2021-2022學(xué)年福建省福州市高二下學(xué)期期中質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試題解析

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 17 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 17 頁2021-2022學(xué)年福建省福州市高二下學(xué)期期中質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試題一、單選題1直線的傾斜角是（）A30B45C60D75【答案】B【分析】由直線方程得斜率，由斜率得傾斜角【詳解】直線的斜率為1，傾斜角為45，故選：B2展開式中，含的項的系數(shù)為（）A15B20C60D360【答案】A【分析】結(jié)合二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】展開式中，含的項的系數(shù)為.故選：A3設(shè)是等比數(shù)列，若，則（）A8B12C16D32【

2、答案】C【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)計算【詳解】是等比數(shù)列，所以，故選：C44位同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每位同學(xué)只能去一個小區(qū)，則不同的安排方法共有（）A種B種C種D種【答案】A【分析】由分步計數(shù)原理可得答案.【詳解】4位同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每位同學(xué)只能去一個小區(qū)，則每位同學(xué)都有3種選擇，所以共有種不同的安排方法，故選：A5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點到直線的距離比它到定點的距離小1，則P的軌跡方程為（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義判斷軌跡，再由拋物線焦點、準(zhǔn)線得到方程即可.【詳解】由題意知動點到直線的距離與定點的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以

3、為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，所以，軌跡方程為，故選：D6在直三棱柱中，D為線段的中點，則點D到平面的距離為（）ABC1D【答案】B【分析】由題意到平面的距離等于到平面的距離的一半，而可證到平面的距離為上底面直角三角形斜邊上高（本題也是中線），由此易得【詳解】取中點，連接，由于平面平面，平面，所以平面，由已知得，又中中點，所以到平面的距離等于到平面的距離的一半，即故選：B7游泳是提高心肺功能最好的運動之一，某校大約有30%的學(xué)生肺活量達到良好等級，該校大約有20%的學(xué)生每周游泳時間超過3小時，這些人中大約有50%的人肺活量達到良好等級現(xiàn)從每周游泳時間不超過3小時的學(xué)生中隨機抽查一名學(xué)生，則他的肺活量

4、達到良好等級的概率為（）A0.1B0.2C0.24D0.25【答案】D【分析】根據(jù)已知條件,求出每周游泳時間不超過3小時的學(xué)生人數(shù)及其中肺活量達到良好等級的人數(shù)，由古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】設(shè)該校有x個同學(xué)，則約有0.3x的學(xué)生肺活量達到良好等級,0.2x的學(xué)生每周游泳時間超過3小時且游泳時間超過3小時的學(xué)生中有0.1x的學(xué)生肺活量達到良好等級，有0.8x的學(xué)生每周游泳時間不超過3小時且其中有0.2x的學(xué)生肺活量達到良好等級,從每周游泳時間不超過3小時的學(xué)生中隨機抽查一名學(xué)生，則他的肺活量達到良好等級的概率，故選：D8已知實數(shù)a，b滿足，則下列關(guān)系一定不成立的是（）ABCD【答案

5、】B【分析】取特殊值判斷A，在已知條件下，得出，然后分類討論說明能否等于，判斷B，已知等式變形得，引入函數(shù)，則與可以是方程的兩個根利用導(dǎo)數(shù)討論的性質(zhì)，得出根的性質(zhì)判斷CD【詳解】選項A：令，得成立，故A正確；選項B：由得，得，若且，得，則；若且，得，則，從而不可能成立B錯誤；由得，令，則與可以是方程的兩個根，由，得，在內(nèi)單調(diào)遞增，由，得，在內(nèi)單調(diào)遞減，得注意到，故可繪制出的大致圖象根據(jù)圖象，存在且的情形，此時，得，成立，故C，D選項正確綜上所述，選擇B故選：B二、多選題9如圖，在平行六面體中，若，則（）ABCA，P，三點共線DA，P，M，D四點共面【答案】BD【分析】根據(jù)空間向量運算判斷AB選

6、項的正確性，根據(jù)三點共線、四點共面的知識判斷CD選項的正確性.【詳解】，A選項錯誤.，B選項正確.則是的中點，則不存在實數(shù)使，所以C選項錯誤.，由于直線，所以四點共面，所以D選項正確.故選：BD10在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)初始感染者傳染個人為第一輪傳染，第一輪被傳染的個人每人再傳染個人為第二輪傳染，假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天，初始感染者為1人，則（）A第三輪被傳染人數(shù)為16人B前三輪被傳染人數(shù)累計為80人C每一輪被傳染的人數(shù)組成一個等比數(shù)列D被傳染人數(shù)累計達到1000人大約需要35天【答案】CD【分

7、析】根據(jù)已知條件，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題，結(jié)合等比數(shù)列前項和公式，即可求解【詳解】由題意，設(shè)第輪感染的人數(shù)為，則數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，故C正確；所以，當(dāng)時，故A錯誤；前三輪被傳染人數(shù)累計為，故B錯誤；當(dāng)時，當(dāng)時，由，故D正確.故選：CD11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P滿足，設(shè)點P的軌跡為C，則（）AC的周長為BOP平分APBC面積的最大值為6D當(dāng)時，直線BP與圓C相切【答案】ABD【分析】先求出曲線C的方程為：.對于A：直接求出周長，即可判斷；對于B：延長BP到Q，使，連結(jié)AQ.證明出,. .記為，即可判斷；對于C：直接求出面積的最大值，即可判斷；對于D：求出圓心到直線BP的距離，即可判

8、斷.【詳解】設(shè).因為，點P滿足，所以，整理化簡得：.即曲線C的方程為：.對于A：曲線C為半徑為2 的圓，故周長為.故選：A；對于B：因為，所以，所以.延長BP到Q，使，連結(jié)AQ.因為，所以，所以，所以,.因為，所以.所以，即OP平分APB.對于C：的面積.要使的面積最大，只需最大.由點P的軌跡為C：可得：，所以面積的最大值為3.故C錯誤；對于D：當(dāng)時，或.不妨取，則直線BP：，即.因為圓心到直線BP的距離為：,所以，即直線BP與圓C相切.故D正確.故選：ABD.【點睛】（1）坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法.（2）解析幾何問題解題的關(guān)鍵：解析幾何歸根結(jié)底還是幾何，根據(jù)題意畫出圖形，借助于圖形尋找?guī)缀?/p>

9、關(guān)系可以簡化運算12如圖數(shù)表的構(gòu)造思路源于楊輝三角，該表由若干行數(shù)字組成，每一行最左與最右的數(shù)字均為2，其余的數(shù)字都等于其“肩上”的數(shù)字之積記第i行從左往右第j個數(shù)字為a，則（）ABC該數(shù)表中第9行的奇數(shù)項之積等于偶數(shù)項之積D存在j，使得【答案】ACD【分析】由所給數(shù)據(jù)改寫成冪的形式，可知冪指數(shù)構(gòu)成楊輝三角，利用其性質(zhì)，結(jié)合組合數(shù)的運算逐項分析求解即可.【詳解】將表中的數(shù)字寫成冪的形式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角”選項A：該數(shù)表中第8行第2個數(shù)的指數(shù)為，故第8行第2個數(shù)為，A正確；選項B：根據(jù)數(shù)表，B錯誤；選項C：該數(shù)表中第9行的奇數(shù)項的指數(shù)之和為；偶數(shù)項的指數(shù)之和為，故第9行的奇數(shù)項之積

10、等于偶數(shù)項之積，C正確；選項D：假設(shè)存在，由得，即且，化簡得且，得，故D正確故選：ACD三、填空題13已知，且，則_【答案】1【分析】直接對函數(shù)進行求導(dǎo)即可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，由，得，故答案為：1.14已知向量，若，則_【答案】【分析】通過向量坐標(biāo)的線性運算求出，再結(jié)合垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示即可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，又因為，所以，解得，故答案為：.15已知某批零件的長度誤差X（單位：毫米）近似服從正態(tài)分布，從這批零件中隨機抽取一件，則事件的概率為_附：若隨機變量，則，【答案】【分析】結(jié)合正態(tài)分布的對稱性求得正確答案.【詳解】，所以.故答案為：16已知雙曲線，以原點O為圓心，C的焦距為

11、半徑的圓交x軸于A，B兩點，P，Q是圓O與C在x軸上方的兩個交點若，則C的離心率為_【答案】【分析】不妨設(shè)P點在第二象限，C的左、右焦點分別為，過點Q作x軸的垂線，可得垂足為C的右焦點，然后可求得、，然后由雙曲線的定義可得答案.【詳解】不妨設(shè)P點在第二象限，C的左、右焦點分別為，如圖，由于，由對稱性可得，過點Q作x軸的垂線，可得垂足為C的右焦點在直角三角形中，則在直角三角形中根據(jù)雙曲線的定義可知，即，則離心率故答案為：四、解答題17已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值【答案】(1)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為(2)最大值為6，最小值為26【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間

12、，由得減區(qū)間；（2）由的零點，對區(qū)間列表得出的正負，得出單調(diào)性與極值，同時計算區(qū)間端點處函數(shù)值，比較得最大值和最小值【詳解】(1)，由得或，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，的單調(diào)遞減區(qū)間為(2)令得或，由（1）可列下表x-13+0-0+單調(diào)遞增取極大值單調(diào)遞減取極小值單調(diào)遞增由于，得在區(qū)間上的最大值為6，最小值為2618設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，滿足(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求【答案】(1)(2)【分析】（1）由，結(jié)合等差數(shù)列的定義來求得數(shù)列的通項公式.（2）利用裂項求和法求得正確答案.【詳解】(1)當(dāng)時，由得，當(dāng)時，由得，兩式相減可得，化簡得，由條件得，故，得數(shù)列是以1為首項，2為

13、公差的等差數(shù)列，從而數(shù)列的通項公式為(2)由（1）得，所以，得19如圖，在四棱錐中，四邊形BCDE為梯形，平面平面BCDE，(1)求證：平面BCDE；(2)若，求平面CAB與平面DAB夾角的余弦值【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由平面平面BCDE、得平面AED，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得，再由線面垂直的判斷定理可得答案；（2）以E點為原點，EB，ED，EA所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系分別求出平面CAB、面ABD的一個法向量，由二面角的向量求法可得答案【詳解】(1)因為平面平面BCDE，平面平面，平面BCDE，所以平面AED，因為平面AED，所以，因為，平面BCDE，所以

14、平面BCDE(2)因為平面BCDE，所以BE，DE，AE兩兩互相垂直，以E點為原點，EB，ED，EA所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系得各點坐標(biāo)分別為：、，得，設(shè)平面CAB的一個法向量為，由，得，令得，從而設(shè)平面ABD的一個法向量為，由，得，令得，從而，所以平面CAB與平面DAB夾角的余弦值為20為響應(yīng)“雙減政策”，豐富學(xué)生課余生活，某校舉辦趣味知識競答活動，每班各選派兩名同學(xué)代表班級回答4道題，每道題隨機分配給其中一個同學(xué)回答小明，小紅兩位同學(xué)代表高二1班答題，假設(shè)每道題小明答對的概率為，小紅答對的概率為，且每道題是否答對相互獨立記高二1班答對題目的數(shù)量為隨機變量X(1)若，求x

15、的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若高二1班至少答對一道題的概率不小于，求p的最小值【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為(2)【分析】（1）X的可能取值為0，1，2，3，4，由二項分布求得各概率得分布列，由期望公式得期望；（2）由對立事件的概率公式求得事件“至少答對一道題的概率”的概率，列不等式求解【詳解】(1)X的可能取值為0，1，2，3，4高二1班答對某道題的概率，則，則X得分布列為X01234P則(2)高二1班答對某道題的概率為，答錯某道題的概率為則，解得，所以p的最小值為21已知函數(shù)(1)求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)，求a的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出

16、切線斜率，點斜式即可得切線方程；（2）由題意可構(gòu)造函數(shù)令，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合分類討論的思想，確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性由求解可得.【詳解】(1)，又，故在點處的切線方程為(2)當(dāng)，令，得，令，則若時，得，則在上單調(diào)遞增，故，所以在上單調(diào)遞增，所以，從而，不符合題意；若，令，得（）若，則，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，從而，所以在上單調(diào)遞增，此時，不符合題意；（）若，則，在上恒成立，所在上單調(diào)遞減，從而在上單調(diào)遞減，所以，所以恒成立綜上所述，a的取值范圍是【點睛】關(guān)鍵點點睛：由原不等式在時恒成立，轉(zhuǎn)化為在時恒成立，是解決問題的第一步，再利用導(dǎo)數(shù)，分析的單調(diào)性，即函數(shù)值的正負，由于含有參數(shù)，分類討論是解題的關(guān)鍵和難點.22已知點P為橢圓上一個動點，A、F分別為C的左頂點、左焦點(1)證明：；(2)設(shè)斜率分別為，的兩條直線，均經(jīng)過點A，且直線，與C分別交于E，G兩點（E，G異于點A），若，試判斷直線EG是否經(jīng)過定點？若是，求出定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由【答案】(1)證明見解析(2)過定點，定點坐標(biāo)為【分析】（1）設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)兩點間的距離公式求得的表達式，