數(shù)模論文－飛行器再入軌跡優(yōu)化問題

1、飛行器再入軌跡優(yōu)化問題摘 要在天地往返運(yùn)輸系統(tǒng)中，再入大氣層著陸階段最為復(fù)雜，它是指飛行器沿轉(zhuǎn)變后的軌道到達(dá)它要著陸的天體的大氣層，平安通過大氣層并利用大氣減速最終平安著陸在天體上的過程，簡稱為再入過程。如何設(shè)計(jì)再入軌跡使得有效載荷最大、消耗能量最小、落地速度不能過大以及飛行器外表溫度不超過允許的極限值等，以確保再入飛行器無損的降落在預(yù)定著陸區(qū)之內(nèi)成為問題的關(guān)鍵。分析登月問題時(shí)，根據(jù)我們的假設(shè)，飛行器的著陸軌跡受到常力及推力方向角的約束，即可以通過確定適當(dāng)?shù)姆聪蛲屏屯屏Ψ较蚪莵泶_定最優(yōu)的著陸軌跡?？梢愿鶕?jù)所建立的二次反推變軌數(shù)學(xué)模型來分析飛行器的著陸軌跡，通過猜想試探驗(yàn)證可將推力方向角用的三

2、階多項(xiàng)式表示，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析計(jì)算即可得到在不同的反向推力和保證飛行器平安著陸的前提下，飛行器著陸過程需要的時(shí)間，根據(jù)測定著陸時(shí)間的長短就可以確定出燃料的消耗量，然后通過進(jìn)一步的比照找出最優(yōu)的推力和推力方向角，即可確定著陸器的最正確著陸軌跡。分析再入地球大氣層軌跡時(shí)，根據(jù)飛行器在大氣中的受力情況，寫出飛行器軌跡的微分方程，通過對(duì)方程的分析提取出控制變量與約束條件解得優(yōu)化軌跡。本模型的優(yōu)化建立在考慮在TPS不確定時(shí)，結(jié)合實(shí)際情況，優(yōu)化再入軌跡使飛行器降落速度盡可能小時(shí)，再確定TPS使其能承受再入過程中的熱載荷，并由此確定最大有效載荷。論文中建立的模型和設(shè)計(jì)的算法有很強(qiáng)的實(shí)用性，但在各種假設(shè)條

3、件下模型和算法還是有一定的局限性。關(guān)鍵字：再入軌跡優(yōu)化，二次反推變軌，再入軌道傾角控制。一問題重述:隨著我國綜合國力和科技水平的快速增長，登月飛行越來越引起廣泛的興趣這不僅是因?yàn)榈窃嘛w行的成功最好地展現(xiàn)了國家的航天科技水平，而且因?yàn)榈窃嘛w行具有極為重要的學(xué)研究價(jià)值例如利用月球無大氣、弱磁場、弱引力場等特點(diǎn)。月球成為天文觀測、天體物理研究的理想場所，對(duì)研究太陽系的起源和演化具有極為重要的意義天地往返運(yùn)輸系統(tǒng)執(zhí)行飛行任務(wù)一般經(jīng)歷三個(gè)階段:發(fā)射階段、在軌運(yùn)行階段和再入大氣層返回著陸階段。其中，以再入大氣層階段最為復(fù)雜，它是指飛行器沿轉(zhuǎn)變后的軌道到達(dá)它要著陸的天體的大氣層，平安通過大氣層并利用大氣減速

4、最終平安著陸在天體上的過程，簡稱為再入過程。簡言之，再入是指飛行器從大氣層外再次進(jìn)入大氣層內(nèi)的飛行。據(jù)此提出問題：要求設(shè)計(jì)再入軌跡使得有效載荷最大、消耗能量最小、落地速度不能過大以及飛行器外表溫度不超過允許的極限值等，以確保再入飛行器無損的降落在預(yù)定著陸區(qū)之內(nèi)。問題1：考慮繞月飛行器在月球外表沒有大氣層降落的情形，構(gòu)造此時(shí)飛行器再入軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并通過數(shù)值仿真來分析、驗(yàn)證模型的有效性不考慮地球等其他天體的影響；問題2：考慮飛行器再入地球大氣層的情形，試構(gòu)造此時(shí)再入軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型，并通過數(shù)值仿真來對(duì)模型進(jìn)行分析。二根本假設(shè)：忽略月球，地球的自轉(zhuǎn)問題1：月球可看做一質(zhì)量均勻，

5、形狀標(biāo)準(zhǔn)的球體；反向推力大小為定常值；飛行器為一質(zhì)點(diǎn), 不考慮飛行器的姿態(tài)對(duì)軌道的影響,也不考慮飛行器姿態(tài)的約束；飛行器初始軌道是以月球球心為圓心的圓；問題2：地球可看做一質(zhì)量均勻，形狀標(biāo)準(zhǔn)的球體；飛行器為一質(zhì)點(diǎn)，但有受阻面積；大氣層為一厚度均勻的球殼；飛行器初始軌道是以地球球心為圓心的圓；忽略重力而只考慮空氣阻力的作用；忽略地球曲率的影響，再入軌道是直線軌道；大氣密度是高度的指數(shù)函數(shù)；不考慮月球等其他天體的影響；只考慮氣動(dòng)力作用時(shí)，認(rèn)為阻力系數(shù)不變。三.問題分析：飛行器再入軌道問題要求設(shè)計(jì)一條優(yōu)化的著陸軌道,其要滿足落地速度不能過大的約束條件。對(duì)于問題1：由于月球外表沒有大氣，整個(gè)著陸過程必

6、須完全依靠制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)完成。整個(gè)飛行過程分為這么幾個(gè)階段：飛行器首先運(yùn)行在高度大約100krn的環(huán)月停泊圓軌道。當(dāng)滿足一定條件后向飛行器施加反向推力。改變其運(yùn)行軌道。最終著陸完成。通過設(shè)計(jì)推力的施加方案，以到達(dá)軌道的優(yōu)化，使其滿足最小的降落代價(jià)。這里須使有效載荷最大，消耗能量最小，我們可以認(rèn)為其即是除推進(jìn)燃料之外局部的質(zhì)量占飛行器總重的比例最高，也就是降落消耗的燃料質(zhì)量最小。 對(duì)于問題2：基于問題1，此問題有本身的特殊性。由于地球外表有100多公里的大氣層，在飛行器進(jìn)入大氣層后受空氣阻力影響，減速下降。在這一階段空氣阻力是使飛行器減速的主要因素，同時(shí)再入飛行過程中將產(chǎn)生嚴(yán)重的氣動(dòng)加熱。如果沒有熱

7、防護(hù)系統(tǒng)TPS(Temperature Protective System ),再入飛行器將會(huì)燒蝕。所以這里又需考慮TPS的質(zhì)量對(duì)有效載荷的影響。四. 符號(hào)的約定變量：符號(hào)物理含義飛行器月地心距飛行器極角飛行器法向速度飛行器切向速度開普勒軌道運(yùn)動(dòng)的飛行器從遠(yuǎn)月地點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)的速度飛行器在近月地點(diǎn)的速度推力加速度推力方向角(操縱角)，即推力方向與當(dāng)?shù)厮骄€的夾角 發(fā)動(dòng)機(jī)推力， 其幅值恒定飛行器質(zhì)量燃料消耗率火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的燃?xì)馑俣劝l(fā)動(dòng)機(jī)的比沖軌道高度A飛行器在速度方向的參考面積常量：符號(hào)物理含義值月球半徑1738 km停泊圓軌道半徑100km月球引力常數(shù)/為近月點(diǎn)處的軌道高度15km地球引力加速度尺度

8、高度6512m地面空氣參考密度氣動(dòng)阻力系數(shù)036經(jīng)驗(yàn)值五模型的建立與求解 對(duì)于問題一：飛行器繞月降落模型：二次反推變軌。 當(dāng)飛行器運(yùn)行在的環(huán)月停泊圓軌道時(shí)，向飛行器施加一個(gè)反向制動(dòng)脈沖，使飛行器脫離停泊軌道形成一服從開普勒定律運(yùn)動(dòng)的下降橢圓軌道； 當(dāng)下降到大約15km 左右高度的近月點(diǎn)時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)再次開始持續(xù)工作，主要衰減飛行器的切向速度，同時(shí)克服由月球引力引起的法向速度，這一階段多采用燃料最優(yōu)的控制策略；在接近月面的最終階段，飛行器的控制策略轉(zhuǎn)為以降低最終著陸撞擊、確保人載荷的平安為目的，直至最終軟著陸完成。容易看出，這一方案具有較長的軟著陸準(zhǔn)備時(shí)間、可以選擇更大的著陸區(qū)域以及減少著陸艙局部的

9、燃料消耗等優(yōu)點(diǎn)。假設(shè)飛行器在t時(shí)刻開始霍曼下降，在t時(shí)刻到達(dá)近月點(diǎn)后，再經(jīng)過止推發(fā)動(dòng)機(jī)一段時(shí)間的工作，在t時(shí)刻，飛行器平安降落在月面上。在t時(shí)刻，有 (1) ：開普勒軌道遠(yuǎn)月點(diǎn)的月心距； ：開普勒軌道近月點(diǎn)的月心距；：初始橫向速度；其中并非當(dāng)?shù)氐沫h(huán)繞速度，而是在開普勒軌道運(yùn)動(dòng)的飛行器從遠(yuǎn)月點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)的速度，這一速度小于當(dāng)?shù)丨h(huán)繞速度，就是這兩個(gè)速度的差；由于初始時(shí)刻飛行器在遠(yuǎn)月點(diǎn)，所以初始法向速度=0；在時(shí)刻， (2) 橫向速度是飛行器在近月點(diǎn)的速度，這一速度大于當(dāng)?shù)丨h(huán)繞速度，是這兩個(gè)速度的差； 由于時(shí)刻飛行器在近月點(diǎn)，所以法向速度。在時(shí)刻的終端約束條件為 (3) 其物理意義是飛行器降落到月球外

10、表，速度為零。在慣性坐標(biāo)系中，以月心為原點(diǎn)的極坐標(biāo)形式受控飛行器動(dòng)力學(xué)方程為： 4 511 第一次變軌：從時(shí)刻到時(shí)刻的階段，飛行器從高度為100km 的軌道過渡到高度為15km 的軌道。由于發(fā)動(dòng)機(jī)不工作，故有，飛行器完全按照開普勒軌道運(yùn)動(dòng)。這一階段決定飛行器軌道形狀的因素就是飛行器在初始時(shí)刻的狀態(tài)。可將100km軌道高度的變軌考慮為一個(gè)速度脈沖，通過齊奧爾科夫斯基公式計(jì)算飛行器的燃料消耗。即： (5) 式中為施加速度脈沖之前飛行器的質(zhì)量；為產(chǎn)生速度脈沖所需要的燃料質(zhì)量：。導(dǎo)出軌跡方程：根據(jù)齊奧爾科夫斯基公式，可知飛行器在這一階段消耗的燃料質(zhì)量與其總質(zhì)量之比，因此可忽略飛行器在這一階段質(zhì)量的缺失

11、。根據(jù)Newton第二定律可得飛行器運(yùn)動(dòng)的方程組： 6 方程組6滿足初值條件：令；可得極坐標(biāo)下的軌跡方程： 7 其中C；由7分析可知，所以軌跡方程7所代表的曲線為一橢圓。512 第二次變軌：從時(shí)刻到時(shí)刻，止推發(fā)動(dòng)機(jī)持續(xù)工作， 飛行器降落在月面，有，有，和 分別是可供選擇的發(fā)動(dòng)機(jī)推力幅值的上下限；為飛行器在時(shí)刻的質(zhì)量。對(duì)于推力幅值恒定飛行器，燃料消耗最省的性能指標(biāo)可以表達(dá)為=min 8在這一階段，優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為式(8)，優(yōu)化變量包括4個(gè)狀態(tài)變量(，)， 1個(gè)時(shí)間變量和2個(gè)控制變量。其中狀態(tài)變量的終值應(yīng)滿足約束(3)，狀態(tài)變量的初值應(yīng)與時(shí)刻開普勒軌道狀態(tài)變量的末端值相等，控制變量滿足不等式約束。

12、通過飛行器4個(gè)狀態(tài)變量在時(shí)刻和末端時(shí)刻的值即初始值與終值條件可以近似猜想方向角的4個(gè)參量，根據(jù)試探檢驗(yàn)可得的擬合多項(xiàng)式為： 9軌道的優(yōu)化：上面所描述的第二階段的問題被轉(zhuǎn)化為一個(gè)有約束的優(yōu)化問題描述。所需優(yōu)化的參量包括飛行器4個(gè)狀態(tài)變量在初始時(shí)刻和末端時(shí)刻的值、1個(gè)飛行時(shí)間參量、 1個(gè)推力幅值參量和式(9)中用于描述飛行器推力方向角的4個(gè)參量，共計(jì)l4個(gè)參量。這些參量應(yīng)該滿足以下8個(gè)約束條件：式(2)和(3)描述的飛行器在時(shí)刻和時(shí)刻的6個(gè)等式約束和飛行器推力幅值的2個(gè)不等式約束。優(yōu)化的目標(biāo)為式(8)所描述的飛行器燃料消耗或飛行時(shí)間到達(dá)極小值。仿真計(jì)算：時(shí)刻，飛行器在開普勒軌道近月點(diǎn)，具體參量如下

13、表：月心距切向速度法向速度飛行器質(zhì)量發(fā)動(dòng)機(jī)的比沖發(fā)動(dòng)機(jī)推力T時(shí)刻，飛行器落在月面，滿足有約束條件3；根據(jù)式9試探及根據(jù)約束條件2和3驗(yàn)證可以將推力方向角的各項(xiàng)系數(shù)可近似擬合為：其隨時(shí)間t變化的曲線如圖1所示；圖1由圖1可以看出，推力方向角由最初的近似反向水平制動(dòng)逐漸變?yōu)樵黾釉陲w行器法向的分量以克服由于月球引力引起的法向速度。利用Matlab編程求解微分方程組4，代入以上有關(guān)數(shù)據(jù)及參量，得到月心距，法向速度，切向速度和極角隨時(shí)間變化曲線如圖2、圖3、圖4、圖5所示；圖2圖2所示為飛行器的最優(yōu)著陸曲線，由圖2可以看出飛行器在510 s內(nèi)下降了15km.后著陸在月球外表在510s時(shí)曲線為最低點(diǎn)，對(duì)應(yīng)

14、月球半徑r=1738km，510s之后的曲線無實(shí)際意義。圖3圖3和4可以看出，飛行器終端時(shí)刻的法向速度和切向速度均為0滿足邊界約束條件。其中，飛行器的法向速度沿指向月心的方向先增大后減少，而切向速度始終在減少。圖4圖5圖5：本文在優(yōu)化中沒有對(duì)極角加以限制，在仿真計(jì)算中飛行器的飛行極角大約變化了0.28 rad約16.05度。結(jié)論分析： 在本仿真計(jì)算中，假定飛行器著陸過程中的反向推力為定常力，飛行器的著陸軌跡受到該常力及推力方向角的約束，即可以通過確定適當(dāng)?shù)姆聪蛲屏屯屏Ψ较蚪莵泶_定最優(yōu)的著陸軌跡。可以根據(jù)上文建立的數(shù)學(xué)模型來分析飛行器的著陸軌跡，通過猜想試探驗(yàn)證可將推力方向角用的三階多項(xiàng)式表示

15、，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析計(jì)算即可得到在不同的反向推力和保證飛行器平安著陸的前提下，飛行器著陸過程需要的時(shí)間，根據(jù)測定著陸時(shí)間的長短就可以確定出燃料的消耗量，然后通過進(jìn)一步的比照找出最優(yōu)的推力和推力方向角，即可確定著陸器的最正確著陸軌跡。 軌道高度100km 的飛行器的初始質(zhì)量為500kg，比沖為300s。其完成燃料最優(yōu)軟著陸任務(wù)的仿真結(jié)果為，飛行器在軌道高度為100km 軌道燃料消耗為kg，占飛行器總質(zhì)量的；經(jīng)過s，飛行器飛抵高度15km 的近月點(diǎn)；之后， 飛行器采用最優(yōu)推力為1500N；經(jīng)過510s完成軟著陸任務(wù)，此階段燃料消耗22188kg，為飛行器總質(zhì)量的%。對(duì)于問題二：模型：再入大氣層階

16、段1，預(yù)再入階段：當(dāng)飛行器運(yùn)行在的繞地環(huán)形軌道時(shí)，向飛行器施加一個(gè)反向制動(dòng)脈沖，使飛行器脫離原軌道，形成一服從開普勒定律運(yùn)動(dòng)的下降橢圓軌道；階段2，再入階段：當(dāng)下降到距地球約100公里時(shí)，進(jìn)入大氣層，再入階段開始。由于大氣的摩擦，飛行器的速度開始急劇下降。階段3，著陸階段：當(dāng)飛行器下降到距離地球外表約15公里處時(shí)，飛行器所受到的空氣阻力大體與飛船自身的重力相當(dāng)，這時(shí)飛行器的速度由超音速下降到亞音速，并穩(wěn)定在200米秒左右，此時(shí)再入階段結(jié)束，應(yīng)采取進(jìn)一步的減速措施以使飛行器平安地在地面著陸。假設(shè)飛行器在t時(shí)刻開始霍曼下降，在t時(shí)刻到達(dá)近地點(diǎn)后，進(jìn)入大氣層，在t時(shí)刻，飛行器所受到的空氣阻力大體與飛

17、船自身的重力相當(dāng)，飛行器翻開降落傘。在時(shí)刻，飛行器降落在地面。在慣性坐標(biāo)系中，以地心為原點(diǎn)的極坐標(biāo)形式受控飛行器動(dòng)力學(xué)方程為： 10其中，為空氣阻力。，為高度時(shí)的空氣密度。根據(jù)數(shù)據(jù)分析擬合得： 11 其中為再入軌道初始彈道傾角。為地面空氣參考密度，為氣動(dòng)阻力系數(shù)， 為尺度高度，其中為飛行器質(zhì)量，其經(jīng)驗(yàn)值/在之間，在本模型中取。為飛行器在速度方向上的參考面積。本模型考慮在TPS不確定時(shí)，結(jié)合實(shí)際情況，優(yōu)化再入軌跡使飛行器降落速度盡可能小時(shí)，再確定TPS使其能承受再入過程中的熱載荷，并由此確定最大有效載荷。以小升阻比飛船神州六號(hào)飛船為背景，飛船質(zhì)量,速度方向圓參考面積半徑，令起始約束為：，, ；終

18、端約束為：，；進(jìn)行的數(shù)值求解。對(duì)神州六號(hào)，代入式11求得優(yōu)化解：反代回原式，得 12 這樣就求得了神州六號(hào)飛船的優(yōu)化初始彈道角度和速度公式。在求在這種情況下的飛行器球頭最大熱流點(diǎn)的熱流：，其中：。求出和優(yōu)化軌道相應(yīng)的， 。用Maple軟件可繪出剛剛求得的速度與高度的公式：結(jié)論分析：該圖中，橫縱坐標(biāo)分別代表飛行器的高度h(單位km)和相對(duì)應(yīng)的速度v(單位km/s)。分析該圖可以發(fā)現(xiàn)，飛行器軌道高度在70km和100km之間時(shí)，其速度變化不明顯；在25km和75km之間時(shí)，速度變化很快，倒數(shù)較大；在25km以下時(shí)，速度變化再次趨于平緩。該圖與實(shí)際情況可以較好的吻合。由大氣密度公式和氣動(dòng)阻力公式可知

19、，飛行器軌道高度在70km和100km之間時(shí)，大氣密度較小，此時(shí)阻力很小，相應(yīng)引起的速度減小率也很??；在25km和75km之間時(shí)，大氣變得相當(dāng)稠密，阻力增加很快，速度急劇減小，實(shí)際情況中，飛行器的“黑障和最高溫度都出現(xiàn)在這一高度。在25km以下時(shí)，阻力和重力根本平衡，這時(shí)飛行器翻開降落傘進(jìn)行主動(dòng)減速，這時(shí)將有另外的方法求解，不屬于再入軌道主要研究范圍。六. 模型的推廣：在研究飛行器再入軌道的優(yōu)化問題中，為使結(jié)果更貼近實(shí)際，更具有理論和工程價(jià)值，我們可以對(duì)此問題的模型進(jìn)行如下推廣。對(duì)于登月問題：1.登月軌道與人衛(wèi)軌道的主要區(qū)別在于后者僅局限于在地球引力作用范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)而前者需穿越地球引力作用范圍和

20、月球引力作用范圍，所以考慮地球引力對(duì)飛行器的攝動(dòng)影響可以進(jìn)一步優(yōu)化模型。2. 要使登月著陸點(diǎn)更加精確，我們可以考慮月球的自轉(zhuǎn)問題。對(duì)于再入地球大氣層問題：1 假設(shè)考慮地球?qū)︼w行器的萬有引力作用，會(huì)發(fā)現(xiàn)微分方程有一定程度的改良，主要表現(xiàn)在角度不再是定常值，而是關(guān)于的函數(shù)，此時(shí)可用3次多項(xiàng)式對(duì)進(jìn)行擬合。2 可以改變模型中對(duì)TPS質(zhì)量的假設(shè)：1從飛行器TPS質(zhì)量已確定的角度，可以通過再入軌跡優(yōu)化來得到飛行器的最大有效載荷；2飛行器TPS質(zhì)量足夠大時(shí)，可通過屢次穿越大氣層的軌跡優(yōu)化來得到最大有效載荷。3 假設(shè)考慮著陸階段中降落傘與止推發(fā)動(dòng)機(jī)的使用，可以對(duì)降落末速度與能量消耗的問題建立更準(zhǔn)確的模型。附錄1參考文獻(xiàn)1 MATLAB 6.5 實(shí)踐與提高周金萍 王冉 吳斌著, 中國電力出