高一數(shù)學教案：第20課對數(shù)的概念

1、第20課對數(shù)的概念江蘇省海門中學陳達教學目標理解對數(shù)概念，通過對數(shù)概念的引入培養(yǎng)學生運用數(shù)學的意識；明確指數(shù)式與對數(shù)式的關系，熟練掌握指數(shù)式與對數(shù)式的互化.學習指導理解對數(shù)概念，通過對數(shù)概念的引入培養(yǎng)學生運用數(shù)學的意識；熟練掌握指數(shù)式與對數(shù)式的關系，能夠進行指數(shù)式與對數(shù)式的互化，學會利用轉(zhuǎn)化思想處理問題；掌握對數(shù)的運算性質(zhì)和運算法則，理解推導法則的依據(jù)和過程，并會用語言敘述，培養(yǎng)學生數(shù)學語言的轉(zhuǎn)換能力，能處理數(shù)據(jù)、理解算理及根據(jù)問題的情景，尋求合理、簡潔的運算途徑，提高運算能力.例題精析例1.將下列指數(shù)式改寫成對數(shù)式（1）；（2）；（3）；（4）.分析指數(shù)式與對數(shù)式中的關系：式子名稱abN指數(shù)

2、式底數(shù)指數(shù)冪的值對數(shù)式底數(shù)對數(shù)真數(shù)通過以上的直觀圖示可以看出，對數(shù)式與指數(shù)式雖然反映的是兩種不同的運算，但都表示三個數(shù)之間的同一數(shù)量關系，這兩種運算互為逆運算，在的條件下，它們可以相互轉(zhuǎn)化.解法（1）；（2）；（3）；（4）.例2.把下列對數(shù)式改寫成指數(shù)式（1）；（2）；（3）.分析同例1.解法（1）；（2）；（3）.評注對對數(shù)中的作一些歸納說明：“N”：指數(shù)式中的冪，對數(shù)式中的真數(shù)，在的前提下，它的值恒為正數(shù)；“b”：指數(shù)式中的指數(shù)，對數(shù)式中的對數(shù)，在的前提下，b可正、可負、可為零，即為一切實數(shù).例3.求下列各式的值（1）；（2）.分析利用對數(shù)式與指數(shù)式的互化來解決.解法設，則.設，則.評注

3、通過例3可歸納出兩個一般性的結論：（1）；（2）.例4.求下列各式的值（1）；（2）.分析直接由指數(shù)等式得到對數(shù)值，或通過互化來解決；將對數(shù)式化成指數(shù)式再來求出對數(shù)值.解法（1）法一：由.法二：設，則.（2）設，則.評注解法一當真數(shù)可用底數(shù)直接寫成指數(shù)式時較方便；解法二當真數(shù)不可用已知底數(shù)直接寫成指數(shù)式，利用對數(shù)式先化成指數(shù)式，再利用方程解出，更具有一般性.本課練習1.將下列指數(shù)式改寫成對數(shù)式（1）；（2）.2.把下列對數(shù)式改寫成指數(shù)式（1）；（2）.3.求下列各式中的x并指出計算x時是求冪、求對數(shù)、或是求方根（1）；（2）；（3）；（4）.4.利用計算器計算下列對數(shù)的值（結果保留4為小數(shù)）（

4、1）；（2）；（3）；（4）.5.已知（1）計算歸納出，請加以證明.（2）證明.背景材料可參考人民教育出版社、湖南教育出版社的數(shù)學教材中的相關內(nèi)容.教學建議通過實例分析，使學生感受到引入“對數(shù)”概念的必要性；對數(shù)概念中，字母a的條件“”可視學生實際情況作介紹；對數(shù)的性質(zhì)通過例題教學讓學生加以概括和總結，并引起重視；對數(shù)的兩個恒等式在習題中讓學生分析證明，如何掌握對解決其它問題帶來更多的方便；常用對數(shù)和自然對數(shù)的概念也應想學生作適當?shù)慕榻B；讓學生利用計算器求出對數(shù)值的近似值.第21課對數(shù)的運算性質(zhì)（1）教學目標正確理解和掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，理解推導運算性質(zhì)的依據(jù)和過程，并會用語言敘述，培養(yǎng)學生數(shù)

5、學語言轉(zhuǎn)換能力，能處理數(shù)據(jù)，理解算理及根據(jù)問題的情景，尋求合理、簡潔的運算途徑，提高運算能力.學習指導教學重點是對數(shù)運算性質(zhì)的證明及其應用；教學難點是對數(shù)運算性質(zhì)的證明方法；既然指數(shù)式可以改寫成對數(shù)式，那么指數(shù)的運算性質(zhì)也就可以改寫成對數(shù)的運算性質(zhì)，由對數(shù)的定義可以推導出三個運算性質(zhì)；理解三個運算性質(zhì)的推導過程，實際上是從對數(shù)式到指數(shù)式，再從指數(shù)式到對數(shù)式的多個互化過程，教師通過其中一個性質(zhì)的推導示范，就可以讓學生嘗試模仿其余兩個性質(zhì)的推導；如何用數(shù)學語言敘述積、商、冪的對數(shù)運算性質(zhì).例題精析例1.已知表示下列各式（1）；（2）；（3）.分析直接利用對數(shù)運算性質(zhì)，注意4設條件中字母的要求.解法

6、；.評注由于補充介紹了對數(shù)的運算性質(zhì)，所以直接使用它們會使得運算較為方便；避免常見錯誤：；.例2.計算下列各式的值（1）；（2）；（3）；（4）.分析在求冪的對數(shù)或正數(shù)的算術根的對數(shù)時，可先將真數(shù)化成與對數(shù)同底的冪的形式，然后再求；對于常用的對數(shù)等式，如及其變式等應熟練掌握.解法；.評注熟練掌握運算性質(zhì)和常用的對數(shù)等式是解決問題的關鍵.例3.已知，求的值.分析從已知條件中尋求之間的關系，以確定的值；在去掉對數(shù)符號時，特別要注意“真數(shù)必須大于零”這個條件；利用對數(shù)的運算法則進行計算.解法由已知得，從而有，所以或，由可得，所以應舍去，故，即，所以.評注由對數(shù)式中的的關系化為代數(shù)式時，要注意的取值條

7、件.本課練習一、選擇題1.若，下列等式中：；.不正確的是（B）（A）（B）（C）（D）2.計算（A）（A）1（B）3（C）2（D）03.若，則的值為（B）（A）（B）（C）（D）4.已知，那么的大小順序為（A）（A）（B）（C）（D）二、填空題5.若，則，若，則.6.三、解答題7.設，是否存在實數(shù)，使得？解答：要使集合N中有元素1，若，這與集合中元素互異性矛盾，所以；若，與上相同；若，無意義，所以；若此時，這與條件矛盾.因此不存在的值，使得.8.某農(nóng)藥廠生產(chǎn)農(nóng)藥8000噸，計劃5年后把產(chǎn)量提高到14000噸.問平均每年需增長百分之幾？（）解答：設平均每年增長的百分率為，則.所以，所以，所以，所

8、以，所以.背景材料可參見人民教育出版社、湖南教育出版社相應內(nèi)容.教學建議類比指數(shù)的運算性質(zhì)學習對數(shù)的運算性質(zhì)；通過推導對數(shù)的運算性質(zhì)，讓學生感受到對數(shù)等式的證明方法；通過實際應用題的教學，增強學生數(shù)學的應用意識；在推導出三個對數(shù)運算性質(zhì)后，可介紹一些推論，便于對數(shù)式的計算、化簡或證明：（1）；（2）.第22課對數(shù)的運算性質(zhì)（2）教學目標熟練掌握對數(shù)的運算性質(zhì)及其應用，理解并運用對數(shù)的換底公式來解決有關問題.學習指導理解并掌握對數(shù)的換底公式的證明及其應用；了解常用對數(shù)、自然對數(shù)的概念及其相互關系；理解并掌握由對數(shù)運算性質(zhì)和換底公式可推導出的幾個常用的對數(shù)恒等式：（1）；（2）；（3）.例題精析

9、例1.計算分析由于底數(shù)不同，可使用換底公式化為同底后再運算. 解法一原式 解法二原式 評注不同底數(shù)的對數(shù)計算、化簡或恒等式證明的常用方法是利用換底公式.上述解法一是先分括號換底，化簡后再將底數(shù)統(tǒng)一進行計算；解法二是在方向還不清楚的情況下，統(tǒng)一將不同的底換為常用對數(shù)，再進行化簡的.例2.已知.求.分析一先將指數(shù)式化成對數(shù)式，然后將所求式化為以18為底的對數(shù)式，利用已知代入即可.分析二將所有已知、未知的式子都化為常用對數(shù)來計算.分析三將已知的對數(shù)式化成指數(shù)式，然后將所求式也化成指數(shù)式，逐步尋求轉(zhuǎn)化關系.解法一解法二 解法三令，即，. 評注本題的解題方法是將指數(shù)式化成對數(shù)式，再把所求對數(shù)的底通過換底

10、公式換成和它們相同的底的對數(shù)，以便利用已知條件及對數(shù)的性質(zhì)來求值，也可將對數(shù)式改寫成指數(shù)式，以便利用已知條件及指數(shù)運算法則來求解.例3.設是直角三角形的三邊，其中為斜邊，且.求證：.分析一用分析法證明證法一欲證結論成立，只需證，即證，即證.這正是已知條件，且以上各步可逆，故結論正確.分析二用綜合法證明.證法二由題設得 評注兩種證法都需要用換底公式來完成證明.法一選用的是以10為底的常用對數(shù)，法二選用的底數(shù)與真數(shù)互換，也是常用方法.本課練習一、選擇題1.的值屬于區(qū)間（）（A）（-3，-2）（B）（-2，-1）（C）（1，2）（D）（2，3）2.（）（A）1（B）-1（C）2（D）-23.如果的兩

11、根為，則（D）（A）（B）（C）15（D）二、填空題4.已知.5.設.三、解答題6.已知，求之間的關系.7.設，若有最大值，求.8.背景材料參見湖南教育出版社P96相應內(nèi)容.教學建議對數(shù)的換底公式是對數(shù)計算中一個重要公式必須牢固掌握；通過對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式的學習，培養(yǎng)學生論證能力、計算能力和綜合運用知識的能力.第23課對數(shù)函數(shù)（1）教學目標理解并掌握對數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì).學習指導掌握對數(shù)函數(shù)的概念，通過對數(shù)函數(shù)定義的引入，培養(yǎng)學生運用數(shù)學的意識及數(shù)學源于實踐又反作用于實踐的觀點；抓住對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)這一要須研究對數(shù)函數(shù)，滲透數(shù)學中相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點；利用對數(shù)函數(shù)的圖

12、象研究其性質(zhì)，滲透數(shù)形結合思想；學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，并進行探索和研究，培養(yǎng)創(chuàng)新意識.例題精析 例1.已知.求函數(shù)的最大值和最小值.分析先利用函數(shù)的單調(diào)性及定義域求的范圍，然后將表示成二次函數(shù)的形式求最值.解法依題設有，所以，又，而.評注本題的常見錯誤上忽視定義域.例2.已知函數(shù).求:求的定義域；判斷的奇偶性并予以證明；求使的的取值范圍.分析根據(jù)對數(shù)的定義求定義域，利用奇偶性的定義判斷的奇偶性，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求的的取值范圍.解法由.為奇函數(shù).當；當.評注判斷奇偶性時，首先要注意函數(shù)的定義域；解形如的不等式時，忽視；含字母的問題應注意分類討論.例3.已知均為正數(shù)，且.求的取值范圍

13、.分析解答本題的思維步驟是：若要求的范圍，聯(lián)想到把已知方程變形為關于的二次方程；利用方程有實根得判別式大于或等于零構造不等關系；利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍.解法由變形得，整理得.由于，解之得.評注本題綜合了函數(shù)、方程、不等式的內(nèi)容，要善于聯(lián)想遷移，尋求知識間的相互聯(lián)系.本課練習一、選擇題1.，則滿足這一條件的的大小關系是（C）（A）（B）（C）（D）2.已知（B）（A）（0，1）（B）（1，2）（C）（0，2）（D）3.若方程（C）（A）（B）（C）（D）以上都不對二、填空題4.已知.5.方程.三、解答題6.已知.若的定義域是R，求實數(shù)的取值范圍；若的值域是R，求實數(shù)的取值范圍.解：設若的

14、定義域是R，即對任意，則.若的值域是R，則.7.設.證明：由已知得.因為.若，故.教學建議由于是互為反函數(shù)，雖然教材并非從這個角度編寫，但是除了對數(shù)函數(shù)的概念引入之外，它的圖象和性質(zhì)的研究可類比指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)來進行；對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是它的一個重要性質(zhì)，教學時應牢牢把握好.另外對數(shù)函數(shù)中底數(shù)與真數(shù)的不同范圍影響著函數(shù)值的取值，應滲透數(shù)形結合和分類討論的思想.第24課對數(shù)函數(shù)（2）教學目標進一步復習鞏固對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，增強分析問題和解決問題的能力.學習指導善于利用對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎知識靈活處理函數(shù)、方程、不等式等有關的綜合問題.例題精析 例1.設.分析一作差比較，分類討論.解法

15、一當.當.綜上.分析二把問題轉(zhuǎn)化為比較的大小.解法二 對于任意，所以分析三作商比較.解法三則,.評注比較兩個值的大小，通常的方法是作差法或作商法.而比較的途徑可以千變?nèi)f化、各具特色，巧妙之處常在某些“靈活”的處理上.例2.已知.試求使方程有實數(shù)解的實數(shù)的取值范圍.分析本題的思維步驟如下：列出滿足題設條件的混合組，并化簡約束條件；對于的不同取值作分類討論，然后回代到混合組加以檢驗.解法原方程組等價于由（4）得.評注解含參數(shù)的對數(shù)方程時，首先要作等價變換，化成代數(shù)方程，然后進行分類討論.例3.在有害射線的防護工作中，常常將射線通過屏蔽物的傳輸系數(shù)換算為屏蔽效能分貝數(shù)S，其計算公式定義為（單位叫作“

16、分貝”，記作db）.推出根據(jù)a和h計算屏蔽效能分貝數(shù)S的公式；已知銥射線對于1cm厚的一般混泥土板的傳輸系數(shù)k(1)=a=0.872.要把這種射線的強度屏蔽掉一半，混泥土板的厚度應為多少厘米？對應的屏蔽效能是多少分貝？分析解決應用問題的一般步驟是：審題弄清題意，分析條件和結論，理順數(shù)量關系；建模將文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言，利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型；求模求解數(shù)學模型，得到數(shù)學結論；還原將用數(shù)學方法得到的結論還原為實際問題的意義.本題的數(shù)學模型已經(jīng)建立，只要解出結論即可.解法將代入S的計算公式得到.設所求厚度為h，對公式兩端取對數(shù)得，解出代入求得混泥土板的厚度為：.對應的屏蔽效能為：.評注對于

17、射線衰減問題，在實際工作中，人們引進了一些標準度量方法，化成常用對數(shù)或自然對數(shù)來描述射線衰減問題中的數(shù)量關系，增強學生應用數(shù)學的意識.本課練習一、選擇題1.若的大小關系是（C）（A）（B）（C）（D）2.函數(shù)在同一坐標系中的圖象可能是（A）（A） （B）（C）（D）二、填空題3.已知.4.方程.三、解答題5.已知.證明在R上是奇函數(shù)；判斷的單調(diào)性.解：證明：故在R上是奇函數(shù).6.已知常數(shù).若；若當.解：（1）原方程可化為即；（2）令.教學建議對數(shù)函數(shù)的底數(shù)和真數(shù)應滿足的條件是求解有關問題時必須予以特別重視的；幾個數(shù)值大小比較是常見題型，應根據(jù)函數(shù)性質(zhì)和字母的范圍進行分類討論；解含有字母參數(shù)的對

18、數(shù)方程時，必須等價變形，并注意對字母討論.第25課指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（第二、三節(jié)）小結與復習教學目標復習鞏固指數(shù)、對數(shù)的定義、運算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)；分析指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維品質(zhì).學習指導指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是互為反函數(shù)的兩個重要函數(shù)，其函數(shù)性質(zhì)直接受底數(shù)的影響，所以分類討論思想顯得尤為突出，同時兩類函數(shù)的函數(shù)值變化情況充分反映了函數(shù)的代數(shù)特征與幾何特征；兩類函數(shù)的最值是函數(shù)在整個定義域上所取得的最大值或最小值，初等函數(shù)在閉區(qū)間上必定存在最大值與最小值，求含有這兩類函數(shù)的復合函數(shù)的最值時，一般要注意有意義的條件來決定中間量的取值范圍，并綜合運用求最值的各類方法求解；對于含參數(shù)的指、對數(shù)函數(shù)問題，如方程、不等式、圖象等問題，要重視函數(shù)性質(zhì)的綜合運用.例題精析 例1