2021-2022學(xué)年河南名校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題解析

1、高考資源網(wǎng)（ ），您身邊的高考專家 PAGE 歡迎廣大教師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。 PAGE 19高考資源網(wǎng)（ ），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。 河南名校聯(lián)盟20212022學(xué)年高二（下）期中考試數(shù)學(xué)（理科）第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先由方程表示雙曲線解出的范圍，再由充分性、必要性的定義判斷即可.【詳解】由方程表示雙曲線可得，解得

2、，顯然能推出，反之不能推出，故“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A.2. 已知復(fù)數(shù)滿足（i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】先求出，再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的乘法即可求解.【詳解】，故，則，.故選：B.3. 已知a，則下列不等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用作差法逐一判斷符號(hào)即可求解.【詳解】對(duì)于A：，因?yàn)?，所以，但的正?fù)不確定，所以不一定成立，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，因?yàn)?，所以，但的正?fù)不確定，所以不一定成立，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，因?yàn)?，所以，所以一定成?/p>

3、，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：，因?yàn)?，所以，但的正?fù)不確定，所以不一定成立，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.4. 已知，且，則三個(gè)數(shù)（ ）A. 都小于B. 至少有一個(gè)不小于C. 都大于D. 至少有一個(gè)不大于【答案】B【解析】【分析】先求出，通過(guò)反證法證得都小于不成立，即可得出結(jié)果.【詳解】，假設(shè)都小于，則，與題設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，即至少有一個(gè)不小于.故選：B.5. 已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.若曲線在處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】先求導(dǎo)得到，再利用斜率相等解方程即可求解.【詳解】，則，又直線的斜率為，故，解得.故選：A.6. 用數(shù)學(xué)歸

4、納法證明“”過(guò)程中，從到時(shí)，不等式的左邊增加了的項(xiàng)數(shù)為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分別列出、時(shí)不等式左邊，對(duì)比判斷【詳解】由題意知，假設(shè)時(shí)，不等式左邊為當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，相比時(shí)增加了，共項(xiàng)故選：C7. 在2022年2月北京冬奧會(huì)短道速滑男子500米項(xiàng)目決賽前，某家庭中的爸爸、媽媽和孩子對(duì)進(jìn)入決賽的甲、乙、丙、丁、戊五位選手誰(shuí)能奪冠進(jìn)行猜測(cè)，依據(jù)運(yùn)動(dòng)員的實(shí)力和比賽規(guī)則，這五位選手都有機(jī)會(huì)獲得冠軍.爸爸：冠軍是甲或丙；媽媽：冠軍一定不是乙和丙；孩子：冠軍是丁或戊.比賽結(jié)束，冠軍在這五人中產(chǎn)生，且爸爸、媽媽、和孩子三人之中只有一人的猜測(cè)是正確的，則冠軍是（ ）A

5、. 甲B. 丙C. 丁D. 戊【答案】B【解析】【分析】假設(shè)孩子的猜測(cè)正確，推出不成立，再假設(shè)媽媽的猜測(cè)正確，推出不成立，進(jìn)而得到爸爸的猜測(cè)正確，即可求解.【詳解】若孩子的猜測(cè)是正確的，則媽媽的猜測(cè)也正確，不合題意，故孩子的猜測(cè)是錯(cuò)誤的，即冠軍不是丁也不是戊；若媽媽的猜測(cè)是正確的，則冠軍是甲，爸爸的猜測(cè)也正確，不合題意，故媽媽的猜測(cè)是錯(cuò)誤的，即冠軍是乙或丙；爸爸的猜測(cè)是正確的，故冠軍是丙.故選：B.8. 觀察等式：，.若第n個(gè)等式為，則滿足不等式恒成立的最大正整數(shù)的值為（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】依題意可得，再參變分離得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及的取值范圍，求

6、出的取值范圍，即可得解；【詳解】解：由題意得，恒成立，在上單調(diào)遞增，又，時(shí)取最小值為7，即的取值范圍為，故最大正整數(shù)的值為故選：B9. 若是函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的一個(gè)極值點(diǎn)，則在區(qū)間上的最大值為（ ）A. B. C. eD. 【答案】D【解析】【分析】先求導(dǎo)由解出，再檢驗(yàn)滿足是一個(gè)極值點(diǎn)，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，比較極大值及端點(diǎn)值即可求出最大值.【詳解】，由是一個(gè)極值點(diǎn)可得，解得，此時(shí)，故函數(shù)在單減，在單增，滿足是一個(gè)極值點(diǎn). 在單減，在單增，又，故最大值為.故選：D.10. 在數(shù)列中，且.表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）A. 2B. 3C. 2022D. 2

7、023【答案】B【解析】【分析】先由得到為等差數(shù)列，求出的通項(xiàng)，再由累加法求出，直接計(jì)算，再求得當(dāng)時(shí)，即可求解.【詳解】由可得，故為公差為2的等差數(shù)列，首項(xiàng)為，則，將以上各式相加得，故，也符合，故，易得，當(dāng)時(shí)，故，故，故.故選：B11. “楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的詳解九章算法一書中，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律.“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（ ）A. B. 在第2022行中第1011個(gè)數(shù)最大C. 第6行的第7個(gè)數(shù)、第7行的第7個(gè)數(shù)及第8行的

8、第7個(gè)數(shù)之和等于9行的第8個(gè)數(shù)D. 第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為2：3【答案】C【解析】【分析】A選項(xiàng)由及即可判斷；B選項(xiàng)由二項(xiàng)式系數(shù)的增減性即可判斷；C選項(xiàng)由及即可判斷；D選項(xiàng)直接計(jì)算比值即可判斷.【詳解】由可得，故A錯(cuò)誤；第2022行中第1011個(gè)數(shù)為，故B錯(cuò)誤；，故C正確；第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為，故D錯(cuò)誤.故選：C.12. 已知實(shí)數(shù)a，b滿足，且，e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由得到，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，得到，即可判斷A選項(xiàng)；由化簡(jiǎn)即可判斷D選項(xiàng)；令即可判斷C選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)由極值點(diǎn)偏移即可判斷B選項(xiàng).

9、【詳解】由，對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，又時(shí)，時(shí)， ，即，結(jié)合圖像可知，故A錯(cuò)誤；易得，即，即，故，D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，故，C錯(cuò)誤；令，則，又，由可得，故，故在上單調(diào)遞減，故，即，即，又，故，又，由上知時(shí)， 單調(diào)遞增，故，即，B正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)一在于由得到，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，進(jìn)而判斷A、C、D選項(xiàng)；關(guān)鍵點(diǎn)二在于構(gòu)造函數(shù)由極值點(diǎn)偏移判斷B選項(xiàng).第卷（非選擇題 共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 全國(guó)新高考方案為“”模式，其中“3”為語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門必考科目，“1”為首選科目，學(xué)生須在物理、歷史中選擇

10、一科，“2”為再選科目，學(xué)生可在化學(xué)、生物、政治、地理中選擇兩科.現(xiàn)甲、乙兩名同學(xué)要從四門再選科目中各選兩門進(jìn)行學(xué)習(xí)，若甲、乙不能同時(shí)選地理學(xué)科，則甲、乙總的不同的選法有_種.（用數(shù)字作答）【答案】27【解析】【分析】分甲乙都不選地理學(xué)科，甲選地理學(xué)科，乙選地理學(xué)科分別計(jì)算，最后相加即可.【詳解】若甲乙都不選地理學(xué)科，則有種；若甲選地理學(xué)科，則有；若乙選地理學(xué)科，則有；故總共有種.故答案為：27.14. 若的展開式中的系數(shù)為21，則a_【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】解：由二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式得：，令，解得r2，所以展開式中含的項(xiàng)為：，由的系數(shù)，解得，

11、所以，故答案為：15. 已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為漸近線上一點(diǎn)，若，且，則該雙曲線的離心率為_.【答案】【解析】【分析】先在中利用余弦定理求出，再利用勾股定理判斷為直角三角形，再利用直角三角形求出的值，再利用進(jìn)行求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，設(shè)，在中，因?yàn)?，所以，即，且為直角三角形；所以在中，所以，則雙曲線的離心率為.故答案為：.16. 若函數(shù)不存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程無(wú)實(shí)數(shù)根，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值即可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)不存在零點(diǎn)，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故令，令，故恒成立

12、，所以，在上單調(diào)遞減，由于，所以，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，當(dāng)方程無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)，即可.所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為：三、解答題：第17題10分，其余每題12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17. 在中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，且.（1）求角A的大小；（2）若，求ABC的面積.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得，化簡(jiǎn)求得，進(jìn)而求出，即可求解；（2）先由余弦定理求出，再由面積公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理得，即，化簡(jiǎn)得，又，故，即，又，故；【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得，即，解得，故ABC的

13、面積為.18. 已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，.設(shè)p：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限；.（1）當(dāng)p為真命題時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若命題“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）； （2）或【解析】【分析】（1）直接由點(diǎn)位于第四象限得到不等式求解即可；（2）先求出為真為真時(shí)對(duì)應(yīng)的m的取值范圍，再分真假和真假討論求解即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)p真命題時(shí)，可得，解得；所以m的范圍為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)為真命題時(shí)，解得，若命題“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，可得命題一真一假，當(dāng)真假時(shí)，可得，故或；當(dāng)真假時(shí)，可得，無(wú)解.綜上可得實(shí)數(shù)m取值范圍為或.19. 有7

14、本相同的筆記本作為獎(jiǎng)品頒發(fā)給甲、乙、丙三名同學(xué).（1）若先將這7本筆記本分成3份，每份至少1本，有多少種不同的分法？（2）若甲、乙、丙三名同學(xué)每人至少獲得1本，并且丙同學(xué)最多獲得3本，有多少種不同的分法？（3）若這7本筆記本分別被老師寫上了不同的頒獎(jiǎng)詞，并且要求甲同學(xué)恰好得到2本，乙同學(xué)至少得到1本，丙同學(xué)至少得到1本且不超過(guò)3本，有多少種不同的分法？【答案】（1）4； （2）12； （3）525【解析】【分析】（1）直接列舉出有4種分法即可；（2）先討論丙，再列舉出甲乙的分法，由分類加法求解即可；（3）先從7本中選2本給甲，再分乙2本丙3本，乙3本丙2本，乙4本丙1本，分類討論，最后由分類加

15、法原理和分步乘法原理求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?本筆記本相同，故有4種分法；【小問(wèn)2詳解】若丙分得3本，則甲乙分剩下的4本，有3種分法；若丙分得2本，則甲乙分剩下的5本，有4種分法；若丙分得1本，則甲乙分剩下的6本，有5種分法；故共有種分法；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?本筆記本不相同，先從7本中選2本給甲有種；剩下的5本中，若乙2本丙3本，有種，若乙3本丙2本，有種，若乙4本丙1本，有種，共有種，總共有種.20. 如圖，已知四棱錐的底面ABCD是矩形，底面ABCD，M為BC的中點(diǎn)，且.（1）求四棱錐的體積；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用三角形相似列方程即可求

16、得長(zhǎng)，然后利用棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求面的法向量與面的法向量的夾角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】連接BD，交AM于E，面，面，則又，則面，又面，則，則有，則，又，即，解之得，即，所以，四棱錐的體積為.【小問(wèn)2詳解】以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則，設(shè)平面的法向量為則，即，令，則即，設(shè)平面的法向量為則，即，則，令，則即，則又，則21. 已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，且點(diǎn)，到直線l的距離分別為，.（1）若橢圓C的方程為，直線l的方程為，求的值，并判斷直線l與橢圓C的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若直線l與

17、橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，試求所需要滿足的條件；（3）結(jié)合（1）和（2），試寫出一個(gè)能判斷直線l與橢圓C有公共點(diǎn)的充要條件（不需要證明）.【答案】（1）；1個(gè)公共點(diǎn)； （2）； （3），證明見解析.【解析】【分析】（1）直接由點(diǎn)到直線的距離公式求出，聯(lián)立直線與橢圓方程，由判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；（2）先由點(diǎn)到直線的距離公式表示出，聯(lián)立直線與橢圓方程，由解得，進(jìn)而求出的范圍即可；（3）直線l與橢圓C有公共點(diǎn)的充要條件是，先由點(diǎn)到直線的距離公式表示出，聯(lián)立直線與橢圓方程，有公共點(diǎn)等價(jià)于，解得，進(jìn)而求出的范圍即可；即可證明.【小問(wèn)1詳解】由題意知：，直線l的方程為，則，；聯(lián)立直線與橢圓方程得，故直線l與橢圓C有1個(gè)公共點(diǎn)；【小問(wèn)2詳解】由題意知：，直線l的方程為，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，則，；聯(lián)立直線與橢圓方程得，由直線l與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得，即，即，故，故；【小問(wèn)3詳解】直線l與橢圓C有公共點(diǎn)的充要條件是，證明如下：由（2）知；聯(lián)立直線與橢圓方程得，直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，等價(jià)于，即，即，故，故.22. 已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的