算集合之間的關(guān)系及運算定義定義則稱 A.BA若BA,AB 且則稱 A 與 B 相等相等,.B

4、A 例如,ZNQZ RQ顯然有下列關(guān)系 :;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CA,A若Ax,Bx設(shè)有集合,BA記作記作必有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 OyxAcABB定義定義 給定兩個集合 A, B, 并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定義下列運算:ABBA余集)(ABBABcA其中直積 ),(yxBA,AxBy特例:RR記2R為平面上的全體點集ABABBABABx或目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義域函數(shù)函數(shù)1. 函數(shù)的概念 定義定義 設(shè)數(shù)集,RD則稱映射RDf :為定義在D 上的函數(shù) , 記為Dxxfy, )(稱為值域 自變量因變量DxxfyyDfRf)

5、,()(DxfDxxfyyDfRyf),()(對應規(guī)則) (值域)(定義域)函數(shù)相同：fD函數(shù)的兩個基本要素：定義域 和對應法則 。f定義域定義域 和 對應法則對應法則 都相同。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 求下列函數(shù)的定義域) 12arcsin()4lg() 1 (2xxyxxxy2)2(1022xx 1, 0D02xx)0, 2D042 x1| 12|x02x0|xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 判斷下列函數(shù)是否相同（1）;ln2)(,ln)(2xxgxxf（2）;)()(,)(2xxgxxf（3）.11)(,11)(2xxgxxxf);, 0()0 ,( :fD)., 0(

6、:gD不同);,( :fD)., 0 :gD不同);, 1 () 1 , 1() 1,( :fD)., 1() 1,( :gD不同目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)圖形函數(shù)圖形: ),(yxC Dx, )(xfy )(DfD平面點集稱為函數(shù)Dxxfy, )(的圖形。函數(shù)的表示方法：2）表格法3）圖示法1）解析法xy) ,(baD abxyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常見的幾類函數(shù)常見的幾類函數(shù)1） 函數(shù)定義中，并未要求自變量改變時函數(shù)的值函數(shù) y = 2),(D2fR一定改變，因此即使所有的自變量都只對應一個函數(shù)值也是可以的。定義域為值域為為常值函數(shù),即常值函數(shù) y = C 。目錄 上頁

7、下頁 返回 結(jié)束 2）在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù)分段函數(shù) .例例 符號函數(shù)xysgn符號函數(shù)的定義域是實數(shù)集，值域 -1，0，1 。1時，當0 x時，當0 x0.0時當 x1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 75例例 取整函數(shù) 3 15 . 3 x表示不超過 的最大整數(shù)，稱為 的整數(shù)部分。xx0114xy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 是無理數(shù)時當是有理數(shù)時當xxxDy01)(有理數(shù)點無理數(shù)點1xyo例例 狄利克雷函數(shù) ( Dirichlet )目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0, 10, 12)(2xxxxxf12 xy12 xy例例目錄 上頁 下頁

8、返回 結(jié)束 設(shè)函數(shù), )(Dxxfy且有區(qū)間.DI (1) 有界性有界性,Dx,0M使,)(Mxf,Ix,0M使,)(Mxf稱 )(xf在 I 上有界. 稱 )(xf為有界函數(shù).,Ix,1K使,)(1Kxf稱 )(xf在 I 上有上界 .1K,Ix,2K使,)(2Kxf稱 )(xf在 I 上有下界 .2K,Dx使若對任意正數(shù) M , 均存在 ,)(Mxf則稱函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性無界.)(xf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如在定義域21xy. 10 y2xy 注注：xxf1)(xysin與xycos在),(上有界：1|sin|x1|cos|x上有界：1 , 1在定義域上無界.),(

9、函數(shù)的有界性與所選的數(shù)集有關(guān)。上無界，)1 , 0(在上有界.)2, 1(在目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 證明函數(shù) 在 上是有界的1)(2xxxf),(1)(2xxxf證明證明：) 1(222xx對一切),(x),()(xf是有界的。21因為所以都成立，在目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 奇偶性奇偶性,Dx且有,Dx若, )()(xfxf則稱 f (x) 為偶函數(shù);若, )()(xfxf則稱 f (x) 為奇函數(shù). 說明說明: 若)(xf在 x = 0 有定義 ,. 0)0(f)(xf為奇函數(shù)奇函數(shù)時,xyOxx則當必有（D 關(guān)于原點對稱）偶函數(shù)的圖形關(guān)于 y 軸對稱奇函數(shù)的圖形關(guān)于

10、原點對稱目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 判斷下列函數(shù)的奇偶性)( xf ,2111)(xaxf0a1a其中且)(xf因此為奇函數(shù)。)(xf2111xa211xxaa21111xxaa21111xa1121xa由于解解：目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 判斷下列函數(shù)的奇偶性)( xf )1ln()(2xxxf由于解解：)1ln(2xx )11ln(2xx )1ln(2xx )(xf)(xf因此為奇函數(shù)。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 給定 ),(),(llxxf則 2)()(2)()()(xfxfxfxfxf偶函數(shù)偶函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù) 注注：定義在對稱區(qū)間),(ll以表示為一個奇

11、函數(shù)奇函數(shù)和一個偶函數(shù)偶函數(shù)之和。上的任意函數(shù)可目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3) 單調(diào)性單調(diào)性時，2121,xxIxx)()(21xfxf稱 )(xf為 I 上的 單調(diào)（或嚴格單調(diào)）增加函數(shù) ;1x2xxyO若（或 ）)()(21xfxf)()(21xfxf稱 )(xf為 I 上的 單調(diào)（或嚴格單調(diào)）減少函數(shù) ;若（或 ）)()(21xfxf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3xy 3231xx 解：解：)(22212121xxxxxx)(22432221121xxxxx在),(當21xx 恒有,3231xx 3xy 因此函數(shù)由于的單調(diào)性(嚴格) 單調(diào)增加。時，判斷函數(shù)目錄 上頁 下頁 返

12、回 結(jié)束 (4) 周期性周期性,0,lDx且,Dlx)()(xflxf則稱)(xf為周期函數(shù) ,xO2y2若稱 l 為周期 ( 一般指最小正周期 ).周期為 周期為2注注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如, 常量函數(shù)Cxf)(狄利克雷函數(shù))(xfx 為有理數(shù)x 為無理數(shù), 1,0t)(tf22O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxy44cossinxxy44cossinxxxx22222cossin2)cos(sin22sin12x44cos11xx4cos4143例例 求函數(shù)的周期解：解： 2T由此因為 的周期為y目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 反函數(shù)反函數(shù)反函數(shù)的概念及性質(zhì)反函數(shù)的概念及

13、性質(zhì)若函數(shù))(:DfDf為單射, 則存在一新映射習慣上,Dxxfy, )(的反函數(shù)記成)(,)(1Dfxxfy稱此映射1f為 f 的反函數(shù) ., 其反函數(shù)(減)(減) .1) yf (x) 嚴格單調(diào)遞增,)(1存在xfy且也嚴格單調(diào)遞增 性質(zhì): ,)(:1DDff使,)(, )(1xyfDfy其中,)(yxf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 函數(shù))(xfy 與其反函數(shù))(1xfy的圖形關(guān)于直線xy 對稱 .例如 ,),(,exyx對數(shù)函數(shù)),0(,lnxxy互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增, 其圖形關(guān)于直線xy 對稱 .指數(shù)函數(shù)xyO)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baP目錄 上

14、頁 下頁 返回 結(jié)束 注：注：2xy 在定義域,在或內(nèi)存在反函數(shù).).0(12xxy1xy12 yx可確定出1xy因此函數(shù)的反函數(shù)為并非所有函數(shù)都存在反函數(shù)，只有一一對應函數(shù)才存在反函數(shù)。嚴格單調(diào)的函數(shù)必存在反函數(shù)。內(nèi)沒有反函數(shù)，0, 0例例),0(y目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 gR復合函數(shù)復合函數(shù) fDuufy),(,),(DxxgufgDR 且則Dxxgfy, )(設(shè)有函數(shù)鏈稱為由, 確定的復合函數(shù) , u 稱為中間變量. 注意: 構(gòu)成復合函數(shù)的條件 fgDR 不可少. 例如, 函數(shù)鏈 :,arcsinuy ,cos xu ,cosarcsinxy R Rx但可定義復合函數(shù)21xu時,

15、雖不能在自然域 R下構(gòu)成復合函數(shù),可定義復合函數(shù)2,2, )1arcsin(2xxy當改DgfDfyux目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩個以上函數(shù)也可構(gòu)成復合函數(shù). 例如, 0,uuy可定義復合函數(shù):,2cotxy ,) 12( ,2(kkxZk02cot,22xkxk時),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv約定約定: 為簡單計, 書寫復合函數(shù)時不一定寫出其定義域,默認對應的函數(shù)鏈順次滿足構(gòu)成復合函數(shù)的條件.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 分析下列復合函數(shù)的復合結(jié)構(gòu)(1)xxey2sin最外層,sin uy 第二層,veu .2xxv最內(nèi)層(2)1cosln2xy最外層,l

16、n uy 第二層,cosvu 第三層wv . 12 xw最內(nèi)層目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)(xxf,9)(2 xxg )(xgf例例 設(shè)求的定義域。解解:. 9 )(2xxgf由題得, 092x因此得即3x或, 3x所以復合函數(shù)的定義域為)., 33,(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 初等函數(shù)初等函數(shù)(1) 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、 對數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)、 反三角函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)oxy)1 , 1(114xy xy xy1 xy ,xy 為常數(shù)由圖知定義域隨的不同而不同。但在), 0(總有定義。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)) 1, 0(aaayxxay

17、 )1( a)1 ,0( xay )(1a指數(shù)函數(shù)的定義域為).,(當1a時，xay 為單調(diào)增加函數(shù).當10 a時，xay 為單調(diào)減少函數(shù).常出現(xiàn)以e為底的指數(shù)函數(shù).xey 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)) 1, 0(logaaxya)0 , 1( xyalog xyalog)(1a)1( a)0 , 1 ( 對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)常用對數(shù)函數(shù)xylg自然對數(shù)函數(shù)xyln對數(shù)恒等式NaNalog換底公式acbcbalogloglogcbcbaaaloglog)(logcbcbaaaloglog)(logbcbacaloglog目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角函數(shù)三角函數(shù)x

18、ysin 正弦函數(shù)xysinxycos余弦函數(shù)xycos正割函數(shù)xxycos1sec余割函數(shù)xxysin1csc定義域：正弦和余弦函數(shù)),(余割函數(shù),|Zkkxx周期：正弦、余弦、正割和余割函數(shù)2正割函數(shù),2|Zkkxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 正切函數(shù)xytan余切函數(shù)xycot定義域：正切函數(shù),2|Zkkxx余切函數(shù),|Zkkxx周期： 正切和余切函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 基本公式, 1cossin22aa,sectan122aa aa22csccot1兩角和與差的三角函數(shù) ,sinsincoscos)cos(bababa,sincoscossin)sin(bababababa

19、batantan1tantan)tan(倍角公式,cossin22sinaaaaaa22sincos2cos1cos22a,sin212aaaa2tan1tan22tan目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 半角公式,2cos12sin2aa,2cos12cos2aaaaacos1cos12tan2三角函數(shù)積化和差公式)cos()cos(21sinsinbababa)cos()cos(21coscosbababa)sin()sin(21cossinbababa)sin()sin(21sincosbababa目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角函數(shù)和差化積公式2cos2sin2sinsinbababa2s

20、in2cos2sinsinbababa2cos2cos2coscosbababa2sin2sin2coscosbababa目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsin xyarccos 反正弦函數(shù)xyarcsinxyarccos反余弦函數(shù)反正弦函數(shù)的定義域為值域為反余弦函數(shù)的定義域為值域為 1 , 12,2 1 , 1, 0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyarctanxarcycot反正切函數(shù)xyarctanxarcycot反余切函數(shù)反正切函數(shù)的定義域為),(值域為反余切函數(shù)的定義域為),(值域為), 0()2,2(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 初等函數(shù)初等函數(shù)

21、由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù) . 例如 ,2xy y0,xx0,xx并可用一個式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過有限次四則運算和復合步驟所構(gòu)成 ,稱為初等函數(shù) .可表為故為初等函數(shù).冪指函數(shù)：由于所以冪指函數(shù)也為初等函數(shù)。)()(xgxf)(ln)()()(xfxgxgexf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 非初等函數(shù)舉例:符號函數(shù)xysgn當 x 0,1當 x = 0,0當 x 0,1xyO11取整函數(shù)xy 當Znnxn,1,nxyO412321目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 成本函數(shù)、(1) 成本函數(shù)),(xC它包含固定成本0C和可變成本),(1xC即),()(10 xCCxC而xxCxC)(

22、)(稱為平均成本函數(shù)。收益函數(shù)、利潤函數(shù)(2) 收益函數(shù)),(xR設(shè)產(chǎn)品的單價為,如產(chǎn)銷平衡，則收益,)(xxR這里的可以是給定的常數(shù)，可以是x的函數(shù)).(x(3) 利潤函數(shù)).()()(xCxRxL也常見的經(jīng)濟函數(shù)常見的經(jīng)濟函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 需求函數(shù)需求函數(shù)：)(pfQdd價格的單調(diào)減函數(shù)供給函數(shù)供給函數(shù)：)(pfQss價格的單調(diào)增函數(shù)供不應求商品短缺供大于求商品滯銷均衡價格2 需求函數(shù)和供給函數(shù)需求函數(shù)和供給函數(shù)消費者愿意且有能力購買的該商品的數(shù)量生產(chǎn)者愿意出售的該商品的數(shù)量OpQ)(pfQdd)(pfQss目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 生產(chǎn)某產(chǎn)品，需固定成本3(萬元

23、)，每多生產(chǎn)1 (百臺)，解解:)(dQR)(dQC收益 成本 利潤 )(dQL)200(dQddQQ220dQpdQ23ddQQ10221)()(ddQCQR38221ddQQ成本增加2 (萬元)，已知需求函數(shù)為,220pQdp表示價格，單位為萬元；(其中表示需求量，單位為百臺)，dQ假設(shè)產(chǎn)銷平衡，試寫出利潤函數(shù)的表達式。)(dQL目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 集合及映射的概念定義域?qū)?guī)律3. 函數(shù)的特性有界性, 單調(diào)性,奇偶性, 周期性4. 初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)2. 函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P47 1(2)(3), 2(2)(3),

24、 3(2)(4), 4(2)(4) 5, 6(3)(4), 7(1)(2), 8(1)(2)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 且0)0(f,)()(1xcxfbxfa,ba 證明)(xf證證: 令,1xt 則,1tx t ctfbfat)()(1由xcxfbxfa)()(1xcxfbfax)()(1消去),(1xf得)0()(22xxaxbabcxf),()(xfxf顯然, 0)0(f又)(xf故0 x時其中a, b, c 為常數(shù), 且為奇函數(shù) .為奇函數(shù) .例例 設(shè)補充例題目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 判斷函數(shù)判斷函數(shù) 的奇偶性的奇偶性解解: : 由于由于0,

25、 10, 1)(33xxxxxf0, 1)(0, 1)(33xxxx0, 10, 133xxxx0, 10, 133xxxx因此因此 是偶函數(shù)。是偶函數(shù)。)(xf)(xf)( xf 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 設(shè)函數(shù)),(, )(xxfy的圖形與,ax 均對稱, 求證)(xfy 是周期函數(shù).)(babx證證: 由 )(xaf)(xf的對稱性知),(xaf )(xbf)(xbf于是)(xf)(axaf)(axaf)2(xaf)2(bxabf)2(bxabf)(2abxf故)(xf是周期函數(shù) , 周期為)(2abT目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 求y的反函數(shù)及其定義域.解解:01x當時

26、,2xy 則1,0(,yyx10 x當時,xyln則0,(,eyxy21 x當時,1e2xy則e2,2(,ln12yxy反函數(shù)y1,0(,xx0,(,exxe2,2(,ln12xx定義域為e2,2(1,(21,e210 ,ln01, 12xxxxxx212e211, 1,0(, 0,(, e2,2(yOx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)函數(shù),1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf x 換為 f (x)1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10,13xx1,xx例例.)(xff求解解: 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 映射映射某校學生的集合某校學生的集合

27、學號的集合學號的集合 按一定規(guī)則查號某班學生的集合某班學生的集合 某教室座位某教室座位 的集合的集合按一定規(guī)則入座引例引例. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè) X , Y 是兩個非空集合, 若存在一個對應規(guī)則 f ,使得,Xx有唯一確定的Yy與之對應, 則稱 f 為從 X 到 Y 的映射映射, 記作.:YXf元素 y 稱為元素 x 在映射 f 下的像像, 記作).(xfy 元素 x 稱為元素 y 在映射 f 下的原像原像 . 集合 X 稱為映射 f 的定義域定義域 ， Y 的子集)(XfRfXxxf)(稱為 f 的 值域值域 . 注意注意: 1) 映射的三要素 定義域 , 對應規(guī)則, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一. XYfxy.fD定義定義記作目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對映射YXf:若YXf)(,