數(shù)據(jù)插值與曲線擬合

1、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 1第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合大多數(shù)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題都是從實(shí)際工程或生活中提煉出來(lái)的，往往帶有大量的離散的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)，要對(duì)這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行建模求解，就必須對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。 其目的是為了從大量的數(shù)據(jù)中尋找它們反映出來(lái)的規(guī) 律。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)講，就是要找出與這些數(shù)據(jù)相應(yīng)的變量之間的近似關(guān)系。 對(duì)于非確定性關(guān)系， 一般用統(tǒng)計(jì)分析的方法來(lái)研究，如回歸分析的方法。 對(duì)于確定 性的關(guān)系，即變量間的函數(shù)關(guān)系， 一般可用數(shù)據(jù)插值與擬合的方法來(lái)研究。 本講學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)插值與擬和的基本方法和相關(guān)的MATLAB命令。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 2第七章第七章

2、 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合1 引例引例擬合并不要求函數(shù)圖像通過(guò)這些點(diǎn)，但要求在某種準(zhǔn)則下，該函數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值與給定的這些值能最接近。簡(jiǎn)單地講，插值是對(duì)于給定的n組離散數(shù)據(jù)，尋找一個(gè)函數(shù)，使該函數(shù)的圖像能?chē)?yán)格通過(guò)這些數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。例1：對(duì)于下面給定的4組數(shù)據(jù)，求在x=175處 y 的值。 x144169225y121315數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 3第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合例1：對(duì)于下面給定的4組數(shù)據(jù)，求在x=175處 y 的值。 x144169225y121315這就是一個(gè)插值問(wèn)題。 利用所得的函數(shù)來(lái)求x=175處 y 的值。我們可以先確定

3、插值函數(shù)，再需要說(shuō)明的是這3組數(shù)據(jù)事實(shí)上已經(jīng)反映出 x與y的 的函數(shù)關(guān)系為： xy 關(guān)系是不明顯的。 ，當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，這種函數(shù)也就是說(shuō)，插值方法在處理數(shù)據(jù)時(shí)， 不論數(shù)據(jù)本身對(duì)應(yīng)的被插值函數(shù) )(xfy 是否已知， 它都要找到一個(gè)通過(guò)這些點(diǎn)的插值函數(shù)，此函數(shù)是被 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 4第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合插值函數(shù)的一個(gè)近似，從而通過(guò)插值函數(shù)來(lái)計(jì)算被插值函數(shù)在未知點(diǎn)處的近似值。 對(duì)于所構(gòu)造的插值函數(shù)要求相對(duì)簡(jiǎn)單，便于計(jì)算，一般選用多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)逼近。例2：觀測(cè)物體的直線運(yùn)動(dòng)，得以下數(shù)據(jù)，求物體的運(yùn)動(dòng)方程。t（秒）00.91.93.03.95.0s（米）

4、010305080110數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 5第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合例2：觀測(cè)物體的直線運(yùn)動(dòng)，得以下數(shù)據(jù)，求物體的運(yùn)動(dòng)方程。t（秒）00.91.93.03.95.0s（米）010305080110這是一個(gè)擬合問(wèn)題，其明顯的特征是與數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的 函數(shù)未知，要找到一個(gè)函數(shù)來(lái)比較準(zhǔn)確地表述這些數(shù) 據(jù)蘊(yùn)藏的規(guī)律。 顯然，我們找出的函數(shù)不一定會(huì)通過(guò) 這些點(diǎn)，也沒(méi)有必要，因?yàn)橛^測(cè)數(shù)據(jù)本身并不是完全準(zhǔn)確的。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 6第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合2 數(shù)據(jù)插值的基本原理數(shù)據(jù)插值的基本原理一般地，對(duì)于給定的n+1組數(shù)據(jù) (

5、 ,)iixy(0,1,2, )in), 2 , 1 , 0(nixi互不相等，確定一個(gè)n次多項(xiàng)式 )(xPn使 ), 2 , 1 , 0()(niyxPiin。其中 )(xPn稱(chēng)為插值函數(shù)， ( ,)iixy為插值節(jié)點(diǎn)， )max,min(,00iniinixbxaba區(qū)間， 為插值), 2 , 1 , 0()(niyxPiin稱(chēng)為插值條件。當(dāng)n=1時(shí)為線性插值。 )(1xP表示過(guò)兩點(diǎn) ),(),(1100yxyx、的直線方程，即 定理：滿足n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的次數(shù)不超過(guò)n次的多多項(xiàng)式存在且唯一。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 7第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合稍加整理，

6、即得 101001011)(yxxxxyxxxxxP記 1010)(xxxxxl0101)(xxxxxl則它們滿足： ) 1 , 0,(10)(jijijixlji稱(chēng) )(xli為基函數(shù)， 那么 )(1xP是兩個(gè)基函數(shù)的線性組合,也稱(chēng)為L(zhǎng)agrange 線性插值函數(shù)。)()(0010101xxxxyyyxP數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 8第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合當(dāng) n=2 時(shí)為拋物插值。 )(2xP表示過(guò)三點(diǎn) ),(),(),(221100yxyxyx、的拋物線方程，)()()(2010210 xxxxxxxxxl)()()(2101201xxxxxxxxxl)

7、()()(0212012xxxxxxxxxl使它們滿足)2 , 1 , 0,(10)(jijijixlji則 )(2xP可表示為三個(gè)基函數(shù)的線性組合，即 仿照線性插值的情形取基函數(shù)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 9第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合2211002)()()()(yxlyxlyxlxP也稱(chēng)為L(zhǎng)agrange 拋物插值函數(shù)。一般地，滿足插值條件的n次多項(xiàng)式為：iniinyxlxP0)()(其中基函數(shù)滿足), 2 , 1 , 0()()()(0,0,nixxxxxlnjijjinjijji上述多項(xiàng)式插值又稱(chēng)為n次Lagrange插值。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Sli

8、de 10第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合說(shuō)明：1、多項(xiàng)式插值的基函數(shù)僅與節(jié)點(diǎn)有關(guān)，而與被插值的原函數(shù) )(xfy 無(wú)關(guān)；2、插值多項(xiàng)式僅由數(shù)對(duì) ), 2 , 1 , 0(),(niyxii確定， 而與數(shù)對(duì)的排列次序無(wú)關(guān)。3、多項(xiàng)式插值除拉格朗日多項(xiàng)式插值法外，還有 牛頓(Newton)插值法、埃爾米特(Hermite)插值法、三次樣條插值法等，可參看有關(guān)數(shù)值分析的書(shū)籍。 其中Newton插值是拉格朗日插值的一種等價(jià)變形， Hermite插值一種帶導(dǎo)數(shù)插值條件的插值。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 11第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合例例 將 0,/2

9、n 等分，用 g(x) = cos(x)產(chǎn)生 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，作Pn(x)（取 n =1,2) ，計(jì)算cos(/6) 。 解解: n=1, (x0, y0)=(0,1), (x1,y1)=(/2,0), P1(x)=1-2x/, cos( /6)= P1( /6 )0.6667 n=2, (x0,y0)=(0,1), (x1,y1)=(/4,0.7071), (x2,y2)=(/2,0), P2(x)=8(x-/4)(x-/2)/2-16x(x-/2)0.7071/2 cos( /6)=P2( /6) 0.8508 精確值：精確值：cos ( /6) 0.8660數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slid

10、e 12第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合下面來(lái)求解引例1(課堂練習(xí))。引例1：對(duì)于下面給定的4組數(shù)據(jù)，求在x=175處 y 的值。 x144169225y121315解：用一次拉格朗日插值：所以取 12,x x為插值節(jié)點(diǎn)， 則 211121221( )xxxxP xyyxxxx計(jì)算得 1(175)13.21428572P因?yàn)椴逯迭c(diǎn) 175x 位于 1169x 和 2225x 之間， ，于是 (175)13.21428572f數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 13第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合用二次拉格朗日插值：取 012144,169,225xxx，則

11、0201122012010210122021()()()()()()( )()()()()()()xxxxxxxxxxxxP xyyyxxxxxxxxxxxx計(jì)算得 2(175)13.23015873P，于是 (175)13.23015873f175（ 的準(zhǔn)確值為 (175)13.22875656f） 由上例看出，二次插值的精度明顯要比一次插值要高。 但對(duì)于拉格朗日多項(xiàng)式插值，是否插值其精度就一定越高呢？數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 14第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合答案是：對(duì)于某些函數(shù)，適當(dāng)?shù)靥岣卟逯刀囗?xiàng)式的 次數(shù)，會(huì)提高計(jì)算精度。 但與此同時(shí)，多項(xiàng)式的次數(shù) 增大可

12、能造成插值函數(shù)的收斂性和穩(wěn)定性越來(lái)越差， 逼近的效果往往不理想， 一個(gè)典型的例子是函數(shù) 5,5,11)(2xxf選取不同插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) n+1，其中 n 為插值多項(xiàng)式的 次數(shù)，使得它在結(jié)點(diǎn)的值與被插函數(shù)在對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)的值相等。當(dāng)n分別取2,4,6, 8,10時(shí)，繪出的插值圖形如下。 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 15第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合-505-1.5-1-0.500.511.52y=1/(1+x2)n=2n=4n=6n=8n=10從圖中可看出，圖形顯示出振蕩現(xiàn)象，在5和-5附近誤差很大。這種現(xiàn)象叫做Runge 現(xiàn)象。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 16第七章

13、第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合這說(shuō)明，在大范圍內(nèi)使用高次插值，逼近效果往往并不理想。 解決此問(wèn)題的思路是化整為零，采用分段 插值，即在小范圍內(nèi)使用低次多項(xiàng)式插值。 不是去尋求整個(gè)插值區(qū)間上的一個(gè)高次多項(xiàng)式， 也就是說(shuō)插值區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用低而是把次多項(xiàng)式插值， 在整個(gè)插值區(qū)間上就得到一個(gè)分段插值函數(shù)。區(qū)間的劃分可以是任意的， 各個(gè)區(qū)間上插值多項(xiàng) 式的次數(shù)的選取也可按具體問(wèn)題選擇。 在分段插值中，較為簡(jiǎn)單的是分段線性插值。 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 17第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合實(shí)際數(shù)學(xué)建模中，在光滑性要求不高的條件下， 分段

14、線性或二次插值基本可以滿足需要。 問(wèn)題中提出的插值問(wèn)題，有一些插值函數(shù)曲線要求然而實(shí)際具有較高的光滑性，如飛機(jī)機(jī)翼的下輪廓線。 分段線性插值雖然簡(jiǎn)單，但插值函數(shù)在結(jié)點(diǎn)處的 一階導(dǎo)數(shù)一般不存在，光滑性不高， 樣條插值的提出。 這就導(dǎo)致了三次在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述是： 函數(shù)(曲線)的 k 階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則稱(chēng)該曲線具有 k 階光滑性。 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 18第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合光滑性的階次越高，則越光滑。 分段多項(xiàng)式達(dá)到較高階光滑性的方法？ 是否存在較低次的就是一個(gè)很好的例子。三次樣條插值數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 19第七章第七章

15、數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合3 三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值是一種非常有效的插值方法，它在實(shí)際工程中有著非常重要的應(yīng)用。 三次樣條插值的理論推導(dǎo)是比較復(fù)雜的，但在數(shù)學(xué)軟件MATLAB中有現(xiàn)成的調(diào)用程序，這樣我們就可直接借助計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行運(yùn)算。 下面簡(jiǎn)單介紹一下三次樣條插值的基本原理。定義：設(shè)給定區(qū)間 , a b上的一個(gè)劃分 01:naxxxb如果函數(shù) ( )S x滿足條件： 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 20第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合定義： 設(shè)給定區(qū)間 , a b上的一個(gè)劃分 01:naxxxb如果函數(shù) ( )S x滿足條件：（1）在每個(gè)子區(qū)間 1,

16、(1,2, )iixxin是三次多項(xiàng)式； （2） ( ),( ),( )S x S x Sx在區(qū)間 , a b上連續(xù)，記作 2( ) , S xC a b（3）對(duì)于在節(jié)點(diǎn)上給定的函數(shù)值 ( )(0,1,2, )iif xy in( )S x滿足 ( )(0,1,2, )iiS xy in則稱(chēng) ( )S x為 ( )f x在區(qū)間 , a b上的三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù)。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 21第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合簡(jiǎn)單地說(shuō)，已經(jīng)知道函數(shù) ( )yf x在節(jié)點(diǎn) 01,nx xx上的函數(shù)值 ( )(0,1,2, )iif xy in多項(xiàng)式函數(shù) ，現(xiàn)

17、要求一個(gè)三次( )S x，使?jié)M足( )(0,1,2, )iiS xy in且 2( ) , S xC a b。 由定義可知， ( )S x是區(qū)間 , a b上的分段分段三次插值多項(xiàng)式，即00111211( ),( ) ,( )( ),nnns xxx xs xxx xS xsxxxx數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 22第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合由于 2( ) , S xC a b，這個(gè)函數(shù)的曲線具有二階光滑度，看起來(lái)就很光順了，能滿足一般工程上的需要。其中 ( )is x是子區(qū)間 1 ,iix x插值于兩點(diǎn) 11( ,),(,)iiiix yxy的三次多項(xiàng)式，即 (

18、)(,1;0,1,2,1)ijjs xyji iin00111211( ),( ) ,( )( ),nnns xxx xs xxx xS xsxxxx下面簡(jiǎn)單介紹一下三次樣條插值函數(shù)的推導(dǎo)。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 23第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合現(xiàn)要求 1( ) ( ), ,0,1,1iiiS xs x xx xin32( )(0,1,1)iiiiis xa xb xc xdin,iiiia b c d為待定系數(shù)，共4n個(gè)。已知條件：1） ( )(0,1,)iiS xyin共 n+1個(gè)方程； 2） 20( ),nS xCxx111111111()(), ()(

19、), ()()(0,1, ,2)iiiiiiiiiiiis xsxs xsxs xsxin共 3(n-1) 個(gè)方程。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 24第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合現(xiàn)要求 4n 個(gè)待定系數(shù)，但只有(n+1)+ 3(n-1)=4n-2個(gè)方程，故需要補(bǔ)充兩個(gè)方程，即所謂的邊界條件邊界條件。 通常有以下三類(lèi)邊界條件： 3.1）給定兩個(gè)端點(diǎn) 0,nx x處的導(dǎo)數(shù) 0,nyy，即00()()nnS xyS xy3.2）給定兩個(gè)端點(diǎn) 0,nx x處的導(dǎo)數(shù) 0,nyy00()()nnS xyS xy即3.3）周期性條件，即( )( )0(0)(0)(0,1,2)kk

20、nSxSxk 1) 2)3),( )iiiia b c dS x數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 25第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合4 用用MATLAB軟件求解插值問(wèn)題軟件求解插值問(wèn)題在MATLAB中提供了一個(gè)一維插值函數(shù)interp1，它的調(diào)用格式為cy=interp1(x , y , cx , method)其中x、y是所給數(shù)據(jù)的橫縱坐標(biāo)，要求x的分量按升序或降序排列，cx是待求的插值點(diǎn)的橫坐標(biāo)，返回值cy是待求的插值點(diǎn)的縱坐標(biāo)，method是插值方法， 該函數(shù)提供了四種可選的插值方法：數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 26第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與

21、曲線擬合nearest最鄰近點(diǎn)插值。 點(diǎn)和這兩已知點(diǎn)間位置的遠(yuǎn)近來(lái)進(jìn)行插值，取較近已知它根據(jù)已知兩點(diǎn)間的插值插值點(diǎn)處的函數(shù)值作為未知插值點(diǎn)處的函數(shù)值。 linear線性插值。 它將相鄰的數(shù)據(jù)點(diǎn)用直線相連， 按所生成的直線進(jìn)行插值。spline三次樣條插值。 它利用已知數(shù)據(jù)求出樣條 函數(shù)后，按樣條函數(shù)進(jìn)行插值。cubic三次插值。 它利用已知數(shù)據(jù)求出三次多項(xiàng)式函數(shù)后， 按三次多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行插值。 缺省時(shí)插值方法為分段線性插值。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 27第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合下面用該函數(shù)來(lái)求解下列插值問(wèn)題。對(duì)于下面給定的4組數(shù)據(jù)，求在x=110處 y的值。

22、 x100121144169y10111213輸入命令：x=100 121 144 169;y=10 11 12 13;cx=110;cy=interp1(x,y,cx,linear); 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 28第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合運(yùn)行結(jié)果為cy =10.4762。 由于線性插值只需要兩個(gè)點(diǎn)，因而在上述命令中實(shí)際上只用了前兩個(gè)點(diǎn)。 若將最后一個(gè)命令中的method改為缺省、nearest、cubic和spline，運(yùn)行結(jié)果為依次為 cy =10.4762、cy =10、cy =10.4869、cy =10.4877 通過(guò)比較，顯然三次樣條插值的結(jié)果

23、最好。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 29第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合例：在1-12的11小時(shí)內(nèi)，每隔1小時(shí)測(cè)量一次溫度，測(cè)得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計(jì)每隔1/10小時(shí)的溫度值。程序：hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); % (直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的)plot(hours,temps,+,h,t,r:) %作圖xlabel(Hour),ylabel(Degree

24、s Celsius)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 30第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 31第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合x(chóng)y機(jī)翼下輪廓線例 已知飛機(jī)下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求X每改變0.1時(shí)的Y值。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 32第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合程序：程序：lch(lagr1)lch(lagr1)function y=lagr1(x0,y0,x)function y=lagr1(x0,y0,x)n=length(x0); m=length(x);n=length(x0); m=

25、length(x);for i=1:mfor i=1:m z=x(i); z=x(i); s=0.0; s=0.0; for k=1:n for k=1:n p=1.0; p=1.0; for j=1:n for j=1:n if j=k if j=k p=p p=p* *(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end end end s=p s=p* *y0(k)+s;y0(k)+s; end end y(i)=s; y(i)=s;endend數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 33第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合x(chóng)

26、0=0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ;y0=0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ;x=0:0.1:15;y1=lagr1(x0,y0,x);y2=interp1(x0,y0,x);y3=interp1(x0,y0,x,spline);subplot(3,1,1)plot(x0,y0,k+,x,y1,r)gridtitle(lagrange)subplot(3,1,2)plot(x0,y0,k+,x,y2,r)gridtitle(piecewise linear)subplot(3,1,3)plot(x0,y0,k+,x,y3,r)gri

27、dtitle(spline)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 34第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 35第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合曲線擬合是指：已知平面上 n 個(gè)點(diǎn)（xi, yi) i=1,n, 尋求一個(gè)函數(shù)（曲線）y=f(x), 使 f(x) 在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。 +xyy=f(x)(xi , yi)ii 為點(diǎn)（xi, yi) 與曲線 y=f(x) 的距離5 曲線擬合的基本原理曲線擬合的基本原理數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 36第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合

28、擬合與插值的區(qū)別擬合與插值的區(qū)別函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。問(wèn)題：?jiǎn)栴}：給定一批數(shù)據(jù)點(diǎn)，需確定滿足特定要求的曲線或曲面。解決方案：解決方案： 若不要求曲線（面）通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映對(duì)象整體的變化趨勢(shì)，這就是曲線數(shù)據(jù)擬合，又稱(chēng)曲線擬合或曲面擬合。 若要求所求曲線（面）通過(guò)所給所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，就是插值問(wèn)題；數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 37第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合根據(jù)曲線擬合問(wèn)題的定義，其關(guān)鍵在于準(zhǔn)則的選取， 選取的準(zhǔn)則不同，其對(duì)應(yīng)的擬合方法及其復(fù)雜程度也不相同。對(duì)于一維曲線擬合，

29、設(shè)n個(gè)不同的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)為 ), 2 , 1(),(niyxii，要尋找的擬合曲線方程為 ( )yf x記擬合函數(shù)在 ix處的偏差為 ( )(1,2,)iiif xyin常用的準(zhǔn)則有： 準(zhǔn)則1： 選取 ( )f x，使所有偏差的絕對(duì)值之和最小，即 11( )minnniiiiif xy數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 38第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合準(zhǔn)則2： 選取 ( )f x，使所有偏差的絕對(duì)值的最大值最小，即11maxmax( )minnniiiiif xy準(zhǔn)則3： 選取 ( )f x，使所有偏差的平方和最小，即 2211( )minnniiiiif xy相對(duì)而言，準(zhǔn)

30、則3最便于計(jì)算，因而通常根據(jù)準(zhǔn)則3 來(lái)選取擬合曲線 ( )yf x。準(zhǔn)則3又稱(chēng)為最小二乘準(zhǔn)則， 對(duì)應(yīng)的曲線擬合方法稱(chēng)為最小二乘法。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 39第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合線性最小二乘法的基本思路線性最小二乘法的基本思路第一步:先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x)其中 a1,a2, am 為待定系數(shù)。第二步: 確定a1,a2, am 的最小二乘準(zhǔn)則：使n個(gè)點(diǎn)（xi, yi) 與曲線 y=P(x) 的距離i 的平方和最小 。記 221211211(,)()

31、()nnmiiiiinmk kiiikJ a aaf xya rxy 問(wèn)題歸結(jié)為，求 a1,a2, am 使 J(a1,a2, am) 最小。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 40第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合線性最小二乘法的求解線性最小二乘法的求解要使 J(a1,a2, am) 最小，的必要條件得則由多元函數(shù)取得極值0(1,2,)kJkma即11( )( )0nmk kiikiika r xyr x 亦即111( ) ( )( )(1,2,)mnnjikiji kijiir x r xay r xkm 是未知量 12,ma aa的線性方程組， 稱(chēng)之為正定方程組。 數(shù)學(xué)模

32、型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 41第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合選定一組函數(shù) 12( ),( ),( )mr x r xrx組解出 后，就可由正規(guī)方程12,ma aa，于是就可得線性最小二乘擬合函數(shù)1 12 2( )( )( )( )m mf xa r xa r xa rx所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，觀察數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)出來(lái)的曲線的大致一般的做法是首先繪出形狀， 再結(jié)合該問(wèn)題所在專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域內(nèi)的相關(guān)規(guī)律和結(jié)論， 來(lái)確定擬合函數(shù)的形式。 實(shí)際操作時(shí)可在直觀判斷的基礎(chǔ)上，選幾種常用的曲線分別進(jìn)行擬合，比較選擇擬合效果最好的曲線。 面對(duì)一組數(shù)據(jù)，作線性最小二乘擬合時(shí)，恰當(dāng)選定函12( ),( ),(

33、 )mr x r xrx是一個(gè)難點(diǎn)。 數(shù)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 42第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合常用的曲線有直線、多項(xiàng)式、雙曲線和指數(shù)曲線等。 另外，曲線擬合又可分為線性曲線擬合和非線性曲線 擬合。一般地，如果擬合函數(shù)中的系數(shù) naaa,10以線性形式出現(xiàn)， 全部如擬合函數(shù) 01( )nnf xaa xa x為線性擬合，也稱(chēng)為多項(xiàng)式擬合； 若擬合函數(shù)中的系數(shù) naaa,10不能全部以線性形式出現(xiàn)， 如指數(shù)擬合函數(shù)xaeaaxP210)(為非線性曲線擬合。 實(shí)際應(yīng)用中，多項(xiàng)式最小二乘擬合用的較多，MATLAB中也有專(zhuān)用函數(shù)。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 4

34、3第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合線性最小二乘擬合線性最小二乘擬合 f(x)=a1r1(x)+ +amrm(x)中函數(shù)中函數(shù)r1(x), rm(x)的選取方法的選取方法 1. 通過(guò)機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來(lái)確定通過(guò)機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來(lái)確定f(x)；+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx 2. 將數(shù)據(jù)將數(shù)據(jù)(xi , yi) i=1, n 作圖，通過(guò)直觀判斷確定作圖，通過(guò)直觀判斷確定f(x)：數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 44第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合6 用用MATLAB軟件

35、求解擬合問(wèn)題軟件求解擬合問(wèn)題在MATLAB中提供了一個(gè)多項(xiàng)式最小二乘擬合函數(shù) polyfit (x, y, n) ，它的調(diào)用格式為P=polyfit(x, y, n)擬合多項(xiàng)式按自變量擬合多項(xiàng)式按自變量降冪排列的系數(shù)向量降冪排列的系數(shù)向量 輸入同長(zhǎng)度輸入同長(zhǎng)度的數(shù)組的數(shù)組X，Y擬合多項(xiàng)擬合多項(xiàng)式次數(shù)式次數(shù)下面用該函數(shù)來(lái)求解擬合問(wèn)題引例2：數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 45第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合例2：觀測(cè)物體的直線運(yùn)動(dòng)，得以下數(shù)據(jù)，求物體的運(yùn)動(dòng)方程。t（秒）00.91.93.03.95.0s（米）010305080110輸入命令：t=0 0.9 1.9 3 3.

36、9 5;s=0 10 30 50 80 110;plot(t,s,*-)xlabel(運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t（秒）)ylabel(運(yùn)動(dòng)位移 s（米）)gtext(物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與位移散點(diǎn)圖)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 46第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合下面顯示的是物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與位移散點(diǎn)圖：數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 47第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合不難看出圖形近似為一條直線，因此猜測(cè)用一次多項(xiàng)式來(lái)擬合，輸入命令： P=polyfit(t,s,1) 運(yùn)行結(jié)果為：P =22.2538 -7.8550即 xxP2538.22855. 7)(下面繪出的

37、是擬合曲線和散點(diǎn)圖對(duì)比圖形，數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 48第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合可以看出擬合效果并不理想。 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 49第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合根據(jù)物理學(xué)中物體運(yùn)動(dòng)的方程，我們用二次曲線來(lái)擬合，輸入命令： P=polyfit(t,s,2) 得到擬合函數(shù)為： 22488. 20814.115834. 0)(xxxP對(duì)比圖形如下， 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 50第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 51第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬

38、合可見(jiàn)曲線擬合本身就是一個(gè)猜測(cè)的過(guò)程，通常是不斷地修正擬合函數(shù)，使擬合效果達(dá)到滿意的程度?？梢钥闯鰯M合效果有明顯改善，擬合曲線與散點(diǎn)圖 基本上是吻合的，因此該物體運(yùn)動(dòng)的方程是22488. 20814.115834. 0)(ttts數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 52第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合7 建模案例建模案例(1992年年A題：農(nóng)作物施肥效果分析題：農(nóng)作物施肥效果分析)某地區(qū)作物生長(zhǎng)所需要的營(yíng)養(yǎng)元素主要有氮（N）、 鉀（K）、磷（P）。 某作物研究所在該地區(qū)對(duì)土豆 與生菜做了一定數(shù)量的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下列表格所示，其中ha表示公頃，t表示噸，kg表示公斤。 當(dāng)一個(gè)

39、營(yíng)養(yǎng)素的施肥量變化時(shí)，總將另兩個(gè)營(yíng)養(yǎng)素的施肥量保持在第七個(gè)水平上， 于N的施肥量做實(shí)驗(yàn)時(shí)，P與K的施肥量分別取為 如對(duì)土豆產(chǎn)量關(guān)196kg/ha與372kg/ha。 試分析施肥量與產(chǎn)量之間的關(guān)系。 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 53第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合土豆：土豆： N P K施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)0346710113520225933640447115.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.7502449739814719

40、624529434233.4632.4736.0637.9641.0440.0941.2642.1740.3642.730479314018627937246555865118.9827.3534.8638.5238.4437.7338.4343.8742.7746.22數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 54第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合生菜生菜： N P K施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)028568411216822428033639211.0212.7014.5616.2717.7522.5

41、921.6319.3416.1214.11049981471962943914895876856.399.4812.4614.3817.1021.9422.6421.3422.0724.530479314018627937246555865115.7516.7616.8916.2417.5619.2017.9715.8420.1119.40數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 55第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合模型假設(shè)：模型假設(shè)：1、研究所的實(shí)驗(yàn)是在相同的正常實(shí)驗(yàn)條件(如充足 的水分供應(yīng)，正常的耕作程序)下進(jìn)行的，產(chǎn)量的變化是由施肥量的改變引起的，產(chǎn)量與施肥量之間存在一定的規(guī)

42、律。（此假設(shè)的目的是抓住影響產(chǎn)量的主要因素而剔除次要因素，使要研究的問(wèn)題內(nèi)部諸因素明朗化，即抓住主要矛盾） 2、土壤本身已含有一定數(shù)量的氮、磷、鉀等肥料， 即具有一定的天然肥力。 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 56第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合2、土壤本身已含有一定數(shù)量的氮、磷、鉀等肥料， 即具有一定的天然肥力。 （此假設(shè)非常符合常理，而且實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)也證明了此假設(shè)的合理性，因而此假設(shè)將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中所隱藏的信息清晰化）3、每次實(shí)驗(yàn)是相互獨(dú)立的，互不影響。 （此假設(shè)澄清了在連續(xù)進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)中，后期實(shí)驗(yàn)產(chǎn)量與前期施肥無(wú)關(guān)） 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 57第七章第七章 數(shù)

43、據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合符號(hào)說(shuō)明：符號(hào)說(shuō)明： W：農(nóng)作物產(chǎn)量； x：施肥量； N、K、P ：氮、磷、鉀肥的施肥量； wT：農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格； xT：肥料價(jià)格； Tn、Tp、Tk：氮、磷、鉀肥的價(jià)格；1010210,cccccbbbba：常數(shù)。 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 58第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合問(wèn)題分析：?jiǎn)栴}分析：1、普遍規(guī)律施肥量與產(chǎn)量滿足下圖所示關(guān)系，它分為三個(gè)不同的區(qū)段，第二區(qū)段，隨著施肥量的增加，作物產(chǎn)量平緩上升， 一定限度后， 第三區(qū)段，當(dāng)施肥量超過(guò)產(chǎn)量反而隨施肥量的增加而減少。施肥量的增加而迅速增加， 在第一區(qū)段，當(dāng)施肥量較小時(shí)，作物產(chǎn)量隨

44、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 59第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 60第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合2、數(shù)據(jù)分析通過(guò)繪制散點(diǎn)圖，初步得到農(nóng)作物產(chǎn)量與施肥量間的定性認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法 Slide 61第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合從散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，氮肥施加量與農(nóng)作物的產(chǎn)量大致呈指數(shù)關(guān)系， 磷肥施加量與農(nóng)作物產(chǎn)量大致呈分段直線關(guān)系，鉀肥施加量與土豆產(chǎn)量大致呈指數(shù)關(guān)系，與生菜產(chǎn)量產(chǎn)量關(guān)系規(guī)律不明顯。 但有一點(diǎn)，鉀肥施加量的增加時(shí)，生菜產(chǎn)量上升幅度不大，波動(dòng)也不大，這說(shuō)明鉀肥對(duì)生菜產(chǎn)量的影響較小。 3、理論支撐