高三一輪復(fù)習(xí)精題組函數(shù)的奇偶性與周期性有詳細(xì)答案

1、高考資源網(wǎng)（ ），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。 高考資源網(wǎng)（ ），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。 2.3函數(shù)的奇偶性與周期性1函數(shù)的奇偶性奇偶性,定義,圖象特點(diǎn)偶函數(shù),如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù),關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù),如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2.周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期(2

2、)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期1判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)函數(shù)f(x)0，x(0，)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)()(2)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對(duì)稱()(3)若函數(shù)yf(xb)是奇函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱()(4)若函數(shù)f(x)eq f(x,x2xa)為奇函數(shù)，則a2.()(5)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x)，則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數(shù)()(6)函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且f(x2)f(x)，則f(2 014)0

3、.()2(2013山東)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2eq f(1,x)，則f(1)等于()A2 B0 C1 D2答案A解析f(1)f(1)(11)2.3已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是()Aeq f(1,3) B.eq f(1,3) C.eq f(1,2) Deq f(1,2)答案B解析依題意b0，且2a(a1)，aeq f(1,3)，則abeq f(1,3).4已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)2x2，則f(2 015)等于()A2 B2 C98 D98答案A解析f(x4)f(x)，f(x)

4、是以4為周期的周期函數(shù)，f(2 015)f(50343)f(3)f(1)又f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)2122，即f(2 015)2.5設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)lg x，則滿足f(x)0的x的取值范圍是_答案(1,0)(1，)解析畫草圖，由f(x)為奇函數(shù)知：f(x)0的x的取值范圍為(1,0)(1，).題型一判斷函數(shù)的奇偶性例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)eq r(9x2)eq r(x29)；(2)f(x)(x1) eq r(f(1x,1x)；(3)f(x)eq f(r(4x2),|x3|3).思維啟迪確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，必須先判定函數(shù)定義

5、域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱若對(duì)稱，再驗(yàn)證f(x)f(x)或其等價(jià)形式f(x)f(x)0是否成立解(1)由eq blcrc (avs4alco1(9x20,x290)，得x3.f(x)的定義域?yàn)?,3，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又f(3)f(3)0，f(3)f(3)0.即f(x)f(x)f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)(2)由eq blcrc (avs4alco1(f(1x,1x)0,1x0)，得10,0 x0,x22x0,|x2|20)，得定義域?yàn)?1,0)(0,1)，f(x)eq f(lg1x2,x22)eq f(lg1x2,x).f(x)eq f(lg1x2,x)eq f(lg1x2,x)f(x)f(x)為奇函數(shù)

6、(2)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x0時(shí)，f(x)(x)22(x22)f(x)；當(dāng)x0時(shí)，f(x)(x)22(x22)f(x)；當(dāng)x0時(shí)，f(0)0，也滿足f(x)f(x)故該函數(shù)為奇函數(shù)題型二函數(shù)周期性的應(yīng)用例2(1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x6)f(x)，當(dāng)3x1時(shí)，f(x)(x2)2；當(dāng)1x3時(shí)，f(x)x.則f(1)f(2)f(3)f(2 015)等于()A335 B336 C1 678 D2 012(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x2)eq f(1,fx)，當(dāng)2x3時(shí)，f(x)x，則f(105.5)_.思維啟迪(1)f(x)的周期性已知，可以通過(guò)一個(gè)

7、周期內(nèi)函數(shù)值的變化情況求和(2)通過(guò)題意先確定函數(shù)的周期性答案(1)B(2)2.5解析(1)利用函數(shù)的周期性和函數(shù)值的求法求解f(x6)f(x)，T6.當(dāng)3x1時(shí)，f(x)(x2)2；當(dāng)1x3時(shí)，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)1，f(1)f(2)f(2 010)1eq f(2 010,6)335.而f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)f(1)

8、f(2)f(3)f(4)f(5)121011.f(1)f(2)f(2 015)3351336.(2)由已知，可得f(x4)f(x2)2eq f(1,fx2)eq f(1,f(1,fx)f(x)故函數(shù)的周期為4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5)22.53，由題意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.思維升華(1)函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)對(duì)函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值(2)求函數(shù)周期的方法(1)若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)1，f(2)2，則f(3)f(4)等于()A1 B1 C2 D2(2)

9、設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)2x(1x)，則feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)等于()Aeq f(1,2) Beq f(1,4) C.eq f(1,4) D.eq f(1,2)答案(1)A(2)A解析(1)由f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)知f(3)f(2)f(2)2，f(4)f(1)f(1)1，f(3)f(4)1，故選A.(2)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)feq blc(rc)(

10、avs4alco1(f(1,2)2eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq f(1,2).題型三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3設(shè)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)x.(1)求f()的值；(2)當(dāng)4x4時(shí)，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積；(3)寫出(，)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間思維啟迪可以先確定函數(shù)的周期性，求f()；然后根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性、周期性畫出函數(shù)圖象，求圖形面積、寫單調(diào)區(qū)間解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，f()f(14)f(4)f(4

11、)(4)4.(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x2)f(x)，得：f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱又當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)x，且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f(x)的圖象如圖所示當(dāng)4x4時(shí)，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S4SOAB4eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)21)4.(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為4k1,4k1 (kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間為4k1,4k3 (kZ)思維升華關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問(wèn)題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化

12、思想(1)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)的x的取值范圍是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3) B.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(2,3) D.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，f(2,3)(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11

13、)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案(1)A(2)D解析(1)偶函數(shù)滿足f(x)f(|x|)，根據(jù)這個(gè)結(jié)論，有f(2x1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(|2x1|)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式|2x1|eq f(1,3)，解這個(gè)不等式即得x的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3).(2)由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且f(x)在0,2上是增函數(shù)可以推知，f(x)在2,2上遞增，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函數(shù)f(x)以8為周期，f(25)f(

14、1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故f(25)f(80)f(11)忽視定義域致誤典例：(10分)(1)若函數(shù)f(x)eq f(k2x,1k2x)在定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)k_.(2)已知函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x21，x0，,1，xf(2x)的x的取值范圍是_易錯(cuò)分析(1)解題中忽視函數(shù)f(x)的定義域，直接通過(guò)計(jì)算f(0)0得k1.(2)本題易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤由f(1x2)f(2x)得1x22x，忽視了1x20導(dǎo)致解答失誤解析(1)f(x)eq f(k2x,1k2x)eq f(k2x1,2xk)，f(x)f(x)eq f(k2x2xkk2

15、x11k2x,1k2x2xk)eq f(k2122x1,1k2x2xk).由f(x)f(x)0可得k21，k1.(2) 畫出f(x)eq blcrc (avs4alco1(x21，x0，,1，xf(2x)，則eq blcrc (avs4alco1(1x20，,1x22x，)即eq blcrc (avs4alco1(1x1，,1r(2)x1r(2)，)得x(1，eq r(2)1)答案(1)1(2)(1，eq r(2)1)溫馨提醒(1)已知函數(shù)的奇偶性，利用特殊值確定參數(shù)，要注意函數(shù)的定義域(2)解決分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，應(yīng)高度關(guān)注：抓住對(duì)變量所在區(qū)間的討論保證各段上同增(減)時(shí)，要注意左、右段

16、端點(diǎn)值間的大小關(guān)系弄清最終結(jié)果取并還是交方法與技巧1正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個(gè)問(wèn)題：(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；(2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定義域上的恒等式2奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，反之也成立利用這一性質(zhì)可簡(jiǎn)化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性3若對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一個(gè)自變量的值x都有f(xa)f(x)或f(xa)eq f(1,fx)或f(xa)eq f(1,fx)(a是常數(shù)且a0)，則f(x)是一個(gè)周期為2a的周期函數(shù)失誤與防范1判斷函數(shù)的奇偶性，首先應(yīng)該

17、判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件2判斷函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，必須對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，均有f(x)f(x)，而不能說(shuō)存在x0使f(x0)f(x0)對(duì)于偶函數(shù)的判斷以此類推3分段函數(shù)奇偶性判定時(shí)，要以整體的觀點(diǎn)進(jìn)行判斷，不可以利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個(gè)定義域上的奇偶性.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1(2013廣東)定義域?yàn)镽的四個(gè)函數(shù)yx3，y2x，yx21，y2sin x中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是()A4 B3 C2 D1答案C解析由奇函數(shù)的定義可知yx3，y2sin x為奇函數(shù)2設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)

18、2x2x，則f(1)等于()A3 B1 C1 D3答案A解析f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x2x，f(1)f(1)2(1)2(1)3.3定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對(duì)任意x1，x20，)(x1x2)，有eq f(fx2fx1,x2x1)0，則()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)21，f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(2)0，且a1)若g(2)a，則f(2)等于()A2 B.eq f(15,4) C.eq f(17,4) Da2答案B解析f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，f(2)f(2)，g(2)g(2)a，f(

19、2)g(2)a2a22，f(2)g(2)g(2)f(2)a2a22，由、聯(lián)立，g(2)a2，f(2)a2a2eq f(15,4).二、填空題6函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且x0時(shí)，f(x)eq r(x)1，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)eq r(x)1，當(dāng)x0，f(x)f(x)(eq r(x)1)，即x0時(shí)，f(x)(eq r(x)1)eq r(x)1.7若函數(shù)f(x)x2|xa|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a_.答案0解析函數(shù)f(x)x2|xa|為偶函數(shù)，f(x)f(x)，即(x)2|xa|x2|xa|，|xa|xa|，a0.8已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)eq f(1,4)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy

20、)(x，yR)，則f(2 015)_.答案eq f(1,4)解析方法一令x1，y0時(shí)，4f(1)f(0)f(1)f(1)，解得f(0)eq f(1,2)，令x1，y1時(shí)，4f(1)f(1)f(2)f(0)，解得f(2)eq f(1,4)，令x2，y1時(shí)，4f(2)f(1)f(3)f(1)，解得f(3)eq f(1,2)，依次求得f(4)eq f(1,4)，f(5)eq f(1,4)，f(6)eq f(1,2)，f(7)eq f(1,4)，f(8)eq f(1,4)，f(9)eq f(1,2)，可知f(x)是以6為周期的函數(shù)，f(2 015)f(33565)f(5)eq f(1,4).方法二f(

21、1)eq f(1,4)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)，構(gòu)造符合題意的函數(shù)f(x)eq f(1,2)cos eq f(,3)x，f(2 015)eq f(1,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)2 015)eq f(1,4).三、解答題9已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)；(2)若f(x)eq r(x) (00，,0，x0，,x2mx，x0)是奇函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)設(shè)x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(

22、x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，于是x1，,a21，)所以1a3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3B組專項(xiàng)能力提升1已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)f(x1)，則f(2 013)f(2 015)的值為()A1 B1 C0 D無(wú)法計(jì)算答案C解析由題意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期為4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 013)

23、f(2 015)0.2設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，最小正周期T3，若f(1)1，f(2)eq f(2a3,a1)，則a的取值范圍是()Aa1或aeq f(2,3) Ba1C1aeq f(2,3) Daeq f(2,3)答案C解析函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(1)f(1)由f(1)f(1)1，得f(1)1；函數(shù)的最小正周期T3，則f(1)f(2)，由eq f(2a3,a1)1，解得1aeq f(2,3).3設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)2x，則有2是函數(shù)f(x)的周期；函數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù)，在(2,3)上是增函數(shù)；函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正確命題的序號(hào)是_答案解析在f(x1)f(x1)中，令x1t，則有f(t2)f(t)，因此2是函數(shù)f(x)的周期，故正確；當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)2x是增函數(shù)，則f(x)在1,0上是減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期性知，函數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù)，在(2,3)上是增函數(shù)，故