高等數(shù)學(xué)有理式的不定積分方法.

1、1. 有理式的不定積分有理式的不定積分 3-3 有理式的不定積分與有理化方法有理式的不定積分與有理化方法)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函數(shù):nm 時,)(xR為假分式;nm 時,)(xR為真分式有理函數(shù)相除多項式 + 真分 式分解若干部分分式之和其中部分分式的形式為部分分式部分分式:,1 ;nAAnxaxa 22,1 ;nBxCBxCnxpxqxpxq )04,N(2qpn 有理函數(shù)積分法有理函數(shù)積分法; )1(真真分分式式）（多多項項式式假假分分式式多多項項式式除除法法 ：部部分分分分式式之之和和真真分分式式待待定定系系數(shù)數(shù)法法 )2(112201

2、11P( ) Q( )P( ) ()() ()()klnmnmkllxxxb x ax axp x qxpx q真分式分母因式分解) ,1, , 2不不可可約約因因式式為為（其其中中hiqxpxii 11111011AA1()nnbxaxa1AA()kkn kknkkxaxa11111111,1221111BB()mmmxCxCxp xqxp xq1122BB()lllm lm lllmllllxCxCxp xqxp xq（其其中中各各系系數(shù)數(shù)待待定定）；如果如果 有一個有一個 重實根重實根 , 則則 的部分的部分分式中一定包含下列形式的分式中一定包含下列形式的 項部分分式之和項部分分式之和:

3、 Q xna /P x Q xn1nnAAxaxa如果如果 中包含因子中包含因子 時時 , 則則 的部分分式中一定包含下列形的部分分式中一定包含下列形式的式的 項部分分式之和項部分分式之和: 22/4mxpxqqp Q x /P x Q xm1122mmmB xCB xCxpxqxpxq 例如例如 將真分式 分解成部分分式部分分式.) 1() 1()2)(1(12322xxxxxx ) 1(A11x原式)2(2(22212xAxA1(21111xCxB222121) 1(xCxB) 1(323131xCxB.) 1(21212xxCxB.,定系數(shù)法求出均為常數(shù)，下面將用待與其中ijijijCB

4、A四種典型部分分式的積分四種典型部分分式的積分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2xqxpxCxBd. 32xqxpxCxBnd)(. 42) 1,04(2nqp變分子為 再分項積分 )2(2pxB2pBC xqxpxCxBd. 32xqxpxBCxBd2222xqxpxpBCpxBd2222xqxpxpxBd222qxpxqpxxdB22)(244)2()2()2(22pqpxpxdBpC)ln(22qpxxB.42arctan42)2(22CpqpxpqBpC)ln(22qpxxB.42arctan4222CpqpxpqBpCxqxpxBp

5、Cd22xqxpxCxBnd)(. 42dxpgpxBCxBn)4()2(22222而最后一個積分可以用上上一節(jié)例6中的遞推公式.xqxpxpBCpxBnd)(2222xqxpxpxBnd)(222xqxpxBpCnd)(22nqxpxqpxxdB)()(222npqpxpxdBpC44)2()2()2(22nqpxxnB12)(1npqpxpxdBpC44)2()2()2(22說明說明:遞推公式nnaxxI)(d22已知CaxaIarctan11利用遞推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41

6、axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)(21例例1 求dxxxx33) 1(1解解33) 1(1xxxxA11112xA222) 1( xA,) 1(332xA為常數(shù)，其中ijA第一種方法第一種方法: 待定系數(shù)法，可以用如下的方法求出待定系數(shù).上式通分后得33) 1(1xxx33222212311) 1() 1() 1() 1AxxAxxAxxAx（.) 1() 1() 1(132222123113xAxxAxxAxAx11322212112221211312113)3()3()(1AxAAAAxAAAxAAx比較恒等式兩端同次冪的系數(shù)

7、，得一方程組：. 1, 03, 023, 111322212112212111211AAAAAAAAAA 從而解得, 111A, 212A, 122A. 232A故有33) 1(1xxxx112x3) 1(2x 于是dxxxx33) 1(1|ln x| 1|ln2x2) 1(1x11x.) 1(12Cx.) 1(| 1|ln22Cxxxx(*).) 1() 1() 1(132222123113xAxxAxxAxAx, 0(*)x中令在, 111A得, 1x令. 232A得),1() 1(2) 1(12221233xxAxxAxxx 化簡并約去兩端的公因子 后為x),1() 1(13222212

8、2xAxAxx,12221212AAxAx即得, 212A. 122A例例 2 求.)1)(21 (d2xxx第二種方法第二種方法(賦值法),121)1)(21 (122xCBxxAxx兩端去分母,得.)2()2(12ACxCBxBA),21)()1 (12xCBxxA或比較兩端的各同次冪的系數(shù)及常數(shù)項，有. 1, 02, 02CACBBA解之得.51,52,54CBA.151522154)1)(21 (122xxxxx解解xx21)21 ( d52221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxarctan51)1)(21 (d2xxx.151522154)1)

9、(21 (122xxxxx43)21()21(231) 1(21222xxdxxxxd.312arctan3) 1ln(212Cxxx.312arctan31) 1ln(61) 1ln(311 23Cxxxxxdx1231) 12(2122xxdxxxdxx).1211(3111 23xxxxx.1 3xdx求dxxxx142212dxxxx122dxxxx1312212補例補例解解例例 3 求.)2(2 2223dxxxxx,)2(2)2(2 2222223xCxBxCBxxAxxxx解解即有xCxBxxCBxxAxx222223)2()()2(2則得令,21, 0AxxCxBxxCBxxx

10、x222223)2()()2(212即.22212323CCxBBxCxBxxxx,21 B, 0B, 1C02CC. 2 Cdxxxxx2223)2(2 dxx121 dxxx2121- 2dxx22)2(2- |ln21 x)2ln(41 2x2arctan21 xdxx22)2(2- dxx22)2(1 )2(1(21 2xdx)2(21)22x(x1 222xxdxdxxx)211(41)22x(x1 222用遞推公式求用遞推公式求或或x141 )22x(x1 2.2arctan241 Cxdxxxxx2223)2(2 |ln21 x)2ln(41 2x2arctan221 x)2x(

11、x1 22x1 . C 總之總之,有理函數(shù)分解為多項式及部分分式之和以后有理函數(shù)分解為多項式及部分分式之和以后,各個部分各個部分都能積出都能積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù)且原函數(shù)都是初等函數(shù).此外此外,由代數(shù)學(xué)知道由代數(shù)學(xué)知道,從理論上說從理論上說,多項式多項式Q(x)總可以在實數(shù)范圍內(nèi)分解成為一次因式及二次因式的總可以在實數(shù)范圍內(nèi)分解成為一次因式及二次因式的乘積乘積,從而把有理函數(shù)從而把有理函數(shù) 分解為多項式與部分分式之和分解為多項式與部分分式之和.因此因此,有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).)()(xQxP 但是但是,用部分分式法求有理函數(shù)的積分用部分分式法求有理函數(shù)的

12、積分,一般說來計算比較繁一般說來計算比較繁,只是在沒有其它方法的情況下只是在沒有其它方法的情況下,才用此方法才用此方法.例例4 求.d132xxx解解1) 1(31d13332xxdxxx.| 1|ln313Cx補例補例 求求解解 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本題技巧注意本題技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁 (1) (1)

13、 三角有理式：三角有理式： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)三角函數(shù)有理式可記為的函數(shù)三角函數(shù)有理式可記為)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx 2sin2coscos22xxx 2. 三角函數(shù)有理式的不定積分三角函數(shù)有理式的不定積分 (2) (2) 三角有理式的積分法：三角有理式的積分法：2sec2tan122xx ,2tan12tan122xx 令令tan2xt 22sin,1txt221cos,1txt 2arctanxt則221dxdtt 萬萬能能代代換換dxxxR

14、)cos,(sin2222212,.111ttRdtttt萬能替換公式：萬能替換公式：.化為有理函數(shù)的積分例例 4 求.1cossincotxxxdx解解tan2xt 令，則221dxdtt22sin,1txt221cos,1txt,21cot2ttx1cossincotxxxdx2222211121221ttttdttttdttt221dttdtt1211212Ctt|ln2121.|2tan|ln212sin22cosCxxx注注（1）用萬能代換用萬能代換一定能一定能將三角函數(shù)有理式的積分將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)的積分；化為有理函數(shù)的積分；（2）萬能代換不一定是最好的；萬能代換不

15、一定是最好的；（3）常用的將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)常用的將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)的積分的代換方法（非的積分的代換方法（非“萬能的萬能的”）：）：1）若）若 R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取，可取 u=cosx 為為積分變量；積分變量；2）若）若 R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取，可取 u=sinx 為為積分變量；積分變量；3）若）若 R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) ，可取，可取 u=tanx 為為積分變量積分變量.例例 5 求.sin1cossin2dxxxx解解.c

16、os)(sin的形式此題中被積函數(shù)可寫成xxf這時. ”很自然想到“湊微分法dxxxx2sin1cossinxdxxsinsin1sin2xtsin令21 ttdtCt)1ln(212.)sin1ln(212Cx)sin1 (sin112122xdx例例 6 求.cossincosdxxxx解解dxxxxcossincoscosx同dxxtan11xttan令2111tdttdtttt)1111(212|1 |ln21t)1ln(212tarctantC|tan1 |ln21x|sec|lnxxC|sincos|ln21xxxC例例 7 求.cossin24xdxx解解xdxx24cossin

17、dxxx22cos1)22cos1(2dxxxx) 12cos2cos2(cos8123xdx2sin)2sin1 (1612dxx24cos181dxx)2cos1 (81.)4sin412sin31(1613Cxxx.,cossin倍角公式降低其方冪可以利用的偶次方冪及被積函數(shù)都是xx注注 3. 某些根式的不定積分某些根式的不定積分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被積函數(shù)為簡單根式的有理式 , 可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分. 例如:,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍數(shù)為nmp例例 8 求.21d3xx解解 令,23xu則,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC例例 9 求.d11xxxx解解 令,1xxt則,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lntt