格林函數(shù)Word版

1、§2.4  格林函數(shù)法 解的積分公式 在第七章至第十一章中主要介紹用分離變數(shù)法求解各類定解問題，本章將介紹另一種常用的方法格林函數(shù)方法。 格林函數(shù)，又稱點源影響函數(shù)，是數(shù)學(xué)物理中的一個重要概念。格林函數(shù)代表一個點源在一定的邊界條件和（或）初始條件下所產(chǎn)生的場。知道了點源的場，就可以用迭加的方法計算出任意源所產(chǎn)生的場。一、 泊松方程的格林函數(shù)法 為了得到以格林函數(shù)表示的泊松方程解的積分表示式，需要用到格林公式，為此，我們首先介紹格林公式。 設(shè)u（r）和v（r）在區(qū)域 T 及其邊界 S 上具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，而在 T 中具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，應(yīng)用矢量分析的高斯定理將曲面積分化成體積積

2、分（12-1-1）這叫作第一格林公式。同理，又有（12-1-2）（12-1-1）與（12-1-2）兩式相減，得亦即（12-1-3）整理為word格式 表示沿邊界 S 的外法向求導(dǎo)數(shù)。（12-1-3）叫作第二格林公式。 現(xiàn)在討論帶有一定邊界條件的泊松方程的求解問題。泊松方程是（12-1-4）第一、第二、第三類邊界條件可統(tǒng)一地表為（12-1-5）其中 j（M）是區(qū)域邊界 S 上的給定函數(shù)。a0，b 0為第一類邊界條件，a 0，b0是第二類邊界條件，a、b 都不等于零是第三類邊界條件。泊松方程與第一類邊界條件構(gòu)成的定解問題叫作第一邊值問題或狄里希利問題，與第二類邊界條件構(gòu)成的定解問題叫作第二邊值問題

3、或諾依曼問題，與第三類邊界條件構(gòu)成的定解問題叫作第三邊值問題。為了研究點源所產(chǎn)生的場，需要找一個能表示點源密度分布的函數(shù)。§5.3中介紹的 d 函數(shù)正是描述一個單位正點量的密度分布函數(shù)。因此，若以v（r，r0）表示位于r0點的單位強度的正點源在r點產(chǎn)生的場，即v（r，r0）應(yīng)滿足方程（12-1-6）現(xiàn)在，我們利用格林公式導(dǎo)出泊松方程解的積分表示式。以v（r，r0）乘（12-1-4），u（r）乘（12-1-6），相減，然后在區(qū)域T中求積分，得SOyzxTSer0Ke圖12-1（12-1-7）應(yīng)用格林公式將上式左邊的體積分化成面積分。但是，注意到在rr0點，Dv具有d 函數(shù)的奇異性，格林

4、公式不能用。解決的辦法是先從區(qū)域T中挖去包含r0的小體積，例如半徑為整理為word格式 e 的小球Ke（圖12-1），Se 的邊界面為Se 。對于剩下的體積，格林公式成立， （12-1-8）把（12-1-8）代入挖去Ke 的（12-1-7），并注意rr0，故 d（rr0）0，于是（12-1-9）當(dāng)，方程（12-1-6）的解 v（r，r0） 位于點r0而電量為 e 0 的點電荷的靜電場中的電勢，即14p。令 e 0，得（12-1-9）右邊 左邊的左邊的 （12-1-10）這樣，（12-1-7）成為 （12-1-11）（12-1-11）稱為泊松方程的基本積分公式。（12-1-11）將（12-1-4

5、）的解u用區(qū)域 T 上的體積分及其邊界上的面積分表示了出來。那么，能否用（12-1-11）來解決邊值問題呢？我們看到，（12-1-11）中需要同時知道整理為word格式u及 在邊界 S 上的值，但是，在第一邊值問題中，已知的只是 u 在邊界 S 上的值；在第二邊值問題中，已知的只是 在邊界S上的值。在第三邊值問題中，已知的是u和 的一個線性關(guān)系在邊界 S 上的值，三類邊界條件均未同時分別給出u和 的邊界 S 上的值。因此，我們還不能直接利用（12-1-11）解決三類邊值問題。其實，這里距離問題的解決已經(jīng)很近了。原來，對于函數(shù)v（r，r0），我們還只考慮其滿足方程（12-1-6）。如果我們對v（

6、r，r0）提出適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，則上述困難就得以解決。對于第一邊值問題，u在邊界 S 上的值是已知的函數(shù) j（M）。如果要求v滿足齊次的第一類邊界條件（12-1-12）則（12-1-11）中含 的一項等于零。從而不需要知道 在邊界 S 上的值。滿足方程（12-1-6）及邊界條件（12-1-12）的解稱為泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)，用G（r，r0）表示。這樣，（12-1-11）式成為 （12-1-13）對于第三邊值問題，令v滿足齊次的第三類邊界條件，（12-1-14）滿足方程（12-1-6）及邊界條件（12-1-14）的解稱為泊松方程第三類邊值問題的格林函數(shù)，也用G（r，r0）表示。以G（r，

7、r0）乘（12-1-5）式兩邊，得整理為word格式又以 u 乘（12-1-14），并以 G 代替其中的 v，得將這兩式相減，得將此式代入（12-1-11），得（12-1-15）至于第二邊值問題，表面看來，似乎可以按上述同樣的辦法來解決，即令G為定解問題（12-1-16）（12-1-17）的解，而由（12-1-11）得到（12-1-18）可是，定解問題（12-1-16）（12-1-17）的解不存在。這在物理上是容易理解的：不妨把這個格林函數(shù)看作溫度分布。泛定方程（12-1-16）右邊的 d 函數(shù)表明在 S 所圍區(qū)域 T 中有一個點熱源。邊界條件（12-1-17）表明邊界是絕熱的。點熱源不停地放

8、也熱量。而熱量又不能經(jīng)由邊界散發(fā)出去，T 里的溫度必然要不停地升高，其分布不可能是穩(wěn)定的。這就需要引入推廣的格林函數(shù)。對于三維空間，整理為word格式式中VT 是T 的體積。對于二維空間，式中 AT 是 T 的面積，方程右邊添加的項是均勻分布的熱匯密度，這些熱匯的總體恰好吸收了點熱源所放出的熱量，不多也不少。（12-1-13）和（12-1-15）的物理解釋有一個困難。公式左邊u的宗量r0 表明觀測點在r0，而右邊積分中的f（r）表示源在r，可是，格林函數(shù)G（r，r0）所代表的是r0的點源在r點產(chǎn)生的場。這個困難如何解決呢？原來，這個問題里的格林函數(shù)具有對稱性G（r，r0）G（r0，r），將（1

9、2-1-13）和（12-1-15）中的r和r0對調(diào)，并利用格林函數(shù)的對稱性，（12-1-13）成為 （12-1-19）這就是第一邊值問題解的積分表示式。（12-1-15）成為 （12-1-20）這就是第三邊值問題解的積分表示式。 （12-1-19）和（12-1-20）的物理意義就很清楚了，右邊第一個積分表示區(qū)域T中分布的源f（r0）在r點產(chǎn)生的場的總和。第二個積分則代表邊界上的狀況對r點場的影響的總和。兩項積分中的格林函數(shù)相同。這正說明泊松方程的格林函數(shù)是點源在一定的邊界條件下所產(chǎn)生的場。整理為word格式現(xiàn)在來證明格林函數(shù)的對稱性。在 T 中任取兩個定點r1和r2。以這兩點為中心，各作半徑為

10、 e 的球面 S 1和 S 2。從 T 挖去 S 1和 S 2 所圍的球K1和K2。在剩下的區(qū)域TK1K2上，G（r，r1）和G（r，r2）并無奇點。以uG（r，r1），vG（r，r2）代入格林公式（12-1-3）由于G（r，r1）和G（r，r2）是調(diào)和函數(shù)，上式右邊為零。又由于格林函數(shù)的邊界條件，上式左邊。這樣令e 0，上式成為0v（r1）u（r2）00，即G（r1，r2）G（r2，r1）。對于拉普拉斯方程，即（12-1-4）式右邊的 f（r）0，這時，我們只要令（12-1-19）和（12-1-20）兩式右邊的體積分值等于零，便可得到拉普拉斯方程第一邊值問題的解（12-1-21）以及第三邊值

11、問題的解 （12-1-22）我們看到，借助格林公式，也可利用格林函數(shù)方法得到齊次方程定解問題的解。二、用電像法求格林函數(shù)  （一）無界空間的格林函數(shù)  基本解 從§12.1討論可知，確定了G，就能利用積分表式求得泊松方程邊值問題的解。雖然，求格林函數(shù)的問題本身也是邊值問題，但這是特殊的邊值問題，其求解比一般邊值問題簡單。特別是對于無界區(qū)域的情形，常常還可以得到有限形式的解。無界區(qū)域的格林函數(shù)稱為相應(yīng)方程的整理為word格式基本解。 我們將一個一般邊值問題的格林函數(shù) G 分成兩部分（12-2-1）其中G0是基本解。對于三維泊松方程，即G0滿足（12-2-2）G1則滿

12、足相應(yīng)的齊次方程（拉普拉斯方程）（12-2-3）及相應(yīng)的邊界條件。例如在第一邊值問題中，從而有（12-2-4）拉普拉斯方程（12-2-3）的邊值問題的求解是熟知的。至于方程（12-2-2），它描述的是點r0的點源在無界空間產(chǎn)生的穩(wěn)定場。以靜電場為例，它描述在點r0電量為e 0的點電荷在無界空間中所產(chǎn)生電場的r點的電勢，即。現(xiàn)在再給出（12-2-2）的一種解法。先假設(shè)點源位于坐標原點，由于區(qū)域是無界的，點源產(chǎn)生的場應(yīng)與方向無關(guān)，如果選取球坐標（r，q，j），則G0只是r的函數(shù)，方程（12-2-2）變成一個常微分方程，當(dāng)r0時，G0滿足拉普拉斯方程 （12-2-5）其解為 （12-2-6）整理為w

13、ord格式令無窮遠處G00，于是C20。為了求出C1，將方程（12-2-2）在包含r00的區(qū)域作體積分，這個區(qū)域可取為以 r00為球心，半徑為 e 的小球 Ke ，其邊界面為S e（參見圖12-1），利用（12-1-3）（令其中的u1），將上式右邊體積分化成面積分。則，從而若電荷位于任意點r 0，則 （12-2-7） 類似地，用平面極坐標可求得二維泊松方程的基本解 （12-2-8）（二）用電像法求格林函數(shù)讓我們來考慮這樣一個物理問題。設(shè)在一接地導(dǎo)體球內(nèi)的M0（r 0）點放置一帶電量為 e 0的點電荷。則球內(nèi)電勢滿足泊松方程 （12-2-9）邊界條件是 （12-2-10）整理為word格式此處G

14、便是泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)。從電磁學(xué)知道，在接地導(dǎo)體球內(nèi)放置電荷時，導(dǎo)體球面上將產(chǎn)生感應(yīng)電荷。因此，球內(nèi)電勢應(yīng)為球內(nèi)電荷直接產(chǎn)生的電勢與感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電勢之和。因此，我們可將G寫成兩部分之和 （12-2-11）其中G0是不考慮球面邊界影響的電勢，G1則是感應(yīng)電荷引起的。由前面的討論可知，G0滿足 （12-2-12）從而G1滿足 （12-2-13）以及邊界條件 （12-2-14）這樣，G0就是基本解，。至于G1則可從方程（12-2-13）及邊界條件（12-1-14）用分離變數(shù)等方法求得。但這樣得到的解往往是無窮級數(shù)?，F(xiàn)在介紹另一種方法 電像法，用電像法可以得到有限形式的解。PMM0r0

15、OM1圖 12-2電像法的基本思想是用另一設(shè)想的等效點電荷來代替所有的感應(yīng)電荷，于是可求得G1的類似于G0的有限形式的解。顯然，這一等效點電荷不能位于球內(nèi)，因為感應(yīng)電荷在球內(nèi)的場滿足（12-2-13），即球內(nèi)是無源的。又根據(jù)對稱性，這個等效電荷必位于OM0 的延長線上的某點M1，記等效電荷的電量為q，其在空間任意點M（r）引起的電勢是 。若將場點取在球面上的P點，如圖12-2所示，則 DOPM0和 DOM1P具有公共角 POM1，如果按比例關(guān)系 r0aar1（a為球的半徑）選定M1（這M1必在球外），則 DOPM0 跟 DOM1P 相似，從而整理為word格式因此，若取 ，則球面上的總電勢是正

16、好滿足邊界條件（12-2-10）。這個設(shè)想的位于M1點的等效點電荷稱為M0點點電荷的電像。這樣，球內(nèi)任一點的總電勢是 （12-2-15）§10.1例6求出球外點電荷的電像（在球內(nèi)），讀者不妨把這兩種情況中的電像加以對比。若M0（r0）為圓內(nèi)的一點，則圓內(nèi)泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)滿足 （12-2-16） （12-2-17）這個問題也可用電像法求解，結(jié)果是（12-2-18）式中a為圓的半徑。例1 在球ra內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題整理為word格式 解 前面已用電像法求得球的第一邊值問題的格林函數(shù)把它代入第一邊值問題的解的積分公式（12-1-13）就行了。為了把G（r，r0）

17、代入（12-1-19），還必須先算出。引用球坐標系，極點就取在球心。（12-2-19）其中Q是矢徑r跟r0之間的夾角，計算法向?qū)?shù)分子里的cosQ 可利用（12-2-19）消去，同理，整理為word格式于是代入（12-1-13），得到球的第一邊值問題的解的積分公式作代換：這叫作球的泊松積分。例2 在半空間 z0內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題解 先求格林函數(shù)G（r，r0）整理為word格式zM0(x0, y0, z0)OxyM(x, y, z)圖 12-3M1(x0, y0, -z0)這相當(dāng)于接地導(dǎo)體平面z0上方的電勢，在點M0（x，y，z）放置著電量為e 0的點電荷。這電勢可用電像法求得。設(shè)

18、想在M0的對稱點M1（x0，y0，z0）放置電量為e 0的點電荷，不難驗證，在兩個點電荷的電場中，平面z0上的電勢確實是零。在點M1的點電荷就是電像。格林函數(shù) 為了把G（r，r0）代入第一邊值問題的解的積分公式（12-1-13），需要先計算即。代入（12-1-13）即得半空間的第一邊值問題的解的積分公式 （12-2-21）整理為word格式作代換這叫作半空間的泊松積分。例3 在圓ra內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題 答案（12-2-22）例4 在半平面y0內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題答案 （12-2-23）三、含時間的格林函數(shù) §12.1§12.2討論的是穩(wěn)定場問題的格

19、林函數(shù)方法。至于波動與輸運這類含時間的問題，同樣可以運用格林函數(shù)方法求解。本節(jié)以波動問題為例介紹含時間的格林函數(shù)，并導(dǎo)出波動方程定解問題解的積分表式；對于輸運問題，亦給出相應(yīng)的結(jié)果。整理為word格式 一般強迫振動的定解問題是（12-3-1） （12-3-2） （12-3-3）§5.3中曾指出，持續(xù)作用的力f（r，t）可年作是前后相繼的脈沖力f（r，t）d（tt）dt 的疊加。現(xiàn)在我們再進一步將一個個連續(xù)分布于空間的脈沖力看作是鱗次櫛比排列在許許多多點上的力的疊加?？傊?，把持續(xù)作用的連續(xù)分布力f（r，t）看作是許許多多脈沖點力的疊加 （12-3-4）把單位脈沖點力所引起的振動記作G（

20、r，t；r0，t0），稱之為波動問題的格林函數(shù)。求得了G，就可用疊加的方法求出任意力f（r，t）所引起的振動。G所滿足的定解問題是 （12-3-5） （12-3-6） （12-3-7）我們可以用類似于求解泊松方程的方法求得定解問題（12-3-1）（12-3-3）的解的積分表式。需注意的是含時間的格林函數(shù)的對稱性不同于泊松方程格林函數(shù)的對稱性， （12-3-8）現(xiàn)在證明對稱關(guān)系（12-3-8）。在定解問題（12-3-5）（12-3-7）中將變量t，r0，t0分別換為t，r1，t1，而成為 （12-3-9）整理為word格式 （12-3-10） （12-3-11）以G（r，t；r1，t1）乘方程（12-3-5）。同時以G（r，t；r0，t0）乘方程（12-3-9），相減，再對r在區(qū)域T上積分，同時對t在區(qū)間（其中t0和t1）上積分，得（12-3-12）利用第二格林公式（12-1-3），上式左端成為由定解條件（12-3-6）（12-3-7）和（12-3-10）（12-3-