數(shù)理方程與特殊函數(shù)楊春PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)理方程與特殊函數(shù)楊春數(shù)理方程與特殊函數(shù)楊春2本次課主要內(nèi)容(一)、狄氏問(wèn)題與牛曼問(wèn)題解的適定性狄氏問(wèn)題格林函數(shù) (二)、三維空間中狄氏問(wèn)題格林函數(shù)(三)、平面中的三個(gè)格林公式第1頁(yè)/共39頁(yè)3定理1 (唯一性定理) 拉氏方程的狄氏問(wèn)題的解是唯一的。 120()0SSvvuu (一)、狄氏問(wèn)題與牛曼問(wèn)題解的適定性證明：設(shè)u1與u2是定解問(wèn)題 0,( , , )( , , )SSux y zVux y z 的兩個(gè)解。令v=u1-u2,則：由調(diào)和函數(shù)性質(zhì)知：在VS上：1212()0SSVVvuuuu第2頁(yè)/共39頁(yè)41110,( , , )SSux y zVuf定理2 (穩(wěn)定性定理) 拉氏

2、方程的狄氏問(wèn)題的解是穩(wěn)定的。 證明：設(shè)在邊界S上給出兩個(gè)函數(shù)f1與f2,且： 12ff拉氏方程的狄氏問(wèn)題對(duì)應(yīng)于f1與f2的解設(shè)為u1與u2，即： 2220,( , , )SSux y zVuf令： 那么：12vuu120,( , , )SSvx y zVvff 由調(diào)和函數(shù)極值原理，v在VS上的極值只能在S上取得，所以 第3頁(yè)/共39頁(yè)521uu即證明了穩(wěn)定性。 定理3 拉氏方程的牛曼問(wèn)題的解，若不管任意常數(shù)的差別，是唯一的。 證明：設(shè)u1與u2是同一拉氏方程牛曼問(wèn)題的兩個(gè)解，即有：Snuu110Snuu220令：12vuu第4頁(yè)/共39頁(yè)6則：00Svvn由第一格林公式：SVVu v dSuv

3、dVu vdV 取 21uuvu222121212()()()()()()uuuuuuuvxyz 第5頁(yè)/共39頁(yè)7由條件：0SSvu v dSudSn 0Svn0)()()(221221221dVzuuyuuxuuV所以：第6頁(yè)/共39頁(yè)8121212()()()0uuuuuuxyz12vuuc于是得到：定理4 拉氏方程的牛曼問(wèn)題的解，對(duì)邊界條件不穩(wěn)定。證明：設(shè)f1與f2是拉氏方程對(duì)應(yīng)的兩個(gè)不同的邊界條件，又設(shè)u1與u2是對(duì)應(yīng)于兩個(gè)邊界條件的解。由定理3，兩個(gè)解相差一個(gè)常數(shù)，因此，無(wú)論邊界條件相差如何小，第7頁(yè)/共39頁(yè)9解的相差可能不會(huì)任意小，即解不穩(wěn)定。 (二)、三維空間中狄氏問(wèn)題格林函

4、數(shù) 1、狄氏問(wèn)題格林函數(shù)的引出泊松方程狄氏問(wèn)題為：( , , ),( , , )( , , ),(xxyyzzSSuuuuf x y zx y zVux y z 連續(xù)）(1)、解的積分表達(dá)式設(shè)u(x,y,z)為定解問(wèn)題的解，令v(x,y,z)為VS上調(diào)和函數(shù)。第8頁(yè)/共39頁(yè)10由第二格林公式：由定解問(wèn)題得：由第三格林公式，如下定解問(wèn)題SVuvvudSv uu v dVnn Vv udV( , , )*SVuvvudSvf x y z dVnn第9頁(yè)/共39頁(yè)11的解為：(),(),()SSSuf MMVuuMv Mn011111()44SVu MvdSfdVrn rr結(jié)合*可得如下等式：01

5、1111()44SVSVu MvdSfdVrn rruvvudSvfdVnn第10頁(yè)/共39頁(yè)121114414SVuvvuvudSrnrnnvfdVr 1114414SVuuvvuudSrnnn rnvfdVr 114414SVuvuvdSrnnrvfdVr第11頁(yè)/共39頁(yè)13000(,)(,)(,)*SVG M MuG M MudSG M MfdVnn其中：001(,)( , , )4MMG M Mv x y zr容易驗(yàn)證：00(,)()G M MM M如果令G(M,M0)滿(mǎn)足： 則可得泊松方程狄氏解定理0(,)0SG M M第12頁(yè)/共39頁(yè)14定理：泊松方程狄氏解為：其中G(M,M0

6、)滿(mǎn)足：0000(,)(),(,)0SSG M MMMM MVG M M 推論：拉氏方程狄氏解為：000(,)()(,)SVG M Mu MdSG M MfdVn00(,)()SG M Mu MdSn定理給出了泊松方程狄氏解的積分表達(dá)式。第13頁(yè)/共39頁(yè)15定義：若G(M,M0)滿(mǎn)足：0000(,)(),(,)0SSG M MMMM MVG M M 則稱(chēng)G(M,M0)為定義在VS上的三維狄氏格林函數(shù)。(1)、方程G(M,M0 )= -(M-M0)的解物理意義是：空間M0點(diǎn)處有一電量為(真空中的介電常數(shù)）的正點(diǎn)電荷，在M處產(chǎn)生的電勢(shì)，其大小為G(M,M0)=1/4r；(2)、狄氏格林函數(shù)的定義

7、與性質(zhì) 狄氏格林函數(shù)的物理意義rMM0第14頁(yè)/共39頁(yè)16(2)、狄氏格林函數(shù)定解問(wèn)題的解的物理意義為：接地導(dǎo)電殼內(nèi)M0處有正點(diǎn)電荷，該電荷與它在邊界面上產(chǎn)生的感應(yīng)電荷在殼內(nèi)M處產(chǎn)生的電勢(shì)疊加為定解問(wèn)題的解，其大小為G(M,M0)= 1/4r +v (x, y, z)。 根據(jù)狄氏格林函數(shù)定解問(wèn)題的解的物理意義，要求出格林函數(shù)，只需要求出感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)v (x ,y , z)即可！rMM0 下次課里我們將根據(jù)其物理意義，采用物理方法-電像法來(lái)求格林函數(shù)。第15頁(yè)/共39頁(yè)17性質(zhì)1：狄氏格林函數(shù)在除去M=M0點(diǎn)外處處滿(mǎn)足拉氏方程。當(dāng)MM0時(shí)，G(M,M0)趨于無(wú)窮大，其階數(shù)和1/rMM0相

8、同。狄氏格林函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2：在邊界上格林函數(shù)恒等于零。性質(zhì)3：在區(qū)域V內(nèi)，有：0010(,)4MMG M Mr第16頁(yè)/共39頁(yè)18證明：由格林函數(shù)定義：其中：001(,)()4MMG M Mv Mr0()0,14SSv MM MVvr 由于在邊界S上有：v0，所以，由極值原理，在整個(gè)VS上v0。所以：00011(,)()44MMMMG M Mv Mrr 下面證明：0(,)0G M M第17頁(yè)/共39頁(yè)19一方面：以M0為心在V中作球V,球面設(shè)為S0(,)0()14SSSSSG M MMVVGGv則：M0MSVxyz00lim(,)SSG M M 第18頁(yè)/共39頁(yè)20由極值原理：0(,)0

9、G M M 另一方面，容易知道：對(duì)任意的0, 在VS-V中的點(diǎn)M，函數(shù)G(M,M0)不能為零。 所以，我們有：0(,)0G M M 至此，證明了：0010(,)4MMG M Mr第19頁(yè)/共39頁(yè)21性質(zhì)4 Green函數(shù)具有對(duì)稱(chēng)性(物理上稱(chēng)為互易性 )，即 );();(1221MMGMMG證明： (課后自學(xué)) 如圖所示，以M1,M2為球心，為半徑作 球K1 與K2，其邊界分別記為S1,S2。S1S2M1M2S令：U=G(M,M1) ,V= G(M,M2) ,在VS-K1-K2上利用格林第二公式得：12SSSVVUUVdSU VV U dVnn第20頁(yè)/共39頁(yè)22注意到，在 VS-K1-K2

10、上,U與V是調(diào)和函數(shù)，且在S上有U|S=V|S=0，于是有：(1) 對(duì)于：120*SSVUUVdSnn1SVUUVdSnn11SSVUUdSVdSnn第21頁(yè)/共39頁(yè)23而：1121(,)(,)SSVG M MUdSG M MdSnn1121(,)()4MMSG M Mv MdSrn111221(,)(,)()4MMSSG M MG M MdSv MdSrnn所以：10lim0SVUdSn第22頁(yè)/共39頁(yè)24而對(duì)于所以：1SUVdSn112(,)(,)SG M MG M MdSn1121(,)()4MMSG M Mv MdSnr111221(,)(,)()4MMSSG M MdSG M M

11、v M dSnrn1120lim(,)SUVdSG M Mn第23頁(yè)/共39頁(yè)25所以： 1120lim(,)SVUUVdSG M Mnn (2) 對(duì)于2SVUUVdSnn22SSVUUdSVdSnn第24頁(yè)/共39頁(yè)26而：所以：20lim0SUVdSn2210lim(,)SVUUVdSG MMnn由*得：1221(,)(,)0G MMG MM即得：);();(1221MMGMMG第25頁(yè)/共39頁(yè)27等式);();(1221MMGMMG的物理意義是：把電量為的點(diǎn)電荷放在M1處在M2處產(chǎn)生的電勢(shì)應(yīng)等于把它放在M2處時(shí)，在M1處產(chǎn)生的電勢(shì)。(三)、平面中的三個(gè)格林公式首先證明一個(gè)定理：設(shè)閉區(qū)域

12、D由分段光滑的曲線(xiàn)L圍成，且f( x, y)在D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，n為曲線(xiàn)的外法線(xiàn)方向，則：2222DLfffdxdydsxyn第26頁(yè)/共39頁(yè)28證明：注意到：sincosdxdsdyds xLnyD所以：LLfffdsdxdynyx第27頁(yè)/共39頁(yè)29由平面曲線(xiàn)格林公式：(1) 第一格林公式設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線(xiàn)L圍成，且u(x,y),v(x,y)在D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，n為曲線(xiàn)的外法線(xiàn)方向，則：DLvuvuv d xd yud sn2222DLfffd x d yd sxynLLvvvudsudxudynyx證明：第28頁(yè)/共39頁(yè)30LLvvvudsudxudynyx所以由平

13、面曲線(xiàn)格林公式：Duvuv dxdy(2) 第二格林公式證明：由第一格林公式：LDvuuvdSu vv u dxdynn 在第一格林公式條件下：第29頁(yè)/共39頁(yè)31證明：由第一格林公式：(1)DLvuvuv d xd yud sn(2 )DLuuvvu d xd yvd sn由(1)-(2)得：(3) 第三格林公式 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線(xiàn)L圍成，且u(x,y)在D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，n為曲線(xiàn)的外法線(xiàn)方向，令：LDvuuvdSu vv u dxdynn 第30頁(yè)/共39頁(yè)32011(,)ln2M Mvxyr0001111()lnln2211ln2M MM MLDuu MudSrnnrudr

14、則：證明：由于v(x,y)在D內(nèi)只有唯一奇點(diǎn)M0,所以，以M0為心，為半徑作圓K,其邊界為L(zhǎng)第31頁(yè)/共39頁(yè)33由第二格林公式：M0LLxyoLLDKvuuvdSu vv u dnn 注意到，在D-K內(nèi)，有v= 0,于是得：第32頁(yè)/共39頁(yè)34而：1ln2LLLvuvuuvdSudSrdSnnnn0000,M MM MLLxxyyvudSuvdSnrr 12LudSLLDKvuuvdSv udnn 第33頁(yè)/共39頁(yè)35而：001lim()2LudSu M01limln02LurdSn所以：0001111()lnln2211ln2M MM MLDuu MudSrnnrudr由第三格林公式可得如下結(jié)論：第34頁(yè)/共39頁(yè)36定理：平面泊松方程洛平問(wèn)題的解為：0001111()lnln2211ln( ,)2M MM MLD