光學(xué)資料：第四章 光柵衍射（習題課）

1、第四章 光柵衍射（習題課）例1：綠光500.0nm正入射在光柵常數(shù)為 ，寬度為3cm的光柵上，聚光鏡的焦距為50cm，（1）求第1級光譜的線色散；（2）求第1級光譜中能分辨的最小波長差；（3）該光柵最多能看到第幾級光譜？ 1.由光柵線色分辨本領(lǐng)公式解： 光柵一級光譜5000 附近線色散為：2.光柵一級光譜在5000 鄰近可分辨的最小波長差3. 得最多可分別看到 級光譜。例2： 根據(jù)以下數(shù)據(jù)比較光柵、棱鏡、法-珀干涉儀三者的分光性能：（1）分辨本領(lǐng)；（2）色散本領(lǐng)；（3）自由光譜范圍。光譜寬度D=5cm；刻線密度1/d=600條/mm；棱鏡底邊b=5cm；頂角=60；折射率n=1.51；色散率d

2、n/d=0.610-4/nm；法-珀腔長h=5cm；反射率R=0.99。解：（1）光柵一級光譜色分辨率本領(lǐng)為棱鏡色分辨本領(lǐng)為F-P腔色分辨本領(lǐng)（取 ， ， ）（2）光柵一級光譜在5000 鄰近角色散本領(lǐng) 棱鏡角色散 F-P角色散（取 ， ） ， （3）光柵可測最大波長由 限制光柵一級光譜上限 與二級光譜下限 滿足一級光譜自由光譜范圍若取光譜范圍光譜范圍 F-P：中心波長 的 級與波長（ ）的（ ）級 重疊條件為 自由光譜范圍 F-P長程干涉儀，高分辨本領(lǐng)，量程很窄，適用高分辨光譜技術(shù) 棱鏡只有一套光譜，無級重疊問題，自由光譜范圍不受限制，可提高光譜分析靈敏度（入射光集中在一套譜線上），這是一大

3、優(yōu)點。 例3 以 和 的兩單色光同時垂直射至某光柵。實驗發(fā)現(xiàn)，除零級外，它們的譜線第三次重疊在 的方向上，求此光柵的光柵常數(shù)。【思路分析】 由光柵方程出發(fā)結(jié)合重疊條件可得光柵常數(shù)。由光柵方程，譜線重疊的條件為即 、 均為整數(shù)，要滿足上式，只有當 時，譜線重疊。因此，第三次重疊時故光柵常數(shù)為 此題為光柵光譜重疊的計算問題，求解的關(guān)鍵是明確譜線第三次重疊時所滿足的條件。解:【方法要略】例4：一波長為600nm的平行光垂直照射到平面光柵上，它的一級譜線的衍射角為 。求：（5）要在二級光譜中分辨 的光譜，光柵寬度至 少為多大？（6）在上述情況下，為不降低分辨本領(lǐng)，線光源的最大寬度為 多少（若光源的準直

4、物鏡的焦距為25cm）？（4）二級光譜的線色散。 （設(shè)在光柵后放一焦距為50cm的透鏡）（3）二級光譜的角色散。（2）最多能看到第幾級光譜？（1）光柵常數(shù)。 由已知條件，應(yīng)用光柵方程式可求得光柵常數(shù)。令衍射角 時，即可求出可看到的最高光譜級次。角色散、線色散可直接應(yīng)用公式而求得。應(yīng)用光柵分辨率公式可求出周期單元數(shù)和光柵寬度。對光柵的實際分辨本領(lǐng)要有所了解?！舅悸贩治觥拷?由光柵方程式 得(1)已知（取整數(shù)部分） 即最多能看到第二級光譜。（3）由光柵方程式對光柵方程兩邊取微分，可得角色散 （2）由光柵方程式 , 當 時， 最大，故（5）光柵的分辨本領(lǐng)為 即 （4）設(shè)二級譜線到屏幕中央的距離為 。

5、則 取微分即可得到線色散 （6）已知準直物鏡的焦距 ，設(shè)光源寬度為W，光柵的實際分辨本領(lǐng)為 式中， 為光柵的理想分辨本領(lǐng)，為不降低分辨本領(lǐng)，則上式中，令 ，可得到最大寬度 此題為光柵衍射的綜合性試題，考核概念范圍廣，深度、難度大。求解此題關(guān)鍵是光柵衍射概念清晰，公式理解透徹，熟練掌握并能運用光柵方程式、分辨率、角色散、線色散等基本公式。在衍射角較小時，線色散可用公式 計算；在衍射角較大時，線色散用 計算更加精確。另一方面，要了解 光柵的實際分辨本領(lǐng)與光源寬度及其他參數(shù)以及理想分辨本領(lǐng)之間的關(guān)系?！痉椒ㄒ浴坷?如圖所示，利用超聲波在液體中形成 駐波時產(chǎn)生的一定間隔的疏部和密部，就相當于一個平面

6、光柵，同樣可以產(chǎn)生光的衍射現(xiàn)象。當光源波長為 ，超聲頻率為 時 ，在距離透鏡 為 的屏幕 上測得相鄰兩級衍射條紋間的距離為 。試證明：（1）超聲波在液體中的傳播速率為 （2）當 和 不變時，使超聲波在同一液體的 頻率由 變?yōu)?，測得相鄰兩級衍射條紋間距離為 ，這時超聲波的頻率解（1）駐波的半波長相當于光柵常數(shù)d。設(shè)超聲波的波長為 ，則 。由光柵方程式 不難導(dǎo)出當 很小時衍射條紋的間距為故 因此，超聲波在液體中的傳播速度 超聲波形成駐波時，波腹處的液體密度變化，光容易透過，相當于光柵的透光部分，波節(jié)處的液體密度變化大，光不容易透過，相當于光柵的不透光部分，駐波相鄰波腹間的距離則等效于光柵常數(shù)，由

7、此可證之。【思路分析】在同一液體中，超聲波的速度不變，故【方法要略】 此題為光柵方程的應(yīng)用。本題的光柵是利用超聲波在液體中形成駐波時產(chǎn)生的一定間隔的疏部和密部對應(yīng)光柵的透光和不透光部分。【知識擴展】 本題提供了一種測量超聲波在液體中傳播速率的方法。 （2）設(shè)超聲波的頻率變?yōu)?時，其波長變?yōu)?，則（1）式變?yōu)?例6有一每厘米有2000條狹縫的衍射光柵，縫寬為 以波長為500nm的單色光垂直入射，問（2）最多能看到多少級主極大明紋？（1）最多能看到第幾級主極大明紋？（3）最多能看到多少條主極大明紋？（4）若單色入射光與縫面法線成角入射，重新計算（1）、（2）、（3）。 【思路分析】 由題意可知光柵

8、常數(shù)d，波長已知。應(yīng)用垂直入射與斜入射時的光柵方程式，當衍射角等于最高級次，考慮缺級現(xiàn)象，即可得出可看到的明紋數(shù)目。時可得到明紋解 （1）由光柵公式有 其中所以 因此有。所以缺級的k值為：2,4,6,8；最多能看到6級條紋：（3）最多能看到條明紋。（4）應(yīng)用斜入射時光柵方程式設(shè)入射光線與衍射光線在法線異側(cè)， 因此有第5級位于處，看不見。設(shè)入射光線與衍射光線在法線同側(cè)由于斜入射，相對于屏幕中心位置，兩邊條紋并不對稱，所以還需計算另一側(cè)的 值。因此有第15級位于處，看不見。由缺級條件，有所以能看到的級數(shù)為下列各級： 最多能看到的明紋條數(shù)為【方法要略】光柵方程式是求解光柵衍射問題的基本公式。在應(yīng)用斜

9、入射光柵方程式時，應(yīng)注意入射光線與衍射光線在法線同側(cè)和異側(cè)兩種情況，此時法線兩側(cè)衍射條紋不對稱。另外要求可觀察到的明紋最高級次和可看到的最多明紋數(shù)目時，只要令衍射角等于 慮到缺級即可方便求解。 例7波長600nm的單色光垂直入射在一光柵上。第二級、第三級明紋分別出現(xiàn)在 、 處，第四級缺級。試問：（1）光柵上相鄰兩縫的間距有多大？ （2）光柵上狹縫可能的最小寬度有多大？ （3）按上述選定的a、b值，試舉出光屏上實際呈現(xiàn)的 全部級數(shù)。【思路分析】 解 （1）設(shè)狹縫寬度為a，相鄰兩縫間不透光部分寬度為b，光柵常數(shù)d=b+a，根據(jù)題意，由光柵方程式 由光柵方程及缺級公式可解出相鄰兩縫的間距、觀察到的條

10、紋最高級次，考慮缺級，即可得到光屏上實際呈現(xiàn)條紋的全部級數(shù)。狹縫可能的最小寬度。取衍射角等于 即可得出光柵所能得（2）由于第四級衍射條紋缺級，即第四級干涉明紋在單縫衍射暗條紋上，由光柵方程式與缺級公式解得 取 ，得光柵上狹縫的最小寬度 ，則 （3）由光柵方程，當 時，可求得條紋最高級次，即 由缺級公式所以缺級的k值為：4，8；所以光屏上實際呈現(xiàn)得全部級數(shù)：【方法要略】 熟練掌握光柵方程式和缺級公式是求解此類試題的關(guān)鍵。第二、三級明紋分別出現(xiàn)在 、 處，由此推得第4級明紋應(yīng)出現(xiàn)在 處，但由于第4級缺級，故可知衍射角 既滿足多縫干涉明紋第4級條件，又滿足單縫衍射第一級暗紋條件，這點從題中缺級公式即

11、可看出。實際上從題意分析即可知k =4為開始缺級，故k =4、8、12等均缺級。 例8 設(shè)計一平面透射光柵，當用白光垂直照射時，能在 衍射方向上觀察到的 第二級干涉主極大，并能在該處分辨 的兩條光譜線。但在此 方向上卻測不到 的第三級主極大。試求光柵常數(shù)d與總縫數(shù)N，光柵的縫寬a和縫距b及光柵總寬度各是多少？ （1） 由光柵的（色）分辨本領(lǐng) ,有（2） 解 令 ， ；衍射角 ,由題中已知條件得 【思路分析】 由光柵方程出發(fā)可得光柵常數(shù)d，由光柵分辨本領(lǐng)可求出光柵單元總數(shù)，進而可求得光柵總寬度。在衍射角 方向上測不到 的第三級主極大，即 波長第三級缺級，應(yīng)用缺級公式即可求得a。由于 在方向上 缺級，故有（3） 由式（1）得由式（3）得由 d=a+b 得 由式（2）得 此題求解參數(shù)較多，但實際上只是求解三個參數(shù) 其他所求量均可由此三個參數(shù)而得出。題中已知條件三句話中，每一句話均可列出一個方程求出一個參數(shù)。在衍射方向 上可觀察到600nm第二級干涉主