淺談對稱思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、i i 目目 錄錄1 1 引言引言.12 2 對稱思想的本質(zhì)對稱思想的本質(zhì).13 3 數(shù)學(xué)的對稱性數(shù)學(xué)的對稱性.23 3 .1.1 公式的對稱性公式的對稱性.23 3 .2.2 圖形的對稱性圖形的對稱性.23 3 .3.3 對稱式和輪換式對稱式和輪換式.33 3 .4.4 對稱的其他應(yīng)用對稱的其他應(yīng)用.44 4 數(shù)學(xué)思維在對稱思想中的應(yīng)用數(shù)學(xué)思維在對稱思想中的應(yīng)用.64.14.1 對稱思想的簡潔性對稱思想的簡潔性.64.24.2 對稱思想的靈活性對稱思想的靈活性.64.34.3 對稱思想的廣泛性對稱思想的廣泛性.75 5 數(shù)學(xué)能力在對稱思想中的培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力在對稱思想中的培養(yǎng).85.15.1 數(shù)

2、學(xué)判斷能力在對稱思想中的培養(yǎng)數(shù)學(xué)判斷能力在對稱思想中的培養(yǎng).85.25.2 數(shù)學(xué)記憶能力在對稱思想中的培養(yǎng)數(shù)學(xué)記憶能力在對稱思想中的培養(yǎng).85.35.3 數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力在對稱思想中的培養(yǎng)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力在對稱思想中的培養(yǎng).95.45.4 數(shù)學(xué)解題能力在對稱思想中的培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力在對稱思想中的培養(yǎng).96 6 結(jié)論結(jié)論.10參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn).12致謝致謝.13 ii淺談對稱思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)系本數(shù)學(xué)系本 12021202 班班 李然李然指導(dǎo)教師：楊樹勍指導(dǎo)教師：楊樹勍摘 要：對稱好像是世間萬物的一種表象或形式，而且它已經(jīng)成為各種學(xué)科的一些表現(xiàn)形式和理論之一，我們所講的對稱是解題的思想方法，因?yàn)?/p>

3、它合乎情理。應(yīng)用好對稱思想對初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有很大的幫助，尤其是對學(xué)生的思維品質(zhì)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力的培養(yǎng)有極大的好處。對稱既可以鍛煉學(xué)生的思維、又可以拓展學(xué)生的視野、豐富學(xué)生的想象能力、成就學(xué)生強(qiáng)大的數(shù)學(xué)頭腦.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)能力，思維品質(zhì)，對稱思想。 On the application of symmetry thought in Mathematics TeachingRan YiClass 2, Mathematics DepartmentTutor: Yang ShuQing Abstract: symmetry seems to be all things in the world to

4、a representation or form, and it has become one of a variety of disciplines, some form of expression and the theory, we speak of symmetry is the thinking method of solving, because of its reasonable. Good use of symmetry thought of junior high school students mathematical learning a great help, espe

5、cially on students thinking quality, the cultivation of ability in mathematics learning have great benefits. Symmetry can exercise the students thinking, and can broaden the students horizons, enrich the students imagination, student achievement powerful mathematical mind. Key words: mathematical ab

6、ility, thinking quality, symmetrical thought.11 引言當(dāng)我們進(jìn)入 21 世紀(jì)的時(shí)候，我們會很靈敏的感覺到，科學(xué)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，知識經(jīng)濟(jì)的漸漸起步，綜合國力競爭的日漸激烈。這種競爭說到底是強(qiáng)大人才的競爭。而對于這些強(qiáng)大人才的培養(yǎng)在于中國的高等教育。教育對于人的培養(yǎng)應(yīng)該是對人的思維能力的培養(yǎng)以及人的思考方法的培養(yǎng)，并且還包括人的價(jià)值取向等等。從古到今，教育家們在教育的事業(yè)中都十分重視啟迪和開拓學(xué)生的思維。中國古代一位舉世聞名的教育家孔子傳授學(xué)業(yè)時(shí)一直強(qiáng)調(diào)“憤”和“悱” 。前蘇聯(lián)的教育家蘇霍姆林斯基說：“一人上學(xué)不為別的只為取得一份知識的行囊，得到更多方

7、面的知識和學(xué)習(xí)能力，學(xué)會思考。 ”哲學(xué)的思想恰恰就能做到這一點(diǎn)，所以對于對稱思想對思維的培養(yǎng)我們不能小看。2 對稱思想的本質(zhì)對稱思想的核心是對稱變換。廣義地說， “對稱變換”是一種在保持一定的不變形下的對稱變換，有限次的重復(fù)實(shí)行這一變換，可使對象回復(fù)到自身；一個(gè)集合在一定的對稱變換下的不變性就叫做“對稱性” 。幾何中的軸（面）對稱和中心對稱是最直觀的對稱。平面圖形繞其一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180的變換，也是常見的變換。如果旋轉(zhuǎn)完成后的兩個(gè)圖形能夠完全重合，則說這兩個(gè)圖形是中心對稱圖形。下面我們通過列表來聯(lián)系軸對稱和中心對稱的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。軸對稱中心對稱具有一個(gè)對稱軸直線具有一個(gè)對稱的中心點(diǎn)圖型沿著軸對

8、折（反著轉(zhuǎn) 180）圖形繞著中心旋轉(zhuǎn) 180翻轉(zhuǎn)后與翻轉(zhuǎn)前的圖形重合旋轉(zhuǎn)后與旋轉(zhuǎn)前的圖形重合代數(shù)中的對稱有的還可借助與幾何直觀來理解，如實(shí)數(shù)與其相反數(shù)的對稱，復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的對稱；當(dāng)然，也未必都要借助于幾何直觀，例如“對稱多項(xiàng)式” （其中任意兩個(gè)變元對換下的不變形） ， “輪換對稱多項(xiàng)式” （其中各個(gè)變2元輪換下的不變形） 。也可把函數(shù)的周期性看成“對稱性” ，因?yàn)橹芷诤瘮?shù)的圖像是無限延伸的曲線，在一定的平移下（平移若干最小正整周期）可重合于自身，從而表現(xiàn)出“整體不變性” 。我們還可把兩個(gè)命題間的“對偶關(guān)系”理解為對稱。因?yàn)榛閷ε嫉拿}間具有結(jié)構(gòu)上的不變關(guān)系。例如集合運(yùn)算中的德摩根律，它就

9、有所謂的兩種對稱形式：和；在幾何學(xué)中還有“平面對偶”和AAAA“空間對偶”的命題。還有一種對偶是問題間的對偶。例如數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，即“在遵循一定的約束條件下使目標(biāo)函數(shù)取最大（?。┲怠钡膯栴}，其對偶問題的構(gòu)成法為：令原命題中目標(biāo)函數(shù)取定值作為約束條件（之一） ，而把原問題中的約束條件中的某個(gè)量作為目標(biāo)函數(shù)，使這個(gè)目標(biāo)函數(shù)取最?。ù螅┲?。例如若原問題為“已知矩形周長為 p，求使矩形面積 S 最大時(shí)的邊長” ，則其對偶問題是“已知矩形面積為 S，求使矩形周長 p 最小時(shí)的邊長” 。這樣構(gòu)成互為對偶的問題，它們的解是相同的，它們也具有結(jié)構(gòu)上的對稱性。對稱思想說的通俗易懂些就是數(shù)學(xué)中的一種美學(xué)思想，這種思

10、想在解析幾何內(nèi)容中顯得及其突出。3 數(shù)學(xué)的對稱性3 3 .1.1 公式的對稱性公式的對稱性 在數(shù)學(xué)公式中，有很多字母，它們是對稱的且地位是平等的。 例如： Cabbacbabbaababababacos233)(2)(22232233222在這里 a 和 b 互換時(shí)，等式仍然是成立的。3 3 .2.2 圖形的對稱性圖形的對稱性等腰三角形、菱形、正方形、平行四邊形、拋物線、圓、等等，它們都是對稱的幾何圖形。圓，它有一個(gè)對稱中心圓心，有無數(shù)條對稱軸過圓心的每一條線均是，所以圓是一個(gè)特殊的幾何圖形。其實(shí)，像代數(shù)式求值、數(shù)列求和、共軛3根式以及共軛復(fù)數(shù)等，都是利用對稱的思想來解決數(shù)學(xué)問題的。下面就以圓

11、為例。一個(gè)圓桌面和相同硬幣若干個(gè)，甲、乙二人分別依次在圓桌面上放硬幣（甲先放乙后放） ，規(guī)定誰最后擺不下硬幣，誰就被視為輸?shù)囊环?，請問：甲、乙雙方誰輸誰贏呢？如果仔細(xì)一點(diǎn)的話，我們就能從已知條件中得到答案，已知我們的桌面是圓的，利用圓的對稱性，甲勝是必然的。因?yàn)椋瑘A心是對稱中心，甲首先把第一枚硬幣放在圓心的位置上，然后，無論乙把第二枚硬幣放在任何位置，甲都可以把第三枚硬幣放在與第二枚硬幣相對稱的位置，以此反復(fù)，最終乙會以失敗告終。例：有一個(gè)正方形，它的邊長為 8，點(diǎn) M 在 DC 邊上，DM=2，點(diǎn) N 為 AC 上的一動(dòng)點(diǎn)，問：DN+MN 的最小值為多少?ADBCNMM 解：以 AC 為對稱

12、軸，作點(diǎn) M 的對稱點(diǎn),連接，則，連MMNMNNM接，則,MDMDMNDNMNDN的最小值就為的長MNDN MD101006822MD 這是一道很簡單的問題，但是，如果想不到對稱，那么就很難做出令我們欣喜的正確的結(jié)果。3 3 .3.3 對稱式和輪換式對稱式和輪換式 如果把代數(shù)式中任意兩個(gè)字母對調(diào)后，代數(shù)式仍保持不變，則這樣的代數(shù)式就稱為對稱代數(shù)式即對稱式。4 如：223223233yxyxyxyyxxzyx如果代數(shù)式中把含字母項(xiàng)順序輪換后，代數(shù)式仍保持你變，則這樣的代數(shù)式就稱為輪換對稱式即輪換式。 如：222zyx（1）對于曲面積分，積分曲面為 ，如果將函數(shù)0zyxu，中的換成后仍等于 0，也

13、就是積分0zyxu，zyx，xzy，xzyu，曲面的方程沒有變，那么在這個(gè)曲面上的積分，SSdxzyfdzyxf，如果將函數(shù)中的 x，y，z 換成 y，x，z 后，那么0zyxu，0zxyu，在這個(gè)曲面上的積分，如果將函數(shù)SSdzxyfdzyxf，中的 x，y，z 換成 z，x，y 后，那么在這個(gè)曲面0zyxu，0yxzu，上的積分，同樣可以進(jìn)行多種其它形式的變換。SSdyxzfdzyxf，（2）對于第二類曲面積分也只是將 dxdy 同時(shí)變換即可。例如，將函數(shù)中的換成后=0，那么在這個(gè)曲面上0zyxu，zyx，xzy，xzyu，的積分，同時(shí)，下面這兩個(gè)積分也是等價(jià)dydzxzyfdxdyzyx

14、f，的，dzdxxzyfdydzzyxf，dxdyxzyfdzdxzyxf，（3）將（1）中積分曲面的 z 去掉就變成了曲線積分，滿足輪換對稱性，積分曲線為，如果將函數(shù)中的 x，y 換成 y，x 后仍滿足0yxu，0yxu，那么在這個(gè)曲線上的積分，事實(shí)上，0 xyu，SSdxyfdyxf，若將函數(shù)中的 x，y 換成 y，x 后仍滿足，則意味著積分0yxu，0 xyu，曲線關(guān)于直線 y=x 對稱。第二類曲線積分與（2）中的結(jié)論相同。（4）二重積分和三重積分都與（1）的解釋類似，同樣也是看積分區(qū)域，將函數(shù)的 x，y，z 變換順序就是相當(dāng)于將坐標(biāo)軸重新定義，積分區(qū)間沒有改變，于是被積函數(shù)作相應(yīng)的變換

15、后，積分值不發(fā)生變化。53 3 .4.4 對稱的其他應(yīng)用對稱的其他應(yīng)用例 1：（1）在 2008 年 8 月的日歷中（如圖一） ，任意地從一數(shù)列中圈出相鄰的三個(gè)數(shù)，假設(shè)中間的一個(gè)數(shù)為，那么用含有的代數(shù)式來表示這三位數(shù)aa（從大到小排列）分別為（ ）（2）將連續(xù)的自然數(shù)從 1 到 2008 按照圖中的方式組成為一個(gè)長方形的陣列，若用一個(gè)正方形的框圈出 16 個(gè)數(shù)，那么這個(gè)方框中的 16 個(gè)數(shù)相加的和是（ ）在（圖二）中，要使這方框中的 16 個(gè)數(shù)的和分別等于 2000、2008，是否有可能呢？若有可能，求出此方框的 16 個(gè)數(shù)之和的最大值和最小值；若不可能，請說明理由。六 日 一 二 三 四 五

16、 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 8 9 10 11 12 13 144 5 6 7 8 9 10 15 16 17 18 19 20 2111 12 13 14 15 16 17 22 23 24 25 26 27 2818 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008（圖一） （圖二） 解： （1）； ； 7-aa7a（2）經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，在方框中的關(guān)于中心對稱的每兩個(gè)數(shù)之和均等于44 的有：11 和 33，17 和 27，

17、31 和 13，它們都是中心對稱的。這樣就容易算出 16 個(gè)數(shù)的和是 44 8=352設(shè)圈出的 16 個(gè)數(shù)當(dāng)中最小的一個(gè)是，則 16 個(gè)數(shù)組成的方框如圖，a由于方框中，關(guān)于正方形的中心對稱的每兩個(gè)數(shù)之和為 2+24，因此，16 個(gè)數(shù)a的和為 8（2+24）=16+192aa當(dāng) 192+16=2000 時(shí)， a113aa1a2a3a 192+16=2008 a5 .113a7a8a9a10a由于為自然數(shù)，所以舍去 a5 .113a14a15a16a17a6那么方框中的 16 個(gè)數(shù)的和不可以等于 2008 21a22a23a24a所以最小數(shù)為 113，最大數(shù)為 137例 2：在銳角ABC 中，證明

18、：.coscoscossinsinsinCBACBA分析：不等式兩邊均是關(guān)于 A,B,C 的完全對稱式，只需要比較和.BAsinsin BAcoscos證： 2cos2sin2sinsinBABABA2cos2cos2coscosBABABA且有 .CBACBA,2,0若 , 則, 那么，這與相矛盾， 42 BA2 BA2C20 C,224BA故 2cos2sinBABA又 . 從而有，22-2-BA02cosBA.coscossinsinBABA同理可證 .coscossinsinCBCB.coscossinsinACAC把上面三式相加并除以 2，便可得到要證明的不等式。4 數(shù)學(xué)思維在對稱思

19、想中的應(yīng)用4.14.1 對稱思想的簡潔性對稱思想的簡潔性 例：設(shè) x、y、z 均為實(shí)數(shù)， ， 問：1z是5zyx9222zyx 73否成立？若成立，給出證明;若不成立，請說明理由。解：由得95222zyxzyx2292)(5zxyyxzyx所以 解得=-5z+8161029)5(9)(222222zzzzzyxxyxy2z又因?yàn)?x、y 是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以=-4085)5(22zztzt2)5(z0 解得 1z)85(2 zz071032zz 737由于 x、y、z 在題中具有對稱性，只需證得其中任何一個(gè)，其余兩個(gè)同理可得:1x 1y 73 734.24.2 對稱思想的靈活性對稱思想的靈

20、活性 我們都知道拋物線為軸對稱圖形，對稱軸為直線)0(2acbxaxy，頂點(diǎn)在對稱軸上。處理有關(guān)對稱軸的問題時(shí)，如果能巧妙地利用拋物a2b-x 線的對稱性，那么解決問題是相當(dāng)容易的。例：已知拋物線與 y 軸交于點(diǎn)（0,3） ，與 x 軸相交的兩點(diǎn)間距離為 4，且對稱軸是 x=1，求這個(gè)拋物線的解析式。解：設(shè)該拋物線的解析式為。若按照正常思路，則需要解出cbxaxy2有關(guān)于 a，b，b 的三元一次方程組，解題過程比較復(fù)雜。若巧妙的利用拋物線的對稱性，那解法就方便了。因?yàn)閽佄锞€的直線為 x=1，與 x 軸相交的兩點(diǎn)間距離為 4，顯然由拋物線的對稱性知拋物線交于 x 軸（-1,0） ， （3,0）兩

21、點(diǎn)，因此設(shè)拋物線為，又知拋物線與 y 軸交于（0,3） ，所以 3=-3a，a=-1，故11yxxa，即)3)(1(xxy322xxy4.34.3 對稱思想的廣泛性對稱思想的廣泛性對稱性在初等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，尤其是在中學(xué)數(shù)學(xué)中常常伴有對稱現(xiàn)象，像幾何學(xué)中的中心對稱、軸對稱等空間對稱，又有代數(shù)學(xué)中旋轉(zhuǎn)的時(shí)間和周期性的對稱。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中幾何方面的對稱性較為直觀，通過畫圖就能很容易的看出具有對稱性的圖形，根據(jù)他們的對稱性可以解決很多問題。例：如圖，一個(gè)圓柱被一個(gè)平面所截，所截的截面橢圓長軸長為 5cm，短軸長為 4cm，截得后的圖形最短母線長為 2cm，請求出這個(gè)幾何體的體積？8BEDA

22、C分析：這個(gè)圖形既不是圓柱也不是圓臺更不可能是圓錐，直接計(jì)算它的體積肯定是不行的，我們只能利用對稱性原理在它的上面補(bǔ)上一個(gè)完全相同的幾何體，使之成為一個(gè)完整的圓柱。解：由題意可知：圓柱底面的直徑是截面橢圓的短軸長 4cm，又長軸長為 5cm因此 cm BC=5cm 補(bǔ)全的圓柱的母線長為 7cm34522CE則所求的幾何體的體積為 1472212V 幾何方面的對稱與代數(shù)方面的對稱相比較更為直觀，因此人們往往忽略代數(shù)式的對稱性，其實(shí)對稱思想在代數(shù)式中應(yīng)用的也十分廣泛，也能化難為易，化繁為簡。5 數(shù)學(xué)能力在對稱思想中的培養(yǎng)5.15.1 數(shù)學(xué)判斷能力在對稱思想中的培養(yǎng)數(shù)學(xué)判斷能力在對稱思想中的培養(yǎng)我們

23、在解方程的時(shí)候，有時(shí)如果按照常規(guī)的方法去解題，就會顯得比較復(fù)雜，這時(shí)我們就可以判斷是否添加因式，添加什么樣的因式，用對稱思想去求解。例：已知是方程的兩個(gè)根，求的值?，032 XX2分析：由于 不是關(guān)于的對稱式，所以無法直接用韋達(dá)定理，但2，是，我們只需要添加一個(gè)因式29 13- 310-3-23322）（ 3134-23322）（兩式都是關(guān)于的對稱式，于是可得=，231325-5.25.2 數(shù)學(xué)記憶能力在對稱思想中的培養(yǎng)數(shù)學(xué)記憶能力在對稱思想中的培養(yǎng)例：在余弦中,三角形 ABC 中的邊和邊對于邊 來Cabbaccos2222abc說地位是平等的，所以等式右端的，是同號，無論同正同負(fù)。在第三項(xiàng)中

24、2a2b只能是而不能是或，否則和是不等的。Cabcos2Caccos2Cbccos2ab同樣，在三角形 ABC 中，它的面積公式為,取就是為了CabSsin21Csin讓，的地位平等。ab而在另外一個(gè)三角形的中，三個(gè)正弦中，ACBaSsin2sinsin2CBAsin,sin,sin只需要其中兩個(gè)寫在分子上，另一個(gè)寫在分母上即可。這是因?yàn)榇蠹叶贾?，在?jì)算三角形面積的時(shí)候，只要有出現(xiàn)，那么和 就是平等的，對稱的了，abc因此，不能讓分開，從這個(gè)角度考慮，這個(gè)三角形面積公式還可以CB sin,sin寫成 或BCASsin2sinsinb2CBASsin2sinsinc25.35.3 數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力

25、在對稱思想中的培養(yǎng)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力在對稱思想中的培養(yǎng) 像一元二次方程，設(shè)它的兩個(gè)根分別為，我們)0(02acbxax、能夠很快的求出的對稱式，等，對于有關(guān)、3322,2非對稱式的求值問題，主要是把非對稱轉(zhuǎn)化為對稱，然后再利用其相關(guān)關(guān)、系求解。若就是一元二次方程的解，則有、)0(02acbxax10，對所求代數(shù)式變形，再利用根的)0(0),0(022acbaacba定義全部帶入求解。 例：已知，求證1sinsincoscos24241sinsincoscos2424分析：通過題目可以看出其結(jié)構(gòu)上的對稱性：與對稱，2cos2cos與對稱，我們猜測=，=。于是我們設(shè) 2sin2sin2sin2sin2c

26、os2cos 1 , 0yxsinysinx22，原式= （1）1yxy-1x-122有：，化簡得：x=yy-1yy-1xx-1y22把（1）中的 x 與 y 對調(diào)后得：，即1xyx-1y-1221sinsincoscos24245.45.4 數(shù)學(xué)解題能力在對稱思想中的培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力在對稱思想中的培養(yǎng) 每一種數(shù)學(xué)思想都是先人留下的結(jié)晶，每一種數(shù)學(xué)思想的方法及策略都是一點(diǎn)點(diǎn)的解題經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過積累來歸納與總結(jié)的，都是數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之路永無止境，我們還有待于創(chuàng)新、充實(shí)和完善。例：在三角形 ABC 中，,求30,10,80PCBPBCBACACAB ?BAP ADBCP分析：等腰三角形 ABC 關(guān)

27、于角平分線 AD 對稱，因此可以考慮對稱變換。解：延長線段 CP 交BAC 的角平分線于點(diǎn) D，鏈接 BD，得到11 由ABDACD2030-280-180ABDACD 201020-280-180PBDABDPBD 404021PCBPBCBPDBACBAD又 BPABPBDABDBPDBAD于是70240-180BAP對于此題我們很難一下子看出與哪個(gè)角有聯(lián)系，一但完成對換變BAP換后，那解題思路會很快從腦海中浮現(xiàn)出來，所以，當(dāng)只要軸對稱圖形需要作輔助線時(shí)，就首先考慮軸對稱。 6 結(jié)論 對稱，無論是在自然界中還是在建筑物中，無論是在科學(xué)中還是藝術(shù)中，甚至于我們最普通的生活用品中，對稱的形式無處不在，無所不有。人們在這漫長的歲月中，享受著對稱的美，享受著生活的美，所以，對稱思想方法應(yīng)該貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)、中學(xué)數(shù)學(xué)直至整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科，始終貫穿著一個(gè)永恒的概念。但是，對稱思想雖然作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一小部分，但卻在教學(xué)改革中是一項(xiàng)重大的工程，需要學(xué)生同老師共同完成。其實(shí)，不僅僅是在數(shù)學(xué)中，在浩瀚的宇宙中，對稱都是一個(gè)深不可測的概念，所以，作為數(shù)學(xué)教育者的我們，就必須在日常的教育教學(xué)中明白，如何一點(diǎn)一滴地引