合情推理-歸納推理

1、要甜的，要甜的，好吃的！好吃的！ 從前有一位富翁想吃芒果從前有一位富翁想吃芒果, ,打發(fā)他打發(fā)他的仆人到果園去買的仆人到果園去買, ,并告訴他并告訴他:要甜的要甜的, ,好吃好吃的的, ,你才買你才買.仆人拿好錢就去了仆人拿好錢就去了. .到了果園到了果園, ,園主說園主說:我這里樹上的芒果個(gè)個(gè)都是我這里樹上的芒果個(gè)個(gè)都是甜的甜的, ,你嘗一個(gè)看你嘗一個(gè)看.仆人說仆人說:我嘗一個(gè)怎能知道我嘗一個(gè)怎能知道全體呢全體呢 我應(yīng)當(dāng)個(gè)個(gè)都嘗過我應(yīng)當(dāng)個(gè)個(gè)都嘗過, ,嘗一個(gè)買一個(gè)嘗一個(gè)買一個(gè), ,這樣這樣最可靠最可靠.仆人于是自己動(dòng)手摘芒果仆人于是自己動(dòng)手摘芒果, ,摘一個(gè)嘗一摘一個(gè)嘗一口口, ,甜的就都買

2、回去甜的就都買回去. .帶回家去帶回家去, ,富翁見了富翁見了, ,覺得覺得非常惡心非常惡心, ,一齊都扔了一齊都扔了. .嘗一個(gè)嘗一個(gè) ，怎么知道全體呢？怎么知道全體呢？我得嘗一個(gè)買一我得嘗一個(gè)買一個(gè)個(gè)嘗一個(gè)，怎么嘗一個(gè)，怎么知道全體呢？知道全體呢？我得嘗一個(gè)買我得嘗一個(gè)買一個(gè)一個(gè)想一想：想一想：故事中仆人的做法實(shí)際嗎？故事中仆人的做法實(shí)際嗎？換作你，換作你，你會(huì)怎么做你會(huì)怎么做？第一個(gè)芒果是甜的第一個(gè)芒果是甜的第二個(gè)芒果是甜的第二個(gè)芒果是甜的第三個(gè)芒果是甜的第三個(gè)芒果是甜的這個(gè)果園這個(gè)果園的芒果都的芒果都是甜的是甜的已知已知判斷判斷前提新的新的判斷判斷結(jié)論世界近代世界近代三大數(shù)學(xué)三大數(shù)學(xué)難

3、題難題1852年，英國人年，英國人弗南西斯弗南西斯格思里格思里為為地圖著色時(shí)，提出了四色猜想地圖著色時(shí)，提出了四色猜想.每幅地圖可以用四種顏色著色，使得每幅地圖可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的相鄰區(qū)域上著不同色有共同邊界的相鄰區(qū)域上著不同色. 19761976年，美國數(shù)學(xué)家年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾阿佩爾與與哈肯哈肯在兩臺(tái)計(jì)算機(jī)上，在兩臺(tái)計(jì)算機(jī)上，用了用了12001200個(gè)小時(shí)，完成了四色猜想的證明個(gè)小時(shí)，完成了四色猜想的證明. .費(fèi)馬最后定理費(fèi)馬最后定理,歷經(jīng)三百多年的歷史歷經(jīng)三百多年的歷史,這這個(gè)數(shù)學(xué)難題是由英國的數(shù)學(xué)家個(gè)數(shù)學(xué)難題是由英國的數(shù)學(xué)家威利斯威利斯（Andrew Wiles）199

4、4所解決所解決 據(jù)說歌德巴赫無意中據(jù)說歌德巴赫無意中觀察到觀察到： 3710，31720，131730， 偶數(shù)奇質(zhì)數(shù)奇質(zhì)數(shù)偶數(shù)奇質(zhì)數(shù)奇質(zhì)數(shù)改寫為改寫為:1037，20317，30131763+3， 1000100029+97129+971，83+5， 1002=139+863,105+5, 125+7，147+7，165+11,18 =7+11,， 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach(Goldbach Conjecture) Conjecture)世界近代三大數(shù)學(xué)世界近代三大數(shù)學(xué)難題難題之一。哥德巴赫是德國一位之一。哥德巴赫是德國一位中學(xué)教師，也是一位著名的數(shù)學(xué)家，生于中學(xué)教師，也是一

5、位著名的數(shù)學(xué)家，生于16901690年，年，17251725年當(dāng)選為俄國彼得堡科學(xué)院院士。年當(dāng)選為俄國彼得堡科學(xué)院院士。17421742年，哥年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個(gè)不小于德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個(gè)不小于6 6的偶數(shù)都是兩的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)（只能被和它本身整除的數(shù)）之和。如個(gè)素?cái)?shù)（只能被和它本身整除的數(shù)）之和。如6 63 33 3，12125 57 7等等。等等。公元公元17421742年年6 6月月7 7日哥德巴赫日哥德巴赫(Goldbach(Goldbach) )寫信寫信給當(dāng)時(shí)給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)(Euler)，提出了以下的，提出了以下的猜想猜想: : (a

6、) (a) 任何一個(gè)任何一個(gè)=6=6之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。數(shù)之和。 (b) (b) 任何一個(gè)任何一個(gè)=9=9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。數(shù)之和。這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6 6月月3030日給他的回信中說，他日給他的回信中說，他相信這個(gè)猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，相信這個(gè)猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這個(gè)猜想便引起了連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這個(gè)猜想便引起了許許多數(shù)學(xué)家的注意多數(shù)學(xué)家的注意。從

7、提出這個(gè)猜想至今，許多數(shù)學(xué)家都不斷努力。從提出這個(gè)猜想至今，許多數(shù)學(xué)家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。當(dāng)然曾經(jīng)有人作了些具體的驗(yàn)證工作想攻克它，但都沒有成功。當(dāng)然曾經(jīng)有人作了些具體的驗(yàn)證工作，例如，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 : 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 1

8、8 = 5 + 13, . . . . . 等等。有人對(duì)等等。有人對(duì)3333108108以內(nèi)且大過以內(nèi)且大過6 6之偶數(shù)一一進(jìn)行驗(yàn)算，哥德之偶數(shù)一一進(jìn)行驗(yàn)算，哥德巴赫猜想巴赫猜想(a)(a)都成立。但嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明尚待數(shù)學(xué)家的努力。都成立。但嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明尚待數(shù)學(xué)家的努力。從此，這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬數(shù)學(xué)家的注意從此，這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬數(shù)學(xué)家的注意。200200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的上一顆可望不可及的“明珠明珠”。到了。到了2020世紀(jì)世紀(jì)2020年代，才有人

9、開始年代，才有人開始向它靠近。向它靠近。19201920年年挪威數(shù)學(xué)家布爵挪威數(shù)學(xué)家布爵用一種古老的篩選法證明，得用一種古老的篩選法證明，得出了一個(gè)結(jié)論：每一個(gè)比出了一個(gè)結(jié)論：每一個(gè)比6 6大的偶數(shù)都可以表示為（大的偶數(shù)都可以表示為（9+99+9）。這種）。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學(xué)家們于是從（縮小包圍圈的辦法很管用，科學(xué)家們于是從（9 9十十9 9）開始，逐步）開始，逐步減少每個(gè)數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個(gè)數(shù)，直到最后使每個(gè)數(shù)里都是一減少每個(gè)數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個(gè)數(shù)，直到最后使每個(gè)數(shù)里都是一個(gè)質(zhì)數(shù)為止，這樣就證明了個(gè)質(zhì)數(shù)為止，這樣就證明了“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”。 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(

10、Goldbach Conjecture)目前目前最佳最佳的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于19661966年年證明的，稱為證明的，稱為陳氏定理陳氏定理(Chens Theorem) (Chens Theorem) 即即 “任何充份大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然任何充份大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和，而後者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積。數(shù)之和，而後者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積?！?” 通常都簡稱這個(gè)結(jié)果為大偶數(shù)可表示為通常都簡稱這個(gè)結(jié)果為大偶數(shù)可表示為 “ “1 + 1 + 2 2 ” ”的形式。的形式。哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)在陳景潤之前，關(guān)

11、於偶數(shù)可表示為在陳景潤之前，關(guān)於偶數(shù)可表示為s s個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積與個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積與t t個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積之和之和( (簡稱簡稱“s + t ”s + t ”問題問題) )之進(jìn)展情況如下之進(jìn)展情況如下: :19201920年，挪威的布朗年，挪威的布朗(Brun(Brun) )證明了證明了 “ “9 + 9 ”9 + 9 ”。19241924年，德國的拉特馬赫年，德國的拉特馬赫(Rademacher(Rademacher) )證明了證明了“7 + 7 ”7 + 7 ”。19321932年，英國的埃斯特曼年，英國的埃斯特曼(Estermann(Estermann) )證明了證明了 “ “6 +

12、6 ”6 + 6 ”。19371937年，意大利的蕾西年，意大利的蕾西(Ricei(Ricei) )先後證明了先後證明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和和“2 + 366 ”2 + 366 ”。19381938年，蘇聯(lián)的布赫年，蘇聯(lián)的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao(Byxwrao) )證明了證明了“5 + 5 ”5 + 5 ”。19401940年，蘇聯(lián)的布赫年，蘇聯(lián)的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao(Byxwrao) )證明了證明了 “ “4 + 4 ”4 + 4 ”。19481948年，匈牙利的瑞尼年，匈

13、牙利的瑞尼(Renyi(Renyi) )證明了證明了“1 + c ”1 + c ”，其中，其中c c是一很大的自然數(shù)。是一很大的自然數(shù)。19561956年，中國的王元證明了年，中國的王元證明了 “ “3 + 4 ”3 + 4 ”。19571957年，中國的王元先後證明了年，中國的王元先後證明了 “ “3 + 3 ”3 + 3 ”和和 “ “2 + 3 ”2 + 3 ”。19621962年，中國的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩年，中國的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩(BapoaH(BapoaH) )證明了證明了 “ “1 + 5 ”1 + 5 ”， 中國的中國的王元證明了王元證明了“1 + 4 ”1 + 4 ”

14、。19651965年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃(Byxwrao(Byxwrao) )和小維諾格拉多夫和小維諾格拉多夫(BHHopappB(BHHopappB) )，及意大利，及意大利的朋比利的朋比利(Bombieri(Bombieri) )證明了證明了“1 + 3 ”1 + 3 ”。19661966年，中國的陳景潤證明了年，中國的陳景潤證明了 “ “1 + 2 ”1 + 2 ”。最終會(huì)由最終會(huì)由誰誰攻克攻克 “ “1 + 11 + 1 ” ”這個(gè)難題呢？這個(gè)難題呢？現(xiàn)在還沒法預(yù)測?，F(xiàn)在還沒法預(yù)測。也許是在座的也許是在座的其中一位或幾其中一位或幾位位歌德巴赫猜想的提出過程：歌德巴赫猜

15、想的提出過程： 3710，31720，131730， 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: :“任何一個(gè)不小于任何一個(gè)不小于6 6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和數(shù)之和”即即: :偶數(shù)奇質(zhì)數(shù)奇質(zhì)數(shù)偶數(shù)奇質(zhì)數(shù)奇質(zhì)數(shù)改寫為改寫為:1037，20317，30131763+3， 1000100029+97129+971，83+5， 1002=139+863,105+5, 125+7，147+7，165+11,18 =7+11,， 這樣的猜想學(xué)過的知識(shí)中有沒有？你能舉幾個(gè)例子嗎？這樣的猜想學(xué)過的知識(shí)中有沒有？你能舉幾個(gè)例子嗎？這類猜想有什么這類猜想有什么共同特點(diǎn)？共同特點(diǎn)？12 n1+3+(2n1)

16、=n21+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，銅能導(dǎo)電銅能導(dǎo)電鋁能導(dǎo)電鋁能導(dǎo)電金能導(dǎo)電金能導(dǎo)電銀能導(dǎo)電銀能導(dǎo)電一切金屬一切金屬都能導(dǎo)電都能導(dǎo)電.三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和為為凸四邊形內(nèi)角凸四邊形內(nèi)角和為和為凸五邊形內(nèi)角凸五邊形內(nèi)角和為和為 180360540凸凸n邊形邊形內(nèi)角和為內(nèi)角和為.1802n調(diào)查得知某市調(diào)查得知某市甲、乙、丙、甲、乙、丙、丁四所高中學(xué)丁四所高中學(xué)生普遍認(rèn)為數(shù)生普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)是嚴(yán)肅枯燥學(xué)是嚴(yán)肅枯燥的。的。全市高中全市高中生普遍認(rèn)生普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)是為數(shù)學(xué)是枯燥的枯燥的.第一個(gè)數(shù)為第一個(gè)數(shù)為2第二個(gè)數(shù)為第二個(gè)數(shù)為4第三個(gè)數(shù)

17、為第三個(gè)數(shù)為6第四個(gè)數(shù)為第四個(gè)數(shù)為8第第n個(gè)個(gè)數(shù)為數(shù)為2n.部分部分個(gè)別個(gè)別整整 體體一一 般般這類猜想有什么這類猜想有什么共同特點(diǎn)？共同特點(diǎn)？這種由某類事物的這種由某類事物的部分對(duì)象部分對(duì)象具有某些具有某些特征特征, ,推出該類事物的推出該類事物的全部對(duì)象全部對(duì)象都具都具有這些特征的推理有這些特征的推理, ,或者由或者由個(gè)別個(gè)別事實(shí)事實(shí)概栝出概栝出一般一般結(jié)論的推理結(jié)論的推理, ,稱為稱為歸納推歸納推理理.(.(簡稱：歸納簡稱：歸納) )1、歸納推理的定義、歸納推理的定義:簡言之簡言之, ,歸納推理是由歸納推理是由部分到整體部分到整體、由由個(gè)別到一般個(gè)別到一般的推理。的推理。成語成語”一葉知

18、秋一葉知秋”例如：例如： 磨擦雙手（磨擦雙手（S S1 1 ）能產(chǎn)生熱（）能產(chǎn)生熱（P P），）， 敲擊石頭（敲擊石頭（S S2 2 ）能產(chǎn)生熱（）能產(chǎn)生熱（P P） ， 錘擊鐵塊（錘擊鐵塊（S S3 3 ）能產(chǎn)生熱（）能產(chǎn)生熱（P P） ， 磨擦雙手、敲擊石頭、錘擊鐵塊都是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)；磨擦雙手、敲擊石頭、錘擊鐵塊都是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)； 所以，物質(zhì)運(yùn)動(dòng)能產(chǎn)生熱。所以，物質(zhì)運(yùn)動(dòng)能產(chǎn)生熱。應(yīng)用歸納推理可以應(yīng)用歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新事實(shí)發(fā)現(xiàn)新事實(shí), ,獲得新結(jié)論獲得新結(jié)論! !2、歸納推理的一般步驟：、歸納推理的一般步驟： 檢驗(yàn)猜想檢驗(yàn)猜想。 提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想猜想； 對(duì)對(duì)有限有

19、限的資料進(jìn)行觀察、分析、的資料進(jìn)行觀察、分析、 歸納整理；歸納整理；需證明需證明？試驗(yàn)、觀察試驗(yàn)、觀察概括、推廣概括、推廣猜測一般性結(jié)論猜測一般性結(jié)論例例4.如圖所示有三根針和套在一根針上的若干金屬片如圖所示有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按按下列規(guī)則下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測試推測:把把n個(gè)金屬片從個(gè)金屬片從1號(hào)針移到號(hào)針移到3號(hào)針號(hào)針,最少需要移動(dòng)多最少需要移動(dòng)多少次少次?123123金屬片金屬片

20、設(shè)設(shè) 為把為把 個(gè)金屬片從個(gè)金屬片從1號(hào)針移到號(hào)針移到3號(hào)針的最少次數(shù)，則號(hào)針的最少次數(shù)，則nann1a123金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片設(shè)設(shè) 為把為把 個(gè)金屬片從個(gè)金屬片從1號(hào)針移到號(hào)針移到3號(hào)針的最少次數(shù)，則號(hào)針的最少次數(shù)，則nann1an2a1233 221aa 1 33a金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片設(shè)設(shè) 為把為把 個(gè)金屬片從個(gè)金屬片從1號(hào)針移到號(hào)針移到3號(hào)針的最少次數(shù)，則號(hào)針的最少次數(shù)，則nann1an2a123金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片金屬片設(shè)設(shè) 為把為把 個(gè)金屬片從個(gè)金屬片從1號(hào)針移到號(hào)針移到3號(hào)針的最少次數(shù)，則號(hào)針的最少次數(shù)

21、，則nann1an2a3 221aa 1 33a1233a 15 n=4時(shí)時(shí),n=3時(shí)時(shí),23a n=2時(shí)時(shí),n=1時(shí)時(shí),11a 37a 221aa 1 3a4a 4a 15n=4時(shí)時(shí),n=3時(shí)時(shí),23a n=2時(shí)時(shí),n=1時(shí)時(shí),11a 37a 221aa 11,121,2nnnaan 331aa 121nnaa數(shù)列數(shù)列是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為2公比為公比為 的的12nna 21nna 12342222215211 7212 5 7216 5 5 3 7221n任何形如任何形如 的數(shù)都是質(zhì)數(shù)的數(shù)都是質(zhì)數(shù)這就是著名的這就是著名的費(fèi)馬猜想費(fèi)馬猜想觀察到都是質(zhì)數(shù)觀察到都是質(zhì)數(shù),進(jìn)而進(jìn)而猜想猜想:半個(gè)世紀(jì)后半個(gè)世紀(jì)后, ,歐拉發(fā)現(xiàn)第歐拉發(fā)現(xiàn)第5 5個(gè)費(fèi)馬數(shù)個(gè)費(fèi)馬數(shù)