第三章 哥西定理

1、第三章 哥西定理 哥西積分學習要求1 理解復變函數(shù)積分的概念；了解復變函數(shù)積分的基本性質(zhì)；掌握計算復變函數(shù)積分的一般方法。2 理解哥西定理。3 理解復合閉路定理和閉路變形原理，并能靈活應用。4 掌握哥西積分公式和高階導數(shù)公式；了解解析函數(shù)具有無窮可微性。5 掌握綜合利用上述定理和公式計算積分的方法。 考核知識點1. 有向曲線的定義，正方向的規(guī)定。2. 復變函數(shù)積分的定義、積分存在的條件。3. 復變函數(shù)積分的一般計算方法。4. 復變函數(shù)積分的基本性質(zhì)。5. 哥西定理。6. 原函數(shù)的概念。7. 哥西積分公式。8. 解析函數(shù)的平均值公式。9. 解析函數(shù)的高階導數(shù)公式。10. 綜合利用上述定理和公式計

2、算積分。 同微積分一樣，在復變函數(shù)中，積分法也是研究復變函數(shù)性質(zhì)十分重要的方法在解決實際問題中也是有力的工具本章先介紹復變函數(shù)積分的概念，性質(zhì)和計算方法然后介紹關(guān)于解析函數(shù)積分的柯西古薩基本定理及其推廣，有了這些基礎，我們建立柯西積分公式，最后證明解析函數(shù)的導數(shù)仍是解析函數(shù)，從而導出高階導數(shù)公式有向曲線：平面上一條光滑曲線（或按段光滑曲線）可理解為帶有方向的曲線如果從A到B的方向定義為C的正向則從B到A的方向就是C的負方向，記為C規(guī)定：正方向總是指從起點到終點的方向規(guī)定：正方向總是指從起點到終點的方向1 復變積分的概念及其簡單性質(zhì)復變積分的概念及其簡單性質(zhì)3.1.1 復變積分的定義及其計算方法

3、復變積分的定義及其計算方法圍線圍線: 分段光滑的簡單閉曲線簡稱圍線圍線.當觀察者繞圍線環(huán)行時,如果圍線內(nèi)部在觀察者的左手方,就規(guī)定這個環(huán)行方向為圍線的正向正向,反之就叫負向負向.正圍線負圍線011,nnzzzzz1(),nnkkSfz其中 當分點增多,而這些弧段長度的最大值趨于0時,如果和數(shù)Sn的極限存在(與弧段的分法及 的選取均無關(guān)),則稱f(z)沿C可積,而稱Sn的極限為f(z)沿C的積分,C為積分路徑,記為1.kkkzzzk( ).cf z dz一、復變積分的定義一、復變積分的定義: 設C是一條以z0為始點,z為終點的有向曲線,函數(shù)f(z)在C上有定義.順著C的正向依次取把曲線分成若干個

4、弧段,在從zk-1到zk的每一弧段上任取一點 ,作求和分割求和求極限二、復變函數(shù)積分的存在條件及計算方法二、復變函數(shù)積分的存在條件及計算方法 一個復變函數(shù)積分即是兩個實變線積分的有序組合. 因此，實積分存在，則 存在. 三、復變函數(shù)積分的性質(zhì)三、復變函數(shù)積分的性質(zhì)(1) 若 沿 可積，且 由L1和 L2連接而成，則( )f zLL(2) 常數(shù)因子k 可以提到積分號外，即( )()()CCf z dzuiv dxidy()()CCudxvdyivdxudy( )Cf z dz(3) 函數(shù)和(差)的積分等于各函數(shù)積分的和(差), 即1212 ( )( )d( )d( )dLLLf zf z zf

5、z zf z z(4) 若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號，即 ( )d( )dLLf zzf zz LL為 的負向曲線( )d( ) d( ) dLLLf z zf zzf zS(5) 積分的模不大于被積表達式模的積分，即22d(d )(d )SxydS這里 表示弧長的微分，即 (6) 積分估值定理 若沿曲線 ， 連續(xù), 且 在 上滿足 ，則 LL( )f z( )f z( ) (0)f zMM( )dLf zzMlLl其中 為曲線 的長度三、復變函數(shù)積分的性質(zhì)三、復變函數(shù)積分的性質(zhì) 1. 試證210()2ncidzza(1)(1),nn是的整數(shù)22002.iitcdzi e dtidt

6、izae22(1)int100()iti ntnnncdzi eidtedtzae22100cos(1)sin(1)0.nintdtintdt,.ititzaedzi e dt則 證證 設C的方程為 1n 當 且為整數(shù)時,這時C表示以a 為中心為半徑的圓周. 計算積分 ,其中積分路徑C如圖所示: () C為連結(jié)O點到1+i點的直線段. () C為連結(jié)O點到1點再到1+i點的折線.Reczdzxy(01)0 xtty 01(01)xttyt 1(01)xytt (1) ,zi tRe,(1).zt dzi dt解解 ()的情形C可表為01,t 101Re(1).2cizdzti dt ()的情形

7、可將C分為兩段,即1:,Czt01t 2:1,01.Czitt 1211001ReReRe.2ccczdzzdzzdztdtidtioxy01zi 1C2C3C10231)2)()CzdzCCOzCCC計 算的 值見 圖例3解11):(1)01Czi tt 1100()(1)21Czdztiti dttdt232):01:101CzttCzitt 23CCCzdzzdzzdz110011(1)()122tdtit idtii 例例4 計算 ，其中C為從原點到點3+4i的直線段dCzz 解解 直線的方程可寫成 3 ,4 , 01xt ytt () 3 i4, 01z tttt 則11222001

8、d(3 4i) d(3 4i)d(3 4i)2Cz zt tt t 于是 根據(jù)高等數(shù)學理論，其復積分的實部、虛部滿足實積分與路徑無關(guān)的條件，所以 的值不論 是怎樣的曲線都等于 ，這說明此函數(shù)的積分值與積分路徑無關(guān)d(i )(did )ddiddCCCCz zxyxyx xy yy x x y由注dCz zC21(3 4i)23.23.2 哥西積分定理及其推廣哥西積分定理及其推廣提示 復變Cauchy定理討論的是積分值與積分路徑之間的關(guān)系，與涉及的區(qū)域有關(guān)。區(qū)別兩種區(qū)域： 單連通區(qū)域：在區(qū)域中作任何簡單閉合圍道，圍道內(nèi)的點都屬于該區(qū)域。 復連通區(qū)域，或稱多連通區(qū)域。D ( ) , ( ) : (

9、 )d0.cf zDf zDCf zz 如果函數(shù)在單連通域內(nèi)處處解析那么函數(shù)沿內(nèi)的任何一條封閉曲線的積分為零一、單連通區(qū)域上的一、單連通區(qū)域上的Cauchy定理定理C1851年，黎曼在附加假設年，黎曼在附加假設“ 在在D內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)”的條件下，得到一個如下的條件下，得到一個如下的簡單證明的簡單證明( )fz黎曼證明黎曼證明 , ( )( , )( , ), zxiyf zu x yiv x y令C ( ),CCf z dzudxvdyivdxudy則且滿足且滿足CR方程：方程： , , , xyxyuuvvD則在 內(nèi)連續(xù)，, xyyxuvuv 由格林公式：由格林公式：() =0.xyCsudx

10、vdyvudxdy ( )0.Cf z dz 從而定理又稱為定理又稱為柯西古薩特定理柯西古薩特定理.內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)”的假設，的假設，發(fā)表上述定理新的證明方法因此，發(fā)表上述定理新的證明方法因此， 1900年年,法國數(shù)學家法國數(shù)學家古薩（古薩（Goursat） 免去免去“ 在在D( )fz ( )fzD而在 內(nèi)連續(xù)， ()0.xyCsvdxudyuv dxdyD 0z1z 1C2C01 , , zz如果曲線起點為終點為12( )d( )dCCf zzf zz10( )dzzf zz 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分與路線無關(guān)解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分與路線無關(guān)由定理得由定理得 ( ) f zD如果函數(shù)在單

11、連通區(qū)域內(nèi)處處解析， ( )Cf z dzC那么積分與路線 無關(guān)即：即：如圖，如圖，則則關(guān)于定理的說明關(guān)于定理的說明:(1) 如果曲線如果曲線 C 是區(qū)域是區(qū)域 的邊界的邊界, ( ) f z函數(shù)在 , DDC即在閉區(qū)域上解析 , DC內(nèi)與上解析 ( )d0.cf zz 那么(2) 如果曲線如果曲線 C 是區(qū)域是區(qū)域 的邊界的邊界, ( ) f z函數(shù)在 , C在曲線上連續(xù) , D 內(nèi)解析定理仍成立定理仍成立. 哥西也是有史以來最偉大的數(shù)學家之一，他與同時代的高斯被公認是當時精通所有數(shù)學的最后兩位大師，不像高斯，他發(fā)表無數(shù)的論文，在789篇作品中，內(nèi)容涵蓋光學、電學、微分方程、力學、行列式論、

12、排列群以及機率學。他也是復變量函數(shù)理論的創(chuàng)始者。 此外他也寫過三本有關(guān)分析的傳統(tǒng)教科書，這幾本書的編寫非常嚴謹，其立論的準則仍為近代數(shù)學所尊為圭臬。在代數(shù)方面，哥西最為人稱道的是他最先將他早年所研究的排列理論用代數(shù)的方法加以具體化，以建立了排列群的正式學說。也由于他的創(chuàng)見，引導后來的Cayley（在1854）建立抽象群的近世概念。 哥西出生在巴黎，他曾參加拿破侖的工兵部隊，退役后專心從事數(shù)學的研究，26歲時他就已經(jīng)是法國有名的Ecole理工學院的一名教授，不久他馬上就建立了法國最具知名的頭銜，他很喜歡教書，不吝提攜后進。我們現(xiàn)在仍然沿用的極限與連續(xù)記號是他首創(chuàng)的，另外一方面，他同時也是一位虔誠

13、的天主教徒，在68歲那年他突然棄世，留給后人無限的哀思。 思考：思考：分析：在 l 內(nèi)有二奇點，無法用Cauchy定理。221zdzz？1z 由柯西積分定理，由柯西積分定理，1. 變上限的積分變上限的積分:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分與路線無關(guān)解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分與路線無關(guān)01 , , zz如圖，如果曲線起點為終點為D 0z1z 1C2C12( )d( )dCCf zzf zz10( )dzzf zz011 , , , zzDzz 如如果果固固定定讓讓在在內(nèi)內(nèi)變變動動 并并令令0 ( )( )d . zzDF zf 便便可可確確定定 內(nèi)內(nèi)的的一一個個單單值值函函數(shù)數(shù)則則3.2.2. 不定積

14、分不定積分00 ( ) , ( )( )d , ( )( ). zzf zDzzDF zfDF zf z 如如果果函函數(shù)數(shù)在在單單連連通通域域內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析、那那末末函函數(shù)數(shù)必必為為內(nèi)內(nèi)的的一一個個解解析析函函數(shù)數(shù) 并并且且2、定理一、定理一0 ( )( )d ( ). zzF zff z稱是的一個原函數(shù)3 3、原函數(shù)之間的關(guān)系、原函數(shù)之間的關(guān)系: :( ) ; f z 的任何兩個原函數(shù)相差 一個常數(shù)它就有無窮多個原函數(shù)它就有無窮多個原函數(shù), ( ) ( ) f zDF z若在區(qū)域內(nèi)有一個原函數(shù)，那么那么其全體原函數(shù)可表示為其全體原函數(shù)可表示為 ( )(F zCC為任意常數(shù)）4 4、定理

15、二、定理二( (復積分的復積分的Newton-LeibnitzNewton-Leibnitz公式公式) )101001 ( ) , ( ) ( ) , ( )d( )() , .zzf zDF zf zf zzF zF zzzD如果函數(shù)在單連通域內(nèi)處處解析為的一個原函數(shù) 則這里為域內(nèi)的兩點5 ( ) , f zD、說明：當函數(shù)在單連通域內(nèi)處處解析時10 ( )dzzf z z對于積分的計算類似于高等數(shù)學里的定積分，可以采用高等數(shù)學里關(guān)于定積分的所有積分公式和積分方法. 例例解解10 d . zzz z求的值 , z是在復平面內(nèi)是解析函數(shù)110021 d 2zzzzz zz22101().2zz

16、例例20 cosd .izzz求的值解解20cosdizzz2201cosd2izz201sin2iz21sin()221sin.2 例例0 cos d .izz z求的值使用使用:“分部積分部積分法分法”11 d .izzez求的值課堂練習課堂練習(cos1sin1).iei答案答案0cos dizz z0d(sin )izz00 sin sin diizzz z解解0sincosiiiz11.esincos1iii 考慮n+1條圍線 其中 中每一條都在其余各條的外部,而它們又全都在C0的內(nèi)部.在C0內(nèi)部同時又在 外部的區(qū)域,構(gòu)成一個復連通區(qū)域D,其邊界是一條復圍線 ,它包括取反時針方向的C

17、0以及取順時針方向的 ,即觀察者沿C繞行時,區(qū)域D總在它的左邊.01,C CCn12,C CCn12,C CCn012nCCCCC12,nCCC 復連通區(qū)域上的Cauchy定理01( )( )jnjCCf z dzf z dz設D是由C0 , C1, C2 , , Cn圍成的多連通區(qū)域，函數(shù)f(z)在D內(nèi)解析，在 上連續(xù)，則有D定理: 設D是由復圍線 所圍成的復連通區(qū)域, f(z)在 上解析,則有012nCCCCCD( )0,cf z dz 012( )( )( )( ).nccccf z dzf z dzf z dzf z dz或?qū)懗?取n+1條互不相交的全在 上的輔助線用它們順次地連結(jié) (

18、右圖),分D成兩個單連通區(qū)域D1, D2,其邊界為由定理3.1得把這兩個等式相加,并注意到沿著輔助曲線 的積分正好沿不同的方向各取一次,在相加的過程中互相抵消,于是得到改寫成將上面等式左端后面的n項移到等式右端即得所證.L3C0L0C2L2L11C3CD01,.nL LL012,C CC0,nCC12,. 12( )0,( )0.f z dzf z dz01,nL LL( )0.cf z dz 01( )( )( )0,ncccf z dzf z dzf z 其中： a為圍線內(nèi)一點例例31n 當 且為整數(shù)時,當 n = 1 時, 證證 設C的方程為 L2 i,10,1()nLndznza,iz

19、 ae .idzi e d則22002iicdzi e didizae22(1)100()ii nnninncdzi eidedzae(1)12100(1)i nniei n計算積分CZ=-1Z=12C1C例例412222.111cccdzdzdzzzz1112112.12112cccdzdzdziizzz又122220.111cccdzdzdziizzz最后得到2222112.12112cccdzdzdziizzz 同理 在圓|z|1)確定的區(qū)域. 定理定理: 在定理3.4的條件下,函數(shù)f(z)在區(qū)域D上有各階導數(shù)定理：解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù)其階導數(shù)為：( )f zn( )010!( )

20、()(1,2,.)2()nncnf zfzdznizz其中c為的解析區(qū)域內(nèi)圍繞的任何一條正向簡單閉曲線，它的內(nèi)部全含于( )f z0z此定理作用：不是通過積分來求導數(shù)，而是通過導數(shù)來求積分 51.,1cos(1)(1)cczrzdzz例 求下列積分的值 其中 為正向圓周55(4)1155cos:(1),cos(1),cos2coscos(1)4!1212zzczczzcziidzzzzi 解在 內(nèi)不是處處解析的 但在內(nèi)處處解析 由定理3.3.3. 模的最大值原理模的最大值原理 哥西不等式哥西不等式 劉維爾定理劉維爾定理摩勒納定理摩勒納定理 201()( )2iiif zrerief zdire201().2if zredDzrizre在公式(3.8)中, 令 為一閉圓 , z為圓心, 并設 則得這個公式表明, f(z)在圓心之值等于它在圓周上的算術(shù)平均值, 這就是所謂平均值定理平均值定理.利用平均