第04講 矩陣的轉置和逆

1、矩矩 陣陣2.3 矩陣的轉置矩陣的轉置 對稱矩陣對稱矩陣2.4 可逆矩陣的逆矩陣可逆矩陣的逆矩陣第第4講講第第2章章2.3 矩陣的轉置矩陣的轉置 對稱矩陣對稱矩陣定義定義2.11 2.11 把矩陣A=(aij)mn的行列依次互換得到nm矩陣, 稱為A的轉置矩陣轉置矩陣, 記作 ATmnmmnnaaaaaaaaa212222111211Amnnnmmaaaaaaaaa212221212111TA矩陣的轉置運算滿足以下運算律矩陣的轉置運算滿足以下運算律:(1) (A T)T = A;(2) (A +B)T = A T+ B T ;(3) (k A)T = k A T (k是數(shù)量) ;(4) (A

2、B)T = B T A T ;(5) A T= A (A1 A2 An)T = AnT A2T A1T證明證明 (4) (AB)T = BTAT。設 A=(aij)mn , A T=(aTji)nm , B =(bij)ns , B T=(bTji)sn，則 (A B)T與B T A T都是sm矩陣，且nkkijkjiab1TTTT)(ABnkkjikba1T)()(jiijABAB故 (A B)T = B T A T。j=1, s ; i=1, m定義定義2.12階方陣，是一個設naaaaaaaaannnnnn212222111211A),(njiaajiij21如果則 稱A為對稱矩陣對稱矩

3、陣；),(njiaajiij21如果則 稱A為反對稱矩陣。反對稱矩陣。 n階反對稱矩陣A的主對角元都為零， 因為 由aii = aii 即得 aii = 0 (i =1,2,n)。A為對稱矩陣的充要條件是為對稱矩陣的充要條件是 AT= A ; A為反對稱矩陣的充要條件是為反對稱矩陣的充要條件是 AT= A。 例例1 1 設A是mn矩陣，則AT A和A AT都是對稱矩陣。因為AT A是n階矩陣,且(AT A)T= AT(AT)T = AT A ; 同理A A T是m階對稱矩陣。必須注意，兩個對稱矩陣A和B的乘積不一定是對稱矩陣。因為，(A B)T = BT A T = B A而B A不一定等于A

4、B 。例例2 設A, B分別是n階對稱和反對稱矩陣，則 AB+BA 是反對稱矩陣。因為(A B+B A)T = BT AT+ ATBT= ( B)A+A(B)= (AB+BA)。2.4 可逆矩陣的逆可逆矩陣的逆定義定義2.13 設設A為為n階方陣，若存在階方陣，若存在n階方陣階方陣B使得使得 BA=AB=I,則稱矩陣則稱矩陣A是是可逆可逆的，稱的，稱B 為為A的的逆矩陣逆矩陣，記作，記作 B =A 1 .(或或B是可逆的且是可逆的且A= B 1)如單位矩陣如單位矩陣I是可逆的，且是可逆的，且I 1= I, 因為因為 I I = I顯然顯然A,B是平等的，是平等的，B也是也是A的逆，的逆，.)(

5、AA11定理定理2.2 若若A是可逆矩陣，則是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的。的逆矩陣是唯一的。 證證設B, C都是A的逆矩陣， 即 BA=AB=CA=AC=I，則B=BI=B(AC) =(BA)C=IC=C所以，A的逆矩陣是唯一的從而使得是可逆的，則存在矩陣若矩陣,AIABB|BAABI1可見，可見，A可逆的必要條件是可逆的必要條件是 |A|0.即即A是非奇異的。是非奇異的。下面來證明，下面來證明， |A|0也是也是A可逆的充分條件?？赡娴某浞謼l件。為此，引入伴隨矩陣的概念。為此，引入伴隨矩陣的概念。定義定義2.14 設設 A=(aij)n n , A ij是是det A 中中 aij 的代

6、數(shù)余的代數(shù)余子式子式, 稱稱 cof A =(A ij) n n 為為A的的代數(shù)余子式矩陣代數(shù)余子式矩陣，其轉置矩陣其轉置矩陣A *=(cof A)TnnnnnnAAAAAAAAA212221212111稱為稱為A的的伴隨矩陣伴隨矩陣，記作記作A *。由教材由教材pp.5960的例題的例題6，可知，可知AA*=A*A=|A|I當當|A|0時，時，IAAAAAA|11AAAA|11可逆，且于是，定理定理2.3 矩陣矩陣A可逆的充要條件是可逆的充要條件是 A 0 。且。且 且且A可逆時，其逆為可逆時，其逆為 。*AAA11證證 必要性：若A可逆，則存在B使得AB=I, 于是AB=AB=I=1,故A

7、0。 充分性: 用構造性證法。若A0, 由 AA*=A*A=|A|I，IAAAAAA|11AAAA|11可逆，且于是，推論推論1設A，B都是n階矩陣,且AB=I, 則BA=I,即A，B 都可逆，并互為逆矩陣。證證由AB=I,得AB=AB=I=1, 故A0，B0,即A，B 都可逆。 AB=IA1(AB)A= A1 IA=I,即 BA=I推論推論2對角陣、上（下）三角陣可逆的充要條件是對角陣、上（下）三角陣可逆的充要條件是主對角元全部不為零。主對角元全部不為零。注意注意: A, B 都可逆，而A+B不一定可逆，即使A+B可逆, 一般地 (A+B) 1 A1 + B1。例例1 40153113233

8、1212321C,A矩陣是否可逆？若可逆,求其逆矩陣。解：解： A=40, A可逆(非奇異)。A11=3, A12=4, A13=5, A21=3, A22=0, A23=1,A31=1, A32=4, A33=3,3154041334111AAAC=0, 故C不可逆。例例2 .的逆矩陣求矩陣dcbaB解：解： B= ad-bc, 當ad-bc 0時, B可逆, 其逆矩陣為acbdbcad11B可逆矩陣的運算性質(zhì)（可逆矩陣的運算性質(zhì)（A, B 為n階可逆矩陣，數(shù)k0) A*= An-1 (A1) 1= A (k A) 1= k1 A 1 (A B) 1=B1 A 1 (AT) 1=(A1)T

9、A1= A1 (A1A2Ak) 1= Ak1 A21 A11(Ak) 1=(A1)k A k(A1,A2 , Ak均可逆);證證 (kA)( k1A1)=(kk1)(AA1)=1I=I。 (AB)(B1A1)=A(BB1)A1=AIA1=AA1=I。 因為 AA* = A I , A A* = A n, A* = A n-1 。 由 AA 1=I,得(AA 1)T=(A 1)T AT=I；(AT) 1=(A 1)T。 由 AA1=I,得| A |A1 | =1, |A | 0, A 1 = A 1。 例例3 設方陣B為冪等矩陣(即B2=B), A=I+B, 證明：A是可逆陣，且A1=(3I A

10、)/2。證證由 B=AI ,B2=(A I)2= A 2 2 A +I及 B2= B = A I得 A2 2A+I= A I A2 3A=A(A 3I)= 2I ,即 A(3I A)/2=I A可逆，且A1=(3I A)/2。例例4主對角元都是非零數(shù)的對角陣是可逆的，且11211121nnaaaaaa注意：000000011111baabbaab時，例例5設A為n階可逆對稱(反對稱)矩陣，則A1也是對稱(反對稱)的。證證設AT =A，則,)()(111AAATT.是對稱的故1A設AT =-A，則,)()()(1111AAAATT.是反對稱的故1A例例6 已知A為非零n階實矩陣，當A*= AT時

11、，證明: A為可逆矩陣。證證要證A可逆，即證 A 0。由AT A = A* A =A I，知當A*= AT時， A 0 AT A 0nnnnnnnnnnnnnnijaaaaaaaaaaaaaaaaaaa212222111211212221212111TAA,)(A設niinniiniiaaa12122121*,0,A012niija當且僅當存在。所以，0TA0,AA例例7若A,B,C,D均為n階矩陣,且ABCD=I(n階單位陣)，以下哪個成立？ BCDA=I；(B) CABD=I；(C) BACD=I；(D) CBAD=I； (E) BCAD=I； (F) CDAB=I。解：解：根據(jù)矩陣乘法

12、滿足結合律和定理2.3的推論，由于ABCD=I,A(BCD)=I,(BCD) A =I,(A)成立。(AB)(CD)=I,(CD) (AB) =I,CDAB=I,(F)成立。例例8已知A=diag(1, 2, 1), 且A*BA=2BA 8I, 求B。解：解：由由A*BA 2BA= 8I, 得= 4(I+A) 1 = 4 diag(2, 1, 2) 1 (A* 2I)BA= 8IB= 8(A* 2I) 1A 1= 8(A (A* 2I) 1= 8(A A* 2A) 1= 8( 2I 2A) 1 =4diag(2 1 , 1, 2 1 )，,|2AIAA2所以，B=diag(2, 4, 2)例例9設A可逆，且A*B=A 1+B，證明B可逆，當200620062A時，求B。解：解：由A*B=A 1+B= A 1+I B 得(A* I)B=A 1，因為| A*I | B |=| A 1 |0，所以，| B |0，B可逆。B= (A*I) 1 A1=(A (A*I) )1 =( | A | I A) 11001100116200620062800080008AIA10011011161B例例